Leitfähigkeit dünner Metallschichten - Institut für Physik

Leitfähigkeit dünner Metallschichten
Institut für Physik Augsburg
Stand 24.01.05
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 2
2 Schichtherstellung 2
3 Vorbereitungsaufgaben 2
4 Modelle für Metalle und daraus resultierende elektrische Leitfähigkeit 5
4.1 Drude-Modell .................................................................5
4.2 Das freie Elektronengas........................................................5
4.3 Spezifischer Widerstand dünner Schichten ......................................6
5 Versuchsdurchführung 6
6 Auswertung 8
7 Literaturverzeichnis 9

1. Einführung
Dünne Schichten (Dicke d :1010 −7 mbar) bei
knapp 10 −5 mbar (Für andere Versuche kann Betrieb im Ultrahochvakuum 10 −7 > p >
10 −11 mbar notwnedig sein). Gründe hierfür sind:
• Minimierung des Einbaus von Fremdatomen in die Schicht
• Große freie Weglänge des Dampfes erzielt scharfe Strukturen (vorteilhaft im DEKTAK)
Die Druckmessung erfolgt im Vorvakuumbereich > 10 −3 mbar mit einer Piranimesszelle,
im Hochvakuum mit einer Kaltkathoden-Ionisationsmessröhre ([1],[5]).
Die Erzeugung des Vorvakuums übernimmt eine Drehschieberpumpe, die ihren möglichen
Enddruck von ca. 10 −3 mbar sehr schnell erreicht. Dann schaltet sich eine Turbomolekularpumpe
(TMP) hinzu die in erheblich längerer Zeit den Arbeitsdruck von etwas unterhalb
10 −5 mbar einstellt. Der erreichbare Enddruck hängt neben der effektiven Saugleistung der
Pumpe noch von der Abdampfung von den Kammerwänden, evtl. vorhandenen Lecks und
Verunreinigungen ab (deshalb immer Handschuhe bei der Präparation tragen).
3. Vorbereitungsaufgaben
Um einen Eindruck für die Auswirkungen der einzelnen Effekte zu bekommen, sollen folgende
Aufgaben vor dem Versuch bearbeitet und beantwortet werden.
1. Erläutern Sie die Funktionsweise der Kaltkathoden-Ionisationsmessröhre (keine Glühkathode),
der Piranimesszelle und des Quarzschichtdickenmessers. Erläutern Sie dabei den
Zusammenhang zwischen den Messgrößen und dem Druck und speziell beim Pirani die
Wheatstone-Brücke und wie sie im Pirani verwendet wird. Wie wird die Kaltkathoden-
Ionisationsmessröhre bei geringen Drücken betrieben?
2

2. Für den Druckverlauf beim Auspumpen gelte:
dp
dt · V = −Seff · p + Qconst + Q(t)
effektive Saugleistung der Pumpe
Seff
Qconst. zeitlich unveränderliche Gasquelle
Q(t) zeitlich veränderliche Gasquelle
(a) Sei Qconst. = Q(t) = 0; V = 10l; Seff = 10l/s. Wie schnell kann man von
10−3 mbar bis 10−6 mbar evakuieren?
(b) Sei Qconst. > 0; Q(t) =0. Welchen Enddruck erreicht man?
(c) Schätzen Sie für die Vakuumanlage (Annahme: Zylinder h =10cm, ∅ =10cm) das
Verhältnis der Anzahl der Gasmoleküle im Volumen zu derjenigen in einer Monolage
(5 · 1014 Moleküle/cm2 ) dicken Adsorbatschicht auf den Wänden in Abhängigkeit
vom Druck ab. Wie groß wäre es bei p =10−6mbar? (d) Zur Abschätzung des Einflusses der Wanddesorption. Für die Desorptionsrate eines
Gases von den Wänden der Anlage, welches sofort vollständig abgepumpt wird,
gelte:
− dN
∙
N
= · exp −
dt τ EDes
¸
R · T
N Anzahl der Moleküle auf der Wand
τ mittlere Verweilzeit ca. 10−12s EDes Desorptionsenergie der Moleküle
Diskutieren Sie die Fälle:
EDes =10kcal/mol Physisorbtion
EDes =22kcal/mol Wasser
EDes =35kcal/mol Chemisorption
Berechnen Sie dazu die Halbwertszeit der jeweiligen Desorptionsvorgänge bei T =
300 K undbeurteilensieaufBasisdessendenEinfluss dieser Vorgänge auf den
Versuch. Welche Auswirkungen hat eine Erhöhung auf T = 330 K?
