EKSAMEN I FAG SIF5003/5004 MATEMATIKK 1/1A

Norges teknisk–naturvitenskapelige 

universitet 

Institutt for matematiske fag 

Side 1 av 2 

Faglig kontakt under eksamen: 

Ivar Amdal tlf. 73593468 

Eivind Coward tlf. 73 59 16 93 

Trond Digernes tlf. 73593517 

Bjørn Dundas tlf. 73 55 02 42 

Lisa Lorentzen tlf. 73 59 35 48 

EKSAMEN I FAG SIF5003/5004 MATEMATIKK 1/1A 

Onsdag 10. desember 1997 

Tid: 0900–1400 

Hjelpemidler: 

B2 – Typegodkjent kalkulator, med tomt minne. 

– Rottmann: Matematisk Formelsamling. 

Oppgave 1 

Løs følgende initialverdiproblem for −π/2

SIF5003/5004 Matematikk 1/1A 1997–12–10 Side 2 av 2 

Oppgave 5 Frysepunktet T for saltvann er en funksjon av ionekonsentrasjonen x, og 

teoretiske betraktninger gir at T tilfredsstiller differensialligningen 

(∗) 

dT 

dx = − aT 2 

1+bx 

hvor a og b er positive konstanter. Bruk verdiene a =2.49 · 10 −5 K −1 M −1 (K=kelvin, 

M = molar = enhet for konsentrasjon) og b =0.018 M −1 når det spørres etter tallsvar i 

denne oppgaven. 

a) Finn ligningen for tangenten til grafen til T (som funksjon av x) gjennom punktet 

(0,T 0 ) ved hjelp av differensialligningen (∗). Sett T 0 = 273.15 K, og bruk tangentligningen 

til å finne en tilnærmet verdi for T (x) i Barentshavet hvor x =1.2 M. 

b) Løs differensialligningen (∗) under initialbetingelsen T (0) = T 0 (for vilkårlig a, b og 

T 0 ). Sett igjen T 0 = 273.15 K og sammenlign den verdien du nå finner for T (1.2) med 

den tilnærmete verdien du fant i a). 

Oppgave 6 

Finn ligningen for tangenten til kurven 

(1) x 3 y + xy 5 =2 

i punktet (1, 1). Ligningen (1) definerer implisitt en funksjon y = f(x) i nærheten av x =1 

med f(1) = 1. Finn Taylorpolynomet av grad 2 for f(x) omx =1. 

Oppgave 7 

Bestem grenseverdien 

og avgjør om den uendelige rekken 

er konvergent eller divergent. 

lim n(π − 2 arctan n), 

n→∞ 

∞∑ 

(π − 2 arctan n) 

n=1 

Oppgave 8 

Bestem konvergensintervallet for potensrekken 

∞∑ 

nx n , 

n=1 

og finn et endelig uttrykk for summen i konvergensintervallet.


universitet 


Side 1 av 2 



EKSAMEN I FAG SIF5003/04 MATEMATIKK 1/1A 

Mandag 3. august 1998 

Tid: 0900–1400 

Hjelpemidler: Typegodkjent kalkulator med tomt minne, 

Rottmann: Matematisk formelsamling. 

Oppgave 1 

Bestem grenseverdiene 

lim 

x→0 

e x3 − 1 

x − sin x 

og 

( 

lim x ln 1+ 3 ) 

. 

x→∞ x 

Oppgave 2 

Avgjør om rekkene konvergerer eller divergerer: 

∞∑ 

n=2 

1 

n(ln n) 2 

og 

∞∑ 

n=1 

(n!) 2 

(2n)! . 

Oppgave 3 

a) La a og b være gitte konstanter, a>b>0. Undersøk om funksjonen 

f(x) = arctan a x − arctan b x , 

0

SIF5003/04 Matematikk 1/1A 1998–08–03 Side 2 av 2 

Oppgave 4 

La K være grafen til ligningen 

x 2 y 3 +(y +1)e −x = x +2. 

a) Finn dy/dx i punktet (0, 1)? Finn ligningen for tangenten til K i punktet (0, 1) og 

bestem tangentens skjæringspunkt med x-aksen. 

b) Gjør rede for at K har nøyaktig ett skjæringspunkt med x-aksen. Bruk Newtons 

metode til å finne x-koordinaten til dette skjæringspunktet med 2 riktige desimaler. 

