Libro con resumenes y ejercicios resueltos

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Finalmente, reemplazando |2〉 (1) obtenido anteriormente en (23), se tiene:{ ∑E (2)〈ψ1 |V |n〉〈n|V |ψ 2 〉2 = 〈ψ 2 |V |(E2 0 − E0 n)(v − − v + ) |ψ 1〉 + 〈n|V |ψ 2〉E2 0 − E0 nE (2)2 = ∑ { 〈ψ 1 |V |n〉〈n|V |ψ 2 〉(E2 0 − E0 n)(v − − v + ) | + 〈n|V |ψ }2〉〈ψ 2 |V |n〉E2 0 − E0 nE (2)2 = ∑ |〈n|V |ψ 2 〉| 2E 0 2 − E0 n}|n〉(301)(302)(303)Problema 3:En este problema, tenemos una degeneración g = 4 para todos los estados en el nivel n = 2. ¿Por qué seproduce esta degeneración? Se produce porque tenemos para un n dado, tenemos distintos valores para ldado que0 ≤ l < ny además, m puede tomar distintos valores para cada l. Es así, como esto nos lleva a 4 estados diferentes,que son presentados a continuación:2s φ n=2,l=0,m=0 =2p φ n=2,l=1,m=−1 = − 18 √ πa 3 0φ n=2,l=1,m=0 =14 √ πa 3 0φ n=2,l=1,m=1 =18 √ πa 3 0(1√ 1 − r )e −r/2a08πa302a 0ra 0e −r/2a0 sinθe iφra 0e −r/2a0 cosθra 0e −r/2a0 sinθe −iφAhora, como estamos aplicando un campo eléctrico en la dirección ẑ, el operador apropiado es:V = −ez| ⃗ E| (304)Entonces, lo que debemos hacer. es obtener la matriz secular, utilizando el valor de expectación de V enla base |nml〉. Es decir:V ij = 〈φ i |V |φ j 〉 (305)Podríamos calcular estos 16 elementos de matriz, mas utilizaremos argumentos que tienen que ver con losautoestados, reduciendo la cantidad de calculos. El argumento es que la perturbación tiene elementos dematriz que no se anulan únicamente entre estados de paridad opuesta. Esto es, entre l = 1 y l = 0 en estecaso. Además, para que el elemento que hemos de calcular no se anule, los valores m deben ser iguales,dado que z se comporta como un tensor esférico de rango 1 con componente esférica 0. Así que los únicoselementos que quedan son entre 2S (m = 0 necesariamente) y 2P con m = 0.Entonces, nos queda:45
V =⎛⎜⎝0 〈2s|V |2p, m = 0〉 0 0〈2s|V |2p, m = 0〉 0 0 00 0 0 00 0 0 0⎞⎟⎠donde,〈2s|V |2p, m = 0〉 = 〈2p, m = 0|V |2s〉 = 3ea 0 | ⃗ E|Con esto, queda establecida la matriz secular. Ahora, es suficiente focalizar nuestra atención en la matrizsuperior izquierda 2 × 2 y a partir de ella obtener los shifts de energía.Resolvemos entonces, los autovalores de la matriz. Esto se hace, resolviendo la ecuación secular:Esto, se convierte en:|V − ɛI| = 0(∣0 3ea 0 | E| ⃗3ea 0 | E| ⃗ 0(∣) ( 1 0− ɛ0 1−ɛ 3ea 0 | E| ⃗3ea 0 | E| ⃗ −ɛ)∣ ∣∣∣= 0 (306))∣ ∣∣∣= 0 (307)Esto arroja los autovalores:Λ (1)± = ±3ea 0 | ⃗ E|donde los subscripts ± se refieren a los kets de cero orden que diagonalizan V. Para hallarlos solo resolvemosel kernel de |V − ɛI|.|±〉 = 1 √2(|2s, m = 0〉 ± |2p, m = 0〉)Nótese que el shift es lineal con el campo eléctrico aplicado.Finalmente, lo que se observa, (considerando shifts y autoestados) es:46
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De modo que evaluando en los ángul
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E = 1 ( ( 22 mω2 n + 1 ) )− b 2m
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[ √ ]1/6 2/6B = √2/6 1/3(675)Es
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Ahora el elemento de matriz se calc
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a) Una posible solución al problem
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De modo que tenemos tres casos:| 1,
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