Skript zur Vorlesung Strömungsakustik I

p ′ (x1, t)
t0
∆x = c · ∆t
t0 + ∆t
Abbildung 2.1.: Ausbreitung eines Pulses
2.2. Einfache Lösungen
t0 + ∆t hat sich der Hügel um die Strecke ∆x = c ∆t in x1-Richtung verschoben ohne
sich zu verformen. Formal kann die Verschiebung der Druckverteilung mit der Zeit
durch
p ′ (x1, t0 + ∆t) = p ′ (x1 − ∆x, t0) (2.2.12)
ausgedrückt werden. Hier ist vereinfachend – entsprechend der obigen Annahme – der
Druck mit p ′ (x1, t) nur von einer Ortskoordinate abhängig dargestellt. Im betrachteten
Fall für g = 0 ist (2.2.12) gleichbedeutend mit
f � x1 − c(t0 + ∆t) � = f � �
(x1 − ∆x) − ct0
(2.2.13)
Hinreichende Bedingung für diese Gleichung ist
x1 − c(t0 + ∆t) = (x1 − ∆x) − ct0
x1
(2.2.14)
Und dies ist für ∆x = c∆t erfüllt.
Setzt man f = 0 statt g = 0, so ergibt sich aus (2.2.1) eine Bewegung entgegen
der x1-Richtung. Beschreibt die Funktion g wieder einen Hügel, wie in Abbildung 2.1
dargestellt ist, dann verschiebt sich der Hügel mit der Zeit nach links statt nach rechts.
Die Summe in (2.2.1) stellt somit eine Überlagerung von links- und rechtslaufenden
Wellen dar. Alle möglichen Lösungen der Wellengleichung, die die genannte Bedingung
der Eindimensionalität in x1-Richtung erfüllen (v2 = 0, v3 = 0), lassen sich in der Form
(2.2.1) darstellen.
Dichte- und Schnelleverteilung
Aus einer gegebenen Druckverteilung p ′ (�x, t) läßt sich die Dichteverteilung berechnen,
indem durch c 2 dividiert wird:
ρ ′ (�x, t) = p′ (�x, t)
c 2
Für die betrachtete ebenen Welle der Form (2.2.1) ergibt sich
ρ ′ (�x, t) = 1
c2 �
�
f(x1 − ct) + g(x1 + ct)
(2.2.15)
(2.2.16)
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