Mathematik für Informatiker 2 - an der Fakultät für Mathematik ...

19.2 Die Ableitung einer Funktion 59
Wenn t als Zeit interpretiert wird, so schreibt man meistens ˙ f(t) anstelle von f ′ (t) bzw. df
. Wenn
dt
zum Beispiel s(t) den zurückgelegten Weg eines Fahrzeuges zum Zeitpunkt t beschreibt, so ist ˙s(t)
die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.
Die Schreibweise df
geht auf den deutschen Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm
dx
Leibniz (1646–1716) und die Schreibweise ˙ f auf den englischen Physiker und Mathematiker Isaac
Newton (1643–1727) zurück. Leibniz und Newton haben die Grundlagen der Differentialrechnung
etwa zur gleichen Zeit, aber unabhängig voneinander, gelegt.
Beispiel 19.16 Differenzierbare Funktionen
Wo sind die folgenden Funktionen differenzierbar?
a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = |x| c) f(x) = sign(x)
Lösung zu 19.16
a) Wir müssen untersuchen, für welche x0 des Definitionsbereiches der Grenzwert
f ′ (x0) existiert. Für eine beliebige Stelle x0 ist
f ′ (2x + 1) − (2x0 + 1) 2(x − x0)
(x0) = lim
= lim
= 2.
x→x0 x − x0
x→x0 x − x0
Die Funktion f(x) ist also überall differenzierbar (x0 war ja eine beliebige Stelle)
und ihre Ableitung ist überall gleich 2. Die gleiche Rechnung zeigt allgemein,
dass die Funktion f(x) = k x + d überall differenzierbar ist und dass f ′ (x) = k
gilt.
b) Für x0 �= 0 ist die Funktion
�
−x, x < 0
f(x) = |x| =
x, x ≥ 0
differenzierbar (analog wie a)):
f ′ (x0) =
� −1, x0 < 0
1, x0 > 0 .
An der Stelle x0 = 0 ist sie aber nicht differenzierbar, denn der Grenzwert der
Sekantensteigungen durch Punkte rechts von x0 = 0 ist 1, der Grenzwert von
links ist hingegen −1.
Denn der linksseitige Grenzwert ist
und der rechtsseitige ist
f(x) − f(0) −x − 0
lim
= lim = −1,
x→0− x − 0 x→0− x − 0
f(x) − f(0) x − 0
lim
= lim = 1.
x→0+ x − 0 x→0+ x − 0
Am Knickpunkt ist die Funktion also nicht differenzierbar.
c) (Vergleiche Beispiel 19.4 a).) Interessant ist wieder nur x0 = 0 (an allen anderen
Stellen x0 �= 0 ist die Funktion differenzierbar mit Ableitung f ′ (x0) = 0). Bei
x0 = 0 besitzt die Funktion keine Ableitung. Denn für Punkte rechts von x0 = 0
ist der Grenzwert der Sekantensteigungen gleich 0. Und für Punkte links von x0 =
0 wachsen die zugehörigen Sekantensteigungen über alle Grenzen (im Grenzwert
wäre die Tangente, wenn man von links kommt, senkrecht).