Libro con resumenes y ejercicios resueltos

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SolucionesProblema 1: Para rotaciones que actúan sobre spinores, sabemos que:U(θ) = e − i 2 ⃗σ·ˆnθ (64)donde ˆn es la dirección del eje de rotación. En este caso, ˆn = ˆx, con lo que obtenemos de la ecuaciónanterior:U(θ) = e − i σx θ 2 (65)Pero como vimos en la ayudantía anterior, esto puede ser expandido de la forma siguiente:θU(θ) = 1 − iσ x2 + 1 ( ) 2θ−iσ x + ... (66)2! 2Ahora, podemos simplificar esta ecuación simplemente considerando las siguientes igualdades:σ 2 x = σ 4 x = ... = 1 (67)σ 3 x = σ x (68)Luego, es muy sencillo separar esto y obtener la simplificación correspondiente:( θ2) 2+ 1 4!( θ2U(θ) = 1 − 1 2(θ− iσ x2 + 1 ( ) 3 θ+ ...)3! 2) 4− ... (69)Luego, es evidente el resultado:U(θ) = cos θ 2 − iσ xsin θ 2(70)(b) Considerando el estado inicial (10) T , autoestado spin up del operador S z . El estado rotado es:|ξ + 〉 θ = e −i 2(σx θ 10)(71)Luego, tenemos que:|ξ + 〉 θ =(cos θ 2 − iσ xsin θ ) ( 12 0)(72)El estado queda dado por:|ξ + 〉 θ =( cosθ2−isin θ 2Entonces, las probabilidades de medir ± 2 según el nuevo eje z′ están dadas por:)(73)P + = cos 2 θ 2¿Cómo calculamos el valor de expectación de S z ′P − = sin 2 θ 2entre estados originales:(74)S z ′ = e i 2 σxθ S z e − i 2 σxθ (75)9
Entonces, se obtiene:Lo que se transforma en (no hemos considerado las únidades):(〈+|S z ′|+〉 = cos θ ) (1 02 , isinθ 2 0 −1Entonces el valor de expectación es:〈+|S z ′|+〉 = 〈+|e i 2 σxθ S z e − i 2 σxθ |+〉 (76)) (cosθ2−isin θ 2)(77)〈+|S z ′|+〉 = cos 2 θ 2 − sin2 θ 2(78)Problema 2: De la definición del operador de momento angular, obtenemos rápidamente:Luego,¿Cómo llegamos a esto? Usando que:ˆX = Aŝ y + Bŝ z = A 1 2 σ y + B 1 2 σ z (79)( ˆX) 2 = 24 (A2 + B 2 + AB{σ y , σ z }) (80)σ 2 i =(1 00 1= 24 (A2 + B 2 ) (81))= I, i = 1, 2, 3 (82)y además que:Luego, los dos autovalores de ˆX son:{σ i , σ j } = σ i σ j + σ j σ i = 2δ ij (83)X 1 = 2√A2 + B 2 , X 2 = − 2√A2 + B 2 (84)En la representación de ŝ 2 y Ŝz, tenemos:ˆX = 2 (Aσ y + Bσ z ) = ( B −iA2 iA −BAhora, supongamos que los autovectores tienen la forma:( )ab)(85)Luego, podemos escribir el problema de autovalores obteniendo:( ) ( ) ( ) B −iA a a= T2 iA −B b bdonde:T = 2( √ )± A2 + B 2 00 ∓ √ A 2 + B 2(86)(87)10
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Con esto, lo que se tiene según lo
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ω fi = E 1 − E 0√kω =m(562)(5
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Luego, recordemos como se resuelve
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e ⃗ S 2 | + −〉 = e ⃗ S 2 1
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2 Aproximación WKB2.1 Problemas Re
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E = 1 ( ( 22 mω2 n + 1 ) )− b 2m
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[ √ ]1/6 2/6B = √2/6 1/3(675)Es
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a) Una posible solución al problem
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De modo que tenemos tres casos:| 1,
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