Prediktering av tändpuls med hjälp av finita elementmetoden

DEPARTMENT OF MANAGEMENT AND ENGINEERING
Prediktering av tändpuls med hjälp av
finita elementmetoden
Prediction of a piezoelectric impulse with use of
FE-analysis
Master Thesis carried out at Solid Mechanics
Linköping University
February 2007
Kenneth Sjöqvist
LIU-IEI-TEK-A--07/0055--SE
Institute of Technology, Department of Management and Engineering,
SE-581 83 Linköping, Sweden

Avdelning, institution
Division, Department
Div of Solid Mechanics
Dept of Management and Engineering
SE-581 83 LINKÖPING
Datum
Date
2007-02-20
Språk
Language
x
Svenska/Swedish
Engelska/English
________________
Rapporttyp
Report category
x
Licentiatavhandling
Examensarbete
C-uppsats
D-uppsats
Övrig rapport
_____________
ISBN
ISRN
_________________________________________________________________
Serietitel och serienummer
Title of series, numbering
LIU-IEI-TEK-A--07/0055--SE
URL för elektronisk version
Titel
Title
Författare
Author
Prediktering av tändpuls med hjälp av finita elementmetoden
Prediction of a piezoelectric impulse with use of FE-analysis
Kenneth Sjöqvist
Sammanfattning
Abstract
Denna rapport utreder möjligheten att med finita elementmetoden prediktera den tändpuls som
aktiverar detonationssekvensen för olika amunitionstyper. Arbetet är avgränsad till den testmetod
som används för att jämföra piezoelektriska keramer inom Saab Bofors Dynamics. Denna utförs
genom att en kula släpps på en anslagskropp där en piezoelektrisk kristall är fastspänd, den
elektriska spänningen som därigenom genereras mäts därefter med ett oscilloscop. En modell av
denna testmetod skapas och valideras genom jämförelser med den praktiska provningen.
Simuleringen utförs med hjälp av programvaran Ansys. Genom sekventiella explicita- och
implicita beräkningar kan goda resultat erhållas vid prediktering av den elektriska spänning som
genereras.
Nyckelord: Finita elementmetoden, simulering, piezoelektrisk, keram, Ansys, impuls
Keyword

Sammanfattning
Rapporten utreder huruvida det är möjligt att med hjälp av Ansys prediktera en elektrisk
spänning genererad av en piezoelektrisk keram. Keramen är en del i den
detonationskedja som används i flera typer av ammunition som utvecklas av Saab
Bofors Dynamics AB. Metoden för denna analys har utvärderats genom att använda 2-
dimensionenlla, axiellt symmetriska modeller av det praktiska prov som används för att
validera lösningsmetoden. Provet går till så att en kula släpps från en bestämd höjd för
att sedan träffa en anslagsyta. Stötvågen leds sedan genom strukturen och belastar en
piezoelektrisk keram som i sin tur genererar en elektrisk spänning. När spänningen når
en bestämd nivå aktiveras tändkretsen. Fallhöjden varierades mellan 10 mm-370 mm
och spänningen mättes med ett oscilloskop.
Metoderna inkluderade implicita och explicita beräkningar med finit elementmetod.
Den piezoelektriska analysen gjordes med en implicit beräkning, men i vissa fall
krävdes en explicit beräkning för att klara av den strukturellt komplicerade situation
som uppstår vid ett granatanslag. Detta löstes genom att utföra analysen sekventiellt,
genom explicita beräkningar som sedan följdes av implicita.
Testresultaten visar att predikteringen stämmer väl överens med de uppmätta resultaten.
Det är endast för de minst belastande fallen som beräkningen ger ett icke acceptabelt
resultat. Felet reduceras snabbt med ökad fallhöjd och ligger under tio procent för
huvuddelen av försöken. Beräkningar med linjärt elastiska materialmodeller krävde en
extra kapacitans påkopplad för att amplituden på voltkurvan skulle ge bra resultat. Med
denna externa kapacitans på 1.2 nF, vilket gav en total kapacitans på 2.3 nF, fås en
mycket bra överensstämmelse amplitudmässigt. Däremot skiljer sig karaktären på
kurvan kraftigt, då den beräknade voltkurvan har ett mycket snabbare förlopp. I de fall
där implicita beräkningar utfördes med plasticerande materialmodeller låg felet under
tio procent från och med en fallhöjd på 50 mm och uppåt. För den sekventiella analysen
låg felet under tio procent från en fallhöjd på 150 mm och uppåt.

Abstract
This report investigates whether it is possible to predict the electrical voltage a
piezoelectric ceramic generates when it’s stressed. This ceramic device is used in
several different types of ammunitions developed by Saab Bofors Dynamics Eskilstuna.
The piezoelectric ceramic disk generates a voltage witch sets of the detonation sequence
at impact to the target. The method used is the finite element method and the software
Ansys 10.0.
2-dimensional models have been used to simulate a drop test where a ball is dropped
onto rigid surface, in which the piezoelectric ceramic disc is clamped. The shockwave
from the impact is transmitted through the structure and the voltage is measured with an
oscilloscope. The ball is dropped from different heights ranging from 10 mm to 360
mm. Two different methods to solve the problems have been used, implicit and explicit.
A sequential approach needed to first solve the structural problem explicitly, and then
calculate the electrical output with an implicit solver.
The results show that it is possible to predict the voltage output from the piezoelectric
ceramic disc. The difference between calculated and measured voltage drops rapidly
when the height from which the ball is released increases. The difference stabilises
within 10 percents at heights above 50 mm in a pure implicit calculation and above 150
mm in the sequential calculations. The reason why the result differs between the pure
implicit and sequential simulation might depend on how well the model is meshed. If a
pure elastic calculation is made it is necessary to apply an external capacitance of 1.2 nF
over the ceramic disc to achieve good results. To achieve the same period of the voltage
impulse material models with plastic hardening are required.

Innehållsförteckning
1 Inledning ................................................................................................................. 1
1.1 Bakgrund .......................................................................................................... 1
1.2 Problembeskrivning.......................................................................................... 1
1.3 Målsättning ....................................................................................................... 2
2 Litteraturstudie ........................................................................................................ 3
2.1 Piezoelektriska keramer.................................................................................... 3
2.1.1 De piezoelektriska konstanterna............................................................... 4
2.2 Piezoelektrisk analys med Finita Element Metoden i Ansys ........................... 7
2.2.1 Hantering av piezoelektrisk materialdata i Ansys .................................. 11
2.2.2 Element för piezoelektrisk analys .......................................................... 15
2.2.3 Övriga viktiga punkter............................................................................ 16
3 Praktisk provning .................................................................................................. 17
3.1 Praktiskt kultest, ”Testfall 1” ......................................................................... 18
3.1.1 Testutförandet......................................................................................... 18
3.1.2 Resultat ................................................................................................... 19
3.2 Praktiskt kultest, ”Testfall 2” ......................................................................... 20
3.2.1 Testutförande.......................................................................................... 20
3.2.2 Kontroll av mätutrustningens påverkan.................................................. 21
3.2.3 Resultat ................................................................................................... 22
4 Finit elementanalys i Ansys .................................................................................. 25
4.1 Kontaktanalys ................................................................................................. 25
4.1.1 Resultat ................................................................................................... 27
4.1.2 Slutsats Kontaktanalys............................................................................ 29
4.2 Simulering av ”Testfall 1” med Ansys........................................................... 29
4.2.1 Geometri ................................................................................................. 29
4.2.2 Materialdata............................................................................................ 30
4.2.3 Element och elementnät.......................................................................... 32
4.2.4 Randvillkor och kontakter ...................................................................... 32
4.2.5 Övriga inställningar för simuleringen..................................................... 35
4.2.6 Resultat ................................................................................................... 36
4.3 Simulering av ”Testfall 2”.............................................................................. 39
4.3.1 Geometri ................................................................................................. 39

4.3.2 Materialdata............................................................................................ 39
4.3.3 Element och elementnät.......................................................................... 40
4.3.4 Randvillkor och kontakter ...................................................................... 41
4.3.5 Övriga inställningar för simuleringen..................................................... 43
4.3.6 Resultat ................................................................................................... 43
4.4 Sekventiell explicit-implicit analys av ”Testfall 2”........................................ 46
4.4.1 Explicit analys ........................................................................................ 47
4.4.2 Implicit analys ........................................................................................ 49
4.4.3 Resultat ................................................................................................... 50
5 Diskussion och slutsats ......................................................................................... 53
6 Rekommendationer ............................................................................................... 55
7 Referenser ............................................................................................................. 57
Bilagor ............................................................................................................................... I
[Bilaga 1] Resultat från analys av ”Testfall 1” ............................................................. I
[Bilaga 2] Resultat från implicit analys av ”Testfall 2”............................................. III
[Bilaga 3] Resultat från sekventiell analys av ”Testfall 2”........................................ IX
[Bilaga 4] Ritningar av modeller .............................................................................XIII
[Bilaga 5] Makro för att hämta nodförskjutningar.................................................XVII
[Bilaga 6] Makro för att applicera nodförskjutningar............................................. XIX

Figurförteckning
Figur 2.1: (a) Kristallen är elektrisk neutral. (b) Kristallen är deformerad men behåller
sin neutralitet. (c) Kristallen deformeras och blir polär, dvs. elektriskt laddad [2].......... 3
Figur 2.2: a) Opolariserad keram. b) Keramens bipolära partiklar polariseras under
inverkan av ett elektriskt fält. c) Det elektriska fältet tas bort och de bipolära partiklarna
fixeras permanent i sina positioner................................................................................... 4
Figur 2.3: Figuren illustrerar hur riktningarna är definierade av tillverkarna. ................. 5
Figur 3.1: Modell över anordningen för ”Testfall 1” ..................................................... 18
Figur 3.2: Elektrisk spänning genererad för ”Testfall 1” ............................................... 19
Figur 3.3: Spänningens beroende på höjd ...................................................................... 19
Figur 3.4: Testutrustning ”Testfall 2” ............................................................................ 20
Figur 3.5: Plaströr med kulan vilande på en tunn plåtbit som hastigt rycks undan så
kulan faller fritt............................................................................................................... 21
Figur 3.6: Spänning/tid kurvor för ”Testfall 2”.............................................................. 22
Figur 3.7: Spänningsamplitudens beroende på höjden................................................... 22
Figur 3.8: Uppmätt elektrisk spänning vid 19mm’s fallhöjd.......................................... 22
Figur 3.9: Maximala amplitudens beroende på höjden .................................................. 23
Figur 4.1: Penetrationen varierar kraftigt mellan de olika kontaktalgoritmerna ............ 27
Figur 4.2: Till följd av att penetrationen minskar fås högre kontakttryck emellan kulan
och anslagskroppen ........................................................................................................ 28
Figur 4.3: Amplituden på den elektriska spänningen påverkas av valet av kontakt ...... 28
Figur 4.4: Liten modell av ”Testfall 1” .......................................................................... 29
Figur 4.5: Stor modell av ”Testfall 1” ............................................................................ 30
Figur4.9: Kontakten mot underlaget simuleras genom ett förskjutningsvillkor i y-
riktningen........................................................................................................................ 34
Figur 4.10: Keramen jordas genom att randvillkoret för spänningen längs den övre
randen på keramen sätst till noll. I den nedre randen kopplas potentialen..................... 35
Figur 4.12: Bara kontakter av typen ”bonded” medför stora svängningar..................... 37
Figur 4.13: Grafen visar hur plastbrickans elasticitetsmodul påverkar karaktären på
kurvan ............................................................................................................................. 37
Figur 4.14: Dämpning kan få starten och avslutet att mer efterlikna mätkurvan. .......... 38
Figur 4.15: Grafen visar resultatet för hur de antagna värdena påverkar resultatet samt
hur en reducering av alla elasticitetsmoduler påverkar resultatet................................... 38
Figur 4.16: 2D-modell av ”Testfall 2” ........................................................................... 39
Figur 4.17: En tät mesh används för att återge kontakten mellan kula och anslagskropp
........................................................................................................................................ 41

Figur 4.18: Den piezoelektriska keramen placerad mellan den övre och undre cylindern
........................................................................................................................................ 42
Figur 4.19: Korrelationen visar att spänningen har ett linjärt beroende av kapacitansen43
Figur 4.20: Fel på maximal amplitud vid elastiska beräkningar .................................... 44
Figur 4.22: Beräknad kurva har kortare varaktighet även på högre höjder.................... 44
Figur 4.23:Elektrisk spänning vid 10mm’s fallhöjd....................................................... 45
Figur 4.24: Elektrisk spänning vid 210mm’s fallhöjd.................................................... 45
Figur 4.25: Konvergensproblem vid implicit analys...................................................... 45
Figur 4.26: Procentuellt fel på amplituden ..................................................................... 46
Figur 4.27: Explicit modell............................................................................................. 47
Figur 4.28: Implicit modell............................................................................................. 47
Figur 4.29: De delar som ska ingå i den implicita beräkningen..................................... 48
Figur 4.30: Förfinad mesh vid kontakten mellan kula och anslagskropp....................... 48
Figur 4.31: Modell och villkor för den implicita delen av den sekventiella analysen ... 50
Figur 4.32: Spänningskurvan från den sekventiella lösningen får ett kraftigt rassel på
låga höjder som här då fallhöjden är 10 mm .................................................................. 51
Figur 4.33: Genom att exkludera masströgheten minskas rasslet .................................. 51
Figur 4.35: Förändring av amplitud när meshen förfinas............................................... 52

Tabellförteckning
Tabell 4.1: Anslagshastighet för de olika fallhöjderna................................................... 35
Tabell 4.2: Anslagshastighet för ”Testfall 2” ................................................................. 42
Tabell 3: Tabell över felet i den elastiska simuleringen av ”Testfall 2” ........................ 44
Tabell 4: Tabell över det procentuella felet vid lösning med plasticerande material för
”Testfall 2” ..................................................................................................................... 46
Tabell 5: Tabell över det procentuella felet vid sekventiell lösning för ”Testfall 2” ..... 51

1 Inledning
Inledningen är tänkt att ge lite bakgrund om företaget och dess verksamhet samt e varför
denna utredning behövs.
1.1
Bakgrund
Saab Bofors Dynamics AB (SBD) är ett företag som utvecklar och producerar
försvarssystem. Deras huvudområden är kompletta missilsystem samt understödsvapen
för kortare distanser. Utvecklingen av understödsvapen sker huvudsakligen i Eskilstuna.
Bland produkterna finns flera olika sorters ammunition som har ett tändsystem vilket
aktiveras vid en granats anslag i målet. Idag finns ingen beräkningsmodell där utseendet
på tändpulsen kan predikteras medelst finita element metoden (FEM). I och med att
beräkningsmodellen saknas sker utvecklingen idag genom s.k. ”trial and error”.
Innebörden av detta är att testerna utförs sent i projektet och vid problem blir det
mycket kostsamt och tidskrävande att modifiera tändkedjan. Datorsimuleringen skulle
resultera i att eventuella problem upptäcks i ett tidigare skede och kan åtgärdas, med
både kostnads- och tidsbesparing som följd.
1.2
Problembeskrivning
Det ställs många krav på när och hur en granat ska detonera. Granaten ska till exempel
detonera vid olika anslagsvinklar samtidigt som grenar och mindre föremål som kan
komma i dess bana inte skall initiera granaten. Det är därför ytterst viktigt att stötvågen
och den elektriska spänningen kan kontrolleras. Stötvågens utbredning påverkas både av
granatstrukturen samt materialet. Den resulterande spänningen från den piezoelektriska
keramen beror dels på impulsens amplitud samt hur amplituden varierar över tiden.
Den vid anslaget genererade stötvågen leds genom granatens struktur. Strukturen är
konstruerad så att stötvågen leds vidare till en piezoelektrisk keram. När stötvågen
träffar denna genereras en elektrisk spänning som via en elektronikkrets omvandlas till
en tändpuls i form av en spänningsspik. Denna spänningsspik initierar tändkedjan i
granaten.
En beräkningsmodell som kan hantera detta förlopp skulle avsevärt korta ner
utvecklingstiden och därmed kostnaderna. Problemet består i att utreda hur FEM klarar
av att simulera en sådan process.
1

