Mathematik für Informatiker 2 - an der Fakultät für Mathematik ...

19.1 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 53
b) Abbildung 19.3 zeigt, dass f(x) für x gegen x0 = 0 immer stärker oszilliert. Wir
vermuten deshalb, dass für x gegen 0 gar kein Grenzwert existiert. Wählen wir
zum Beispiel die Nullfolge xn = 1
nπ . Hätte die Funktion für x gegen 0 einen
Grenzwert, so müsste die Folge f(xn) gegen diesen Grenzwert konvergieren. Die
Werte f(xn) = cos(nπ) = (−1) n springen aber immer zwischen −1 und 1 hin
und her. Von einem Grenzwert der Funktion für x gegen 0 kann also keine Rede
sein.
c) Für x gegen 0 (egal, ob von links oder von rechts) wachsen die Funktionswerte
über jede Schranke (siehe Abbildung 19.3):
1
lim = +∞.
x→0 x2 d) Abbildung 19.3 zeigt, dass das Verhalten links und rechts von 0 unterschiedlich
ist: Für x gegen 0+ wachsen die Funktionswerte über jede Schranke, für x gegen
0− fallen sie unter jede Schranke. Also:
1
0.5
-1 -0.5
-0.5
0.5 1
-1
1
1
lim = +∞ bzw. lim = −∞.
x→0+ x x→0− x
1
0.5
-0.4 -0.2
-0.5
0.2 0.4
-1
100
50
-1 -0.5 0.5 1
20
10
-1 -0.5
-10
-20
0.5 1
Abbildung 19.3. Die Funktionen sign(x), cos( 1 1
), x x2 , 1
aus Beispiel 19.4
x
Bisher haben wir mit der Stelle x0, der wir uns nähern, immer irgendeine reelle Zahl
gemeint. Oft interessiert man sich für das Verhalten einer Funktion für x → +∞
bzw. x → −∞, das so genannte asymptotische Verhalten.
Beispiel 19.5 Asymptotisches Verhalten
Wie verhalten sich die Funktionen
a) f(x) = 1
3x+1
x für x → ±∞, b) f(x) = 4x−2
Lösung zu 19.5
a) Für eine beliebige Folge xn → ∞ gilt
lim
n→∞ f(xn) = lim
n→∞
Also ist limx→∞( 1
1
x ) = 0. Analog ist limx→−∞(
x
für x → ±∞?
) = 0.
b) In Abbildung 19.4 sehen wir, dass sich die Funktionswerte für x → ±∞ immer
mehr dem Wert 3
4 nähern. Diesen Grenzwert finden wir rechnerisch mithilfe
einer einfachen Umformung (analog zur Vorgehensweise bei Folgen, vergleichen
Sie Abschnitt Folgen“ in Band 1). Wir dividieren dazu Zähler und Nenner von
”
f(x) durch die höchste vorkommende Potenz von x (das ändert ja nichts an der
1
xn
= 0.