3. Welche Gründe sind für den Abstand Schicht-Quelle maßgebend? Schätzen Sie die Schichtdickenvariation
für den Abstand 10 cm und die Schichtlänge 10 mm mit Hilfe dieser
Beziehungen ab:
d
d0
"
= 1+
µ #
2
n
l
h
n = −2 kleine Quelle
n = −3/2 Punktquelle
l Abstand von Substratmitte = halbe Schichtlänge
h Abstand Quelle-Substrat
d tatsächliche Schichtdicke
max. Schichtdicke
d0
4. Die molare Verdampfungswärme von Ag bei einem Dampfdruck von 1, 01 bar und 2500 K
beträgt λAg/R =3· 10 4 K. Wie hoch muss die Temperatur der Schmelze sein, wenn ein
Dampfdruck von 10 −2 mbar erreicht werden soll (Annahme: λAg/R = const.)?
Warum sollte der Restgasdruck möglichst klein sein?
3

Abb. 3.1: Skizze der Aufdampfapparatur
Abb. 3.2: Prinzipskizze des mechanischen Abtasters DEKTAK
4

4.2 Das freie Elektronengas 5
4. Modelle für Metalle und daraus resultierende elektrische
Leitfähigkeit
4.1 Drude-Modell
Im klassischen Drude-Modell nimmt man an, dass Metalle aus Atomkernen mit Hüllelektronen
und Valenzelektronen bestehen, wobei die Valenzelektronen frei beweglich und die positiven
Ionenrümpfe ortsfest sind. Die Valenzelektronen werden als Leitungselektronen bezeichnet
und wie ein freies Elektronengas betrachtet, das der kinetischen Gastheorie gehorcht.
Das Drude-Modell verwendet dabei stark vereinfachende Annahmen:
1. Die Leitungselektronen stoßen nicht untereinander. Zwischen den Stößen gibt es keine
sonstigen Wechselwirkungen der Leitungselektronen, z.B. Coulomb-Wechselwirkung mit
den Ionenrümpfen/Elektronen.
2. Die Stöße der Leitungselektronen gehorchen der klassischen Stoßtheorie, d.h. nach dem
Stoß am festen Ion hat das Elektron abrupt seine Geschwindigkeit geändert (Billard-
Kugeln).
3. Die Wahrscheinlichkeit für einen Elektronenstoß im Zeitintervall dt betrage dt/τ. τ ist
die Stoßzeit, bzw. die mittlere Zeitdauer zwischen zwei Stößen eines Leitungselektrons.
τ wird als unabhängig von Position und Geschwindigkeit des Elektrons angenommen.
4. Das thermische Gleichgewicht kann durch die Stöße erreicht werden. Je heißer der Bereichist,indemderStoßstattfindet,
desto größer sei die Geschwindigkeit des Elektrons
nach dem Stoß, unabhängig von der Geschwindigkeit vorher.
Ist nun die Spannung an das Metall angelegt, so entsteht ein elektrisches Feld, das auf die
Leitungselektronen wirkt. Die resultierende Stromdichte ist proportional über den spezifischen
Widerstand ρ mit dem beschleunigten Feld −→ E verknüpft:
−→ −→
E = ρ · j (4.1)
Andererseits gilt für die Stromdichte auch
Ã
−→
j = −ne
−→
v = −ne· − e−→ !