1.3 Målsättning
Denna utredning har undersökt möjligheterna att använda FEM och programvaran
Ansys 10.0 för att skapa en beräkningsmodell där utseendet på granaters tändpuls kan
analyseras. Målet är att med hjälp av FEM kunna prediktera tändpulsen som genereras
genom att en piezoelektrisk keram belastas av stötvågen från granatens anslag mot
målet. Robustheten i modellen är viktig och valideringen har skett genom jämförelser
med praktiska prov.
Det första steget till att få en fungerande modell är att använda enklare 2D-modeller,
vilka har valideras genom praktiska tester. Ett delmål var att genom implicita
beräkningar kontrollera att det är möjligt att med en direkt metod att generera dessa
spänningskurvor som erhålls vid den praktiska provningen.
Granatanslag sker under ett snabbt förlopp och innebär att hela nosen på granaten
deformeras, varför det måste vara möjligt att med hjälp av både explicita och implicita
beräkningar kunna utföra någon form av sekventiell lösning. Detta innebär att resultaten
från en explicit beräkning används som belastning i en implicit beräkning. I den
implicita analysen kan sedan den piezoelektriska beräkningen genomföras. Eftersom
denna elektriska spänning är en del i detonationskedjan är det viktig att
spänningskurvan stämmer överens med de praktiska proverna, både i amplitud och i
stigtid.
2

2 Litteraturstudie
Syftet med denna studie är att få en förståelse över hur en piezoelektrisk keram fungerar
och hur Ansys använder finita elementmetoden för att utföra piezoelektriska analyser.
2.1 Piezoelektriska keramer
En piezoelektrisk keram omvandlar mekaniskt arbetet vid deformation till elektrisk
spänning eller vice versa. Piezoelektricitet uppkommer i kristaller/keramer som saknar
ett symmetricentrum. De innehåller positiva och negativa laddningar separerade men
symmetriskt utspridda så att den är elektriskt neutral. Vid deformation av kristallen
förstörs symmetrin och en spänning genereras. Sambandet mellan pålagd kraft och den
elektriska responsen beror dels på det piezoelektriska materialets egenskaper, dess
storlek och form samt på riktningen på den mekaniska eller elektriska belastningen.
Piezoelektriska keramer är nämligen inte piezoelektriska i alla riktningar, se Erik [1].
Figur 2.1: (a) Kristallen är elektrisk neutral. (b) Kristallen är deformerad men behåller
sin neutralitet. (c) Kristallen deformeras och blir polär, dvs. elektriskt laddad [2].
Piezoelektriska keramer får sina egenskaper genom en polarisering. Detta går till så att
den sintrade keramen utsätts för ett kraftigt elektriskt fält som får de laddade partiklarna
att polarisera. Detta utförs strax under Curie-temperaturen, som är den temperatur där
keramen förlorar sina piezoelektriska egenskaper. När sedan det elektriska fältet tas bort
låses de bipolära partiklarna ungerfärligt i de positioner som de fått under påverkan av
det elektriska fältet. Denna process gör materialet något längre i den riktning som det
elektriska fältet var pålagt och deformationen blir permanent, vilket ger det dess
anisotropiska egenskaper, se figur 2.2, [2].
3

Figur 2.2: a) Opolariserad keram. b) Keramens bipolära partiklar polariseras under
inverkan av ett elektriskt fält. c) Det elektriska fältet tas bort och de bipolära
partiklarna fixeras permanent i sina positioner.
2.1.1 De piezoelektriska konstanterna
För att förstå hur piezoelektriska material fungerar är det bra att först känna till
egenskaperna hos dielektriska (isolerande) material. De dielektriska materialen
definieras av följande ekvationer, se James [3]:
där
C = kapacitans [F]
A = area på kapacitansens yta [m 2 ]
ε r
=
ε
ε 0
=
ε
rε
A εA
(1)
0
C = =
t t
Q = CV
(2)
relativ dielektrisk konstant, (relativ permitivitet)
ε 0 = dielektrisk konstant för luft, permitivitet [F/m]
ε = dielektrisk konstant, permitivitet [F/m]
V = elektrisk spänning [V]
t = tjocklek på isolator eller avstånd mellan de laddade plattorna [m]
Q = laddning [C]
Den elektriska förskjutningen, D (laddningsdensitet), beskriver hur laddningarna
förskjuts vilket medför polarisation och bestäms genom följande samband:
D =
Q
A
εV
=
A
[ C
2 ]
m
(3)
4

Ett elektriskt fält, E, definieras av:
V
E =
t
[ V ]
m
Med hjälp av ekvationerna (3) och (4) kan den elektriska förskjutningen, D, nu skrivas
med hjälp av permitiviteten och det elektriska fältet enligt:
(4)
D = εE
(5)
När piezoelektriska keramer blir polariserade får de anisotropa egenskaper. Av denna
anledning måste både det elektriska fältet och den elektriska förskjutningen skrivas som
3-dimensionella vektorer, dvs.:
D
i
= ε E
(6)
ij
j
För att definiera riktningar i ett piezoelektriskt element används 3 ortogonala axlar, (1),
(2) och (3) som är analoga med X, Y och Z. Z-axeln ligger parallellt med polariteten i
materialet. Skjuvningen definieras enligt 4=yz, 5=xz och 6=xy, [2].
Figur 2.3: Figuren illustrerar hur riktningarna är definierade av tillverkarna.
De piezoelektriska egenskapernas samband beskrivs via ett par olika koefficienter. De
med dubbla indexeringar länkar de elektriska egenskaperna till de mekaniska. Den
första indexeringen visar riktningen på det elektriska fält associerat till den elektriska
spänningen medan det andra indexet visar riktningen på den mekaniska spänningen eller
töjningen. Varje konstant har även ett exponentindex som beskriver under vilka
förhållanden konstanten är utvärderad. Dessa har följande betydelser:
T-konstant spänning (mekanisk)
E-konstant elektriskt fält
D-konstant elektrisk förskjutning (kortslutning)
S-konstant töjning
5

För att koppla den elektriska energin till den mekaniska används en så kallad
kopplingskonstant, k.
2 Erhållen elektrisk energi
(7)
k =
Pålagd mekanisk energi
2 Erhållen mekanisk förskjutning
(8)
k =
Tillförd elektrisk energi
Piezoelektriska material har två speciella egenskaper. Dels att den dielektriska
konstanten, ε r , varierar med den mekaniska lasten och elasticitetsmodulen, Y, varierar
med den elektriska lasten. Sambanden ser ut enligt följande två ekvationer.
ε − =
(9)
2
r, fri
( 1 k ) ε
r,
inspänd
2
Y (1− k ) =
(10)
öppen
Y kortsluten
Piezoelektriska keramer har en elastisk del där Hooke´s lag gäller, dvs. följande
ekvationer gäller:
där
σ = spänning [Pa]
λ = töjning
F = kraft [N]
A = area [m 2 ]
δ = förskjutning [m]
L = ursprunglig längd [m]
σ =
F
A
δ
λ =
L
(11)
(12)
Ovanstående ekvationer (ekv.11) och (ekv.12) medför att töjningen, λ, och spänningen,
σ, är proportionella, dvs.:
λ = S σ
(13)
där S ij är kompliansmatrisen, dvs. inversen på styvhetsmatrisen.
i
ij
j
När det piezoelektriska materialet utsätts för ett elektriskt fält genereras en töjning,
denna effekt är definierad enligt:
där
D
= σ
(14)
i
d ij
D i ≡ Elektrisk förskjutning (laddningsdensitet) [C/m 2 ]
j
6

d ij ≡ Piezoelektrisk laddningskonstant, som visar förhållandet mellan töjningen och det
pålagda elektriska fältet [C/N]
Den piezoelektriska ekvationen kan därför även skrivas på följande sätt:
D
i
σ
jλi
=
E
j
Genom att utnyttja (ekv.6) och (ekv.14) kan en ny piezoelektrisk storhet som definierar
förhållandet mellan det elektriska fältet och spänningen, erhållas i ekvation (16)
g
ij
d
ij
=
ε
ij
(15)
(16)
2.2 Piezoelektrisk analys med Finita Element Metoden i
Ansys
I Ansys version 10.0 finns fördefinierade piezoelektriska matriser och en lösningsmetod
som kan hantera relationen mellan strukturella och elektriska effekter. Dessa
beräkningar sker implicit och använder sig av lösningsgången som redovisas i detta
kapitel, [4].
Beräkningarna utgår ifrån följande två konstitutiva ekvationer:
{} T [ c]{ S} − [ e]{ E}
= (17)
T
{ D} [ e] + [ ε ]{ E}
= (18)
Dessa ekvationer är kopplade och kan därför skrivas i ett ekvationssystem
⎧
⎨
⎩
{} T
{ D}
⎫ ⎡
⎬ = ⎢
⎭ ⎣
[ c] [ e]
T
[] e − [] ε
⎤⎧
⎥⎨
⎦⎩−
{ S}
⎬ ⎫
{ E} ⎭
där
{T} = spänningsvektor
{D} = elektrisk förskjutning
{S} = töjningsvektor
{E} = elektriskt fält
[c] = elastisk materiell styvhetsmatris vid konstant elektriskt fält
[e] = piezoelektrisk spänningsmatris
[ε] = dielektrisk matris vid konstant töjning
(19)
7

Elasticitetsmatrisen, [c], ges av
[] c
⎡ c11
⎢
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎢symm.
⎢
⎢⎣
c
c
12
22
c
c
c
13
23
33
Den piezoelektriska spänningsmatrisen, [e], visar förhållandet mellan vektorn för det
elektriska fältet, {E} och spänningsvektorn {T}. Det första indexet står för
spänningsvektorns x-, y-, z-, xy-, yz- och xz-komponenter och det andra indexet står för
det elektriska fältets x-, y- och z-komponenter. Det är också möjligt att använda den
piezoelektriska töjningsmatrisen, [d], som då automatiskt skrivs om till den
piezoelektriska spänningsmatrisen i Ansys enligt ekvation (22).
⎡e
⎢
⎢
⎢⎣
e
11
c
c
c
c
14
24
34
44
[] e = M O M →
61
c
c
c
c
c
15
25
35
45
55
c
c
c
c
c
c
16
26
36
46
56
66
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
(20)
K e ⎤
(21)
13
⎥
⎥
L e ⎥
66 ⎦
[ ] [ c][ d]
e = (22)
Den dielektriska matrisen, [ε], beskriver den elektriska permitiviteten hos den
piezoelektriska keramen. I Ansys kan en ortogonalt anisotropt eller generellt anisotrop
matris användas.
Ortogonalt anisotropt
[] ε
[] ε
⎡ε
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
11
ε
0
22
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
ε ⎥
33 ⎦
Generellt anisotrop
⎡ ε11
ε12
ε13
⎤
=
⎢
⎥
⎢
ε
22
ε
23
⎥
⎢⎣
symm. ε ⎥
33 ⎦
(23)
(24)
Den dielektriska matrisen kan vara utvärderad vid antingen konstant spänning eller
konstant töjning, men i Ansys beräknas den med konstant spänning till konstant töjning
enligt:
Där
[ ε ] [ ] S = ε
T − [ e] T
[ d]
[ε S ] = permitiviteten vid konstant töjning
[ε T ] = permitiviteten vid konstant spänning
(25)
8

Vid diskretiseringen till finita element används lösningsvariabler för noderna och
formfunktioner för förskjutningarna i elementen för att approximera en lösning enligt:
där
u T
{ u } [ N ] {} u
c
= (26)
v T
{ v } [ N ] {} v
{u c } = förskjutningar i x-, y- och z-riktning
{v c } = elektrisk potential
c
= (27)
[N u ] = matris innehållande formfunktionen för förskjutningarna
[N v ] = matris innehållande formfunktionen för den elektriska potentialen
{u} = nodförskjutningar
{v} = potential vid noderna
Matriserna innehållande formfunktionerna ges av:
u
[ N ]
⎡N
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
1
0
N
0
1
0
0
N
1
v T
{ N } = { N N L N }
1
{} u { ux uy , uz , , ux , uy . uz }
L N
n
0 0 ⎤
(28)
L 0 N
⎥
n
0
⎥
L 0 0 N ⎥
n ⎦
2
1, 1 1
L
n
n
n
n
(29)
= (30)
{} v
⎧v1
⎫
⎪ ⎪
v2
= ⎨ ⎬
⎪ M ⎪
⎪
⎩v n
⎪
⎭
Index syftar till nodens numrering i elementet.
(31)
9

Töjningens, {S}, samband med förskjutningen {u} och det elektriska fältets, {E},
samband med potentialen {v} beskrivs av
där
och
[ ]
{} S [ B ]{ u}
= (32)
{ E} −[ B ]{ v}
u
= (33)
v
⎡∂
0 0 ⎤
(34)
⎢ ∂x
⎥
⎢ 0 ∂ 0 ⎥
⎢
∂y
⎥
⎢ 0 0 ∂ ⎥
B = ⎢
∂z
u
⎥
⎢
∂ ∂ 0
∂y
∂x
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 ∂ ∂
∂z
∂y⎥
⎢
⎥
⎢
∂ 0 ∂
⎣ ∂z
∂x
⎥⎦
v
[ B ] = { N } T
v
⎧∂
⎫
⎪ x⎪
⎨
∂ ∂
∂y⎬
⎪ ⎪
⎪
∂
⎩ ∂z
⎪⎭
Den dynamiska jämvikten för ett element ges slutligen av
⎡
⎢
⎣
[ M ] [ ]
[] 0 [] 0
{} u&&
{} v&&
u
[ C ] [] 0
v
[] 0 [ C ]
{ u&
}
{} v&
z
[ K] [ K ]
z T d
[ K ] [ K ]
{ u}
{} v
⎧{ F}
⎨ ⎬ ⎫
⎩{ L} ⎭
(35)
0 ⎤⎧
⎫ ⎡ ⎤⎧
⎫ ⎡
⎤⎧
⎫
(36)
⎥⎨
⎬ + ⎢ ⎥⎨
⎬ + ⎢
⎥⎨
⎬ =
⎦⎩
⎭ ⎣ ⎦⎩
⎭ ⎣
⎦⎩
⎭
Prickarna symboliserar deriveringar med avseende på tid.
I ekvation (36) är
[M] = massmatrisen
[C u ] = dämpningsmatris
T
u u
[ M ] = ∫ ρ[ N ][ N ] d(vol)
vol
Nm N e
u
⎡⎛
m ξ ⎞ ⎤
[ C ] = α[ M ] + ( β + β
c
)[ K] + ∑ ⎢⎜
β
j
+ β
j ⎟[ K
j
] ⎥ + ∑[ Ck
] + [ Cξ
]
där
⎣⎝
j= 1
k = 1
α = multiplikationskonstant för massmatrisen
β = multiplikationskonstant för styvhetsmatrisen
β c = multiplikationsvariabel för styvhetsmatrisen
N m = Antal material med dämpning
Ω = vinkelfrekvens
(37)
2 (38)
Ω ⎠ ⎦
10

