Skript zur Vorlesung Strömungsakustik I

3.1. Eindimensionale Schallwellen im Rohr
wird eine Gerade in der x, t-Ebene festgelegt, die durch den Punkt (x b , t b ) läuft. Die
Steigung der Geraden ist 1/c. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Kurve x k (t)
liegt bei der durch Gleichung (3.1.10) festgelegten retardierten Zeit τ. Entlang der
Geraden sind die Werte für u ′ und p ′ konstant, falls wie angenommen sich nur eine
Welle in x-Richtung ausbreitet.
Die Lösung für u ′ und damit auch für p ′ ist mit Gleichung (3.1.9) und (3.1.10)
nur implizit gegeben, da sich Gleichung (3.1.10) nicht nach τ auflösen läßt. Um u ′
in einer geschlossenen Form angeben zu können, wird die Randbedingung (3.1.6) vereinfacht.
Die Geschwindigkeit des Kolbens wird nicht an der aktuellen Position des
Kolbens vorgegeben, sondern an seiner mittleren Position x = 0. Es gilt statt (3.1.6)
die Randbedingung
u ′ (0, t) = u k (t) (3.1.12)
Für die retardierte Zeit folgt damit
(t b − τ) c = x b
(3.1.13)
Anschaulich bedeutet dies, daß man den Schnittpunkt der Geraden x − c t = ξ b mit
der t-Achse statt mit der Kurve x k (t) nimmt, um τ und damit u ′ zu bestimmen. Im
Gegensatz zu (3.1.10) kann (3.1.13) nach τ aufgelöst werden:
Einsetzen in (3.1.9) ergibt
u ′ (x b , t b ) = u k
�
τ = t b − x b
c
t b − x b
c
(3.1.14)
�
= ε ω cos(ωtb − kxb ) (3.1.15)
Dies ist die typische Formulierung für eine sinusförmige Welle. Sie ergibt sich allerdings
nur, wenn die vereinfachte Randbedingung (3.1.12) verwendet wird. Mit der
exakten Randbedingung (3.1.6) ergibt sich aus der sinusförmigen Kolbenbewegung
keine sinusförmige sondern eine verzerrte Welle. Die Formen der Lösungen sind in der
Abbildung 3.4 gegenübergestellt. Die durchgezogene Linie ist eine Lösung, die – für
ein willkürlich ausgewähltes ε – aus der exakten Randbedingung folgt. Die gestrichelte
Kurve zeigt die exakte Sinuswelle, die sich aus der vereinfachten Randbedingung
ergibt.
Im folgenden wird die aus Gleichung (3.1.10) bestimmte retardierte Zeit mit τ exakt
bezeichnet. Umformen von (3.1.10) liefert
τexakt = tb − 1
c x ε
b +
c sin(ωτexakt ) (3.1.16)
Entsprechend wird die aus Gleichung (3.1.14) bestimmte retardierte Zeit mit τapprox
bezeichnet. Für die Differenz der beiden Werte ergibt sich
∆τ ≡ τexakt − τapprox = ε
c sin(ωτexakt ) (3.1.17)
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