Studienfuehrer Mathematik (PDF, 950,1 KB) - Institut für Mathematik ...

7 Forschungs- und
Studienschwerpunkte
Die Mathematik wird – wie alle Wissenschaften – in feiner
unterteilte Gebiete gegliedert. In diesem Abschnitt werden
die im Institut für Mathematik vertretenen Forschungs–
und Studienschwerpunkte vorgestellt. Sie werden durch eine
nicht fest organisierte Gruppe von Mathematikerinnen
und Mathematikern mit ähnlichem Fachinteresse vertreten,
welche die Aufgabe haben, die Lehre auf ihrem Gebiet langfristig
zu planen.
Die vorwiegend anwendungsnahe Forschung am Institut fr
Mathematik orientiert sich inhaltlich an den Ausrichtungen
der vier bestehenden Arbeitsgruppen:
- Diskrete und Algorithmische Mathematik
(einschließlich Algebra)
- Geometrie und Mathematische Physik
- Modellierung, Numerik, Differentialgleichungen
- Stochastik und Finanzmathematik
Die folgenden Beschreibungen der Forschungsschwerpunkte
sind als einführende Informationen gedacht und erheben
keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
In der Regel findet zum Semesterende eine ” Einführung in
die Vertiefungsrichtungen“ statt. Dort stellen die jeweiligen
Dozentinnen und Dozenten ihre Fachgebiete vor, erläutern
aktuelle Vorlesungszyklen und geben Aufschluss über die
Voraussetzungen für eine Abschlussarbeit in ihrem Gebiet.
Die meisten der in diesem Kapitel angegebenen vertiefenden
Vorlesungen werden unregelmäßig angeboten. Vor der Planung
der Vertiefungsrichtung sollten daher die entsprechenden
Dozenten und Dozentinnen zu jeweiligen Möglichkeiten
befragt werden.
7.1 Diskrete und Algorithmische Mathematik
(einschließlich Algebra)
Prof. Dr. S. Felsner,
Prof. Dr. M. Grötschel,
Prof. Dr. R. Möhring,
Prof. Dr. M. E. Pohst,
Prof. Dr. M. Skutella
Fachbeschreibung
Die Diskrete Mathematik hat sich aus klassischen Gebieten
wie Kombinatorik, Graphentheorie und Logik unter Einbeziehung
des algorithmischen Standpunktes zu einer Disziplin
entwickelt, die Aspekte der Grundlagen und der angewandten
Wissenschaften vereint. Im Grundlagenbereich
gibt es reiche Wechselwirkungen mit Algebra, Geometrie
und Topologie. Als angewandte Teilgebiete seien genannt:
Kombinatorische Optimierung, Berechenbarkeit und Komplexitätstheorie,
Graphen- und Netzwerkalgorithmen, Algorithmische
Geometrie und Robotik, Kodierungstheorie und
Datensicherheit, Algorithmische Zahlentheorie und Computeralgebra.
In all diesen Gebieten ist die Diskrete Mathematik
Fundament und Wegbereiter für Anwendungen.
Viele Fragestellungen der Informatik führen zu Problemen
der Diskreten Mathematik, und umgekehrt führen neue Methoden
der Diskreten Mathematik zu schnellen Algorithmen
und Verfahren, die ihren unmittelbaren Niederschlag
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in Anwendungen der Informatik, der Ingenieur- und anderer
Wissenschaften finden. Genannt seien hier insbesondere:
Telekommunikation, Verkehr, Logistik, Produktionsplanung,
Robotik, Entwurf hochintegrierter Schaltkreise, Computergraphik,
Kodierungsverfahren und Mustererkennung.
Forschungsgebiete
Kombinatorische Optimierung und Algorithmische
Graphentheorie
Bei der Kombinatorischen Optimierung geht es darum, aus
einer Menge von endlich vielen Alternativen eine optimale
bzw. möglichst gute auszuwählen. Typische Anwendungen
sind etwa Verkehrs- und Tourenplanung (Umlaufplanung
von Bussen, Straßenbahnen und U-Bahnen im öffentlichen
Nahverkehr, Fahrereinsatzplanung, innerbetriebliche Logistik,
Bestimmung kürzester Verbindungswege), Konstruktion
von Verbindungsnetzwerken (Auslegung kostengünstiger
und ausfallsicherer Telefonnetze, Layoutplanung und Verdrahtung
bei VLSI-Chips, Entwurf “guter” Verkehrsnetze),
Reihenfolgeplanung (Fertigungsplanung in Betrieben, Planung
großer Bauprojekte, Ausführung von Jobs in einem
Rechnerbetriebssystem) und viele andere mehr.
Charakteristisch für solche Probleme ist, dass die Menge
der Alternativen zu groß ist, um einfach durch vollständige
Enumeration die beste Lösung zu finden. Um in vertretbarer
Zeit (auf den verfügbaren Rechnern) eine akzeptable
Lösung finden zu können, muss man also Einsichten in die
kombinatorische Struktur des Problems haben und diese für
den Entwurf von Lösungsalgorithmen nutzen. Sehr oft lassen
sich solche Probleme durch Graphen bzw. Netzwerke
modellieren, so dass ein sehr großer Teil der Kombinatorischen
Optimierung Beziehungen zur algorithmischen Graphentheorie
hat. Ziel der Forschung in diesem Gebiet ist
einerseits die grundlagenorientierte Untersuchung geeigneter
abstrakter Probleme, die typische, in den Anwendungen
auftretende Charakteristika modellieren, sowie andererseits
die Anwendung der hieraus gewonnenen Erkenntnisse.
Hierzu werden im Hauptstudium die Studienschwerpunkte:
– ” Algorithmische Diskrete Mathematik“ (Mathematik,
Techno- und Wirtschaftsmathematik)
– sowie, in Kombination mit der Numerik, ” Optimierung“
(nur Techno- und Wirtschaftsmathematik)
angeboten.
Diskrete Strukturen Das Gebiet Diskrete Strukturen
steht für kombinatorische Untersuchungen von meist endlichen
Objekten, zum Beispiel von Permutationen, Graphen
oder Mengensystemen. Die Fülle der leicht verständlichen
Fragen und überraschenden Methoden zu ihrer Beantwortung
tragen viel zur Faszination dieser Disziplin bei. Zusätzliche
Motivation für das Gebiet folgt aus der Tatsache, dass
die hier untersuchten Objekte als Modelle in verschiedensten
Anwendungsproblemen genutzt werden.
Ihre historischen Wurzeln hat diese mathematische Disziplin
in sporadischen Beiträgen unterschiedlichster Art. Während
sich die Graphentheorie zunächst hauptsächlich an Fragen
der Kombinatorischen Topologie (z. B. dem Vierfarbenproblem)
entfaltete und Abzähltheorie sich aus Problemen
der Analysis entwickelte, ist die aktuelle Entwicklung stark
durch Fragen aus Geometrie, Optimierung, Informatik und