Libro con resumenes y ejercicios resueltos

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Ahora, tomamos el campo magnético: ⃗ B = B0ˆx,B 0 constante. Con esto, obtenemos:H = eB (00 12m e c σ 1 , σ 1 =1 0Por otro lado, sabemos que la función de onda es un spinor de dos componentes:Ψ =(ψ1ψ 2)Ahora, reemplazando nuestro caso concreto:(eB 0 0 12m e c 1 0tal que)HΨ = i ∂Ψ∂t) ( )ψ1= i ∂ ( )ψ1ψ 2 ∂t ψ 2(33)(34)(35)aquí la derivada parcial, puede ser reemplazada por la derivada total en el tiempo pues las funciones ψ 1 , ψ 2solo dependen del tiempo. Entonces,:eB 0 2m e c ψ 2 = i dψ 1dteB 0 2m e c ψ 1 = i dψ 2dt(36)(37)Ahora, introducimos la notación ω = eB02m ec. Luego, derivamos la primera ecuación y reemplazamos en lasegunda, obteniendo:En t = 0, |ψ 1 (0)| 2 = 1 y |ψ 2 (0)| 2 = 0. De este modo:−ω 2 ψ 1 = d2 ψ 1dt 2 =⇒ ψ 1 = Ae iωt + Be −iωt (38)Entonces, normalizando la función, se obtiene:ψ 1 = A(e iωt + e −iωt ) (39)ψ 1 (0) = 2A =⇒ 4A 2 = 1 =⇒ |A| = 1 2(40)Entonces, vemos que A = B = 1 2(salvo por fase global).ψ 1 (t) = cosωt (41)ψ 1 (t) = −isinωt (42)Es decir:( 1Ψ = cosωt0) ( 0− isinωt1)(43)Luego, la probabilidad buscada es cos 2 ωt. Otra posibilidad es evolucionar temporalmente el estado inicial( 1 0 ) T de modo que:5
(ψ1 (t)ψ 2 (t)) (= e −iHt 10)(44)Luego, se expande ( 1 0 ) T como C.L. de autoestados de σ x . Allí la acción de H es diagonal. Finalmente,se identifica el coeficiente de la primera componente.3. Problema 3:(a) Para obtener las matrices de spin para s=1, consideramos las relaciones:esto, nos lleva a:S + |1 0〉 = √ 2|1 1〉 (45)S + |1 − 1〉 = √ 2|1 0〉 (46)S − |1 1〉 = √ 2|1 0〉 (47)S − |1 0〉 = √ 2|1 − 1〉 (48)⎛S + = √ 2 ⎝⎛S − = (S + ) † = √ 2 ⎝0 1 00 0 10 0 00 0 01 0 00 1 0⎞⎠ (49)⎞⎠ (50)(51)De aqui, es sencillo obtener:S x = 1 2 (S + + S − ) = √2⎛⎝0 1 01 0 10 1 0⎞⎠ (52)Del mismo modo, obtenemos la matriz en y:S y = 1 2i (S + − S − ) = √2⎛⎝ 0 −i 0i 0 −i0 i 0⎞⎠ (53)Su conmutador es:Esto implica que:⎛[S x , S y ] = i 2 ⎝⎛S z = ⎝1 0 00 0 00 0 −11 0 00 0 00 0 −1⎞⎞⎠ (54)⎠ (55)6
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Luego, recordemos como se resuelve
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[ √ ]1/6 2/6B = √2/6 1/3(675)Es
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Como el operador involucrado consis
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Esto se simplifica , eliminando té
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a) Una posible solución al problem
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