Problemsamling

Crystal Structure (CS)
1. A crystal is assumed to consist of close packed spheres. Calculate the
maximum part of the available volume, which can be filled with spheres
in:
(a) a simple cubic structure (sc),
(b) a body centered cubic structure (bcc),
(c) a face centered cubic structure (fcc)
2. The crystal structure of iron is bcc at temperatures below 910 K and fcc
above. Calculate the ratio of the densities of the two structures under the
assumption that the atoms can be considered to be close packed spheres
the diameters of which are the same in both structures.
3. One can place interstitial atoms between the normal crystal atoms in the
close packed cubic crystal structure (fcc). There are two types of interstitial
site in this structure. State where these two interstitial sites are and calculate
the maximum radius that each foreign atom occupying these interstices can
have.
4. The density of bcc iron is 7900 kg/m 3 . Determine the lattice parameter
of the cubic unit cell.
5. Calculate the maximum radius that an interstitial atom can have in the
bcc lattice if the atoms are considered to be spheres in contact with their
nearest neighbours.
1

Lattice Dynamics (LD)
1. The Debye temperature of diamond is 2000 K, its density is 3500 kgm -3
and the interatomic spacing is 0.15 nm. Calculate the velocity of sound
in diamond. Make an estimate of the dominant phonon wavelength at
300 K and the frequency of lattice vibration to which this corresponds.
The Free Electron Model (FEM)
1. Calculate the Fermi energy EF for Na, Li and Al with the help of suitable
information from a handbook. The normal valences can be assumed.
2. In a measurement of the resistance of a copper wire, the voltage was
measured to be 1.7 mV when the current was 0.5 A. The wire has a cross
sectional area of 1 mm 2 and is 20 cm long (between the voltage contacts).
Determine the average mean free path for a conduction electron if one
takes a valence of one for copper.
3. Determine the order of magnitude of the electric field strength that is
required to bring about a field induced "shift" Δk of the Fermi surface for
copper, that is equivalent to 1% of the wavevector kF.
Use the free electron model with a valence of one and the relaxation time
for copper at room temperature. What value of the current density is valid
for the field estimated?
4. Let the electrical conductivity be given by σ = ne 2 τ/m. What temperature -
coefficient should we expect to find for the resistivity of copper in the
interval 0 to 100 ˚C if the relaxation time is assumed to be independent of
temperature? Discuss the result in comparison with the experimental value
for the temperature coefficient.
2

5. The value of the electron contribution Cel = γT to the heat capacity and
the lattice constant for the three alkali metals Na, K and Rb is given
below.
Na K Rb
γ [J/kmol K 2 ] 1.38 2.08 2.41
a [Å] 4.225 5.225 5.585
With the aid of a suitable diagram, calculate the effective
thermal mass of the three metals.
6. Consider a two-dimensional free electron gas with a density N/A in a
quadratic lattice with lattice constant a. Derive an expression for the density
of states.
7. An aluminium wire is 0.5 m long and has a cross sectional surface area of
1.00 mm 2 . A voltage of 13.5 mV is required to drive a current of 1.0 A
between the ends of the wire. Determine the relaxation time using the free
electron model and the average mean free path for the electrons in
aluminium, as well as their drift velocity in this case. Aluminium is a
trivalent metal.
8. What is the separation between neighbouring levels at the Fermi surface
for (a) 10 cm 3 , (b) 10 µm 3 and (c) 100 Å 3 of Al particles in the free electron
model?
9. Let an imaginary two dimensional metal crystallise in a simple quadratic
lattice and assume that the free electron model is applicable.
(a) Show that the kinetic energy of the electron is twice the size when
it lies at the corner of the first Brillouin zone as it is when in the
middle of the zone boundary.
3