K j = del av styvhetsmatris baserad på material j
N e = antal element med specificerad dämpning
C k = elementdämpningsmatris
C ξ = frekvensberoende dämpningsmatris
[C v ] = Dielektriska förluster
m
β
j = multiplikationskoefficient för styvhetsmatrisen gällande material j
ξ
β j = frekvensoberoende multiplikationskoefficient för styvhetsmatris gällande material
j
[K] = styvhetsmatris
[K d ] = dielektrisk konduktivitet
[K z ] = piezoelektrisk kopplingsmatris
T
[ K] ∫ [ Bu
] [ c][ Bu
] d(vol)
= (39)
vol
d
T
[ K ] −∫ [ Bv
] [ ][ Bu
] d(vol)
= ε (40)
vol
z
T
[ K ] ∫ [ Bu
] [ e][ Bv
] d(vol)
= (41)
vol
{F} = mekanisk last
{L} = elektrisk last
2.2.1 Hantering av piezoelektrisk materialdata i Ansys
De materialdata som behövs för en analys med en piezoelektrisk generator beskriver ett
anisotropt material och måste därför bestå av komponenter för olika riktningar. Det är
viktigt att tänka på att sättet som riktningarna är definierade på kan skilja mellan
tillverkarna och Ansys. Hur de skiljer sig och hur konvertering av riktningarna sker
redogörs för senare i detta kapitel.
För att sätta upp den dielektriska matrisen används den relativa permitiviteten.
Materialmodellen finns under ”electromagnetics” i menyn över materialmodellerna.
Denna kan anges på två sätt, ortotrop eller generell anisotrop. Om den anges ortotrop
måste den vara utvärderad under konstant töjning. Används den anisotropa
materialmodellen finns möjligheten att ange den endera med konstant töjning eller med
konstant elektriskt fält. De ser ut enligt ekvationerna (42) och (43), [4]:
11

[] ε
[] ε
⎡ε
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
Ortotrop
11
ε
0
22
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
ε ⎥
33 ⎦
Generellt anisotrop
⎡ ε11
ε12
ε13
⎤
=
⎢
⎥
⎢
ε
22
ε
23
⎥
⎢⎣
symm. ε ⎥
33 ⎦
Piezoelektriska laddningskonstanten, d, ska anges i den piezoelektriska töjningsmatrisen.
Denna hittas under ”piezoelectrics” i menyn för materialmodeller. Om
materialleverantören anger styvhetskoefficienter i stället för flexibilitetskomponenter
kan dessa anges i den piezoelektriska spänningsmatrisen. Den piezoelektriska
spänningsmatrisen [e] är:
[] e
⎡e
=
⎢
⎢
M
⎢⎣
e
11
61
(42)
(43)
K e ⎤
(44)
13
O M
⎥
⎥
L e ⎥
66 ⎦
Styvhetsmatrisen [c] alternativt kompliansmatrisen [s], som är inversen på
styvhetsmatrisen, assembleras enligt nedanstående matris. Piezokeramen är anisotrop
och materialmodellen finns under ”structural/linear/elastic/anisotropic” i menyn för
materialmodellerna.
[] c
⎡ c11
⎢
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎢symm.
⎢
⎢⎣
c
c
12
22
c
c
c
13
23
33
c
c
c
c
14
24
34
44
c
c
c
c
c
15
25
35
45
55
c
c
c
c
c
c
16
26
36
46
56
66
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
(45)
Densiteten, ρ, är den enda icke riktningsberoende parametern som behövs i den
piezoelektriska analysen. Denna finns direkt under ”structural” i menyn för
materialmodeller.
12

De materialdata erhållna från tillverkaren kan inte direkt föras in i de matriser som
Ansys använder sig av. Materialtillverkaren använder sig av en annan ordning på
komponenterna, Sheldon [5]:
Tillverkare: (x,y,z,yz,xz,yz)
Ansys: (x,y,z,xy,yz,xz)
Förutom riktningarna skiljer sig även förhållandena i vilka materialparametrarna har
bestämts. Det som skiljer de åt är att tillverkarna ofta anger komplians i stället för
styvhet och permitivitet vid konstant spänning medan Ansys anger den utvärderad vid
konstant töjning. Tillverkarna anger även den piezoelektriska laddningskonstanten d,
som förhållandet mellan töjning och elektriskt fält. Ansys däremot anger den
piezoelektriska konstanten e, som anger förhållandet mellan spänning och elektriskt fält.
Detta beror på att de konstitutiva ekvationer som dessa konstanter utgår ifrån ser
annorlunda ut. Konverteringen emellan de olika sätten att ange dess parametrar och
utseendet på de konstitutiva ekvationerna för de båda fallen redogörs i nedanstående
ekvationer, Sheldon [5]
Tillverkare
E
{} S [ s ]{ T} + [ d]{ E}
= (46)
T
T
{ D} [ d] { T} + [ ε ]{ E}
= (47)
Riktningar: (x,y,z,yz,xz och xy)
s E = komplians vid konstant elektriskt fält
d = laddningskonstant töjning-elektriskt fält
Ansys 10.0
E
{} T [ c ]{ S} + [ e]{ E}
= (48)
T
s
{ D} [ e] { S} + [ ε ]{ E}
= (49)
Riktningar: (x, y, z, xy, yz och xz)
c E = styvhet vid konstant elektriskt fält
e = laddningskonstant spänning-elektriskt fält
För att anpassa tillverkarnas data till det format som Ansys använder sig av görs
följande omskrivning av ekvation (46):
E E −1 E −1
{} S [ s ]{} T + [ d]{ E} ⇒ { T} = [ s ] {} S − [ s ] [ d]{ E}
= (50)
Och sedan genom att infoga ekvation (50) i ekvation (47) fås:
( ){ E}
T T
T E −1 T T E −1
{ D} = [ d] {} T + [ ]{ E} ⇒ { D} = [ d] [ s ] {} S + [ ε ] − [ d ] [ s ] [ d]
ε (51)
13

Genom att använda ekvation (48),(49) och (51) kan följande ekvationer erhållas
[ ] [ ] E = s
E −1
c (52)
S T T E −1
[ ] = [ ε ] − [ d] [ s ] [ d ]
ε (53)
E
[] [ ] − 1 [ ] =
T E
= s d [ d ] [ s ] −1
e (54)
I Ansys 10.0 finns möjligheten att ange i vilket tillstånd parametrarna är utvärderade,
men riktningarna måste fortfarande konverteras. För att konvertera riktningarna kan
Exel-dokumentet ”Conversion of Piezoelectric Material Data” från Ansys.net, Sheldon
[7], användas.
Då tillverkare av piezoelektriska keramer sällan anger alla komponenter till
styvhetsmatrisen, alternativt flexibilitetsmatrisen, kan följande samband användas
tillsammans med vissa antaganden för att få fram de saknade komponenterna. Korrekt
angiven ser kompliansmatrisen [s E ] ut enligt följande, Sheldon [5]:
E
[ s ]
=
⎡ 1
⎢
⎢
Ex
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢Sym.
⎢
⎢
⎢
⎣
υ
xy υ
⎤
(55)
xz
− − 0 0 0 ⎥
E
y
Ez
⎥
1 ν
yz
⎥
− 0 0 0
E
⎥
y
Ez
⎥
1
0 0 0
⎥
E
⎥
z
⎥
1
0 0 ⎥
Gxy
⎥
1 ⎥
⎥
Gyz
⎥
1 ⎥
⎥
Gxz
⎦
där komplianskonstanterna, s ij , är definierade enligt tillverkarnas riktningar
G
xy
där
1
=
E
s
1 (56)
E
x
= = E
y
s
=
2( s
E
11
1
− s
Ex
=
) 2(1 +υ )
E E
66 11 12
xy
υ
xy
s
= −
s
E
12
E
11
E x = Elastisitetsmodul i x-riktning
G xy = Skjuvmodul i xy-planet
ν xy = Poisson’s tal i x y-planet
(58)
(60)
E
Z
1
=
s
E
44
E
33
(57)
1 (59)
G
yz
= = Gxz
s
s
υ
yz
= − = υ
s
E
13
E
33
xz
(61)
14

Den piezoelektriska töjningsmatrisen ser ut enligt följande med tillverkarens konstanter
uppställda enligt Ansys riktningar:
[ d ]
⎡ 0
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
d
11
d
0
0
11
d
0
0
33
0
0
0
d
0
15
0
d15
⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥⎦
2.2.2 Element för piezoelektrisk analys
Vid piezoelektrisk simulering i Ansys krävs element som klarar av att koppla samman
olika fysiologiska användningsområden s.k. ”coupled fields element”. Inom
piezoelektricitet så innebär detta att elementen måste kunna att hantera elektronik och
mekanik samt kopplingen däremellan.
I Ansys 10.0 finns sex olika sorters element som klarar piezoelektrisk analys, [4].
Plane13:
Solid5:
Solid98:
Plane223
Solid226
Solid227
2D-element med åtta noder och upp till fyra frihetsgrader i varje nod.
Elementet klarar stora deformationer och töjningshårdnande.
3D-element med åtta noder och upp till sex frihetsgrader i varje nod.
Hanterar liksom som Plane13 stora deformationer och
töjningshårdnande.
3D-element som är en tetraheder-version av Solid5 med tio noder. Det
har en kvadratisk förskjutningsfunktion och passar bra till irreguljär
elementindelning.
Detta är en nyare variant av element Plane13. Det har åtta noder med
fyra frihetsgrader i varje nod. Detta element är linjärt elastiskt.
Detta 3D-element är linjärt elastiskt och har tjugo noder med fem
frihetsgrader i varje nod. Det klarar stora deformationer och
töjningshårdnande.
Ett 3D-tetraheder-element med tio noder och fem frihetsgrader i varje
nod.
Med Ansys option ”Multiphysics” kan alla dessa element användas medan optionen
”Mechanical” endast klarar av att hantera Plane 13, Solid 5 och Solid 98. Ytterligare en
typ av element finns att tillgå med optionen ”Multiphysics”. Det är ett piezoelektriskt
kretselement, Circu 94, där linjära komponenter som motstånd, induktanser,
kapacitanser samt oberoende ström- och spänningskällor kan kopplas till de
piezoelektriska elementen. Med hjälp av Circu 94 kan en elektrisk belastning från en
krets ansluten till piezokeramen inkluderas i beräkningen, [4].
15

2.2.3 Övriga viktiga punkter
För transienta piezoelektriska analyser måste följande Newmark-parametrar för
tidsintegrationen specificeras:
Alpha=0.25; Delta=0.5; Theta=0.5
För att lösa transienta piezoelektriska simuleringar finns följande två lösningsmetoder
att tillgå i Ansys. Den första metoden är ”the sparse matrix solver (SPARSE)”, vilket
även är standardlösaren. Den andra lösningsmetoden är ”Jacobi Conjugate Gradient
solver (JCG)”, som kan få konvergensproblem vid illa konditionerade randvillkor, [4].
16

3 Praktisk provning
Ett relativt enkelt sätt att undersöka vilken spänning en piezoelektrisk keram genererar
när den belastas är med ett så kallat ”kultest”. Metoden går till så att en kula släpps från
en bestämd höjd ner på en anslagskropp, som är inspänd med en piezoelektrisk keram.
Impulsen från anslaget belastar den piezoelektriska keramen, som i sin tur genererar den
elektriska spänningen som uppstår då symmetrin för de laddade partiklarna förskjuts.
Denna spänning kan sedan mätas med hjälp av ett oscilloskop tillsammans med en
mätprobe.
Vanligtvis används en testmetod där den piezoelektriska keramen blir inspänd genom
att fjädrar klämmer fast keramen mellan en anslagskropp och ett undre stöd, se figur
3.1. Detta test, som i fortsättningen kallas ”Testfall 1”, innehåller flera delar som är
ganska svåra att bestämma vid datorsimuleringar av det praktiska provet.
Under arbetets gång har en ny testutrustning provats fram. Den nya testutrustningen har
tagits fram för att minska antalet felkällor som påverkar testresultatet. I och med detta är
det enklare att skapa en simuleringsmodell i Ansys. Detta test, ”Testfall 2”, består
endast av två stålcylindrar mellan vilken keramen placeras. I detta fall används ingen
fjäderbelastning utan det är endast cylinderns egenvikt som ser till att keramen ligger i
kontakt med anslagskroppen och det undre stödet.
En viktig del av de praktiska proven är att få en så liten variation som möjligt på hur
kulan släpps, så att varje försök får samma förutsättningar. Det har visat sig svårt att
uppnå detta och ett par olika metoder att släppa kulan har provats fram för den enklare
modellen och redovisas i kapitel 3.2 ”Testfall 2”.
Även testutrustningens inverkan på resultatet har undersökts. Detta gjordes i samband
med det praktiska testet med den nya testutrustningen, ”Testfall 2” se kapitel 3.2.2.
Kontrollen genomfördes genom att mäta spänningen både med en mätprobe samt direkt
med oscilloskopet. Resultatet har sedan grafiskt jämförts med varandra för att undersöka
om någon skillnad finns.
17

3.1 Praktiskt kultest, ”Testfall 1”
”Testfall 1” som vanligen används vid praktiska kultest på piezoelektriska keramer
enligt figur 3.1
Figur 3.1: Modell över anordningen för ”Testfall 1”
Den piezoelektriska keramen spänns fast mellan två kroppar i stål. Två fjädrar spänner
fast den genom att trycka en isolerande platta ner mot anslagskroppen. Under den
piezoelektriska keramens undre kontaktbleck placeras en 0.2 mm tjock cirkulär
plastplatta, som isolerar kontaktblecket från testutrustningen. Den piezoelektriska
keramens kontaktbleck kopplas sedan in till ett oscilloskop med hjälp av en så kallad
mätprobe med ett 10 MOhms motstånd och 100 gångers dämpning, dvs. den elektriska
spänningen skalas ner 100 gånger för att inte överbelasta oscilloskopet. Signalen skalas
sedan upp igen i oscilloskopet där en spänning/tid-kruva registreras och sparas.
3.1.1 Testutförandet
Innan de praktiska mätningarna påbörjades kalibrerades mätproben för en fyrkantsvåg,
genererad av oscilloskopet. Detta görs för att minimera mätutrustningens påverkan på
mätresultatet.
18

En kula av tungmetall släpptes från fyra bestämda höjder över anslagskroppen. Kulans
fall kontrollerades med hjälp av ett plaströr som monterats vertikalt över
testutrustningen. I detta plaströr finns hål gjorda vid olika höjder där kulan kan släppas.
Syftet med detta rör är att kulans hastighet ska få en så liten spridning som möjligt
gällande träffbilden på anslagskroppen. Metoden innebär dock att det är svårt att få
samma förhållanden vid varje försök. När kulan kommer i kontakt med plaströrets
väggar påverkas dess hastighet och träffbild. Den elektriska spänning som sedan
genererats när stötvågen från anslaget träffat den piezoelektriska keramen mäts och
sparas i en tabell. För varje höjd upprepas försöket 10 gånger där varje försök sparas
som en egen tabell. Utifrån dessa resultat beräknades en medelvärdeskurva enligt
följande ekvation:
där
V(U(t)) = Elektrisk spänning
⎛
⎜
⎝
V ( U ( t))
=
U(t) = Elektrisk spänning vid tiden t
n = Försöksindex
m = totalt antal försök
m
∑
n=1
U
m
n
⎞
( t)
⎟
⎠
Höjderna som testades var följande: 34 mm, 84 mm 164 mm och 370 mm. Resultaten
presenterades sedan grafiskt som spänning/tid kurvor (V/s)
(62)
3.1.2 Resultat
Praktiskt kultest
Spänningens beroende på höjd
800
800
700
700
600
600
Spänning [Volt]
500
400
300
34mm
84mm
164mm
370mm
Spänning [Volt]
500
400
300
Spänning
200
200
100
100
0
-100
0
0,00002
0,00004
0,00006
0,00008
0,0001
0,00012
Tid [s]
0,00014
0,00016
0,00018
0,0002
0,00022
0
0 100 200 300 400
Höjd [m m ]
Figur 3.2: Elektrisk spänning genererad
för ”Testfall 1”
Figur 3.3: Spänningens beroende på höjd
En hög spänning genereras trots en ganska liten belastning. Med en ökande fallhöjd så
förändras karaktären något för spänningskurvan, figur 3.2. Den tenderar att tippa något
åt vänster, dvs. stigtiden ökar med den ökade höjden men avlastningen är inte lika brant
som stigningen. Figur 3.3 visar hur den maximala spänningen beror på höjden.
Spänningen tenderar att öka mer linjärt från 200 mm fallhöjd och uppåt.
19

