2. Rechnen mit Restklassen - Mathematik

Baireuther Zahlentheorie - Zusammenfassung SoSe 2006
2. Rechnen mit Restklassen
2.1. Teilbarkeitsregeln und Restklassen
Eine Teilbarkeitsregel gibt zu jeder Zahl z eine einfachere Kennzahl an, die bezüglich
eines festen Divisors) den gleichen Rest besitzt.
Def: V: a, b und m ≠ 0 sind Zahlen aus einem gemeinsamen Zahlbereich
(hier: IN oder ZZ)
a heißt kongruent zu b modulo m :⇔ a und b sind restgleich bei Division durch m
Bez: a ” b (mod m) oder kurz: a ”m b
Bsp.: 13 ≡3 25 und 13 ≡4 25 , aber nicht 31 ≡3 25 und nicht 31 ≡4 25
Wichtig: a ≡m b ⇔ m | (a – b) ⇔ (a – b) ≡m 0
Bezeichnungen:
Eine natürliche Zahl z soll durch ihre Stellenwertschreibweise (s. Anhang zu diesem Kap.)
anan-1an-2...a2a1a0 im b-System gegeben sein.
Endstelle ES(z) := an
Doppel- Endstelle 2-ES(z) := a1a0
Dreier-Endstelle 3-ES(z) := a2a1a0
Quersumme QS(z) := a1+a2+a3+...+ an-2+an-1+an
Doppel-Quersumme 2-QS(z) := a2k+1a2k+...+ a3a2+a1a0
Dreier-Quersumme 3-QS(z) := a3t+2a3t+1a3t +...+ a5a4a3 + a2a1a0
Alternierende Quersumme AQS(z) := a1a0 – a3a2 + a5a4 –...± a2k+1a2k
Alternierende Doppel-Quersumme 2-AQS(z) := a1a0 – a3a2 + a5a4 –...± a2k+1a2k
Alternierende Dreier-Quersumme 3-AQS(z) := a2a1a0 – a5a4a3 +–...± a3t+2a3t+1a3t
Bsp.: 2-QS(7654321) = 7 + 65 + 43 + 21 = 136
3-QS(87654321) = 87 + 654 + 321 = 1062
AQS(7654321) = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 = 4
3-QS(87654321) = 87 – 654 + 321 = 1062
Allgemeine Teilbarkeitsregel (bzw. Kongruenzregel !!)
Jede natürliche Zahl z ist restgleich (kongruent) bei Division durch m zu ihrer Kennzahl
bezüglich der Basis b des Stellenwertsystems (in dem z geschrieben ist)
Übersicht über die Kennzahlen:
Kennz: ES(z) 2-ES(z) 3-ES(z) QS(z) 2-QS(z) 3-QS(z) AQS(z) 2-AQS(z) 3-AQS(z)
für m | b m | b² m | b³ m | b-1 m | b²-1 m | b³-1 m | b+1 m | b²+1 m | b³+1
Def: Eine Restklasse mod m ist eine Menge aller (modulo m) kongruenten Zahlen aus
einem gemeinsamen Zahlbereich
Bez: a (mod m) oder kurz: a m oder auch einfach a (wenn der Modul klar ist)
bezeichnet die Restklasse, in der a liegt.
Bsp.: 13 4 = { 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... , 13 + k ⋅4 mit k ∈ ZZ}
Hinweis: Jedes Element einer Restklasse kann als Namensgeber dienen. Als
Standardnamen wählt man jedoch in der Regel den Rest bei Division durch m –
also den Vertreter a mit 0 ≤ a < m.
Folgerung: Es gibt immer genau m Restklassen mod m
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2.2. Restklassenringe
Allgemeine Rechenprobe: a ”m r und b ”m s (a b) ”m (r s)
(und a ≡m r und b ≡m s ⇒ (a + b) ≡m (r + s))
Def: Restklassenaddition: a m + b m := ( a + b)
m
Restklassenmultiplikation: a m b m := ( a ⋅b) m
Bsp.: 26 + 3 6 = 5 6 3 6 + 3 6 = 0 6 46 + 46 = 26
26 ⋅ 26 = 46 26 ⋅ 3 6 = 0 6 46 ⋅ 46 = 46
Bez.: Rm ist die Menge aller Restklassen modulo m
Bsp.: R2 = { 0 2, 12} ; R3 = { 0 3, 13, 23} ; R7 = { 0 7, 17, 27, 3 7, 47, 5 7, 6 7}
Eigenschaften der Restklassenaddition
• (Rm,+) ist ein abgeschlossenes Verknüpfungsgebilde, d.h. zu jedem Paar von
Restklassen ( a m , b m) gibt es genau eine Restklasse ( a + b)
m.
