Mathematik für Informatiker 2 - an der Fakultät für Mathematik ...

19.1 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 55
S
lim L(t) =
t→∞ 1 − (1 − S = S.
) · 0 P0
Wenn eine Funktion sowohl einen Funktionswert f(x0) als auch einen Grenzwert für
x → x0 besitzt, dann wünschen wir uns natürlich, dass die beiden übereinstimmen.
Anschaulich bedeutet das, dass kleine Abweichungen des Arguments von x0 auch
nur kleine Abweichungen der Funktionswerte von f(x0) nach sich ziehen.
Mit anderen Worten: Wenn die x in der Nähe von x0 bleiben, so bleiben die f(x) in der Nähe von
f(x0): ” Kleine Fehler im Input bewirken kleine Fehler im Output“.
Diese Eigenschaft einer Funktion hat einen eigenen Namen:
Definition 19.8 Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle x0, wenn der Grenzwert
limx→x0 f(x) existiert und gleich f(x0) ist. Das heißt, dass für jede Folge xn
mit xn → x0
lim
n→∞ f(xn) = f( lim
n→∞ xn) = f(x0)
gilt. Ist die Funktion f an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches D stetig, so sagt
man, f ist stetig (auf D).
Bei stetigen Funktionen können also Grenzwerte ins Argument hineingezogen werden.
Die Menge der auf D definierten stetigen Funktionen wird mit C(D) oder auch
C 0 (D) bezeichnet ( ” stetig“ heißt auf Englisch continuous).
Beispiel 19.9 Stetigkeit
Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit:
a) f(x) = 2x + 1 b) f(x) = |x| c) f(x) = sign(x)
Lösung zu 19.9
a) Für jede beliebige Stelle x0 ∈ R gilt: limx→x0(2x + 1) = 2x0 + 1 = f(x0). Also
ist f stetig (auf R).
b) Für jedes x0 ∈ R gilt: limx→x0 |x| = |x0|, daher ist die Funktion stetig.
c) Die Funktion sign(x) ist stetig an jeder Stelle x0 �= 0. Für x0 = 0 existiert aber
kein Grenzwert, sign(x) ist hier also auch nicht stetig. �
Grob gesagt ist eine Funktion stetig, wenn man ihren Graphen zeichnen kann, ohne
den Stift abzusetzen. Ein Knick schadet der Stetigkeit also nicht, ein Sprung bedeutet
aber eine Unstetigkeitsstelle!
Insbesondere muss der Funktionsgraph einer stetigen Funktion auf dem Weg von
f(a) nach f(b) jeden Wert, der zwischen diesen beiden liegt, annehmen. Das sagt
der
Satz 19.10 (Zwischenwertsatz) Ist eine Funktion f im Intervall [a, b] stetig, so
nimmt sie jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.
