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Diese beiden Schlüssel bilden dadurch, daß sie in einer gewissen mathematischen
Beziehung zueinander stehen, ein Schlüsselpaar. Mit dem öffentlichen Schlüssel
eines Empfängers können Nachrichten verschlüsselt werden, die anschließend
nur mit dessen privatem Schlüssel wieder entziffert werden können.
Ein Public-Key-Kryptoverfahren basiert auf einem schwierigen (das heißt
für praktische Zwecke nicht lösbaren) mathematischen Problem, das es unmöglich
macht, den privaten Schlüssel aus dem öffentlichen Schlüssel zu berechnen, obwohl
die Beziehung der beiden zueinander allgemein bekannt ist (sonst wäre
es nicht als Schlüsselpaar zu verwenden). So wird es möglich, den öffentlichen
Schlüssel völlig frei zu verteilen, ohne daß dadurch eine Gefahr für den geheimen
Schlüssel (der weiterhin verborgen bleiben muß) entsteht.
Man kann sich die Verwendung asymmetrischer Kryptographie wie einen
Hausbriefkasten vorstellen [CKLW00, S. 8]: Jedermann, der im Besitz des öffentlichen
Schlüssels ist, kann einen Brief hineinwerfen. Aber nur der Empfänger
als Besitzer des privaten Schlüssels kann den Briefkasten öffnen und den Brief
wieder herausnehmen.
Neben dem vereinfachten Schlüsselmanagement bieten asymmetrische kryptographische
Verfahren auch die Möglichkeit digitaler Signaturen. Hierbei erzeugt
der Absender für das zu signierende Dokument mithilfe seines privaten
Schlüssels eine Signatur, die fortan von jedem unter Verwendung des öffentlichen
Absenderschlüssels überprüft werden kann.
Die bekannteste konkrete Umsetzung von Diffies und Hellmans Idee ist das
nach seinen Erfindern Ronald Rivest, Fiat Shamir und Leonard Adleman benannte
RSA-Verfahren [RSA78], das wir in Abschnitt 3.3 erläutern wollen. Fast
überall wo heute asymmetrische Kryptographie zum Einsatz kommt handelt es
sich um RSA.
3.2 Modellierung von Key-Sharing
Das wichtigste Einsatzgebiet von Secret-Sharing ist die sichere Verwahrung und
Verwendung von privaten Schlüsseln eines Public-Key-Kryptosystems. Durch
simple Secret-Sharing-Verfahren kann ein solcher Schlüssel sicher auf mehrere
Teilhaber aufgeteilt und von diesen verwahrt werden. Soll der Schlüssel allerdings
eingesetzt werden (zum Beispiel um eine digitale Signatur zu leisten), so
muß er an einem Ort rekonstruiert werden, wodurch er wieder sehr angreifbar
wird. Die Idee des Key-Sharings ist es, die Teilhaber in die Lage zu versetzen,
die kryptographischen Operationen mit ihren Teilschlüsseln auszuführen, so daß
die Ergebnisse anschließend kombiniert werden können. Dabei behalten sie die
Kontrolle über ihre Teilschlüssel, die sie nicht offenbaren müssen.
Das Shamir-Verfahren und homomorphe Funktionen Eine kryptographische
Operation (etwa eine Entschlüsselung oder Signatur) ist eine Funktion
g(x, k), deren Ergebnis von einer Eingabe x (beispielsweise der Nachricht) und
einem Schlüssel k abhängt. Viele Kryptosysteme haben die Eigenschaft, daß
diese Funktion homomorph ist, also
g(x, k1 + k2) = g(x, k1) ∗ g(x, k2)
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