3.2 Praktiskt kultest, ”Testfall 2”
För att minimera antalet parametrar som påverkar resultatet togs ett enklare kultest
fram. Denna modell består av två metallcylindrar som placeras som stöd och
anslagskropp med det piezoelektriska elementet mellan. I detta test används ingen
isolerande plastbricka. Den övre cylindern är smal så att den kan stå direkt på det övre
kontaktblecket och den undre cylindern är grövre och längre för att vara ett stabilt
underlag för kristallen. Uppsättningen ser ut som figuren nedan och placerades på ett
bord. För ritning, se bilaga 4.
Figur 3.4: Testutrustning ”Testfall 2”
3.2.1 Testutförande
Detta praktiska prov fungerar i princip som ”Testfall 1”. Dock faller kulan fritt i detta
test. Två metoder för att släppa kulan har använts. Till en början användes ett kort
plaströr med ett snitt som startposition för kulan. Genom snittet placerades en tunn
plåtbit som kulan sedan vilar på. Plåtbiten rycktes hastigt undan så att kulan faller fritt
ner mot anslagskroppen. Denna metod användes för att minska spridningen av hur kulan
släpptes jämfört med ”Testfall 1”. Det visade sig dock att även denna metod påverkar
kulans initialvillkor till en viss del. Det var svårt att få samma initialtillstånd för kulan i
varje försök.
20

Figur 3.5: Plaströr med kulan vilande på en tunn plåtbit som hastigt rycks undan så
kulan faller fritt.
Den andra metoden att släppa kulan utfördes med hjälp av en krokodilklämma,
mätutrustning och ett mätbord. Mätutrustning möjliggjorde att höjden på kulsläppet
kunde kontrolleras noga. Krokodilklämman fästes på mäthuvudet och sedan klämdes
kulan fast i gapet på klämman. Mätutrustningen ”nollades” mot toppen på anslagsytan
på cylindern och fallhöjden mättes sedan upp. Genom att öppna krokodilklämman
kunde kulan släppas med en mycket liten variation av hastighet. Precis som vid
föregående metod, figur 3.5, faller kulan fritt utan att ledas av ett plaströr. Detta medför
att hastigheten på kulan inte påverkas av kontakt mot något annat föremål på vägen ner.
Kulan släpptes sedan fem gånger från varje höjd. De höjder som provades var, 10 mm,
30 mm och så upprepades försöket med 30 mm höjdökning tills höjden kom upp till 360
mm, vilket var den högsta höjden som mätutrustningen klarade av. Spänningen mättes
sedan med en kalibrerad mätprobe och oscilloskop.
3.2.2 Kontroll av mätutrustningens påverkan
För att undersöka om mätutrustningen (mätproben), påverkar resultatet utfördes ett
extratest. Detta test bestod i att först mäta den genererade spänningen som vanligt med
en kalibrerad mätprobe. Sedan gjordes testet om men då mättes spänningen direkt med
oscilloskopet. På detta sätt kan resultaten sedan jämföras. Fallhöjden begränsades till 19
mm för att den piezoelektriska keramen inte skulle skada oscilloskopet med en allt för
hög spänning. Kulan släpptes genom att rycka ut en plåtbit som kulan vilar på, se figur
3.4.
Kulan släpptes fem gånger utan mätprobe och sedan fem gånger med mätprobe. Från
dessa två testomgångar plottades sedan medelkurvorna från försöken i samma diagram
se figur 3.8. Därefter jämfördes kurvorna med varandra. Eftersom en viss variation
uppstår mellan varje kulsläpp måste hänsyn tas till detta i jämförelsen.
21

3.2.3 Resultat
Praktisk prov "Testfall 2"
Spänningens beroende på höjd
800
800
700
700
600
Prov 10mm
Prov 30mm
600
Spänning [Volt]
500
400
300
Prov 60mm
Prov 90mm
Prov 120mm
Prov 150mm
Prov 180mm
Prov 210mm
Prov 240mm
Spänning [Volt]
500
400
300
Max volt
200
Prov 270mm
Prov 300mm
200
100
Prov 330mm
Prov 360mm
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
tid
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Höjd [mm]
Figur 3.6: Spänning/tid kurvor för
”Testfall 2”
Figur 3.7: Spänningsamplitudens beroende
på höjden.
Spänning/tid-kurvorna tenderar även i detta ”Testfall 2” att tippa åt vänster vid ökad
amplitud liksom i ”Testfall 1”, jämför figur 3.2 och 3.6. Skillnaden i dessa test visar att
amplitudökningen är jämnare när höjden ökar. I det föregående praktiska försöket så
ökade amplituden mer i början för att sedan avta något och öka nästan linjärt från 200
mm och uppåt. Denna försöksomgång visar en mer jämn ökning som avtar något med
den ökade höjden. Ingen förändring som tyder på att ökningen skulle blir mer linjär
efter en viss höjd kan urskiljas.
Kontrollen huruvida mätproben påverkar resultatet från mätningarna, visar att en viss
filtrerande effekt kan styrkas. Genom att mäta med mätproben förändras utseendet på
voltkurvan genom att tiden för impulsen blir aningen längre och amplituden något lägre.
Detta illustreras i figur 3.8.
Jämförelse av prov med och utan mätprobe
19mm's fallhöjd
100
90
80
Elektrisk spänning [Volt]
70
60
50
40
30
20
10
0
0
-10
0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
Tid [s]
Medelspänning med Probe
Medelspänning utan probe
Figur 3.8: Uppmätt elektrisk spänning vid 19mm’s fallhöjd
Skillnaden är inte så stor men innebär dock att mätproben har en viss påverkan, speciellt
på utbredningen. Skillnaden i amplitud är så liten att den skulle kunna bero på
22

provutförandet och inte på mätproben. Däremot tyder det snabbare förloppet för kurvan
som är uppmätt utan mätprobe, att mätproben har en viss filtrerande effekt. Vad denna
effekt beror på är svårt att säga. Mätproben kalibrerades innan försöket gentemot en
fyrkantskurva genererad av oscilloskopet.
Slutsatsen av denna undersökning är att kurvans utseende påverkas till viss del trots att
mätproben kalibrerades innan. Eventuellt borde kanske ytterligare undersökningar och
jämförelser mellan olika sorters mätprober utföras, speciellt för mätningar där
karaktäristiken på kurvan är viktig. Vid analys bör en medvetenhet finnas om att
mätutrustningen kan påverka resultatet.
Ett intressant resultat fås genom att plotta den maximala amplituden för kultestet i ett
diagram med logaritmiska axlar. Sambandet mellan elektrisk spänning och höjd får då
ett nästan linjärt förhållande, se figur3.9.
Logaritmisk spänning/höjdkurva
1000
100
Spänning [Volt]
10
Max volt
1
1 10 100 1000
Höjd [mm]
Figur 3.9: Maximala amplitudens beroende
på höjden
23

4 Finit elementanalys i Ansys
Datormodellerna av de praktiska provningsmetoderna skapades genom att först använda
CAD-programmet CatiaV5 för att skapa geometrin. Geometrin förenklades sedan för att
korta ner beräkningstiden bl.a. genom att utnyttja rotationssymmetrier. Modellen som
skapats i CatiaV5 importerades sedan till Ansys version 10.0 där modellen förenklades
ytterligare till en 2D-modell.
Till en början utfördes beräkningarna med linjärt elastiska material. Eftersom alla
materialparametrar inte är kända för materialen har antaganden gjorts. Dessa har
dessutom kalibrerats genom att vissa parametrars värde varieras. Beräkningarna
utökades efterhand till plastiska material efter det att plastiska deformationer i ”Testfall
2” konstaterats.
Eftersom beräkningar kommer att ske på granatanslag med snabba förlopp och stora
deformationer måste det vara möjligt att använda en sekventiell lösningsgång. Detta
innebär att både explicita och implicita beräkningar används. Explicita beräkningar
krävs för att klara av att hantera deformationerna vid anslaget och implicita för den
piezoelektriska beräkningen. Beräkningarna utförs därför sekventiellt, först explicit och
sedan implicit. De resulterande förskjutningarna från den explicita beräkningen används
som laster i den implicita.
En kontaktanalys har även genomförts för att undersöka vilken betydelse
kontaktvillkoren har mellan kula och anslagskropp. Denna analys kontrollerar även att
kontaktradien är rimlig genom att jämföra med Hertz’s teori för kontakttryck.
4.1 Kontaktanalys
För att undersöka kontakternas betydelse har en kontaktanalys utförts för kontakten
mellan kulan och anslagskroppen. Detta är den kritiska kontakten där stötvågen
genereras och i sin tur belastar den piezoelektriska keramen. De andra kontakterna
utsätts inte för samma intensiva belastning och påverkar inte utseendet på tryckimpulsen
i samma utsträckning. Testerna av kontaktanalysen har gjorts med linjärt elastiska
material enligt ”Testfall 2”, se figur 4.8. Materialdata finns beskrivet i kapitel 4.2.2. och
ritningar på utrustningen i bilaga 4
De kontaktalgoritmer som har provats är två olika varianter av ”Augmented Lagrange”
samt en ren ”Lagrange”. I det verkliga fallen sker ingen penetration av materialet men
när man gör en analys med hjälp av FEM så tillåts ofta en liten penetration för att få
bättre konvergens i lösningen. Genom att minska den tillåtna penetrationen så blir
kontaktstyvheten högre och det blir svårare att få konvergens.
25

För att kontrollera penetrationen när man använder algoritmen ”Augmented Lagrange”
användes en koefficient som styr kontaktstyvheten. Denna koefficient är normalt satt till
1. Dess inverkan har kontrollerats genom att göra samma analys med två olika värden
på koefficienten. De värden som testades var 1 och 0.1. Med värdet satt till 0.1
förväntas en större penetration samt ett lägre kontakttryck.
Använder man en Lagrange-algoritm så tillåts ingen penetration. Denna algoritm
medför dock att det kan vara svårt att få lösningen att konvergera. Därför vore det bra
om en kontaktalgoritm som har bättre konvergens kan användas utan att ge avkall på
lösningens noggrannhet. Lagrange-algoritm klarar inte av att hantera friktion, därför är
det viktigt att det finns andra kontakter som fungerar. Vid till exempel ett snett anslag
får friktionen en större betydelse.
Genom att använda Hertz’s kontaktanalys så kan en enkel uppskattning göras för att se
hur stor kontaktradien blir mellan kula och anslagskropp. Denna analys kan sedan
användas för att bedöma hur rimlig kontakten i modellen är, Bengt [6].
2
( 1 − )
2
2
υ 1 ⎛1
−υ
− ⎞
1
1 υ
(63)
2
= ⎜
⎟
+
2
⎝ E1
E2
⎠
E eff
eff
I dessa ekvationer betecknar
a = b = kontaktytans radie [m]
F = last [N]
υ = poisson´s tal
E = elasticitetmodul
R = radien på kulan
⎛ 3FR
a = b = ⎜
⎝
2E
2
( 1−υ
)
eff
eff
Ekvation (63) ger uttrycket för den effektiva styvheten som sedan används i ekvation
(64) där kontaktytans radie beräknas. Lasten F beräknas genom att multiplicera
accelerationen med massan enligt:
−3
F = m * a = 14.6 *10 *55000 = 803 N
Accelerationen hämtas från den explicita beräkningen med Ansys vid 60 mm’s fallhöjd,
se bilaga 3. Ekvation (63) ger:
⎞
⎟
⎠
1/ 3
2
2
2
( 1−υ
) 1 ⎛ 1−
0,3 1−
0,3 ⎞
−
= ⎜ + ⎟ = 3,8337 *10 [ m ]
eff 12
E ⎜
9
9 ⎟
eff
2 ⎝ 280 *10
206 *10
Insatt i ekvation (64) fås då följande kontaktradier:
⎛ 3FR
a = b = ⎜
⎝ 2E
2
( 1−υ
)
eff
eff
⎞
⎟
⎠
1/ 3
⎠
⎛ 3*803* 0,006
= ⎜
3,8337 *10
⎝ 2
N
−12
⎞
⎟
⎠
1/ 3
≈ 0,3 mm
(64)
26

4.1.1 Resultat
Resultaten varierar mycket beroende på vilken kontaktalgoritm som används. Om en
mindre penetration tillåts uppnås ett högre kontakttryck. Detta högre kontakttryck leder
även till att amplituden på den genererade elektriska spänningen varierar. Figur 4.1
nedan visar den stora skillnaden i penetration.
PENETRATION 60mm
9,00E-06
8,00E-06
7,00E-06
Penetration [m]
6,00E-06
5,00E-06
4,00E-06
3,00E-06
2,00E-06
1,00E-06
0,00E+00
0
-1,00E-06
0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
Position på x-axeln [m]
PENE 0,1 augmented
lagrange
PENE Lagrange
PENE 1,0 Augmented
Lagrange
Figur 4.1: Penetrationen varierar kraftigt mellan de olika kontaktalgoritmerna
Ingen penetration eftersträvas, men detta medför att konvergensproblem kan uppstå.
Därför krävs en kompromiss för att lösningen ska konvergera. Med Lagrange fås ingen
penetration medan Augmented Lagrange kontaktalgoritm medför att penetrationen ökar
med minskad straffkonstant.
I och med en ökad penetration minskar kontakttrycket. Som figur 4.2 visar påverkas
dock inte trycket lika mycket procentuellt, som penetrationen i figur 4.1. Skillnaden
mellan Augmented Lagrange med straffkoefficienten satt till 1 och ren Lagrange är inte
speciellt stor. Därför kan kontaktalgoritmen Augmented Lagrange användas och
förväntas ge bra resultat. Kontaktytans radie som uppstår mellan kula och anlagskropp
stämmer också väl överens med en kontrollberäkning enligt Hertz’s ekvationer. Enligt
Hertz’s uttryck för kontaktytan, blir kontaktradien cirka 0.3 mm vilket stämmer väl med
resultatet från beräkningen. Radien på kontaktytan erhållen med Ansys kan bestämmas
genom kontakttryckets utbredning i x-riktning.
27

PRESURE 60mm
5,000E+09
4,500E+09
4,000E+09
Tryck [Pa]
3,500E+09
3,000E+09
2,500E+09
2,000E+09
1,500E+09
1,000E+09
PRES 0,1 augmented
lagrange
PRES Lagrange
PRES 1,0 Augmented
Lagrange
5,000E+08
0,000E+00
0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001
Position på x-axeln [m]
Figur 4.2: Till följd av att penetrationen minskar fås högre kontakttryck emellan kulan
och anslagskroppen
Studerar man den elektriska spänningen så varierar inte resultatet lika mycket som
kontakttrycket eller penetrationen. Det tidigare resonemanget där kontakttypen
Augmented Lagrange förespråkas stärks ytterligare i och med att den ger samma resultat
som ren Lagrange då den elektriska spänningen studeras. Förutsatt att koefficienten för
kontaktstyvheten är satt till 1. Detta syns tydligt i figur 4.3, där spänningen plottas för
de olika kontaktalgoritmerna. Däremot innebär den stora penetrationen då
straffkoefficienten är nedsatt till 0.1 att även den elektriska spänningen minskar. Den
kontakten är inte att föredra då det ger ett felaktigt resultat.
Elektrisk spänning 60mm
4,50E+02
4,00E+02
3,50E+02
Spänning [Volt]
3,00E+02
2,50E+02
2,00E+02
1,50E+02
1,00E+02
5,00E+01
0,00E+00
0,00E+00
-5,00E+01
5,00E-05 1,00E-04 1,50E-04 2,00E-04
Tid [s]
VOLT_0,1 Augmented
Lagrange
VOLT_Lagrange
VOLT 1.0 Augmented
Lagrange
Figur 4.3: Amplituden på den elektriska spänningen påverkas av valet av kontakt
28