(b) What is the corresponding factor for a simple cubic lattice in three
dimensions?
(c) What is implied by the fact that the Brillouin zone can be associated
with different energies?
10. The Fermi energy of copper at 0 K is 7 eV. Calculate the mean energy of
the conduction electrons and their root mean square velocity.
11 Calculate the electronic specific heat of a mole of copper at 300 K. At what
low temperature are the electronic and lattice specific heats of copper equal
to one another?
12. The Hall coefficient of Al is 1.02 10 -10 Vm/AT. How many electrons per
atom take part in electrical conduction?
Semiconductors (Se)
1. Calculate the position of the intrinsic Fermi level in InP at room
temperature when the bandgap is Eg = 1.26 eV. Where does the Fermi
level lie at T = 0 K if Eg is assumed to be temperature independent?
(me = 0.073 m and mh = 0.2 m.)
2. A measurement of the voltage drop U across an InSb sample was made as a
function of temperature, T, with a constant current to determine its
bandgap and the measured values below were obtained. The whole time,
the sample was in the temperature interval for intrinsic conduction.
T [K] 237.7 245.5 255.5 268.1 275.7 283.7 290.6
U [mV] 6.817 5.862 4.821 3.827 3.358 2.910 2.610
4

Calculate the band gap under the assumption that the variation in the
conductivity is partly caused by the increase in the density of charge
carriers and partly arises from the mobility, µ, of the charge carriers being
temperature dependent because of the thermal vibrations of the atoms.
Assume that µ ∝ T -3/2 in the relevant temperature interval.
3. Determine the maximum concentration (atomic fraction) of donor atoms
that can be allowed in the substances in the table below for intrinsic
conduction to dominate at room temperature. Is it possible to realise this
practically in any of these cases?
Substance Bandgap [eV] Density [kg/m 3 ]
Diamond 5.33 3.51 x 10 3
Silicon 1.14 2.42 x 10 3
Germanium 0.62 5.35 x 10 3
4. A silicon crystal is doped with Sb atoms to a concentration of 10 21 m -3 .
The impurity level lies 0.04 eV from the nearest band edge. Assume that
the band gap at 450 K is Eg = 1.14 eV. Calculate the conductivity at T = 450
K. Approximate the effective masses with the free electron mass and
assume that all impurity centres are ionised at room temperature. The
mobilities are: µe = 0.13 m 2 /Vs and µ h = 0.05 m 2 /Vs.
5. Calculate the concentration of electrons and holes in a p-type
semiconductor if the conductivity σ = 10 (Ωm) -1 , the mobilities are µ h =
0.2 m 2 /Vs and µe = 0.4 m 2 /Vs and the concentration of intrinsic carriers
is ni = 2.2 x 10 19 m -3 .
6. A silicon crystal is doped with 5 x 10 20 As atoms/m 3 . The donor level
lies 0.05 eV from the edge of the conduction band, and the band gap is
5

1.14 eV. Calculate the position of the Fermi level at 200 K and the
number of unionised As atoms. me = m h = m.
7. A sample of silicon contains 10 -4 atomic percent of phosphorous donors
which are all singly ionized at room temperature. The electron mobility
is 0.15 m 2 /Vs. Calculate the extrinsic resistivity of the sample.
8. A sample of n-type Ge contains 10 23 ionized donors per cubic meter.
Estimate the ratio at room temperature of the resistivity of this material
to that of high-purity intrinsic germanium.
The p-n junction (PN)
1. Estimate the ratio of the forward and the reverse biased currents in a p-n
junction diode when the applied voltage is 0.5 V.
2. A current of 5 µA flows through a simple p-n junction diode at room
temperature when it is reverse biased with 0.15 eV. Calculate the current
flow when it is forward biased with the same voltage.
3. In a certain p-n junction at room temperature, the maximum current
obtained on reverse bias was 10 µA. What current would be expected to
pass through the junction if a forward bias of 0.1 V were applied?
4. Derive an expression for the differential resistance of a p-n junction. How
does it vary with temperature when the junction is forward-biased with a
certain voltage greater than 4kT/e? Would this device be of any value as a
practical thermometer?
6

Superconductors (Su)
1. Determine how great a current strength a long straight superconducting
tin wire can tolerate without becoming normal at 2 K. The diameter of
the wire is 1 mm.
2. The critical field BC(T) for superconducting tin is determined in a laboratory,
that is, the external magnetic field at which the metal goes normal is
determined as a function of temperature. The following values were found:
T [K] 3.72 3.37 3.27 3.07 2.82 2.50 2.17 1.90 1.52
B C [Tx10 -4 ] 0 54.8 70.0 90.0 129 166 205 227 256
Calculate the value of the critical temperature and the critical field at 0 K
from these values.
7

