Libro con resumenes y ejercicios resueltos

Pontificia Universidad Católica de Chile - Facultad de FísicaQM II - FIZ0412Ayudantía 6Profesor: Max BañadosAyudante : Nicolás Pérez (nrperez@uc.cl)Resumen Método Variacional - Teoría de perturbaciones degeneradaLa idea del método variacional es básicamente buscar al tanteo la energía del ground-state E ground . Se utilizacuando no es posible resolver la ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo).Teorema:E ground ≤ 〈ψ|Hψ〉 = 〈H〉 (258)En este método, a la función ψ se le denomina función de prueba. Luego de calcular el valor de expectación, seprocede a buscar los puntos críticos de este para extremizar.Problemas1. Haga una estimación variacional para el nivel más bajo de energía de una partícula de masa m confinadaen una caja unidimensional de largo a. Para ello considere la función de prueba (Ansatz) (φ(x) =Ax n (a − x) n ). Siendo n un parámetro variacional. ¿Por qué es un Ansatz razonable?Compare la energía variacional óptima con el valor exacto E 1 = (π 2 2 )/(2ma 2 ).Compare también el valor no óptimo obtenido con n = 1Se cumple:∫ 1También le puede ser de utilidad Γ(a + 1) = aΓ(a)0x m−1 (1 − x) n−1 dx = B(m, n) = Γ(m)Γ(n)Γ(m + n)2. Considere las correcciones perturbativas que discutiéramos en clases para un caso degenerado. Considerepara ser más explícitos un sistema en que los dos primeros estados |1〉 y |2〉 son degenerados. Muestre quela corrección a primer orden para la función de onda |1〉 (1) viene dada por|1〉 (1) = ∑n≠(1,2){ 〈ψ2 |V |n〉〈n|V |ψ 1 〉E1 0 − E0 n(v + − v − ) |ψ 2〉 + |n〉〈n|V |ψ }1〉E1 0 − E0 nasí como una expresión análoga para |2〉 (1) . En la fórmula anterio v + Y v − denotan los autovalores queprovienen de diagonalizar la matriz secular, siendo |ψ 1 〉 y |ψ 2 〉 los correspondientes autovectores.¿Cuál es la expresión para la corrección a primer orden a la función de onda de los otros estados |n〉,n ≠ 1, 2?36