Zermelo-Fraenkel Set Theory

Contents
1 Introduction 3
2 Axioms 5
3 Natural Numbers 11
3.1 Peano Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Set-theoretic Definition of IN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Order, Induction and Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Transitive Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Inductive Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Ordinals 23
4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Well-order Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Fixed Point Hierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Cumulative Hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.6 Initial Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.7 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8 Well-ordering of OR × OR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Axiom of Choice 38
6 Cardinals 41
6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Elementary Properties and Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.3 Cofinality and Regularity (cardinal version) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4 Cofinality and Regularity (ordinal version) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.5 Continuum Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Bibliography 51
7 Consistency of AC and GCH 53
7.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Logical Background: Interpretation, Inner Model . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Transitive Inner Models and Absoluteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.4 Constructible Hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.5 Reflection and Löwenheim-Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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