Skript zur Vorlesung Strömungsakustik I

1.5. Mathematisches Hilfsmittel: δ-Funktion
δ(x; a)
−a 0 +a x
Abbildung 1.8.: Beispiel mit Kastenfunktion
ist. Weil δ(x; a) außerhalb der Intervalls [−a, a] gleich Null ist, kann die Integration in
(1.5.15) auf den gesamten Wertebereich ausgedehnt werten. Es gilt somit auch
δ-Folge
�
+∞
−∞
δ(x; a) dx = 1 (1.5.17)
Wird ein kleineres a gewählt, so wird die Kurve δ(x; a) immer höher. Von besonderem
Interesse ist dabei der Grenzfall a → 0. Um diesen näher zu untersuchen, wird eine
sogenannte δ-Folge eingeführt. Dies ist eine Folge von Funktionen, die durch
definiert wird. Damit gilt
δn(x) = δ � x; 1 �
n
δn(x) = d
dx h�x; 1 �
n
(1.5.18)
(1.5.19)
Im Grenzfall n → ∞ ist die Verteilung von δn(x) immer dichter um x = 0 konzentriert.
Für jedes ε > 0 gilt
�+ε
lim δn(x) dx = 1 (1.5.20)
n→∞
−ε
Dies ist offensichtlich, da für n > 1/ε das Integral in (1.5.17) exakt gleich Eins ist.
Entsprechend gelten die beiden Bedingungen
lim
�−ε
n→∞
−∞
δn(x) dx = 0 (1.5.21)
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