Linköpings Universitet Hållfasthetslära, IKP Tore Dahlberg ...

Linköpings Universitet Hållfasthetslära, IKP
Tore Dahlberg
TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, TMMI09
EXAMINATION in Mechanical Vibrations and Fatigue
2004-03-12 kl 8-12
Examinator Tore Dahlberg, tel 28 1116
Tentamen Tentamen består av två delar:
Del 1, Utan hjälpmedel: Fyra st en-poängsfrågor som ska besvaras direkt
på tesen. Då Del 1 (fyra gula blad) lämnas in till vakten fås Del 2 ut.
Del 2: Med hjälpmedel. Problemdel bestående av 4 st
tre-poängsuppgifter.
The exam The examination is composed of two parts:
Part 1 (no literature allowed): Four questions (on four yellow pages)
should be answered directly on the yellow pages and handed in.
Part 2: When the yellow pages have been handed in, the course literature
is allowed, and the four problems can be solved.
Hjälpmedel T Dahlberg: Teknisk hållfasthetslära (3:e upplagan), Studentlitteratur,
för Del 2/ med tillhörande formelsamling (på svenska eller engelska, collection of
Literature formulas in English).
allowed at T Dahlberg: Komplement till läroboken: Kapitel 1, Chapter 8, and 9)
Part 2 B Sundström: Handbok och formelsamling i Hållfasthetslära, KTH,
Sthlm,
Tabeller: Tefyma, Mathematical Tables, ordböcker, dictionaries
Miniräknare i fickformat (med beräkningsdel och fönster i en enhet och
utan möjlighet att kommunicera med andra delar såsom bandspelare
och/eller skrivare).
Betyg/ För godkänd kurs krävs godkänd tentamen och godkänd laborationskurs.
Grading Följande betyg ges:
Betyg Poäng på tentamen
3 6-8
4 9-11
5 12-16
Lösningar/ Lösningar anslås på avdelningens anslagstavla (B-korridoren, ingång 15
Solutions och 17) efter skrivningens slut.
Solutions posted after the exam on the Solid Mechanics notice board
Resultat/ Rättningsprotokoll anslås på avdelningens anslagstavla senast 04-03-29.
Results Corrections finished by 2004-03-29.
Granskning/ Granskningstiden utgår 2004-05-30. Därefter läggs skrivningarna ut för
Inspection avhämtning.
Students may inspect their exams till 2004-05-30.
PS: Den här sidan behöver du inte lämna in. Behåll den för att minnas de datum som finns
angivna. / This page need not be handed in.

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP
Tore Dahlberg
LÖSNINGAR/SOLUTIONS
TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, 040312 kl 8-12
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
EXAMINATION in Mechanical Vibrations and Fatigue
March 12, 2004
1.
Ange sambanden mellan vinkelfrekvens ω, cyklisk frekvens f och
svängningstid (periodtid) T för en svängning.
English: Give the relationships between the angular frequency ω, the cyclic
frequency f and the period time T of a vibration.
Lösning:
ω=2πf and f = 1 T
2.
En massa M hänger i en fjäder med styvhet k. Vad blir egenvinkelfrekvensen
för systemet?
English: A mass M is hanging in a spring with spring stiffness (spring
constant) k. What is the (angular) eigenfrequency of this system?
Lösning/Solution:
ω e
= √⎺ k M
2

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP
Tore Dahlberg
TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, 040312 kl 8-12
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
NAMN ......................................................................
3.
Rita (skissa) ett Wöhler-diagram och förklara dess användning
English: Draw (sketch) a Wöhler diagram and explain how it is used.
Lösning/Solution:
spänning/stress
(MPa)
a
amplitude
log N
A Wöhler diagram is shown in the figure. The diagram gives a relation
between the loading stress amplitude and the expected fatigue life. In the
figure, a given stress amplitude σ ai gives the expected fatige life N i at that
loading.
4.
Ange Neubers hyperbel: skriv upp ekvationen och förklara de ingående
storheterna. Förklara även hur den används.
English: Give the Neuber hyperbola: write down the equation and explain the
different factors in it. Also, explain how it is used.
Lösning/Solution:
The Neuber hyperbola reads
ε⋅σ= K 2 2
f ⋅σ ∞
E
where ε and σ is strain and stress (at point of stress concentration), K f is the
fatigue notch factor (K t , the stress concentration factor, is sometimes used
here), and is the stress far away from the stress concentration).
The intersection of the Neuber hyperbola and the material relationship (for
example the Ramberg-Osgoods relation) gives the stress and the strain at the
point of stress concentration.
σ ∞
3

