Skript zur Vorlesung Strömungsakustik I

Erhaltung der Energie
3.2. Energie in ebenen Wellen
In dem Feld gilt selbstverständlich die Erhaltung der Energie. Die akustische Energie
ea stellt nur einen kleinen Teil der gesamten Energie dar. Jedoch läßt sich für diesen
Teil eine separate Erhaltungsgleichung ableiten.
Zur Herleitung der Erhaltungsgleichung werden die linearisierte Kontinuitätsgleichung
und die linearisierte Euler-Gleichung benötigt. In Abschnitt 2.1 wurden diese
Gleichungen für den dreidimensionalen Fall abgeleitet. Hier werden lediglich die vereinfachten
Gleichungen für eine Dimension benötigt. Die linearisierte Kontinuitätsglei-
chung lautet dann
∂ρ ′
∂t
Die Euler-Gleichung ist einfach durch
ρ0
∂u
+ ρ0
′
= 0 (3.2.12)
∂x
∂u ′
∂t
= −∂p′
∂x
gegeben. Bildet man die Zeitableitung der kinetischen Energie ergibt sich
∂
∂t {e ∂
�
1
�
′2 ′ ∂u′ ∂p′
kin } = ρ0u = ρ0u = −u′
∂t 2 ∂t ∂x
(3.2.13)
(3.2.14)
Im letzten Schritt wurde dabei die linearisierte Euler-Gleichung (3.2.13) verwendet.
Für die Ableitung der potentiellen Energie folgt
∂
∂t {epot} = ∂
�
1
∂t 2
c 2
ρ0
�
′2
ρ
= c2 ′ ∂ρ′
ρ
ρ0 ∂t = −c2 ′ ∂u′
ρ
∂x
(3.2.15)
Hier wurde von der linearisierten Kontinuitätsgleichung (3.2.12) Gebrauch gemacht.
Die Addition von (3.2.14) und (3.2.15) liefert
∂
∂t {ekin + epot}
′ ∂p′
= −u
∂x − c2 ′ ∂u′ ∂p′ ∂u′ ∂ � ′ ′
ρ = −u′ − p′ = − p u
∂x ∂x ∂x ∂x
�
Dies läßt sich kürzer als
∂ea
∂t
(3.2.16)
∂ � ′ ′
+ p u
∂x
� = 0 (3.2.17)
schreiben.
Gleichung (3.2.17) ist eine Erhaltungsgleichung für die akustische Energie. Um
dies zu verdeutlichen wird die Gleichung über ein Volumen mit der Ausdehnung l in x-
Richtung und dem Querschnitt Q integriert. Das Volumen entspricht zum Beispiel dem
Abschnitt eines Rohres, wie es in Abbildung 3.6 dargestellt ist. Beginnt das Volumen
bei x0, so ergibt sich
�
x0+l
x0
Q
� ∂ea
∂t
∂ � ′ ′
+ p u
∂x
��
dx = 0 (3.2.18)
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