Leitfähigkeit dünner Metallschichten - Institut für Physik

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Abb. 3.1: Skizze der Aufdampfapparatur Abb. 3.2: Prinzipskizze des mechanischen Abtasters DEKTAK 4
4.2 Das freie Elektronengas 5 4. Modelle für Metalle und daraus resultierende elektrische Leitfähigkeit 4.1 Drude-Modell Im klassischen Drude-Modell nimmt man an, dass Metalle aus Atomkernen mit Hüllelektronen und Valenzelektronen bestehen, wobei die Valenzelektronen frei beweglich und die positiven Ionenrümpfe ortsfest sind. Die Valenzelektronen werden als Leitungselektronen bezeichnet und wie ein freies Elektronengas betrachtet, das der kinetischen Gastheorie gehorcht. Das Drude-Modell verwendet dabei stark vereinfachende Annahmen: 1. Die Leitungselektronen stoßen nicht untereinander. Zwischen den Stößen gibt es keine sonstigen Wechselwirkungen der Leitungselektronen, z.B. Coulomb-Wechselwirkung mit den Ionenrümpfen/Elektronen. 2. Die Stöße der Leitungselektronen gehorchen der klassischen Stoßtheorie, d.h. nach dem Stoß am festen Ion hat das Elektron abrupt seine Geschwindigkeit geändert (Billard- Kugeln). 3. Die Wahrscheinlichkeit für einen Elektronenstoß im Zeitintervall dt betrage dt/τ. τ ist die Stoßzeit, bzw. die mittlere Zeitdauer zwischen zwei Stößen eines Leitungselektrons. τ wird als unabhängig von Position und Geschwindigkeit des Elektrons angenommen. 4. Das thermische Gleichgewicht kann durch die Stöße erreicht werden. Je heißer der Bereichist,indemderStoßstattfindet, desto größer sei die Geschwindigkeit des Elektrons nach dem Stoß, unabhängig von der Geschwindigkeit vorher. Ist nun die Spannung an das Metall angelegt, so entsteht ein elektrisches Feld, das auf die Leitungselektronen wirkt. Die resultierende Stromdichte ist proportional über den spezifischen Widerstand ρ mit dem beschleunigten Feld −→ E verknüpft: −→ −→ E = ρ · j (4.1) Andererseits gilt für die Stromdichte auch Ã −→ j = −ne −→ v = −ne· − e−→ ! Et = m ne2 τ −→ E (4.2) m Für den spezifischen Widerstand folgt ρ = m ne2 (4.3) τ Die mittlere freie Weglänge l eines Elektrons mit der mittleren Geschwindigkeit v zwischen zwei Stößen ist l = v · τ (4.4) Danach ergibt sich eine mittlere freie Weglänge in der Größenordnung einiger Atomabstände (1 − 10 ˚ A). Messungen zeigen jedoch, dass l einige Größenordnungen größer sein muss. Der Fehler kommt durch die Verwendung der Boltzmann-Statistik zustande. Zur genauen Bestimmung muss das Problem quantenmechanisch behandelt werden. 4.2 Das freie Elektronengas Grundlagen der quantenmechanischen Beschreibung des freien Elektronengases sind die Fermi- Dirac-Verteilung und die Schrödingergleichung für das freie Elektron. Als Energieeigenwerte erhält man: Ek = ~2 2m · k2 = ~2 2m · ¡ k 2 x + k 2 y + k 2¢ z (4.5) Ein freies Elektronengas mit N Teilchenkannim −→ k −Raum als Kugel veranschaulicht werden (Grundzustand). Für die Fermienergie EF und die Fermigeschwindigkeit vF ergibt sich: ´ 1/3 EF = ~2 2m ³ 3π 2 N V ´ 2/3 ; vF = ~ m ³ 3π 2 N V (4.6)
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