Et
=
m
ne2 τ −→
E (4.2)
m
Für den spezifischen Widerstand folgt
ρ = m
ne2 (4.3)
τ
Die mittlere freie Weglänge l eines Elektrons mit der mittleren Geschwindigkeit v zwischen
zwei Stößen ist
l = v · τ (4.4)
Danach ergibt sich eine mittlere freie Weglänge in der Größenordnung einiger Atomabstände
(1 − 10 ˚ A). Messungen zeigen jedoch, dass l einige Größenordnungen größer sein muss.
Der Fehler kommt durch die Verwendung der Boltzmann-Statistik zustande. Zur genauen
Bestimmung muss das Problem quantenmechanisch behandelt werden.
4.2 Das freie Elektronengas
Grundlagen der quantenmechanischen Beschreibung des freien Elektronengases sind die Fermi-
Dirac-Verteilung und die Schrödingergleichung für das freie Elektron. Als Energieeigenwerte
erhält man:
Ek = ~2
2m · k2 = ~2
2m · ¡ k 2 x + k 2 y + k 2¢ z
(4.5)
Ein freies Elektronengas mit N Teilchenkannim −→ k −Raum als Kugel veranschaulicht werden
(Grundzustand). Für die Fermienergie EF und die Fermigeschwindigkeit vF ergibt sich:
´ 1/3
EF = ~2
2m
³ 3π 2 N
V
´ 2/3
; vF = ~
m
³ 3π 2 N
V
(4.6)

Berechnet man nun die freie Weglänge l, so erhält man Werte bis zu mehreren 100 ˚ A, die den
experimentellen Daten gut entsprechen.
4.3 Spezifischer Widerstand dünner Schichten
Beim Aufdampfen von Metallen entstehen zunächst Schichten, die keine Leitfähigkeit zeigen.
Sie tritt erst auf, wenn eine bestimmte kritische Massenbelegung durch den Verdampfungsprozess
erreicht worden ist.
Die gängige Vorstellung [1] dabei ist, dass die dünnsten Schichten (Ag auf Glas bei
Raumtemperatur d ≈ 8 nm) in kleinen, nicht zusammenhängenden Inseln aufwachsen. Die
kritische Massenbelegung ist erreicht, wenn sich diese Inseln berühren und metallische Leitfähigkeit
einsetzt. Der Mechanismus, der zu diesem Inselwachstum führt, ist nicht vollständig
geklärt. Die kritische Größe der Inseln nimmt mit wachsender Unterlagentemperatur stark
zu.
Für ein kompaktes Material ist der spezifische Widerstand ρ ∞ nur eine Funktion der
Temperatur und des inneren Aufbaus. Der temperaturabhängige Anteil ρ ∗ ∞ (T ) beträgt für
Ag bei 300 K
ρ ∗ ∞ =1, 61 µΩ cm (4.7)
und wird durch die Streuung der Leitungselektronen an den Phononen hervorgerufen.
Die Streuung der Leitungselektronen an den inneren Gitterfehlern führt zu einem temperaturunabhängigen
Anteil ρ i (i = impurity) am spezifischen Widerstand. Diese Beträge
addieren sich und werden auch als Matthiesen Regel beschrieben
ρ ∞ = ρ i + ρ ∗ ∞ (T ) (4.8)
Aufgedampfte Schichten wachsen i.a. polykristallin und relativ stark gestört auf. Deshalb
macht das ρ i einenbeträchtlichenAnteilamgesamtenspezifischen Widerstand aus. Ist die
freie Weglänge der Leitungselektronen größer als eine Probendimension, z.B. die Schichtdicke,
so kann der spezifische Widerstand geometrieabhängig werden. In der Literatur werden
mehrere Effekte diskutiert, die zu einem schichtdickenabhängigen spezifischen Widerstand
führen können. Fuchs und Sondheimer berechnen den spezifischen Widerstand einer Schicht
ρ = ρ ∞ + 3·(ρ·l)
8·d (1 − p); für l>d (4.9)
(ρ · l) Im Metall eine Konstante, messbar mit anormalen Skineffekt
p Anteil der Leitungslektronen, die an den Oberflächen spiegelnd gestreut werden
ρ · l = const. (4.10)
(ρ · l) Ag = 117 µΩ cm · nm
Dampft man die Schichten bei Raumtemperatur auf, so ist Gl. 4.9 für die Schichtdicken
d

Abb. 5.1: Skizze des erwarteten Verlaufs ρ(T )
(3). Dieser Wendel ist von einem zweiten Glaszylinder und einer Metallabdeckung (6) mit
verschließbarer Öffnung (5) umgeben. Durch Freigeben der Öffnung kann die Beschichtung
des Substrats auf dem Probenteller sowie dem QSM gesteuert werden. Als Maß
für die Schichtdicke dient das Anzeigesignal des QSM. Die exakte Dicke wird nach dem
Bedampfen durch das DEKTAK bestimmt.