• Die Addition von Restklassen ist assoziativ, d.h. Klammern können beliebig gesetzt
werden (bzw. sind unnötig): ( a m + b m) + c m = a m + (b m + c m)
• Die Addition von Restklassen ist kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Summanden
kann vertauscht werden: a m + b m = b m + a m
• Es gibt ein (eindeutiges) neutrales Element: a m + 0 m = 0 m + a m = a m
• Zu jeder Restklasse gibt es genau eine inverse: a m + (−a) m = (−a) m + a m = 0 m
• Die Addition kann eindeutig umgekehrt werden: zu je zwei Restklassen a m und b m
gibt es genau eine Restklasse c m mit a m + c m = b m (Bez.: c m = b m – a m : Differenz
von Restklassen!)
Def.: Ein Verknüpfungsgebilde mit den Eigenschaften von (R m,+) nennt man eine
(kommutative) Gruppe. (Rm,+) heißt deshalb (additive) Restklassengruppe
Eigenschaften der Restklassenmultiplikation
• (Rm,⋅) ist ein abgeschlossenes Verknüpfungsgebilde, d.h. zu jedem Paar von
Restklassen (a m , b m) gibt es genau eine Restklasse ( a ⋅b) m.
• Die Multiplikation von Restklassen ist assoziativ, d.h. Klammern können beliebig
gesetzt werden (bzw. sind unnötig): ( a m ⋅ b m) ⋅ c m = a m ⋅ (b m ⋅ c m)
• Die Multiplikation von Restklassen ist kommutativ, d.h. die Reihenfolge der Faktoren
kann vertauscht werden: a m ⋅ b m = b m ⋅ a m
• Die Restklassenmultiplikation ist distributiv zur Addition: a m⋅(b m + c m) = a m⋅b m+ a m⋅ c m
Def.: Ein Verknüpfungsgebilde mit den Eigenschaften von (R m,⋅) nennt man eine
(kommutative) Halbgruppe.
Ein Verknüpfungsgebilde mit zwei Verknüpfungen und den Eigenschaften von
(Rm,+,⋅) nennt man einen (kommutativen) Ring.
(Rm,+,⋅) heißt deshalb Restklassenring.
Def.: Eine Restklasse a m (≠ 0 m) heißt Nullteiler in Rm
:⇔ Es gibt eine Restklasse b m (≠ 0 m) mit a m ⋅ b m = 0 m
Bsp.: 26 und 3 6 sind Nullteiler in R6, denn 26 ⋅ 3 6 = 3 6 ⋅ 26 = 0 6
In R7 gibt es keine Nullteiler.
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2.3. Prime Restklassengruppen
Die Systembruchentwicklung zu einer Bruchzahl gewinnt man durch systematische
Division mit Rest (s. Anhang).
Beschreibung der Reste bei der b-adischen Nachkomma-Entwicklung eines (gekürzten
„gemeinen“) Bruches p/q mit Hilfe von Restklassen:
p p ⋅b p ⋅b ⋅b ... p ⋅(b ) n (mod q)
Das heißt: Nützlich für die Bestimmung von Perioden(längen) ist die Untersuchung der
Restklassen p ⋅(b ) n (mod q) - für den Fall, dass b und q teilerfremd sind.
Def.: Eine Restklasse a m (≠ 0 m) heißt (relativ) prim (modulo m)
:⇔ a und m sind teilerfremd
Bez.: Pm ist die Menge der primen Restklassen modulo m
Bsp.: P4 = {14, 3 4}; P7 = {17, 2 7, 3 7, 4 7, 5 7, 6 7, }; P10 = {110, 3 10, 7 10, 9 10}
Bez.: a m = { a m , a m ², a m ³, ...} ist die Menge der Potenzen einer Restklasse modulo m
Bsp.: 3 10 = { 3 , 9 , 7 , 1} = P10; 9 10 = { 9 , 1}
Bez.: bm ⋅ a m = { bm ⋅ a m , bm ⋅a m ², bm ⋅ a m ³, ...} heißt Nebenklasse zu a m
Bsp.: 710 ⋅ 3 10 = {1, 3 , 9 , 7 } = 3 10 = R10; 310 ⋅ 9 10 = { 7 , 3 }
Bez.: Die Anzahl der Elemente einer Menge der primen Restklassen modulo m nennt
man ihre Ordnung
Bsp.: ord(P7 ) = 6; ord( 3 10 ) = 4; ord( 710 ⋅ 9 10 ) = 2
Satz 1: a) (Pm,⋅) ist für jeden Modul m eine Gruppe, die prime Restklassengruppe
modulo m.
b) Für jede prime Restklasse a m ist ( a m ,⋅) eine Untergruppe von (Pm,⋅)
Generell wichtig ist der "Satz von Lagrange":
Satz 2: a) Für prime Restklassen a m und b m gilt immer: ord( bm ⋅ a m ) = ord( a m )
b) Für jede prime Restklasse a m gilt: ord( a m ) | ord (Pm)
Anwendung auf die Länge von Perioden bei Systembrüchen:
Satz: Die Periode der b-adischen Entwicklung eines vollständig gekürzten Bruches p : q
hat die Länge ord( b q ).
