PDF of Lecture Notes - School of Mathematical Sciences

1. DISTRIBUTION THEORY
Just substitute
P (x, y − x) = P X1 (x)P X2 (y − x).
Theorem. 1.8.2
Suppose X 1 , X 2 are continuous with PDF, f(x 1 , x 2 ), and let Y = X 1 + X 2 . Then
1. f Y (y) =
∫ ∞
−∞
f(x, y − x) dx.
2. If X 1 , X 2 are independent, then
f Y (y) =
Proof. 1. F Y (y) = P (Y ≤ y)
∫ ∞
−∞
= P (X 1 + X 2 ≤ y)
f X1 (x)f X2 (y − x) dx.
=
∫ ∞ ∫ y−x1
x 1 =−∞ x 2 =−∞
f(x 1 , x 2 ) dx 2 dx 1 .
Let x 2 = t − x 1 ,
⇒ dx 2
dt = 1
⇒ dx 2 = dt
=
=
∫ ∞ ∫ y
−∞
∫ y
−∞
−∞
f(x 1 , t − x 1 ) dt dx 1
{∫ ∞
}
f(x 1 , t − x 1 ) dx 1 dt
−∞
⇒ f Y (y) = F ′ Y (y) =
∫ ∞
−∞
f(x, y − x) dx.
Proof. (2)
Take f(x, y − x) = f X1 (x) f X2 (y − x) if X 1 , X 2 independent.
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