Kontaktieren sie die I-förmige Maske mittels Leitsilber und Zuleitungen und prüfen sie
die Kontakte. (Welche Vorteil hat die hier verwendete 4-Punkt-Messung?)
2. Nach Einbau und Kontaktierung des Substrates wird die Anlage evakuiert. Nehmen Sie
dabei den Druck bis zu 10−5 mbar in regelmäßigen Abständen in Abhängigkeit von der
Zeit auf.
3. Bei Erreichen eines Enddrucks von etwas unter 10−5 mbar wird die Verdampferquelle
langsam aufgeheizt (Angaben vom Betreuer!). Der Quartzschichtdickenmesser wird auf
dieDichtevonAg(10, 5 g/cm3 ) eingestellt und auf die Anzeige 0 abgeglichen. Durch
Öffnen des Verschlusses wird jeweils eine dünne Lage Silber aufgebracht. Etwa 20%
oberhalb des Zielwiderstands, den man erreichen möchte, wird die Blende geschlossen,
der Strom abgeschaltet und die Messwertaufnahme am Rechner gestartet (Einweisung
durch den Betreuer). Über einen Zeitraum von etwa 300 s werden im Abstand von 5 s
Zeit und Widerstand vom Programm aufgezeichnet. Zusätzlich muss die Schichtdicke
am QSM notiert werden, die zur jeweiligen Messung gehört.
Es sollen nun mindestens 5 Messreihen der Abhängigkeit des Widerstandes R von der
Zeit t bei verschiedenen Dicken aufgenommen werden. Die erste Messreihe wird bei
einer Widerstandsanzeige zwischen 1000 und 500 Ω aufgezeichnet. Die weiteren sollen
bei R ≈ 300, 100, 50, 30, 20 Ω durchgeführt werden.
4. Bei R ≈ 20 Ω ist der Aufdampfvorgang beendet. Messen sie die Abhängigkeit des
Widerstandes R von der Temperatur. Dazu wird die Probe mit einem Heizstrom von
IHeiz ≤ 1, 1 A geheizt und der Widerstandsverlauf in Abhängigkeit der Temperatur
anhand einiger Werte notiert. Nach Erreichen des Widerstandsminimums wird noch
ein Widerstandswert etwa 3◦C über der Minimumstemperatur aufgenommen, der den
erneuten Anstieg zeigt (Abb. 5.1). Danach wird mit IHeiz ≈ 0, 55 A die Probe über die
Mittagspause bei ihrer Minimumstemperatur ausgeheilt.
5. Messen sie bei der Minimumstemperatur noch einmal den Verlauf R(t) bei verschiedenen
Schichtdicken, den Dicken entsprechen R ≈ 15, 10, 5, 3, 2, 1 Ω
6. Nach Erreichen von R ≈ 1 Ω und Abkühlung der Anlage wird die Schicht ausgebaut und
7

die Enddicke im mechanischen Abtaster DEKTAK ermittelt.
6. Auswertung
1. Ermitteln Sie zunächst die relaxierten Widerstände RRel zu den in Aufgabe 5.3) und
5.5) aufgenommenen Messreihen. Dazu soll folgende Formel angefittet werden, die den
Widerstandsverlauf beschreibt:
R(t) =R0 · e −R1·t + R2
(6.11)
Die relaxierten Widerstände ergeben sich dann aus dem ermittelten Parameter R2.
