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gemeinsam s = m d (mod N) zu berechnen, bestimmt jeder Teilnehmer i ∈ Λ
seinen Anteil
si = m diλi,Λ (mod N)
mit
und es ergibt sich
λi,Λ = �
l∈Λ\{i}
l
l − i
s = �
si = m d
i∈Λ
(mod (p − 1)(q − 1))
(mod N).
Diese Vorgehensweise scheitert allerdings an der Berechnung der Interpolationskoeffizienten
λi,Λ, da hierzu Invertierungen von l − i modulo (p − 1)(q − 1)
notwendig sind, die Primzahlen p und q jedoch niemandem bekannt sein dürfen,
da darauf die Sicherheit des RSA-Schlüssels beruht (des weiteren sind auch nicht
alle l−i invertierbar, beispielsweise sind es sämtliche geraden Differenzen nicht).
Schlüsselerzeugung Das Problem läßt sich jedoch durch geeignete Modifikationen
des Polynoms beheben [FGPY97, MSY00]. Durch die Hinzunahme
von hinreichend großen Faktoren können die Berechnungen der Koeffizienten
durch normale Ganzzahldivisionen geleistet werden, so daß Invertierungen in
der Exponentengruppe unbekannter Ordnung nicht notwendig sind.
Der Faktor, durch den anschließend alle Teilexponenten ohne Rest dividierbar
sein müssen, hängt von der Anzahl n der Teilnehmer ab: Sei
L = (n − 1)!.
Wenn die di Vielfache von L sind, dann können die Berechnungen
diλi,Λ = di
�
l∈Λ\{i}
l
l − i
über den ganzen Zahlen erfolgen (in der ursprünglichen Arbeit [FGPY97] wurde
der Faktor L = n! gewählt, es genügt aber auch das kleinere L = (n − 1)!
[MSY00]). Um dies zu erreichen, müssen alle Koeffizienten des Polynoms Vielfache
von L sein, inklusive des geheim zu haltenden Achsenabschnittes a0, der
folglich nicht direkt dem Exponenten d entsprechen kann (da dieser nicht unbedingt
ein Vielfaches von L sein muß). Daher bestimmen wir ein modifiziertes
Geheimis a0, aus dem sich der Exponent d zurückgewinnen läßt. Sei zunächst
H = ggT(e, L 2 ).
Weil e invertierbar ist modulo (p−1)(q −1), ist auch H invertierbar. Außerdem
ist H ein Teiler von L2 und es existieren keine gemeinsamen Teiler von e und
L2 H . Mithilfe des erweiterten Euklidschen Algorithmus können wir Faktoren P
und s berechnen, für die gilt
eP + L2
s = 1.
H
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