Facit till fasta tillståndets fysik
Crystal Structure (SC):
1) a) 0.52 b) 0.68 c) 0.74
ρ fcc
2) =1.09
ρbcc 3) oktaedrisk: 0.147a tetraedrisk: 0.0794a
4) 2.86 Å
5)
3
€
4 a
Lattice Dynamic (LD):
1) 12000 m/s
Free Electron Model (FEM):
1) Na: 3.15 eV Li: 4.70 eV Al: 11.66 eV
2) 38 nm
3) 3.65*10 6 V/m 2.14*10 14 A/m 2
4) 8.4*10 -13 Ωm/K
5) a) Na: 1.25; K: 1.24; Rb: 1.26 b) γ=1.75 J/K 2 ,kmol
6) D(ε) = Am e
πh 2
7) 7.3*10 -15 s 15 nm 3.5*10 -5 m/s
8) a) 4.39*10 -24 eV b) 4.30*10 -12 eV c) 0.43 eV
10) 4.2 eV 1.2*10 6 m/s
11) 0.15 J/K 3.31 K
12) 3.45
Semiconductors (SE):
1) µ(300)=0.65 eV µ(0)=0.63 eV
2) 0.22 eV
3) Si: 6.9*10 15 m -3
Ge: 1.6*10 20 m -3
4) 20.8 (Ωm) -1
5) n=1.5*10 18 m -3
6) 0.96 eV 2.7*10 17 m -3
7) 8.41*10 -4 Ωm
8) 10 -3
The p-n Junction (PN):
1) 2.49*10 8
2) 2 mA
3) 47 mA
4) –
Superconductors (Su):
1) 55 A
2) 3.70 K; 30.8 mT
p=3.2*10 20 m -3
8
N d

Kärn- och partikelfysik
1. Härled tidsdilationsformeln, t = γ t′
, där Lorentzfaktornγ ges av
1
γ = .
2
v
1−
2
c
Formeln säger att tiden t för en händelse ter sig längre i ett referenssystem S
jämfört med tiden t' i händelsens vilosystem S', vilket rör sig med hastigheten
v i förhållande till S. Ledning: ljushastigheten c är konstant och oberoende av
referenssystem.
2. Åsa och Gabriel är 20 år. Åsa har just accepterat att åka med den nya
rymdfärjan Protos, som har en topphastighet på 0,99c, till himlens ljusstarkaste
stjärna Sirius. Hur gamla är de två efter att Åsa åkt fram och åter till Sirius som
är 8,7 ljusår från jorden?
3. Härled det relativistiskt korrekta sambandet mellan rörelsemängd p,
vilomassa m 0 och totala massan m = E / c 2 för en partikel i snabb rörelse bort
från oss.
4. En elektriskt laddad π-meson har vilomassan 139,6 MeV/c 2 och dess livstid är
τ = 26 ns (nanosekunder). Hur lång sträcka kan den färdas om dess hastighet är
0,99c? Vad är dess rörelseenergi E k och rörelsemängd p?
5. SPS (Super Proton Synchrotron) är en acceleratorring med 7 km omkrets i
vilken protoner accelereras till 400 GeV. Beräkna magnetiska fältstyrkan B i de
magneter som böjer protonerna. Magneterna antas vara mycket tätt packade
så att fältstyrkan approximativt kan antas vara lika stor längs hela periferin.
6. LHC (Large Hadron Collider) är CERNs nästa stora accelerator som
beräknas stå klar år 2005. LHC kommer att installeras i en existerande 27 km
lång tunnel. Magneter med supraledande lindningar kommer att användas.
Magneterna blir tätt packade och maximala magnetfältet kan anses vara 8 T
(axiellt riktat) längs hela periferin. Vilken är den tillgängliga energi i CMsystemet
(centre of mass system) som kan omvandlas till massa för en
frontalkollision mellan en proton och en antiproton respektive för en kollision
mellan en antiproton och en stillastående målproton?
7. Den atombomb som fälldes över Hiroshima hade en sprängkraft svarande
mot 15 miljoner kg trotyl. Bomben kallades Little Boy, vägde 4 ton och innehöll
50 kg klyvbart uran-235. Vid explosionen omvandlades 1 g massa till energi.
9

