Mathematik für Informatiker 2 - an der Fakultät für Mathematik ...

2. a) limx→∞ 5x2 −9x
2x 2 −3
b) limx→−∞ 4x2 +5x−7
2x 3 −1
= limx→∞
5− 9
x
2− 3
x 2
= limx→−∞
= 5
2 .
4
x
5 7 +
x2 −
x3 2− 1
x3 c) limx→0+ 4x3 −7x
2x 5 −3x 2 = limx→0+ −7+4x2
x(−3+2x 3 )
= ∞.
= 0
2 = 0.
19.6 Übungen 75
3. a) Es gilt limx→0+ f(x) = limx→0+(x 2 +1) = 1 und limx→0− f(x) = limx→0− 1 =
1. Da rechts- und linksseitiger Grenzwert gleich sind, ist f(x) an x = 0 stetig.
b) Es gilt limx→0+ f(x) = limx→0+ 5e −x = 5 und limx→0− f(x) = limx→0−(−x+
1) = 0 + 1 = 1. Also sind rechts- und linksseitiger Grenzwert nicht gleich. Damit
ist f(x) an x = 0 nicht stetig.
4. a) Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig, wenn der Funktionswert f(0)
gleich dem Grenzwert limx→0 f(x) ist. Wir berechnen c aus der Bedingung,
dass an der Stelle 0 gelten muss: linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert
(= Funktionswert): Es ist limx→0+ f(x) = limx→0+(x + c) = c und
limx→0− f(x) = limx→0−(3e x ) = 3. Also muss c = 3 sein.
b) Wir berechnen c aus der Bedingung, dass an der Stelle 0 gelten muss:
linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert (= Funktionswert): es ist
limx→0+ f(x) = limx→0+(x 2 + c) = c und limx→0− f(x) = limx→0−(x + 1) = 1.
Also muss c = 1 sein.
5. Mit der Quotientenregel erhalten wir tan ′ (x) = sin′ (x) cos(x)−sin(x) cos ′ (x)
cos(x) 2 +sin(x) 2
cos(x) 2 = 1
cos(x) 2 .
6. a) f ′ (x) = ex (cos(x) − sin(x)) b) f ′ (x) = 3
1
2 (3x)− 2
c) f ′ (x) = 2(x − 1) − 1
x 2
e) f ′ (x) = −3x4 +15x 2 +4
(x 3 +4x) 2
7. Wir wenden die Kettenregel an: a) x
√ x 2 −1
cos(x) 2
d) f ′ (x) = 4ex√x + 2 ex √ − x 2
x3 f) f ′ (x) = − ln(x)(3x2 +7)+x 2 +7
(x3 +7x) 2
c) −3e−3x+4 8. Die Tangente an der Stelle 0 ist t(x) = x. Diese Gerade hat die Steigung 1 und
schließt somit mit der x-Achse den Winkel von π
4 ein.
9. a) f ′ (x) = a cos(a x + b) b) f ′ (t) = a t
b
e− b
b) 7
7x+12
10. Die Funktion R(t) = f(g(t)) ist eine Verkettung der Funktionen f(t) = et und
g(t) = −( t
T )b . Mit der Kettenregel folgt wegen f ′ (t) = et und g ′ (t) = − b t
T ( T )b−1 ,
dass R ′ (t) = f ′ (g(t))g ′ t −( (t) = e T )b(−
b t
T ( T )b−1 ). Also gilt λ(t) = b t
T ( T )b−1 .
11. Es gilt cosh ′ (x) = 1
2 (ex ) ′ + 1
2 (e−x ) ′ = 1
2ex − 1
2e−x = sinh(x). Analog sinh ′ (x) =
1
2 (ex ) ′ − 1
2 (e−x ) ′ = 1
2ex + 1
2e−x = cosh(x).
12. Wir verwenden de l’Hospital:
a) limx→0 ex−1 1−1 =
b) limx→1
x
2 ln(x)
x−1
c) limx→0 cos(x)−1
x
d) limx→0 1+x−ex
x 2
0
= 0
0
= 0
0
0 = 0 , daher folgt: limx→0 ex−1 x
, daher folgt: limx→1 2 ln(x)
x−1
= 0
0
, daher folgt: limx→0 cos(x)−1
x
ex
= limx→0
= limx→1
2 1
x
1
= limx→0
1
= 2 1
1
1
= e0
1
− sin(x)
1
= 2.
= 1.
= 0
1
, daher folgt (zweimal de l’Hospital): limx→0 1+x−ex
x 2
=
= 0.
=
limx→0 1−ex
−ex −1
2x = limx→0 2 = 2 .
13. a) f ′′ (x) = (x cos(x) + sin(x)) ′ = 2 cos(x) − x sin(x), b) f ′′ (x) = (3x2 + 1
x )′ =
6x − 1
x 2 , c) f ′′ (x) = (−2x sin(x 2 )) ′ = −4x 2 cos(x 2 ) − 2 sin(x 2 ).
14. a) sin(y), b) 1, c) 2x + y.
(Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben finden Sie in Abschnitt B.19)