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP
Tore Dahlberg
TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, 040312 kl 8-12
DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel)
5. En massa M hängs upp i två fjädrar (styvhet
k
k 1 = k och k 2 =2k).
1
k1
(a) Bestäm egenvinkelfrekvensen för systemet
M
k om massan monteras enligt figur (a).
2
k2 M
(b) Vad blir egenvinkelfrekvensen om massan
(a)
(b) monteras enligt figur (b)?
English: 5. A mass M is mounted with two springs (stiffness k 1 = k and k 2 =
2k).
(a) Determine the (angular) eigenfrequency of the system if the mass is
mounted as shown in figure (a).
(b) What will the eigenfrequency be if the mass is mounted as in figure (b).
Lösning/Solution:
(a) The equation of motion of the mass is Mẍ =−F 1
− F 2
(a)
where
F 1
= k 1
x and F 2
= k 2
x
This gives
Mẍ +(k 1
+ k 2
)x = 0
which gives
(b) The equation of motion of the mass now becomes Mẍ =−F
For the two springs in series one obtains (same force F in the two springs)
Enter this into (b). It gives
and the eigenfrequency becomes
ω e
= √⎺ k M = √⎺⎺⎺
(k 1 + k 2 )
M
= √⎺3 √⎺ k M = 1.732 √⎺ k M
x = x 1
+ x 2
= F k 1
+ F k 2
giving k 1k 2
k 1 + k 2
x = F
Mẍ + k 1k 2
k 1 + k 2
x = 0
Thus, the eigenfrequency in case (b) goes down to approximately half the
eigenfrequency in case (a).
(b)
ω e
= √⎺⎺⎺k 1k 2
(k 1 + k 2 )M = √⎺ 2 3√⎺ k M = 0.816 √⎺ k M
4

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP /Tore Dahlberg
TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, 040312 kl 8-12
DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel)
EI
2 L/3
L/3
6. Linus klättrar upp för en stege som står lutad
mot ett hus. Han märker att han och stegen
svänger med en frekvens som minskar ju högre
upp på stegen han kommer. När han kommit
upp till en tredjedel av stegen vågar han inte gå
högre eftersom frekvensen blir för låg (och
amplituden för hög). Linus "väger" (d v s har
massan) M = 80 kg.
Linnea är modigare. Hon klättrar upp till mitten av stegen, där hon noterar att
hon och stegen svänger med den frekvens som Linus svängde med då han
klättrat upp till en tredjedel av stegens längd. Vad väger Linnea? Stegen har
längd L och böjstyvhet EI. Inget moment överförs vid stegens ändar.
English:
6. Linus climbs a ladder that is raised towards a building. He notices that the
the ladder (with him on) vibrates with a frequency that gets lower the higher
he comes on the ladder. Having reached one third of the ladder, he does not
dare to go higher because the frequency gets too low (and the amplitude too
high). Linus weights (has tha mass) M = 80 kg.
Linnea is more brave. She climbs up to the middle of the ladder. There she
notices that the ladder vibrates with the same frequency as Linus had when he
was at one third of the ladder. What is the weight (mass) of Linnea? The
ladder has length L, and bending stiffness EI. No moments are transmitted at
the ends of the ladder.
Lösning: In the first case, enter force F between the beam and the mass.
When mass M is situated at L /3 one obtains the deflection (use elementary
case for a simply supported beam)
which gives
giving
x = FL3
3EI
1 4
9 9
Mẍ =− 81
4
3EI
L 3
ω=ω e1
= 9 2√⎺⎺ 3EI
ML 3
x
5