Bsp.: 1 : 10 im 3-System: 0, 0022 ... (Periodenlänge 4 entspricht ord10( 3 ) = 4
1 : 10 im 9-System: 0, 08 ... (Periodenlänge 2 entspricht ord 10( 9 ) = 2
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Baireuther Zahlentheorie - Zusammenfassung SoSe 2006
a) Natürliche Zahlen
Anhang: Stellenwertschreibweise von Zahlen
Satz: Für jede natürliche Zahl a gibt es zu jeder natürliche Zahl b ‡ 2
eine eindeutige Zerlegung der Form
a = an⋅b n + an-1⋅b n-1 + ... + a2⋅b 2 + a1⋅b 1 + a0⋅b n mit 0 ≤ ai < b für alle i
(Zerlegung durch sukzessive Division mit Rest (Bündelung!) durch b)
Def: Die Folge der Divisionsreste zur Zahl a bei Division durch b nennt man die
Stellenwertschreibweise der Zahl a zur Basis b oder die
b-adische Zahldarstellung der Zahl a.
Bez.: a = anan-1an-2...a2a1a0
Eine Zahl im 2-System nennt man Dualzahl, eine Zahl im 10-System Dezimalzahl
Bsp.: 123(4) = 1⋅ 4² + 2⋅ 4 1 + 3⋅ 4 0
123(4) = 102(5) = 43(6) = 36(7) = 34(8) = 30(9) = 27(10)
b) Systembrüche (für Bruchzahlen)
Satz: Für jeden Bruch p/q gibt es zu jeder natürlichen Zahl b ‡ 2
eine Zerlegung der Form
p/q = an⋅b n + ... + a0⋅b 0 + a-1 b -1 + a-2 b -2 + .... mit 0 ≤ ai < b für alle i
Zerlegung durch einen Algorithmus:
1. p/q als gemischte Zahl: p/q = a + p’/q mit p’ < q
a wird als b-adische Zahl geschrieben (a = anan-1an-2...a2a1a0)
2. Ermittlung der Nachkommastellen durch sukzessive Erweiterung und Division mit Rest:
Anfangs-Index: i = 0
(a) Erweiterung wegen Stellenwechsel: i i-1 und p’ b⋅p’
(b) Division mit Rest: p’ = ai⋅q + r (ai nächste Nachkommastelle)
(c) Neuer Zähler: r p’
(d) Weiter mit (a)
Def: Die Folge der Quotienten zum Bruch p/q durch den Algorithmus nennt man die
Systembruchschreibweise von p/q zur Basis b oder die
b-adische Zahldarstellung von p/q.
Bez.: a = anan-1an-2...a2a1a0 , a-1a-2a-3...
anan-1an-2...a2a1a0 heißen Vorkommastellen, a-1a-2a-3... Nachkommastellen
Bsp.: 75/16 = 4 + 11/16 = 10,23(4) = 1⋅ 4 1 + 0⋅ 4 0 + 2⋅ 4 -1 + 3⋅ 4 -2 + 0⋅ 4 -3 + 0⋅ 4 -4 + .....
10,23(4) = 4,3204...(5) = 4,4043(6) = 4,4545...(7)
Satz: Jede Systembruchentwicklung ist periodisch.
Begründung: Bei der Nachkomma-Entwicklung (oben) können nur q verschiedene Reste auftreten.
Spätestens nach q Schritten im Nachkomma-Bereich muss sich deshalb eine Wiederholung einstellen.
Def: Eine Systembruchentwicklung heißt je nach den Resten bei der Nachkomma-Entwicklung
- abbrechend, wenn der Rest 0 auftritt (und sich dann immer wiederholt)
- rein periodisch, wenn schon der erste Rest (später) wieder auftritt,
- gemischt periodisch mit einer Vorperiode der Länge n, wenn zunächst n verschiedene Reste
auftreten, die später nicht mehr vorkommen.
Satz: Eine b-adische Zahldarstellung des vollständig gekürzten Bruches p/q
a) ist genau dann abbrechend (nach n Kommastellen), wenn q ein Teiler von b n ist (n minimal)
b) ist genau dann rein periodisch, wenn q und b teilerfremd sind
c) hat genau dann eine Vorperiode der Länge n,
wenn q = r ⋅ s mit r ≠ 1 und s ≠ 1. Dabei ist r ist teilerfremd zu b und s | b n (n ist minimal)
Bsp.: Die Systembruchentwicklung von 1/12 ist
- im 6-System abbrechend (2 Kommastellen)
- im 7-System rein periodisch
- im 8-System gemischt periodisch (Vorperiode Länge 1)
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