Mathematik für Informatiker 2 - an der Fakultät für Mathematik ...

19.1 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 51
Funktionsvorschriften gibt). In diesem Fall spricht man, wenn sie existieren, vom
linksseitigen Grenzwert bzw. vom rechtsseitigen Grenzwert. Schreibweise:
lim f(x) bzw. lim
x→x0− x→x0+ f(x).
Der Grenzwert existiert genau dann, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert (existieren
und) gleich sind.
Aus den Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Folgen (vergleiche Abschnitt
” Folgen“ in Band 1) ergeben sich die analogen Regeln für das Rechnen mit
Grenzwerten von Funktionen:
Satz 19.2 (Rechenregeln für Grenzwerte) Sind f und g Funktionen mit
limx→x0 f(x) = a und limx→x0 g(x) = b, so gilt:
lim c · f(x)
x→x0
= c · a für ein beliebiges c ∈ R
lim (f(x) ± g(x))
x→x0
= a ± b
lim f(x) · g(x)
x→x0
= a · b
f(x)
lim
x→x0 g(x)
a
= , falls b �= 0
b
Beispiel 19.3 Grenzwert einer Funktion
Wie verhalten sich die Funktionswerte für x gegen x0?
a) f(x) = 2x + 1, x0 = 3.
b)
f(x) =
� 1
2 x2 + 1, x < 2
−x + 5 , x > 2 , und x0 = 2.
Lösung zu 19.3
a) Sei xn eine beliebige Folge, die gegen 3 konvergiert. Dann ist f(xn) = 2xn+1 nach
den Rechenregeln für konvergente Folgen eine konvergente Folge mit Grenzwert
limn→∞ f(xn) = 2 · 3 + 1 = 7. Somit ist der Grenzwert der Funktion nach
Definition 19.1
lim (2x + 1) = 7.
x→3
Dieses Beispiel ist natürlich nicht besonders aufregend, weil die Funktion an
der Stelle x0 = 3 definiert ist und die Funktionswerte sich für x gegen 3 dem
Funktionswert f(3) = 7 nähern, so wie man es sich von einer braven“ Funkti-
”
on erwartet (etwas professioneller werden wir später solche Funktionen stetig“
”
nennen).
b) Links von x0 = 2 ist f(x) = 1
2x2 + 1 (eine Parabel), rechts von x0 = 2 ist
f(x) = −x + 5 (eine Gerade). Wenn sich x von links an x0 = 2 annähert,
erhalten wir den linksseitigen Grenzwert:
lim f(x) = lim
x→2− x→2− (1
2 x2 + 1) = 1
2 22 + 1 = 3.