Skript zur Vorlesung Strömungsakustik I

Um diesen Fall zu untersuchen, wird (1.6.7) durch Ausklammern zu
˜s(ω) = iA
ω
e−iω(t0+τ/2) �
e −iωτ/2 − e iωτ/2�
umgeformt. Für alle z ∈ C gilt der Zusammenhang
sin z = eiz − e −iz
2i
1.6. Spektrale Zerlegung
Vergleicht man die rechte Seite mit der eckige Klammer in (1.6.8) ergibt sich
Dies kann in
˜s(ω) = iA
ω
� �
e−iω(t0+τ/2) 2i sin − ωτ
2
��
(1.6.8)
(1.6.9)
(1.6.10)
˜s(ω) = Aτ · e −iω(t0+τ/2) · sin � �
ωτ
2�
(1.6.11)
umgewandelt werden. Der Betrag der ersten beiden Faktoren auf der rechten Seite ist
unabhängig von ω. Der dritte Faktor geht für ωτ → 0 gegen Eins und für ωτ → ±∞ gegen
Null. Das bedeutet, daß der Betrag |˜s(ω)| für ein festes τ mit 1/ω abnimmt. Dieser
Abnahme ist entsprechend dem sin-Term in (1.6.11) ein oszillatorische Abhängigkeit
von ω überlagert. Die Abnahme ist umso stärker je größer τ, also je breiter der Rechteckpuls,
ist. Das bedeutet anschaulich, daß lange Pulse relativ geringe hochfrequente
Anteile enthalten. Dagegen sind für relativ kurze Pulse auch für relativ große ω die
Anteile noch bedeutend. Theoretisch kann man die Pulsdauer gegen Null (τ → 0)
und gleichzeitig die Amplitude gegen unendlich (A → ∞) gehen lassen, so daß die
Pulsstärke B = τA konstant bleibt. Für die Fourier-Transformierte ergibt sich für
diesen Grenzfall:
˜s(ω) −→ Be −iωt0 (1.6.12)
Das heißt, der unendlich kurze Puls mit endlicher Stärke besitzt Anteile in allen Frequenzbereichen.
Der Betrag ˜s(ω) ist für alle ω gleich groß.
Ein unendlich kurzer Puls mit der Stärke Eins wird mathematisch durch die Diracsche
δ-Funktion ausgedrückt. Wie im vorigen Abschnitt gezeigt wurde, gilt
und
�∞
−∞
�∞
−∞
� ωτ
2
δ(t − t0) dt = 1 (1.6.13)
g(t) δ(t − t0) dt = g(t0) (1.6.14)
unter der Voraussetzung, daß g(t) eine stetige Funktion ist. Damit läßt sich für die
Funktion
s(t) = B δ(t − t0) (1.6.15)
27