4.1.2 Slutsats Kontaktanalys
I detta fall är den elektriska spänningen det resultat som är av nämnvärt intresse.
Effekten av de olika kontaktalgoritmerna är inte lika stor för den genererade elektriska
spänningen som för kontakttrycket. Dock visar resultatet att en kraftigt reducerad
koefficient för kontaktstyvheten i ”Augmented Lagrange”-algoritmen, medför att
resultatet försämras i en oacceptabel utsträckning.
Slutsatsen är att både Augmented Lagrange och en ren Lagrange algoritm ger en rimlig
kontakt med liten penetration. Augmented Lagrange förutsätter dock att koefficienten är
tillräckligt hög, helst lika med 1. Eftersom det med Augmented Lagrange är lättare att få
en konvergerande lösning och för att den klarar av att hantera friktion, används denna
vid de piezoelektriska beräkningarna.
4.2 Simulering av ”Testfall 1” med Ansys
De första beräkningarna gjordes för att simulera det praktiska test som är beskrivet i
kapitel 3.1. Det är en modell på den testmetod som vanligen används för att mäta den
elektriska spänningen som den piezoelektriska keramen genererar.
4.2.1 Geometri
I de första försöken modellerades endast en liten del av testutrustningen. Modellen
bestod endast av de två cylindrarna som den piezoelektriska keramen är inspänd
emellan, se figur 4.4. Modellen är helt axisymmetrisk för att minimera beräkningstiden.
Det är bara kontaktblecken som i verkligheten inte är axiellt symmetriska. Förenklingen
till axisymmetriska mässingsbleck påverkar inte resultatet. För måttangivelser, se bilaga
4.
Figur 4.4: Liten modell av ”Testfall 1”
29

Efter ett antal försök och jämförelser med praktiska prov utökades modellen i hopp om
att få en bättre överensstämmelse med provresultaten. I denna större modell inkluderas
den övriga strukturen som stötvågen breder ut sig i med, se bilaga 4 för måttangivelser.
Den utökade modellen är dock förenklad till en axiellt symmetrisk modell, vilket den
verkliga modellen inte är.
Figur 4.5: Stor modell av ”Testfall 1”
4.2.2 Materialdata
Eftersom all materialdata som behövs vid beräkningarna inte är kända måste vissa
antaganden göras. Dels är alla parametrar för testutrustningen inte kända, dels saknas
vissa parametrar för den piezoelektriska keramen. Keramen som används är speciellt
framtagen till Saab Bofors Dynamics och de parametrar som saknas var inte aktuella då
materialet togs fram. De materialdata som använts är följande:
Kula:
Kulan var av en okänd tungmetall. Genom vägning och mätning har diametern och
densiteten bestämts.
Diameter:
12 mm
Densitet: 15800 kg/m 3
Antaget:
Elasticitetsmodul
Poisson’s tal 0.3
200 Gpa
30

Piezoelektrisk keram (testad enligt standarden IEC 483):
S
ε
33
Relativ permitivitet: ε = 1260 ε
Piezoelektrisk laddningskonstant:
Densitet:
ε
11
33
=
= −
0
−12
d = −230 *10 C / N
31
−12
d = 530 *10 C / N
33
d
15
ρ =
= −
Poisson’s tal: υ = 0. 3
Elastisk komplians:
7500 kg / m
s E −12
2
= 15*10 m / N
11
s E − 12 2
= 19 * 10 m /
För den piezoelektriska keramen har följande antaganden gjorts:
Genom att jämföra förhållandet mellan den relativa permitiviteten för andra
piezoelektriska keramer, har följande antagande gjorts ε ε 1285.
33
3
11
,
22
=
Skjuvmodulen antas vara samma i alla riktningar dvs.
G xy =G yz =G xz. . Detta medför att s 13 kan bestämmas genom ekvation (61) enligt:
υ
E
s
E
= − = υ
xz
⇒ s
E
13
= υ
xz
s
* s
= −
13 E
−12
2
yz 33
5.7 *10 /
33
S 12 antas var noll. Detta ger möjlighet att beräkna s 44 med hjälp av ekv. (58) och ekv.
(59)
s
E
44
= 2
E E
E
−12
−12
2
( s − s ) = 2 * s = 2 *15*10 = 30 *10 m / N
11
12
11
m
N
N
Anslagskroppen (övre och undre del):
Antagna värden
E=200 GPa
ν=0.3
ρ=7800 kg/m 3 31

Mässingsbrickor (Kontaktbleck):
Antagna värden
E=108 GPa
ν=0.41
ρ=8440 kg/m 3
4.2.3 Element och elementnät
Till denna 2D-analys har axisymmetriska element av typen Plane13 och Plane183
används. De olika delarna elementindelas genom att använda ”free mesh”, förutom
mässingsbrickorna och plastbrickan där elementnätet mappas. Elementnätet har sedan
förfinats i närhet till de kontakter som finns i modellen, se figur 4.3-4.5. Den
elementstorlek som elementnätet utgår ifrån var 0.3 mm för kulan och 0.5 mm för
anslagskroppens övre och undre del. Elementen i den piezoelektriska keramen,
mässingsblecken och plastbrickan hade 0.1 mm långa elementsidor. Den understa
”utökade” delen för den större modellen elementindelades med 1 mm långa
elementsidor.
Elementet ”Plane183” har använts till alla delar utom själva piezokeramen. Detta är ett
element med 8 noder och med 2 frihetsgrader i varje nod. Det har en kvadratisk
förskjutningsfunktion som klarar stora deformationer. Elementen i den piezoelektriska
keramen är av typen ”Plane 13” och har förfinats längs kontaktytorna samt vid de fasade
kanterna.
4.2.4 Randvillkor och kontakter
Kontakten mellan de olika delarna är av typen ”surface to surface”. Denna typ av
kontakt har inga restriktioner på kontaktytans form och klarar element av högre ordning.
Den kontaktalgoritm som används är ”Augmented Lagrange” med kontaktstyvhetskoefficienten
satt till 1. Friktionskoefficienten är satt till 0.1 för kontakten mellan kula
och anslagskropp, men den har en minimal inverkan i denna axiellt symmetriska
modell. För att lägga på kontaktvillkor används ”The contact wizard”. Alla kontakter
läggs på mellan linjer. Eventuellt glapp eller penetration reduceras initialt.
Kontakten mellan kulan och anlagskroppen är viktig för att återge en ”korrekt” stötvåg
som passerar genom strukturen. Därför har en kontaktanalys gjorts. Kontaktanalysen är
gjord på den förenklade modellen, se kapitel 4.1. Kontakten är av typen ”surface to
surface” med standardvillkor, vilket innebär att den är ensidig och tillåter separation,
glidning och friktion.
32

”Standard”
Figur 4.6: Kontakten mellan kula och anslagskropp är av typen” surface to surface”.
Kontakten är typen ”standard” och eventuellt glapp eller penetration reduceras initialt
Nästa kontakt, där stötvågen passerar, är från anlagskroppen till det övre
mässingsblecket. Denna kontakt är även den av typen ”standard” eftersom
kontaktytorna inte sitter fast mot varandra. Däremot är kontaktblecken limmade till den
piezoelektriska keramen och därför används kontakter av typen ”bonded” som gör att
ytorna inte kan separera ifrån varandra eller glida.
”Bonded”
”standard”
Figur 4.7: Kontakterna mellan de olika delarna har alla ”surface to surface”.
Eventuellt glapp eller penetration reduceras initialt. Den limmade kontaktytan sätts till
”bonded” medan de andra kontakterna är av typen ”standard”
33

Mellan den undre cylindern och stödet används även här en ”standard” - kontakt
eftersom anslagskroppen bara står på stödet utan att vara fäst på något sätt.
”standard”
Figur 4.8: Kontakten mellan den undre cylindern och resterande del av
provutrustningen. Kontakten har samma egenskaper som de tidigare nämnda
De kontaktelement som programmet använder sig av i detta fall är Target169 och
Contact172. Dessa appliceras automatiskt vid kontaktytorna när guiden för kontakter,
”Contact Wizard”, används.
Längst ner på modellen används ett förskjutningsvillkor för att simulera kontakten mot
bordet. Förskjutningen sätts därmed till noll i y-riktningen.
UY=0
Figur4.9: Kontakten mot underlaget simuleras genom ett förskjutningsvillkor i y-
riktningen
På ovansidan av den piezoelektriska keramen används ett elektriskt randvillkor.
Noderna längs ovansidan jordas, dvs. den elektriska potentialen sätts till 0 Volt för
noderna längs den övre linjen.
34

Volt=0
Kopplade noder
Figur 4.10: Keramen jordas genom att randvillkoret för spänningen längs den övre
randen på keramen sätst till noll. I den nedre randen kopplas potentialen.
Eftersom den piezoelektriska keramen har kontaktbleck på ytorna ska noderna i ytan ha
samma elektriska potential. Detta görs genom att koppla potentialen, för alla de noder
som finns längs ytan, dvs. de noder som finns längs den nedre linjen på kristallen.
Eftersom kulan är placerad dikt an mot anslagskroppen måste kulans hastighet vid
anslag beräknas. Hastigheten beskrivs enlig följande ekvation.
2
mv
mgh = ⇒ V = 2 * g * h
2
Detta innebär att initial hastighet vid anslag blir enligt tabell 4.1.
(65)
Tabell 4.1: Anslagshastighet för de olika fallhöjderna
Fallhöjd [mm] Hastighet [m/s]
34 0.8520
84 1.2838
164 1.7938
370 2.6943
4.2.5 Övriga inställningar för simuleringen.
Simuleringen körs som transient implicit lösning med en beräkningstid på 0.1ms.
Lösningen delas upp i 250 delsteg för att få god konvergens. För transienta
piezoelektriska analyser måste alltid följande parametrar för tidsintegrationen
specificeras:
Alpha=0.25
Delta=0.5
Theta=0.5
35

4.2.6 Resultat
I strävan efter att få en så bra överensstämmelse mellan de beräknade kurvorna och de
uppmätta kurvorna har flera beräkningar gjorts där materialparametrarna har varierats
utifrån de utgångsvärden som presenterades under kapitel 4.1.2.
Överlag är den beräknade elektriska spänningen för standardkultestet högre än den
uppmätta. Den mest slående skillnaden är dock att karakteristiken för kurvan skiljer sig
markant. Speciellt under den senare hälften av den elektriska spänningsimpuls som
genereras. Enligt analysen avtar den med ökande hastighet ända ner till noll där den
sedan stannar upp tvärt. Den uppmätta spänningen avtar inte lika fort och den planar
även ut kraftigt i slutet, se figur 4.11. I praktiken har inte den senare hälften av kurvan
lika stor betydelse som den första. Detta beror på att när spänningen uppnår en viss
nivå, så aktiveras tändkretsen och den piezoelektriska keramen laddas ur.
Kurvan uppvisar även ett annat fenomen. Den har fått ett nytt nolläge vilket innebär att
den planar ut till en negativ spänning, inte noll som förväntades. Orsaken till detta har
inte fastställts men det skulle kunna bero på att kulan tar med sig elektriska laddningar
när den studsar bort från anslagskroppen. Detta fenomen uppträder vid alla mätningar
som gjordes. Om mätningen fortsätter med ett längre perspektiv kommer nolläget att
återgå till det normala.
De fall där sämst resultat erhölls var de där fallhöjden var låg. Alla beräkningar gjorda
på de lägsta höjderna genererar en alltför hög spänning. Den höga spänningen kan bero
på att för få noder kommer i kontakt. Då kontaktytan på kulan är konvex så innebär
detta att endast några enstaka noder kommer i kontakt, speciellt om elementnätet är för
glest eller om fallhöjderna är små. De lägre höjderna genererar mindre töjningar och
därmed fås en mindre kontaktyta. Då för få noder kommer i kontakt kan en
spänningsspik genereras som får den elektriska spänningen att bli för stor.
Kultest 34mm's fallhöjd
225
200
175
150
Spänning [Volt]
125
100
75
Praktiskt Prov_34mm
Ansys_34mm_1GPapla
st liten modell
Ansys 34mm stor
modell 3GPa plast
50
25
0
0 0,00005 0,0001 0,00015
-25
Tid (s)
Figur 4.11: Jämförelse av liten och stor modell
Vid jämförelser mellan den lilla och stora modellen visar resultaten att den lilla
modellen genererar en högre spänning. En mindre modell medför att den uppvisar ett
mer styvt beteende och därigenom genererar en kraftigare belastning på den
36

piezoelektriska keramen. Eftersom den beräknade spänningen ligger för högt överlag
förkastades den lilla modellen. Genom att använda en större modell deformeras
modellen lite mer och ger en något mjukare kontakt.
Genom att ändra alla kontakter, utom den mellan kula och anslagskropp, till ”bonded”
fås ingen större skillnad i resultatet. Eftersom de olika delarna inte kan separera
uppkommer stora svängningar i modellen i stället, vilket medför negativa spänningar, se
figur 4.12.
Kultest 84mm's fallhöjd
375
350
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
-25 0 0,00005 0,0001 0,00015
-50
-75
-100
-125
-150
-175
-200
Spänning (V)
Tid (s)
Praktiskt Prov_84mm
Ansys_84mm_fullgeo_
bondedalw 1GPa plast
Figur 4.12: Bara kontakter av typen ”bonded” medför stora svängningar
För att undersöka plastbrickans betydelse för karaktäristiken, varierades dess
elasticitetsmodul. Resultatet visar att genom att öka styvheten kan derivatan av
spänningen påverkas. En högre elasticitetsmodul medför att en snabbare uppladdning
sker. Förloppet påverkades dock inte så mycket, den uppmätta kurvan har en mycket
längre varaktighet jämfört med den beräknade.
Kultest 164mm's fallhöjd
600
500
Spänning [Volt]
400
300
200
100
Praktiskt Prov
Ansys liten modell
1Gpa plastbricka
Ansys stormodell 2GPa
plastbricka
Ansys Stor modell
3GPa plastbricka
0
0 0,00005 0,0001 0,00015
-100
Tid (s)
Figur 4.13: Grafen visar hur plastbrickans elasticitetsmodul påverkar karaktären på
kurvan
Eftersom de uppmätta kurvorna får en ”mjuk” start samt ”mjukt” avslut lades en
konstant dämpning i den piezoelektriska keramens materialmodell. Resultaten visar att
denna konstanta dämpning har en effekt som får kurvan att likna den uppmätta bättre.
37

