Libro con resumenes y ejercicios resueltos

Problema 1:SolucionesConsideremos las corrección a primer orden (corrección del n-esimo estado a primer orden):E (1)n = 〈n|V |n〉 (169)Recordemos que:|n〉 =√12 n n! ·( mω) (√ )1/4· e− mωx2 mω2 · H nπ xn = 0, 1, 2, ... (170)En nuestro caso:|0〉 = π −1/4 e −x2 /2 · H 0 (x)|0〉 = π −1/4 e −x2 /2Luego, calculando explícitamente la integral, se obtiene:E (1)0 =E (1)0 =∫ ∞−∞∫ ∞−∞E (1)0 = π −1/2 ·E (1)0 = 3 4π −1/4 e −x2 /2 x 4 π −1/4 e −x2 /2 dxπ −1/2 e −x2 x 4 dx( √ ) 3 π4Es útil recordar que:( 1Γ2)= √ π (171)Γ(z) =∫ ∞0t z−1 e −t dt (172)Por otro lado, sabemos que la corrección a segundo orden viene dada por:E (2)n= ∑ m≠n| (0) 〈l|V |n〉 (0) | 2E (0)n − E (0)l√En este problema lo que utilizaremos es V = λx 4 , donde x =2mω (a + a† ). Además en las instruccionesdel enunciado, se dice: = 2M = k/2 = 1 y sabemos que ω = k 2 /2m, entonces:(173)22