In the second case, enter force F between the beam and the mass.
When mass m is situated at L /2 one obtains the
deflection
which gives
giving
But ω e1 =ω e2 gives
9
which gives
x = FL3
3EI
1 1
4 4
mẍ =−16 3EI
L 3
ω=ω e2
= 4 √⎺⎺3EI mL 3
2√⎺⎺ 3EI
ML 3 = 4 √⎺⎺ 3EI
mL 3
m = 64
81 M = 64 ⋅ 80 = 63.2 kg
81
x
6

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP
Tore Dahlberg
TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, 040312 kl 8-12
DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel)
7.
En stor plåt, belastad med en en-axlig spänning,
spänning/stress (MPa)
utsätts för en belastningssekvens enligt figur.
300
Denna sekvens upprepas. Materialet har en
Wöhlerkurva som ges av sambandet
200
σ a
=−55 logN + 430 (MPa)
100
där σ a är spänningsamplituden. Bestäm
förväntat antal sekvenser till utmattningsbrott.
0
Använd Palmgren-Miners delskadehypotes.
tid/time
Inverkan av spänningens medelvärde får
försummas.
English:
7. A large plate, loaded in uni-axial tension, is subjected to a load sequence
according to the figure. This sequence is repeated. The material has a Wöhler
curve given by the equation
σ a
=−55 logN + 430 (MPa)
where σ a is the stress amplitude. Determine the expected number of sequences
to fatigue failure. Use the Palmgren-Miner damage accumulation rule. The
influence of the stress mean value can be neglected.
Lösning:
Rain-flow count gives 1 cycle from 0 to 300 MPa, giving σ a = 150 MPa,
2 cycles between 50 and 250 MPa, giving σ a = 100 MPa, and
2 cycles between 100 and 250 MPa, giving σ a = 75 MPa.
These stress amplitudes give (from the Wöhler curve) N = 123 300, 1000000,
and 2 848 000 cycles, respectively
The Palmgren-Miner damage accumulation rule gives
1
D =
123 285 + 2
1 000 000 + 2
2 480 000 = 1
92 500
Thus, failure is expected after approximately 92 000 sequences (giving 460
000 cycles).
7

Tekniska Högskolan i Linköping, IKP
Tore Dahlberg
TENTAMEN i Mekaniska svängningar och utmattning, 040312 kl 8-12
DEL 2 - (Problemdel med hjälpmedel)
8.
spänning/stress (MPa)
250
töjning/
Diagrammet visar en stabiliserad hysteresslinga
för ett material utsatt för en cyklisk last.
Använd Morrows ekvation (med hänsyn tagen
till spänningens medelvärde) för att beräkna
- 0,0025
strain förväntat antal lastcykler (cykler, inte
0,003 lastväxlingar) till brott.
Materialdata: E = 200 GPa, ν = 0,3, σ U = σ B =
- 330
700 MPa, Ψ = 0,65, σ’ f = 900 MPa, ε’ f = 0,26,
b = −0,095, och c = −0,47.
English: 8. The diagram shows a stabilized hysteresis loop for a material
subjected to cyclic loading.
Using the Morrow relationship, determine the expected number of loading
cycles (full cycles, not reversals) to fatigue failure.
Material properties: E = 200 GPa, ν = 0.3, σ U = 700 MPa, Ψ = 0.65, σ’ f = 900
MPa, ε’ f = 0.26, b = −0.095, and c = −0.47.
Lösning/Solution:
The diagram gives the strain range ∆ε = 0,0055, giving strain amplitude ε a =
0,00275. The stress mean value is σ m = (250 + ( −330)) /2 = −40 MPa. Thus,
according to Morrow, one obtains
ε a
= ⎛ σ’ f −σ m ⎞
⎜ ⎟ ⎝ E ⎠ ⋅(2N)b +ε’ f
⋅(2N) c
giving
0, 00275 = ⎛ 900 −(−40) ⎞
⎜ ⎟
⎝ 200 000 ⎠ ⋅(2N)− 0,095 + 0, 26 ⋅(2N) − 0,47
Solving for N gives N = 49 000 cycles (2N is load reversals to failure).
8