Hur mycket uran-235 ”klövs” i sprängningen? Man kan anse att Q-värdet, även
kallad massdefekten, är 184 MeV.
8. Vid Rutherfords upptäckt av protonen användes heliumkärnor (alfapartiklar)
från ett radioaktivt preparat (americium). Energin hos sådana alfapartiklar är
5,34 MeV. Reaktionen var:
4 He + 14 N → p + 17 O
1+ 2 → 3+ 4
I den fotografiska emulsion som användes sågs ett tunt spår efter protonen,
och detta bildade vinkeln θ3 =63º med avseende på alfaspåret. Det tjocka spåret
efter syreisotopen bildade € vinkeln θ4 =27º med alfaspåret. Beräkna protonens
massa med hjälp av vinklarna θ3 och θ4 samt massorna för de tre atomkärnorna
1, 2 och 4, som kan fås med hjälp av Physics Handbook.
9. Hur många elektroner bildas vid passagen av protoner med initialenergin 6
MeV genom en 100 mikrometer tjock Si-detektor? Det åtgår 3,6 eV för att ett
elektron-hålpar skall bildas. Använd range-energy relationerna i Physics
Handbook F-8.6.
10. Beräkna dos (gray) och dosekvivalent (sievert) efter förtäring av 1 liter
mjölk med 300 becquerel från cesium-137. Antag att radioaktivt cesium stannar
3 månader i kroppen (biologisk halveringstid). Den i kroppen (70 kg)
absorberade energin från varje sönderfall kan anses vara 720 keV.
11. Två protoner vars centra är två fermi från varandra attraheras av
kärnkraften och av gravitationskraften och repelleras från varandra av den
elektrostatiska kraften. Beräkna den gravitationella och den elektrostatiska
energin och jämför dessa energier med de 10 MeV som härrör från
kärnkraften.
12. (a) Vad är sannolikheten för att en gevärsskytt skall träffa en ballong med
en träffyta på 0,01 m 2 som slumpmässigt far omkring inuti en svart kub med 1
meters sida? (b) Antag att ovanstående kub fylls med heliumgas vid NTP.
Beräkna sannolikheten att en proton som då skjuts in i kuben skall träffa en
heliumkärna. Ledning: Betrakta protonen och heliumkärnan som hårda klot
med diameter 1 fm respektive 2 fm.
13. Protoner, fotoner och neutriner med energin 1 GeV har mycket olika
kollisionstvärsnitt. Antag att skjuter sådana partiklar mot ett järnmål. Hur
tjockt skall järnet i tänkta mål vara om 1 % sannolikhet skall fås för att
respektive partikel skall kollidera? Tvärsnitten för att protoner, fotoner och
neutriner ska kollidera med en proton eller neutron är ungefär 10 –30 m 2 , 10 –31
m 2 respektive 10 –42 m 2 .
10

€
14. En elektron och en antielektron med olika rörelsemängder kolliderar och
annihilerar varandra. Visa att om en enda foton bildas i kollisionen kan den inte
ensam bära rörelsemängden från båda elektronerna.
15. Bestäm det närmaste avståndet mellan kärnorna i en central kollision mellan
en α-partikel med kinetisk energi 6 MeV och en stillastående 107 Ag-kärna. Gör
samma sak för en 14 N-kärna. Är det rimligt att försumma målkärnans rekyl?
Om inte, ta med rekylen i beräkningen. Har α -partikeln tillräckligt med energi
för att komma inom räckvidden för silver- respektive kvävekärnans starka
kärnkraft?
16. Beräkna bindningsenergierna för 3 H, 3 He, 9 Be och 204 Hg.
17. Den relativa förekomsten av den naturligt radioaktiva isotopen av kalium,
40 −4
9
K, är 1,
2 ⋅ 10 . Halveringstiden för denna isotop är 1, 3⋅
10 år. Kalium är en
viktig beståndsdel av levande celler, och utgör ungefär 0,37 viktprocent av
människans kropp. Beräkna aktiviteten från kalium i en medelperson (ca. 70
kg).
6
18. Ett radioaktivt preparat har vid tiden t=0 aktiviteten 4 ⋅ 10 Bq. En
5
halvtimme senare har aktiviteten minskat till 2, 5 ⋅ 10 Bq. Vad är
halveringstiden för detta preparat?
−
19. Beräkna energin som frigörs i β -sönderfallet C→ N + e + ν e
14
14
.
20. En saltlösning som innehåller 300 kBq 24 Na injiceras i blodomloppet på en
patient. Tio timmar senare är aktiviteten av en kubikcentimeter blod 30Bq.
Beräkna patientens blodvolym.
30
8
21. Solens massa är 2, 0 ⋅10 kg och dess radie är 6, 96 ⋅10 m. Yttemperaturen är
5780 K. Beräkna hur många heliumkärnor som bildas per sekund i solens
kärna, samt totala och relativa massminskningen per år.
22. En konventionell cyklotron med 1,5 m diameter används för att accelerera
protoner till en energi av 15 MeV. Vad ska det magnetiska fältet ha för
flödestäthet (B) och frekvens?
23. Typiska fotomultiplikatorer (PM-rör) har en förstärkningsfaktor på 10 5 , dvs.
för varje elektron som avges av katoden kommer 10 5 elektroner att samlas upp
vid anoden. Antag att PM-röret kopplas till en högimpedansförstärkare med
11