Men för att få en tillräckligt mjuk start samt ett bra avslut måste dämpningskonstanten
vara så stor att amplituden på spänningen sjunker alldeles för mycket. Dessutom
påverkas inte bredden nämnvärt, se figur 4.14.
Inverkan av konstant dämpning i den piezoelektriska keramen
164mm's fallhöjd
500
Spänning [Volt]
400
300
200
100
0
-0,00003 0,00002 0,00007 0,00012
Praktiskt prov
Ansys med konstant
dämpning=1e-5
Ansys med konstant
dämpning=4e-6
Ansys med konstant
dämpning=1e-6
Ansys med konstant
dämpning=6e-6
-100
Tid [s]
Figur 4.14: Dämpning kan få starten och avslutet att mer efterlikna mätkurvan.
Eftersom vissa materialparametrar inte är kända för den piezoelektriska keramen har
vissa antaganden gjorts. Dels har komponenter till den dielektriska permitiviteten och
den piezoelektriska spänningsmatrisen gjorts. Betydelsen av dessa antaganden
undersöktes genom att variera dem, dels genom att sätta den relativa permitiviteten till
isotrop och med värdet 1260 samt att sätta xy- och yz-parametrarna i den
piezoelektriska spänningsmatrisen till noll. Dessa förändringar medför dock ingen större
ändring på den elektriska spänningskurvan, se figur 4.15. Då resultaten inte påverkades
i någon större utsträckning får de antaganden som gjordes från början för dessa
parametrar anses rimliga.
Även elasticitetsmodulen har reducerats med tio procent för alla komponenter utom den
piezoelektriska keramen. Detta gjordes för att undersöka om kurvans utbredning i tid
påverkades. Resultatet visade dock bara att spänningstoppen kommer något senare och
att spänningsamplituden reducerades något vilket visas i figur 4.15. Skillnaden är dock
så liten att de antagna elasticitetsmodulerna behålls i de följande beräkningarna.
Kultest 370mm's fallhöjd
900
800
700
Praktiskt Prov
600
Ansys normal
Spänning (V)
500
400
300
200
100
Ansys istotropisk relativ
permitivitet 1260
Ansys utan
piezoelektriska xy & zy
komponenter
Ansys reducerad
elasticitetsmodul (-10%)
0
0 0,00005 0,0001 0,00015
-100
Tid (s)
Figur 4.15: Grafen visar resultatet för hur de antagna värdena påverkar resultatet samt
hur en reducering av alla elasticitetsmoduler påverkar resultatet
38

4.3 Simulering av ”Testfall 2”
Denna analys är uppbyggd på samma sätt som ”Testfall 1” förutom att geometrin är
något annorlunda. Testet är mer avskalat än ovanstående och modellen i Ansys stämmer
bättre överens med den verkliga utrustningen. Kulsläpp simuleras för fallhöjder från 10
mm och 30 mm för att sedan ökas steg för steg med 30 mm i taget upp till 360 mm.
Beräkningar har utförts både på linjärt elastiska material samt på elastiskt-plastiskt
material.
4.3.1 Geometri
Detta enklare kultest bestod av en axiellt symmetrisk struktur. Detta medför att den
förenklade modellen i Ansys stämmer väl överens med den riktiga. Det som inte
stämmer helt överens är kontaktblecken på keramen, men precis som med den förra
modellen har detta ingen betydelse för hur modellen beter sig vid dessa tester. Ritningar
på modellen presenteras i bilaga 4. Modellen ser ut enligt följande figur 4.16:
Figur 4.16: 2D-modell av ”Testfall 2”
4.3.2 Materialdata
Liksom vid tidigare simuleringar är inte alla materialparametrar kända. Detta innebär att
vissa antaganden för beräkningarna måste göras för indata som krävs. Materialen har
isotropt hårdnande med sträckgräns och brottgräns enligt de materialdata nedan. Den
piezoelektriska keramen är linjärt elastisk.
39

Kula. Denna kula av okänd tungmetall är vägd och mätt för att bestämma dess densitet.
Diameter:
12 mm
Densitet: 17000 kg/m 3
Antaget:
Elasticitetsmodul
280 GPa
Poisson’s tal 0.3
Sträckgräns
500 MPa
Brottgräns
900 MPa
Brottöjning 8 %
Piezoelektrisk keram (i enlighet med IEC 483):
De piezoelektriska egenskaperna är definierade på samma sätt som vid analysen av
”Testfall 1”, se kapitel 4.2.2 s. 30.
Anslagskroppen (övre och undre cylinder):
Antagna värden
Elasticitetsmodul
206 GPa
Poisson’s tal 0.3
Densitet 7800 kg/m 3
Sträckgräns
Brottgräns
400 MPa
600 MPa
Brottöjning 10 %
Mässingsbrickor (Kontaktbleck):
Antagna värden
Elasticitetsmodul
108 GPa
Poisson’s tal 0.41
Densitet 8440 kg/m 3
Sträckgräns
275 MPa
Brottgräns
380 MPa
Brottöjning 50 %
4.3.3 Element och elementnät
I denna analys används samma typ av element som i ”Testfall 1”, dvs. ”Plane 183” för
kulan, cylindrarna och mässingsbrickorna. Den piezoelektriska keramen indelades med
”Plane 13”-element. ”Free mesh” används för alla areor förutom för kontaktblecken
40

som ”mappas”. Elementsidorna för elementen i kulan valdes till 0.5 mm. Elementen i
den övre smala cylindern har fått 0.5 mm långa elementsidor och den nedre stora
cylindern har 1 mm långa elementsidor. Mässingsblecken och den piezoelektriska
keramen har alla givits 0.1 mm långa elementsidor.
Elementnätet är sedan förfinat kring kontaktytorna för att få en bra övergång för
stötvågen och en korrekt belastning på kristallen. Det är speciellt viktigt att det är
tillräckligt fint elementnät vid kontaktytan mellan kula och anslagskropp. Om
elementen är för stora kommer för få noder i kontakt vilket genererar en spänningsspik.
Det är därför viktigt att kontakten sprids ut över flera noder, se figur 4.17.
Figur 4.17: En tät mesh används för att återge kontakten mellan kula och anslagskropp
4.3.4 Randvillkor och kontakter
Randvillkoren i denna analys är uppsatta på samma sätt som för standardtestet. Detta
innebär att den nedersta linjen i modellen är låst i y-led. Mellan kulan och den övre
smala cylindern används en ”surface to surface”-kontakt med ”Augmented Lagrange”-
algoritm där straffkonstanten är satt till 1 för att minska penetrationen.
För att beskriva kontakten mellan mässingsblecken och cylindrarna används samma typ
av kontakt som mellan kulan och den övre cylindern. Detta möjliggör att kontaktytorna
däremellan kan släppa ifrån varandra vilket stämmer med den verkligheten.
41

Surface to surface
Standard kontakt
Bonded och
Spänning=0
Bonded och
kopplade noder
Figur 4.18: Den piezoelektriska keramen placerad mellan den övre och undre cylindern
Kontakten mellan den piezoelektriska keramen och mässingsblecken är som i
föregående analys limmad och simuleras genom att använda kontakter av typen
”bonded”, se figur 4.18 ovan.
Kulans hastighet vid anslag har beräknats med hjälp av ekvation (63) och presenteras i
tabell 4.2.
Tabell 4.2: Anslagshastighet för ”Testfall 2”
Fallhöjd [mm] Hastighet [m/s]
10 0.44
30 0.77
60 1.09
90 1.33
120 1.53
150 1.72
180 1.88
210 2.03
240 2.17
270 2.30
300 2.43
330 2.54
360 2.66
42

4.3.5 Övriga inställningar för simuleringen
Förloppet som beräknas är 0.1 ms. Antalet delsteg varierar beroende på vilket försök
som gjorts. De elastiska analyserna gjordes med 250 delsteg medan den plastiska
analysen utfördes med 300 delsteg. Liksom i den tidigare analysen måste alltid
Newmark-konstanterna för tidsintegrationen sättas till följande:
Alpha=0.25
Delta=0.5
Theta=0.5
4.3.6 Resultat
Vid en linjärt elastisk analys så blir den beräknade spänningsamplituden nästan dubbelt
så stor som den uppmätta, se figur 4.21. Genom att applicera en extern kapacitans över
den piezoelektriska keramen på 1.2 nF, vilket medför att den totala kapacitansen över
keramen blir 2.3 nF, så stämmer spänningsamplituden väl överens med den uppmätta,
se figur 4.21. Den resulterande spänningen har ett proportionellt beroende av den
externa kapacitansen, vilket figur 4.19 visar. I analysen hämtas den elektriska
spänningen direkt från keramens yta, medan den mättes upp över mässingsblecken. Det
isolerande lim som används för att fästa mässingsblecken vid den piezoelektriska
keramen medför att kapacitansen påverkas. Hur den påverkas är dock inte känt.
Korrelation mellan 1,1nF och 2,3nF
900,00
2,3nF (Keram + extern kapacitans)
800,00
700,00
600,00
500,00
400,00
300,00
200,00
100,00
0,00
0,00 500,00 1000,00 1500,00
1,1nF (Bara keramen)
y = 0,652x + 1,8432
R 2 = 1
Serie1
Linjär (Serie1)
Figur 4.19: Korrelationen visar att spänningen har ett linjärt beroende av kapacitansen
Skillnaden mellan den beräknade amplituden och den uppmätta minskar när höjden
ökar. Som tabell 3 och figur 4.20 visar minskar felet kraftigt och stabiliserar sig på en
nivå under tio procent från och med en fallhöjd på 60 mm.
43

Tabell 3: Tabell över felet i den elastiska simuleringen av ”Testfall 2”
Höjd
[mm]
Ansys
1.1nF
Ansys
2.3nF
10 88.26 % 24.44 %
30 71.99 % 13.29 %
60 64.00 % 7.76 %
90 62.51 % 6.62 %
120 61.70 % 6.04 %
150 64.72 % 7.96 %
180 57.02 % 2.81 %
210 65.24 % 8.11 %
240 58.65 % 3.73 %
270 58.34 % 3.50 %
300 57.59 % 2.96 %
330 61.74 % 5.70 %
360 62.15 % 5.94 %
Fel [%]
100,00
90,00
80,00
70,00
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
Procentuellt fel på maximal amplitud vid elastiska beräkningar
0,00
0 100 200 300 400
Höjd [mm]
Ansys 1,1nF
Ansys 2,3nF
Figur 4.20: Fel på maximal amplitud vid elastiska
beräkningar
Även om den externa kapacitansen får amplitudnivån att se bra ut så skiljer sig dock
karaktären för den beräknade spänningskurvan fortfarande markant mot den uppmätta.
Varaktigheten är väsentligt kortare än vid mätningarna, se figur 4.21-4.22. Vid de lägre
höjderna är förloppet nästan dubbelt så snabbt. Fenomenet förekommer vid alla
elastiska analyser.
Spänning 30mm
Spänning 330mm
300
1200
250
1000
200
800
Spänning [Volt]
150
100
Prov
30mm Ansys
30mm Ansys 2,3nF
Spänning [Volt]
600
400
Prov 330mm
330mm Ansys
330mm Ansys
50
200
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
-200
Tid [s]
Figur 4.21: Den beräknade impulsbredden
är ungefär hälften av den uppmätta
Figur 4.22: Beräknad kurva har kortare
varaktighet även på högre höjder
44

Vid optisk inspektion av anslagsytan på testutrustningen syntes tydliga spår av plastisk
deformation. En plastisk deformation innebär att kontakttiden för kulan blir längre och
borde i sin tur resultera i att spänningskurvan får en större period, och närma sig de
uppmätta värdena. Detta visar också resultatet från de implicita beräkningarna med
elasto-plastiska materialmodeller.
Vid beräkningarna med elasto-plastiska material är dock förloppet fortfarande något för
snabbt vid de lägre fallhöjderna. Däremot stämmer impulsbredden mycket bättre när
höjden ökar, se figur 4.23-4.24. Med elasto-plastiska materialmodeller ligger dessutom
spänningsamplituden i rätt nivå för de höga höjderna utan extern kapacitans inkopplad,
se figur 4.24. Vid låga höjder är dock spänningen för hög, se figur 4.23.
Spänning 10m m
Spänning 210m m
120
600
100
500
80
400
Spänning [Volt]
60
40
Prov 10mm
Ansys Volt
Spänning [Volt]
300
200
Prov 210mm
Ansys Volt
20
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-20
-100
Tid [s]
Tid [s]
Figur 4.23:Elektrisk spänning vid 10mm’s
fallhöjd
Figur 4.24: Elektrisk spänning vid
210mm’s fallhöjd
Vid de högsta höjderna fås konvergensproblem med den implicita lösaren vilket visar
sig genom ett med höjden kraftigt ökande ”rassel”, se figur 4.25. Vid 360 mm fallhöjd
konvergerade inte beräkningen. Detta visar vikten av att det måste vara möjligt att
utföra den piezoelektriska analysen genom en sekventiellt uppdelad analys, där en
explicit beräkning utförs följt av en implicit.
Spänning 330m m
800
700
600
500
Spänning [Volt]
400
300
200
100
Prov 330mm
Ansys Volt
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
-200
-300
Tid [s]
Figur 4.25: Konvergensproblem vid implicit analys
45

Felet med den beräknade toppamplituden på spänningen sjunker drastiskt när fallhöjden
ökar. För de allra lägsta höjderna ligger felprocenten långt över den accepterade. Vid 10
mm’s fallhöjd är felet nästan 50 % för att sedan sjunka och ligga under 10 % vid 50
mm’s fallhöjd. Sedan stabiliserar sig felet under 6 % för de resterade höjderna som
testades. En nivå på 10 % får anses som ett acceptabelt resultat.
Tabell 4: Tabell över det procentuella felet vid lösning med plasticerande material för
”Testfall 2”
Höjd [mm] Fel på maxamplitud [%]
10 46.7
30 18.2
60 3.8
90 0.3
120 1.0
150 1.3
180 -4.8
210 -1.5
240 -5.9
270 0.1
300 2.1
330 4.5
360 Ingen konvergens
Procent [%]
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
-10,0
Procentuellt fel på m axim ala am plituden
0,0
0 100 200 300 400
Höjd [mm]
Fel [%]
Figur 4.26: Procentuellt fel på
amplituden
4.4 Sekventiell explicit-implicit analys av ”Testfall 2”
En avgörande del av den piezoelektriska analysen är att det måste vara möjligt att utföra
den sekventiellt. I många av de fall där denna typ av analys kommer att utföras,
uppkommer nämligen stora deformationer under snabba förlopp. För att utföra en sådan
analys måste därför belastningen på den piezoelektriska keramen först beräknas explicit.
Sedan appliceras resultaten från den explicita analysen som laster i den implicita
analysen. De resultat som används från den explicita beräkningen är nodförskjutningar.
Dessa nodförskjutningar appliceras sedan som förskjutningsvillkor i en implicit
piezoelektrisk analys. Denna sekventiella lösningsmetod testas för ”Testfall 2”.
Den explicita beräkningen kräver att hela modellen används, men i den implicita
modellen räcker det att den piezoelektriska keramen och dess kontaktbleck är med, se
figur 4.27 och figur 4.28.
46

Figur 4.27: Explicit modell
Figur 4.28: Implicit modell
4.4.1 Explicit analys
Ansys använder sig av en explicit lösare som heter LS-Dyna, [4]. I denna analys
används samma modell som vid det förenklade kultestet ”Testfall 2”. En viktig del för
att smidigt kunna föra över resultaten från den explicita analysen till den implicita är hur
man går till väga vid diskretiseringen. Ett makro skapades för att spara
nodförskjutningarna från den explicita analysen, se bilaga 5. Makrot sparar nodförskjutningarna
i tabeller och skriver sedan ut dem till textfiler. Dessa kan sedan läsas
in i den implicita analysen och appliceras som laster. För att detta ska fungera måste
nodernas namn och position stämma överens mellan den explicita och implicita
analysen.
4.4.1.1 Element och elementindelning
Den typ av element som passade bäst för denna axisymmetriska analys var det 4-nodiga
2D-elementet ”Plane 162”. Eftersom detta är en strukturell analys används samma
element till hela modellen. Men för att kunna föra över nodförskjutningarna smidigt
krävs att elementnätet överensstämmer med den implicita analysen. Detta löses genom
att ett elementnät av typen ”mesh 200” används. Denna typ av elementnät bidrar inte till
lösningens noggrannhet, utan används för att styra utseendet på elementnätet. Denna typ
av element kan användas både som 2-nodigt linjeelement och 4-nodigt element.
Först indelades linjerna där nodförskjutningarna skulle hämtas. I detta fall den yttre ytan
på mässingsbrickorna, se figur 4.16. Genom att börja med detta får noderna stigande
nodnummer vilket möjliggör att en enkel loop-funktion kan användas för att hämta
resultaten. Sedan indelades övriga ytor på de delar som ska användas i den implicita
analysen dvs. den piezoelektriska keramen och de två mässingsblecken.
47