Oppgave 5 

En vanntank fremkommer ved at kurven y = x 2 ,0≤ x ≤ 2, dreies om y-aksen. Både x og 

y måles i meter (m). 

a) Anta at tanken er fylt med vann til en høyde av h (m). Vis at da er volumet (m 3 )av 

vannet i tanken gitt ved: 

V = V (h) = πh2 

2 . 

b) Vi tenker oss nå at tanken er tom, og fylling av tanken med vann begynner. Vannet 

renner inn i tanken med konstant volum 1 (m 3 ) pr. tidsenhet (time). Hvor fort stiger 

vannhøyden i det øyeblikket vannhøyden i tanken er 1 (m)? 

c) Fyllingen av tanken stopper når vannhøyden er blitt 2 (m). Tanken skal nå tømmes 

for vann gjennom et lite hull i bunnen av tanken. Vi antar at vannet som renner ut 

av tanken pr. tidsenhet hele tiden er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden. 

Vis at vannhøyden h = h(t) tilfredsstiller differensialligningen 

√ dh h 

dt = −k, der k er en positiv konstant. 

d) Når tømmingen har pågått i 3 timer er vannhøyden i tanken 1 (m). Løs differensialligningen 

i c), og finn et uttrykk for h(t). Hvor lang tid tar det før tanken er tom? 

Oppgave 6 

a) Gjør rede for at hvis |u| < 1såer 

∫ u 

1 

u10 

dx = u − 

1+x9 10 + u19 

19 − u28 

u9n+1 

+ ···+(−1)n 

28 9n +1 + ··· . 

0 

b) Bruk resultatet i a) til å vise at verdien av integralet 

∫ 1/2 

1 

0 1+x dx 9 

ligger mellom 0,4999 og 0,5000.


universitet 


Side 1 av 3 



Trond Digernes tlf. 73593517 

Bjørn Dundas tlf. 73 55 02 42 

Lisa Lorentzen tlf. 73 59 35 48 

EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 


Tid: 0900–1400 

Hjelpemidler: Typegodkjent kalkulator med tomt minne, 

Rottmann: Matematisk formelsamling. 

Oppgave 1 kan besvares uten begrunnelse. På de andre oppgavene må det være med så 

mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. 

Oppgave 1 

i) Hvilket av integralene 

(1) 

∫ ∗∗ 

∗ 

2π(y +1)ds, (2) 

∫ ∗∗ 

∗ 

2π(y − 1) ds eller (3) 

∫ ∗∗ 

∗ 

2π(x − 1) ds 

ville du ta utgangspunkt i, hvis du skulle finne arealet av rotasjonsflata som dannes når en 

kurve y = f(x) i første kvadrant dreies om den rette linje y = −1? 

ii) Hvilket av uttrykkene 

(1) A x 4 + B x 2 , (2) A x 2 + Bx + C 

x 2 +1 

eller 

(3) A x + B x 2 + Cx + D 

x 2 +1 

ville du ta utgangspunkt i, hvis du skulle finne delbrøkoppspaltingen for funksjonen 

f(x) = x +1 

x 4 + x ? 2 

(Koeffisientene skal ikke beregnes.) 

Oppgave 2 

La S betegne området i xy-planet begrenset av y-aksen og kurvene y =cosx og y =sinx 

for 0 ≤ x ≤ π/4. Bestem volumet av rotasjonslegemet vi får når S dreies om linjen x = π/4.

SIF5003 Matematikk 1 1998–12–09 Side 2 av 3 

Oppgave 3 

I et veikryss gjelder ved et visst tidspunkt: 

• En bil er er 300 m øst for veikrysset og kjører med hastighet 70 km/h rett vestover. 

• En buss er 400 m nord for veikrysset og kjører nordover med hastighet 60 km/h. 