ingångskapacitans 2 pF och förstärkning 10 4 . Hur stor spänningspuls får man
då, om 10 fotoner träffar fotokatoden, vars konversionseffektivitet är 8%?
24. Avgör vilka av följande sönderfall som är tillåtna. För dem som inte är
tillåtna, ange vilken/vilka bevarandelagar eller urvalsregler som inte uppfylls.
För dem som är tillåtna, ange vilken typ av fundamental växelverkan som
leder till sönderfallet.
−
(a) Λ → π + p
−
(b) Λ → K + p
0
(c) π
+ −
→ e + e + ν e + ν e
−
(d) n → p + e
(e) η → γ + γ
+ ν e
(f)
+
+
Δ → n + π
25. Tolka följande sönderfall i kvarkmodellen, dvs rita kvarkdiagram:
(a) π → µ + ν e
−
−
−
(b) n → p + e + ν e
(c)
* +
+
Σ → Λ + π
26. Vad är osäkerhetsvidden i följande partiklars massa?
(a) Λ (1116)
(b) η (549)
+
(c) Σ (1193)
−
(d) Ω
12

1. –
Facit till uppgifter i kärn- och partikelfysik
2. Åsa är 22,5 år och Gabriel är 37,6 år
3.
2 2 2 2 2
2 2 2
m c = p + m0
c eller E = p c +
4. 55,4 m, E k = 851 MeV, p = 981 MeV/c 2
5. B = 1,2 T
6. Kollision: 20,6 TeV, stillastående mål: 139 GeV
7.
24
3⋅ 10 kärnor av 235 U klövs
8. 937,6 MeV/c 2
9. 416 000 elektron-hålpar
10. Dosen är 3,8ìGy och den ekivalenta dosen 3,8ìSv
11. Gravitation:
12. (a) 1%, (b)
−37
− 6 ⋅10
MeV, Coulomb: +0,7 GeV
2 ⋅10
−4
13. protoner: 2 mm, fotoner: 2cm, neutriner: 200 000 mil
m
14. Visas genom att visa att om bara en foton bildas så bevaras inte energin om
man kräver att rörelsemängden bevaras, dvs. beräkna totala relativisktiska
energin före och efter så ser du att den blir olika.
15. 23,4 fm för 107 Ag och 4,32 fm för 14 N, om rekylen tas med i beräkningen.
Annars får man 22,5 fm resp. 3,4 fm. Rekylen kan alltså inte försummas. α -
partikeln kommer inom kärnkraftens räckvidd för 14 N men inte för 107 Ag.
16. 3 H: 8,48 MeV, 3 He: 7,72 MeV, 9 Be: 58,17 MeV, 204 Hg: 1609 MeV
17. 8 kBq om man tar kroppsvikten 70 kg
18. 7,5 minuter
19. 0,156 MeV
20. 6,3 liter
37
17
21. 9 ⋅ 10 per sekund, 1, 35⋅10
kg/år,
22. B = 0,75 T, f = 11 MHz
2
0
13
c
4
6,
75⋅10
−14

23. 64 V
24. a) svag, b) stark, c) svag, d) svag, e) elektromagnetisk, f) stark
25. –
26. a)
2,
5
−6
⋅10 eV, b) 1,1 keV c)
8,
2
−6
⋅10 eV d)
14
8
−6
⋅10 eV