4-nodigt ”Mesh 200”-element
2-nodigt ”Mesh 200”-element
Figur 4.29: De delar som ska ingå i den implicita beräkningen
Efter detta sparas modellen genom att skriva ut en cdb- och iges-fil som sedan läses in i
den implicita lösningen. Detta medför att noderna ligger på samma plats och har samma
nodnummer i den implicita som i den explicita lösningen. När detta är gjort kan sedan
elementnätet modifieras till ”plane 162” och resten av modellen indelas.
Kulan och den övre cylindern indelades med element som har längden 1 mm och
förfinades mycket vid kontakterna, se figur 4.30. Den stora cylindern, nedersta delen av
modellen, indelades med 2 mm långa elementsidor och även denna del förfinades
närmast kontakterna. Mässingsblecken och keramen meshades med 0.1 mm långa
elementsidor.
Figur 4.30: Förfinad mesh vid kontakten mellan kula och anslagskropp
48

4.4.1.2 Randvillkor och kontakter
Till skillnad från tidigare implicita beräkningar används ingen kontaktalgoritm för att
simulera den limmade kontakten mellan mässingsblecket och den piezoelektriska
keramen. Elementnätet för mässingsbrickorna och den piezoelektriska keramen delar i
stället noder i kontaktytan emellan dem. Denna metod används p.g.a. att problem med
kontaktdefinieringen uppstod, se figur 4.31.
För de resterande kontakterna används en automatiskt genererad kontakt av typen
”singel surface contact” (ASS2D). Denna typ av kontakt är väldigt robust och krävs vid
många stöt- och krock-dynamiska applikationer.
Som i de tidigare simuleringarna är den nedersta ytan på den stora cylindern låst i y-
riktningen för att simulera kontakten mot underlaget. Denna kontakt är en förenkling av
verkligheten eftersom den hindrar all rörelse i y-riktning, inte bara i riktning mot
underlaget.
4.4.2 Implicit analys
Den implicita analysen bygger på att resultaten från den explicita analysen hämtas.
Geometri och information om databasen hämtas med hjälp av cdb- och iges-filer. Tack
vare detta är modellen redan elementindelad och materialen angivna, förutom de
piezoelektriska egenskaperna. Det som måste göras för den implicita analysen är att
byta typ av element och sätta upp de randvillkor som ska gälla under analysen samt
lägga till de piezoelektriska egenskaperna
4.4.2.1 Element och elementindelning
I den implicita analysen används samma typ av element som i de tidigare implicita
analyserna. Mässingsblecken indelas med Plane 182 och den piezoelektriska keramen
med Plane 13. Storleken på elementen är satt till 0.1 mm och metoden ”Free mesh”
används.
4.4.2.2 Randvillkor och kontakter
Ingen kontakt används för att beskriva hur den piezoelektriska keramen och
mässingsblecken är sammansatta. I stället används en gemensam linje för kontaktytan
mellan de två ytorna i modellen. Detta innebär att noderna på kontaktytan delas mellan
den piezoelektriska keramen och mässingsbrickorna. De elektriska villkoren måste dock
appliceras på kontaktytorna mot mässingsbrickorna. Den övre kontaktytan jordas genom
att sätta frihetsgraden spänning till noll. I den undre kontaktytan för keramen används
en koppling mellan noderna för att tvinga dem att få samma potential, se figur 4.31
nedan.
De enda strukturella randvillkoren som används är föreskrivna nodförskjutningar. Dessa
appliceras på noderna genom att använda ett makro, bilaga 6. Detta makro läser in
textfilerna som skapats vid den explicita beräkningen och sparar dem som tabeller,
sedan appliceras de som förskjutningsvillkor på noderna.
49

Ingen spänning
Gemensamma noder
Kopplade noder
Figur 4.31: Modell och villkor för den implicita delen av den sekventiella analysen
4.4.2.3 Övriga inställningar
Responstiden som används är densamma som för den explicita beräkningen nämligen
0.1 ms. Detta tidsintervall delas upp i 300 delsteg.
4.4.3 Resultat
Resultaten från den sekventiella lösningsgången ger ungefär samma resultat som den
implicita. På de lägre höjderna blir liksom tidigare den beräknade spänningen mycket
högre än den uppmätta. Men ett kraftigt ”rassel” på spänningskurvan fås på de låga
fallhöjderna, se figur 4.32. Detta är tvärt emot resultaten vid den implicita analysen där
fenomenet med ”rassel” uppkommer för högre höjder, se figur 4.25.
Orsaken till att resultaten blir sämre vid låga höjder misstänks ligga i att provningen är
mycket känsligare för de variationer som sker när kulan släpps. De störningar som
uppkommer i form av ”rassel” kan minskas genom att de transienta effekterna
deaktiveras, dvs. masströgheten exkluderas ur beräkningen, se figur 4.33. Som i tidigare
analyser är karaktären på kurvan olik den uppmätta, framförallt på lägre höjder.
Spänningen minskar snabbt och stannar tvärt upp när den närmar sig noll, till skillnad
från den uppmätta kurvan som har en mycket mjuk avlastning.
50

Spänning 10mm
Spänning 10mm
160
160
140
140
120
120
100
100
Spänning [Volt]
80
60
40
Prov 10mm
Explicit-Implicit
Spänning [Volt]
80
60
40
Prov 10mm
Explicit-Implicit
Icke transienta effekter
20
20
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-20
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-20
-40
Tid [s]
-40
Tid [s]
Figur 4.32: Spänningskurvan från den
sekventiella lösningen får ett kraftigt
rassel på låga höjder som här då
fallhöjden är 10 mm
Figur 4.33: Genom att exkludera
masströgheten minskas rasslet
Vid högre höjder stämmer stigning och tillbakagången av spänningskurvan väl överens
vid jämförelse. Men för den lägsta höjden är spänningsamplituden nästintill dubbelt så
hög för den beräknade i jämförelse med den uppmätta. Däremot så stämmer amplituden
mycket väl vid de högre höjderna. Felet i amplitud minskar med den ökande höjden för
att ligga under tio procent från och med 150 mm fallhöjd. I grafen i figur 4.34 plottas
felet för de olika höjderna. En svag indikation på att felet eventuellt kan öka något vid
de högsta höjderna.
Tabell 5: Tabell över det procentuella felet vid sekventiell lösning för ”Testfall 2”
Höjd [mm] Fel på maxamplitud [%]
10 104.5
30 55.9
60 29.5
90 21.4
120 13.7
150 9.0
180 -0.2
210 0.4
240 -0.7
270 3.6
300 0.0
330 -2.1
360 6.9
P ro cen t [% ]
Procentuellt fel på maximala amplituden
110,0
100,0
90,0
80,0
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
-10,0
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Fallhöjd [mm]
Figur 4.34: Det procentuella felet
Procent
51

Det är mycket viktigt att ett fint elementnät används. Resultatet i figur 4.35 visar hur
spänningskurvan påverkas när meshen ändras. Genom att öka elementstorleken till
ungefär den dubbla ökade den maximala spänningen med ca 100 Volt. Det motsvarar en
ökning av felet från 6.94 % till 19.57 %, dvs. en ökning med 12.63 %. Elementstorleken
i kontakten mellan kula och anslagskropp är mycket viktig för att återge en korrekt
impuls, samtidigt som elementstorleken i resten av strukturen måste vara tillräckligt fin
för att återge utbredningen av impulsen bra.
Spänning 360mm
1000
900
800
700
Elektrisk spänning [Volt]
600
500
400
300
200
Prov 360mm
Grov mesh
Explicit-Implicit
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
Figur 4.35: Förändring av amplitud när meshen förfinas
52

5 Diskussion och slutsats
Undersökningen är begränsad till de studerade stöthastigheterna och storleken på FEmodellerna.
För de verkliga fall där metoden är tänkt att användas kommer
hastigheterna att vara mycket större. Det kan handla om hastigheter omkring 200 m/s. 2-
dimensionella axisymmetriska modeller av verkliga granater innebär mycket större
modeller. I vissa fall kan inte axisymmetri utnyttjas vilket kräver hela 3-dimensionella
modeller. Dessutom innebär sådana simuleringar att den piezoelektriska keramen
tillsammans med granatstrukturen rör sig och målet står stilla, till skillnad från de här
presenterade analyserna. Detta kommer att påverka förskjutningarna som då förutom
rörelsen sinsemellan även har en hög hastighet mot målet vilket eventuellt kan skapa
problem.
Resultaten från undersökningen tyder på att metoden fungerar väl. I vissa fall stämmer
resultaten mycket bra. Speciellt bra stämmer den första halvan av impulsen. Det är
också den delen av impulsen som är den viktigaste. I den verkliga granaten aktiveras
detonationssekvensen när en viss spänning uppnås. Detta innebär att kretsen som den
piezoelektriska keramen är kopplad till sluts och keramen laddas ut.
Ett intressant, men samtidigt bekymrande resultat från denna undersökning är att en bra
överensstämmelse med spänningsamplituden fås genom två olika typer av beräkningar.
I det första fallet, som är en ren elastisk beräkning, appliceras en extern kapacitans på
1.2 nF så den totala kapacitansen för kristallen blir 2.3 nF. Det andra fallet är då elastoplastiska
materialmodeller används i analysen, dock utan en extra kapacitans. Den
verkliga kapacitansen för den piezoelektriska keramen mättes till 2.3 nF, men då mättes
kapacitansen över kontaktblecken i mässing. I analysen beräknades kapacitansen direkt
över keramen, dvs. påverkan från den limmade kontakten mellan keramen och
mässingsblecken inkluderas inte. En analys på en struktur med kända
materialparametrar skulle kunna ge svar på om den externa kapacitansen är nödvändig
eller inte.
I analysen med de elasto-plastiska materialmodellerna används antagna värden i stor
utsträckning. Dessa värden har därför fått anpassas i viss mån för att få bättre
överensstämmelse med de experimentella resultaten. Metoden genererar bra resultat
över en stor del av testintervallet, speciellt i de fall där belastningen är något högre.
Den slutsats som kan dras från denna utredning är att det fungerar mycket väl att
prediktera den elektriska spänning som den piezoelektriska keramen genererar vid olika
belastningar. Lösningen kan utföras sekventiellt, med en explicit följt av en implicit
beräkning. Felet är störst för de fall med minst belastning, men felet avtar snabbt till en
nivå på 10 %, som anses vara acceptabel nivå. Arbetet med att undersöka metoden bör
utvidgas till fullständiga modeller på riktiga granatanslag innan metoden kan
säkerställas som pålitlig.
53

6 Rekommendationer
En bra fortsättning till detta arbete är att utföra en analys på ett prov där alla
materialparametrar är kända. Beräkningarna är känsliga för hur och när materialen
plasticeras. Detta skulle kunna utesluta behovet av t.ex. en extern kapacitans. Denna
metod skulle också kunna bidra till att den piezoelektriska keramen kan kalibreras vilket
borde förbättra resultatet.
En annan fortsättning kan vara att använda hela 3-dimenisionella FE-modeller av
verkliga granater. Validering av modellen kan då göras genom att använda en
modalhammare för att knacka på granaten. Då kan både impulsen som skickas in i
granaten och den genererade spänningen mätas. Belastningsfallet kan då återskapas
eftersom den ingående impulsen är känd. Efter detta kan simuleringar på riktiga
granatanslag utföras med stora deformationer och hastigheter.
Den är även intressant att analysera kapacitansen för den piezoelektriska keramen.
Mätningar på keramens yta kan vara till nytta för att bekräfta beräkningsmodellen.
Sedan är det även intressant om kontaktkapacitansen mellan kristallen och
kontaktblecken utvärderas. Då kan detta eventuellt appliceras i FE-modellen, så att den
elektriska spänningen kan bestämmas från mässingsblecken i stället för från ytan på
keramen.
55

7 Referenser
[1] Stark E., Zander J., Åkerlund J., Avancerade Keramer, Avacerade
konstruktionsmaterial, KTH, Stockholm 2002, s.14-22
http://www.met.kth.se/mattechnol/FUMA2002/Avancerade%20keramer.doc
[20060911]
[2] http://www.americanpiezo.com/piezo_theory/index.html
[3] Phillips J.R., Piezoelectric Thechnology Primer, CTS Wireless Components,
Albuquerque 2000
http://www.ctscorp.com/components/Datasheets/piezotechprimer.pdf
[20060911]
[4] Ansys Release 10.0 Documentation, Pittsburgh 2005
[5] Imaoka S., Ansys Tip of the Week: Conversion of Piezoelectric Material Data,
Redondo Beach 1999
http://ansys.net/ansys/tips/Week13_TNT_Conversion_of_Piezoelectric_Material_
Data.pdf [20060917]
[6] Sundström B., Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, upplaga 2,
Instutitionen för hållfasthetslära KTH, Stockholm 1999, s. 129
[7] Imaoka S., Conversion_of_Piezoelectric_Material_Data, Collaborative Sollutions
Inc, Redondo Beach 1999
http://ansys.net/ansys/tips/Week13_TNT_Conversion_of_Piezoelectric_Material_
Data.xls [20061001]
Övriga informationskällor
Piezoceramics; CeramTec. Produktkatalog
Http://www.piezo.com/tech1terms.html [20060911]
Http://www.ieee-uffc.org/archive/public/opapers/t9030233.pdf [20060913]
http://www.npl.co.uk/materials/functional/pdf/cmmta150.pdf [20060917]
http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1678-58782004000200002&script=sci_arttext
library.usask.ca/theses/available/etd-04112005-130655/unrestricted/raniers_thesis.pdf
Morgan electroceramics
http://www.morganelectroceramics.com/pzbook.html
57

Bilagor
[Bilaga 1] Resultat från analys av ”Testfall 1”
Resultaten från simulering av testfall 1 visar hur de olika parametrarna påverkar den
elektriska spänningen som genereras av den piezoelektriska kristallen.
Kultest 34mm's fallhöjd
Stor vs. liten modell 84mm's fallhöjd
225
4,00E+02
200
3,50E+02
175
3,00E+02
150
2,50E+02
Spänning [Volt]
125
100
75
Praktiskt Prov_34mm
Ansys_34mm_1GPapla
st liten modell
Ansys 34mm stor
modell 3GPa plast
Spänning [Volt]
2,00E+02
1,50E+02
Ansys liten modell
Ansys stor modell
Praktiskt prov
50
1,00E+02
25
5,00E+01
0
0 0,00005 0,0001 0,00015
-25
0,00E+00
0,00E+00 5,00E-05 1,00E-04 1,50E-04 2,00E-04 2,50E-04
-5,00E+01
Tid (s)
Tid [s]
Graferna ovan visar att det beräknade resultatet är högre än det uppmätta. Bredden på
impulsen är dessutom mycket smalare för de beräknade kurvorna. Den lilla modellen
som först provades ger ett sämre resultat än den större modellen. Den större modellen är
en utökning av den lilla och innebär att en större efterliknelse av den verkliga
utrustningen. Amplituden på den beräknade elektriska spänningen stämmer bättre
överens med den uppmätta när höjden ökas.
Kultest 84mm's fallhöjd
400
375
350
325
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
25
0
-25 0 0,00005 0,0001 0,00015
-50
-75
-100
-125
-150
-175
-200
-225
Spänning [Volt]
Tid (s)
Praktiskt Prov
Ansys liten modell
1Gpa plastbricka
Ansys stor modell
1GPa plastplastbricka
alla kontakter=bonded
Ansys stor modell
1GPa plastbricka
Ansys stor modell
3GPa plastbricka
Elasticitetsmodulen för plastbrickan, som är placerad under den piezoelektriska
keramen varierades i hopp om att förlänga impulsbredden. Resultaten visade dock att
variationen på dess materialparametrar inte påverkade impulsbredden nämnvärt.
I