Eine Abschätzung der Paramterbereiche, in der der Fit gesucht werden soll, wird vom
Messprogramm mit den Messreihen ausgegeben. Die Ermittlung der Parameterbereiche
ist eigens im Anhang beschrieben. Der Fit selbst sollte mit einem Programm erfolgen,
das über die entsprechenden Fitmöglichkeiten verfügt, z.B. Origin, Mathematica, Maple
oder gnuPlot.
2. Berechnen Sie den Korrekturfaktor für die QSM-Schichtdicken und damit die korrigierten
Schichtdicken dkorr, sowie den spezifischen Widerstand ρ und das Produkt ρ · d. Verwenden
Sie dazu
b · dkorr
ρ = R
l
b Breite der Schicht 1 mm
l Länge der Schicht 10 mm
3. (a) Tragen Sie ρ [µΩ cm] gegen 1/d £ nm−1¤ auf. Führen Sie jeweils eine lineare Regression
für die am Vormittag ermittelten Werte von Aufgabe 5.3) und die Werte vom
Nachmittag aus Aufgabe 5.5) durch (inklusive Fehlergeraden).
Aus Gl. 4.9 erkennt man, dass der y-Achsenabschnitt ρ∞ (Widerstand bei unendlicher
Dicke) entspricht.
(b) Tragen Sie ρ · d [µΩ cm · nm] gegen d [nm] auf. Führen Sie jeweils eine lineare
Regression für die am Vormittag ermittelten Werte von Aufgabe 5.3) und die Werte
vom Nachmittag aus Aufgabe 5.5) durch (inklusive Fehlergeraden).
Aus Gl. 4.9 erkennt man, dass die Steigung ρ∞ (Widerstand bei unendlicher Dicke)
entspricht.
(c) Vergleichen Sie die erhaltenen Werte für ρ∞ (mit Fehler) aus den beiden Regressionsgeraden
miteinander und mit dem Literaturwert 4.7 und interpretieren Sie das
Ergebnis.
4. (a) Berechnen Sie aus Gl. 4.10 die mittlere freie Weglänge l für jeden Messwert ρ.
Bilden Sie den Quotienten l/d für jeden Messwert und schließen Sie daraus auf die
Anwendbarkeit der Fuchs-Sondheimer-Formel Gl. 4.9 auf Ihre Messergebnisse.
(b) Berechnen Sie die freie Weglänge l∞ der Elektronen in den Aufdampfschichten und
vergleichen Sie diese mit dem Literaturwert für kompaktes Material.
5. Berechnen Sie den Anteil spiegelnd gestreuter Elektronen p aus den Regressionsgeraden
von Aufgabe 3a) und Aufgabe 3b) und erklären Sie die Resultate.
6. Berechnen Sie ρ·l nach dem Drude-Modell und dem Sommerfeld-Modell und vergleichen
Sie die beiden theoretischen Werte mit dem Literaturwert 4.10. Warum weicht dieser
Wert vom gemessenen Wert ab?
7. Welcht Voraussetzungen wurden für die Fuchs-Sondheimer-Formel 4.9 gemacht? Wie
realistisch sind sie?
8. Wie groß ist die mittlere Zusatzgeschwindigkeit dv der Leitungselektronen für Cu bei
einer Stromdichte von 5 A/mm2 (technisch zulässiger Wert)?
9. Typische Stromdichten für Al-Leiterbahnen in der Mikroelektronik liegen bei 1 − 3 ·
103 A/mm2 . Warum kann die Stromdichte in Dünnschichten größer als im kompakten
Material sein? Welche Probleme treten bei Leiterbahnen in der Mikroelektronik auf?
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7. Literaturverzeichnis
[1] Ferienkurs dünne Schichten, Herstellung dünner Schichten, Ferienkurs Jülich 1986
[2] C. Kittel, Elektrische Leitfähigkeit, Oldenburg
[3] N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Solid State Physics
[4] L.I. Maissel, R. Glang: Handbook of thin film technology, McGraw-Hill
[5] Wutz, Vakuumtechnik
[6] K. Fuchs, Conductivity of thin metalic films, Proc. Cond. Phil. Soc. 34 (1938) 100
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