Kultest 164mm's fallhöjd
Inverkan av konstant dämpning i den piezoelektriska keramen
164mm's fallhöjd
600
500
500
400
400
Praktis kt Prov
300
Praktiskt prov
Spänning [Volt]
300
200
100
Ansys liten modell
1Gpa plastbricka
Ansys stormodell 2GPa
plastbricka
Ansys Stor modell
3GPa plastbricka
200
100
Ansys med konstant
dämpning=1e-5
Ansys med konstant
dämpning=4e-6
Ansys med konstant
dämpning=1e-6
Ansys med konstant
dämpning=6e-6
0
0
0 0,00005 0,0001 0,00015
0 2E-05 4E-05 6E-05 8E-05 0,0001 0,0001
-100
Tid (s)
-100
Tid [s]
Genom att prova att applicera en konstant dämpning i den piezoelektriska
materialmodellen fås en något mjukare start samt avslut, vilket påminner om den
uppmätta kurvan. Men effekten är liten och om tillräckligt stor skillnad ska uppnås
måste dämpningen vara så stor att amplituden dämpas alldeles för mycket. Därigenom
tros inte problemet ligga i dämpningen.
Kultest 370mm's fallhöjd
900
800
700
Praktiskt Prov
Spänning (V)
600
500
400
300
200
100
Ansys normal
Ansys istotropisk relativ
permitivitet 1260
Ansys utan
piezoelektriska xy & zy
komponenter
Ansys reducerad
elasticitetsmodul (-10%)
0
0 0,00005 0,0001 0,00015
-100
Tid (s)
Känsligheten för de antagna parametrarna har kontrollerats genom att variera både
värdet på den relativa permitiviteten samt de piezoelektriska laddningskonstanterna.
Eftersom variationen av parametrarna inte gett någon större inverkan på resultatet tyder
detta på att de antagna värdena anses tillräckligt goda.
II

[Bilaga 2] Resultat från implicit analys av ”Testfall 2”
Beräkningar har utförts både med linjärt elastiska materialmodeller och med
plasticerande materialmodeller. De elastiska beräkningarna kräver en extern kapacitans
på 1.2 nF för att amplituden på spänningskurvan ska stämma bra med den uppmätta.
Däremot så stämmer karaktären för kurvan inte bra med den uppmätta. Resultatet är
liktydigt för alla fallhöjder som visas i graferna nedan. Amplituden blir något bättre när
höjden ökar.
Korrelation då mellan 1,1nF och 2,3nF
Procentuellt fel på maximal amplitud vid elastiska beräkningar
900,00
100,00
2,3nF (Keram + extern kapacitans)
800,00
700,00
600,00
500,00
400,00
300,00
200,00
100,00
y = 0,652x + 1,8432
R 2 = 1
Serie1
Linjär (Serie1)
Fel [%]
90,00
80,00
70,00
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
Ansys 1,1nF
Ansys 2,3nF
10,00
0,00
0,00 200,00 400,00 600,00 800,00 1000,0
0
1200,0
0
1400,0
0
0,00
0 100 200 300 400
1,1nF (Bara keramen)
Höjd [mm]
Korrelationen visar att spänningen är proportionellt beroende på vilken extern
kapacitans som den piezoelektriska keramen belastas med.
Spänning 10mm
Spänning 30mm
140
300
120
250
100
200
Spänning [Volt]
80
60
40
Prov 10mm
10mm Ansys
10mm Ansys 2,3nF
Spänning [Volt]
150
100
Prov
30mm Ansys
30mm Ansys 2,3nF
50
20
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-20
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
Spänning 60mm
Spänning 90mm
450
600
400
500
350
300
400
Spänning [Volt]
250
200
150
Prov 60mm
60mm Ansys
60mm Ansys 2,3nF
Spänning [Volt]
300
200
Prov 90mm
90mm Ansys
90mm Ansys 2,3nF
100
100
50
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
III

Spänning 120mm
Spänning 150mm
700
800
600
700
500
600
Spänning [Volt]
400
300
200
Prov 120mm
120mm Ansys
120mm Ansys 2,3nF
Spänning [Volt]
500
400
300
200
Prov 150mm
150mm Ansys
150mm Ansys 2,3nF
100
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
-100
Tid [s]
Tid [s]
Spänning 180mm
Spänning 210mm
900
900
800
800
700
700
600
600
Spänning [Volt]
500
400
300
Prov 180mm
180mm Ansys
180mm Ansys 2,3nF
volt
500
400
300
Prov 210mm
210mm Ansys
210mm Ansys 2,3nF
200
200
100
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
tid
Spänning 240mm
Spänning 270mm
1000
1200
800
1000
600
800
Spänning [Volt]
400
Prov 240mm
240mm Ansys
240mm Ansys 2,3nF
Spänning [Volt]
600
400
Prov 270mm
270mm Ansys
270mm Ansys 2,3nF
200
200
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-200
-200
Tid [s]
Tid [s]
Spänning 300mm
Spänning 330mm
1200
1200
1000
1000
800
800
Spänning [volt]
600
400
Prov 300mm
300mm Ansys
300mm Ansys 2,3nF
Spänning [Volt]
600
400
Prov 330mm
330mm Ansys
330mm Ansys
200
200
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-200
-200
Tid [s]
Tid [s]
IV

Spänning 360mm
1400
1200
1000
Spänning [Volt]
800
600
400
Prov 360mm
360mm Ansys
360mm Ansys med
2,3nF
200
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-200
Tid [s]
De beräkningar som gjorts med plasticerande material uppvisar en bättre
överensstämmelse med uppmätta kurvorna. Impulsbredden och amplituden stämmer bra
förutom vid fallhöjder under 50 mm. Felet som är mycket stort vid de lägsta höjderna
minskar drastiskt när höjden ökar vilket visas i nedanstående grafer.
Procentuellt fel på maximala amplituden
Spänning 10mm
50,0
120
40,0
100
30,0
80
Procent [%]
20,0
10,0
Fel [%]
Spänning [Volt]
60
40
Prov 10mm
Ansys Volt
20
0,0
0 100 200 300 400
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-10,0
Höjd [m m ]
-20
Tid [s]
Spänning 30m m
Spänning 60m m
200
300
180
160
250
140
200
120
Spänning [Volt]
100
80
60
Prov 30mm
Ansys Volt
Spänning [Volt]
150
100
Prov 60mm
Ansys Volt
40
50
20
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-20
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
Tid [s]
V

Spänning 90m m
Spänning 120m m
350
400
300
350
250
300
Spänning [Volt]
200
150
100
Prov 90mm
Ansys Volt
Spänning[Volt]
250
200
150
100
Prov 120mm
Ansys Volt
50
50
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
Spänning 150m m
Spänning 180m m
450
400
350
300
600
500
400
Spänning [Volt]
250
200
150
Prov 150mm
Ansys Volt
Spänning [Volt]
300
200
Prov 180mm
Ansys Volt
100
100
50
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
tid
Spänning 210m m
Spänning 240m m
600
700
500
600
400
500
Spänning [Volt]
300
200
Prov 210mm
Ansys Volt
Spänning [Volt]
400
300
200
Prov 240mm
Ansys Volt
100
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
VI

Spänning 270mm
Spänning 300mm
700
800
600
700
500
600
500
Spänning [Volt]
400
300
200
Prov 270mm
Ansys Volt
Spänning [Volt]
400
300
200
Prov 300mm
Ansys volt
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
-100
-200
Tid [s]
Tid [s]
Spänning 330m m
800
700
600
500
Spänning [Volt]
400
300
200
100
Prov 330mm
Ansys Volt
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
-200
-300
Tid [s]
VII

VIII

[Bilaga 3] Resultat från sekventiell analys av ”Testfall 2”
Resultaten från den sekventiella beräkningen presenteras i nedanstående grafer.
Simuleringen är gjord genom att först beräkna påkänningen från kulan med explicita
beräkningsmodeller i LS-Dyna. Beräkningarna ger en dålig överensstämmelse vid låga
höjder men allteftersom höjden ökas så sjunker felet kraftigt. Både karaktären och
amplituden stämmer väl överens med de uppmätta proverna och felet stabiliseras på en
nivå under 10 %.
Spänning 10mm
Spänning 10mm
160
160
140
140
120
120
100
100
Spänning [Volt]
80
60
40
Prov 10mm
Explicit-Implicit
Spänning [Volt]
80
60
40
Prov 10mm
Explicit-Implicit
Icke transienta effekter
20
20
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-20
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-20
-40
Tid [s]
-40
Tid [s]
Det ”rassel” som uppstår vid de låga höjderna beror på något slags störning i
beräkningen. Det kan reduceras genom att undvika att ta med masströgheten i
beräkningen, dvs. de transienta effekterna exkluderas i beräkningen.
Spänning 30mm
Spänning 60mm
250
350
200
300
250
150
Spänning [Volt]
100
50
Prov 30mm
Explicit-Implicit
Spänning [Volt]
200
150
100
Prov 60mm
Explicit-Implicit
50
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
Acceleration på kula vid anslag
Spänning 90mm
70000
60000
50000
400
350
300
Acceleration [m/s^2]
40000
30000
20000
10000
Acceleation i centrum på
kula
Spänning [Volt]
250
200
150
100
50
Prov 90mm
Explicit-Implicit
0
0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 0,0001 0,00012
-10000
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
Tid [s]
IX

Spänning 120mm
Spänning 150mm
450
500
400
350
400
300
250
300
Spänning [Volt]
200
150
100
Prov 120mm
Explicit-Implicit
Spänning [Volt]
200
100
Prov 150mm
Explicit-Implicit
50
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-50
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
-100
Tid [s]
Tid [s]
Spänning 180mm
Spänning 210mm
600
600
500
500
400
400
Spänning [Volt]
300
200
Prov 180mm
Explicit-Implicit
Spänning [Volt]
300
200
Prov 210mm
Explicit-Implicit
100
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
-100
Tid [s]
Spänning 240mm
Spänning 270mm
700
700
600
600
500
500
Spänning [Volt]
400
300
200
Prov 240mm
Explicit-Implicit
Spänning [Volt]
400
300
200
Prov 270mm
Explicit-Implicit
100
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
-100
Tid [s]
Tid [s]
Spänning 270mm
Spänning 300mm
700
800
600
700
500
600
Spänning [Volt]
400
300
200
Prov 270mm
Explicit-Implicit
Spänning [volt]
500
400
300
200
Prov 300mm
Explicit-Implicit
100
100
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
X

Spänning 330mm
Spänning 360mm
800
1000
700
900
600
800
700
Spänning [Volt]
500
400
300
200
100
Prov 330mm
Explicit-Implicit
Elektrisk spänning [Volt]
600
500
400
300
200
100
Prov 360mm
Grov mesh
Explicit-Implicit
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
0
0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025
-100
Tid [s]
Procentuellt fel på maximala amplituden
110,0
100,0
90,0
80,0
70,0
Procent [% ]
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
-10,0
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Fallhöjd [mm]
Procent
XI

XII

[Bilaga 4] Ritningar av modeller
Denna bilaga innehåller enkla ritningar över de modeller som använts vid de olika
simuleringarna. Den piezoelektriska keramen är den samma vid alla simuleringar.
Ritning på den piezoelektriska keramen tillsammans med kontaktblecken i mässing
Ritning på plastbricka för ”Testfall 1”
XIII

Ritning på den lilla modellen i ”Testfall 1”
XIV

Ritning på stora modellen i ”Testfall 1”
XV

Ritning på modell använd i ”Testfall 2”
XVI

[Bilaga 5] Makro för att hämta nodförskjutningar
! 1macro_explicit
!Detta macro hämtar förskjutningarna i x och y och sparar dem i en tabell.
!Tabellen skrivs sedan ut till en txt-fil. Detta macro används för hoppa
! mellan explicit och implicit körning. Noderna måsta ha samma
!position och koordinater i de två beräkningarna. Detta kan fixas med hjälp av mesh200.
!
! Av: Kenneth Sjöqvist 2006-12-15
!
/PMACRO
/UI,LSEL,S
NSLL,S,1
/POST1
*GET,NODMIN,NODE,,NUM,MIN
*GET,NODMAX,NODE,,NUM,MAX
!
SET,LAST
*GET,SUBS,ACTIVE,,SOLU,NCMSS
!
SET,,1,,,,,,
*DO,J,NODMIN,NODMAX
!
*DIM,UXX%J%,TABLE,SUBS,1,,TIME,X-DISP,
*DIM,UYY%J%,TABLE,SUBS,1,,TIME,Y-DISP,
!
*DO,I,1,SUBS,1
SET,,I,,,,,,
*GET,UXX%J%(I,0),ACTIVE,,SET,TIME
*GET,UYY%J%(I,0),ACTIVE,,SET,TIME
*GET,UXX%J%(I,1),NODE,J,U,X,
*GETUYY%J%(I,1),NODE,J,U,Y,
*ENDDO
XVII

*CFOPEN,'UXX%J%','TXT',' '
*VWRITE,UXX%J%(1,0),UXX%J%(1,1)
(F14.10,F14.10)
*CFCLOS
*CFOPEN,'UYY%J%','TXT',' '
*VWRITE,UYY%J%(1,0),UYY%J%(1,1)
(F14.10,F14.10)
*CFCLOS
!
*ENDDO
PARSAV,SCALAR,'parametrar','txt',' '
XVIII

[Bilaga 6] Makro för att applicera nodförskjutningar
! 1MACRO_IMPLICIT
!
!DETTA MACRO HÄMTAR PARAMETRAR OCH LÄSER IN RESULTATEN FRÅN DEN
EXPLICITA ANALYSEN OCH SPARAR DE I TABELLER
!FÖRSKJUTNINGARNA FRÅN DEN EXPLICITA ANALYSEN APPLICERAS PÅ
!NODERNA SOM SKA HA SAMMA NUMMMER OCH POSITION SOM
!I DEN EXPLICITA ANALYSEN
!
! AV:KENNETH SJÖQVIST 2006-12-15
!
!
PARRES,NEW,'parametrar','txt',' '
/SOLU
*DO,JJ,NODMIN,NODMAX,1
!
*DIM,ux%JJ%,TABLE,SUBS,1,1,TIME,,
*TREAD,ux%JJ%,UXX%JJ%,TXT,,0
*DIM,uy%JJ%,TABLE,SUBS,1,1,TIME,,
*TREAD,UY%JJ%,UYY%JJ%,TXT,,0
!
*ENDDO
AA='UX%JJ%'
AA=STRCAT('%',AA) $ AA=strcat(AA,'%')
/OUTPUT,TEMPFIL,TXT
/COM,D,JJ,UX,%AA%
/OUTPUT, TERM
/INPUT,TEMPFIL,TXT
/DELETE,TEMPFIL,TXT
AA='UY%JJ%'
AA=STRCAT('%',AA) $ AA=strcat(AA,'%')
/OUTPUT,TEMPFIL,TXT
/COM,D,JJ,UY,%AA%
/OUTPUT, TERM
/INPUT,TEMPFIL,TXT
/DELETE,TEMPFIL,TXT
XIX