Er avstanden (i luftlinje) mellom bilen og bussen voksende eller avtagende ved dette tidspunktet, 

og hvor fort endres den? 

Oppgave 4 

Vis ved induksjon at for alle hele tall n ≥ 1er 

1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + ···+ n · n! =(n +1)!− 1. 

Oppgave 5 

I en vekstmodell for svin vil vi anta at dyrets vekt P (i kg) er P 0 ved t = 0 og vokser mot 

en grense L. Det antas at vekstraten (i kg/dag) på ethvert tidspunkt er proporsjonal med 

det antall kilo som svinet fortsatt kan legge på seg. Kall proporsjonalitetskonstanten k. 

a) Still opp en differensialligning for vekten P som funksjon av tiden t og løs den. Skisser 

formen på løsningskurven. 

b) Anta L og k kjent. Anta videre at det koster deg a kr/dag å fø et svin, og at du 

mottar b kr/kg for slakteklare svin. Hva skal slaktevekten være dersom du ønsker å 

tjene mest mulig på et svin? Angi svaret uttrykt ved L, k, a og b. 

Oppgave 6 

Vis at den uendelige rekken 

(∗) 

∞∑ 

n=2 

( ) n − 1 

(−1) n+1 n 2 

er konvergent. Konvergerer rekken absolutt eller betinget? Partialsummen 

S 9 = 

9∑ 

n=2 

( ) n − 1 

(−1) n+1 n 2 

er tilnærmet lik summen S av rekken (∗). Hva kan du, uten bruk av kalkulator, si om 

differansen S − S 9 ?


Oppgave 7 

Funksjonen f er definert ved 

f(x) = 

∫ x 

0 

arctan t 

t 6 +1 dt. 

a) Bestem f(0), f ′ (0) og f ′′ (0), og finn Taylorpolynomet P 2 (x) avgrad2ia = 0 for f. 

b) Bruk Taylors formel med restledd og med n =2tilå finne en øvre og en nedre 

skranke for f(0.4) (dvs. finn tall U og L slik at L ≤ f(0.4) ≤ U) når det oppgis at 

−1 ≤ f ′′′ (x) ≤ 0 for 0 ≤ x ≤ 0.4. 

Finn også en tilnærmet verdi for f(0.4) ved å bruke Simpsons metode med n =4 

delintervaller på integralet 

∫ 0.4 

arctan t 

t 6 +1 dt. 

0 

Oppgave 8 

a) En 4 meter lang stige ligger an mot et 2 meter 

høyt loddrett plankegjerde (se figur). Anta 

at stigen starter fra loddrett stilling, og at foten 

av stigen glir horisontalt langs bakken helt 

til toppen av stigen akkurat berører toppen av 

plankegjerdet. Innfør et koordinatsystem med 

origo i plankegjerdets topp-punkt og positiv y- 

akse langs plankegjerdets forlengelse oppover. 

Vis at toppen av stigen beskriver en kurve som 

i polarkoordinater har ligning 

r =4− 2 

sin θ . 

y 

θ 

x 

Over hvilket intervall varierer polarvinkelen θ under denne bevegelsen? 

b) En 6 meter høy husvegg står 1 meter til venstre for plankegjerdet. Vil stigen treffe 

husveggen under en bevegelse som i a)? Se bort fra plankegjerdets tykkelse, og 

begrunn svaret ved regning.


universitet 


Side 1 av 2 


Lisa Lorentzen 73 59 35 48 



Tid: 09:00–14:00 

Hjelpemidler: 

Typegodkjent lommekalkulator med tomt minne. 

Rottmann: Matematisk Formelsamling. 

Alle svar skal begrunnes. Det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten 

fremgår tydelig av besvarelsen. 

Oppgave 1 

a) Løs ulikhetene 

(i) ln(−x) > 2 (ii) 

1 

(x − 1) 2 < 1 4 

b) Bestem grenseverdiene 

(i) 

Oppgave 2 

a) Vis at ligningen 

sin x − tan x 

( 

lim 

(ii) lim e 2x − 2x ) 1/x 

x→0 x 3 x→∞ 

2x =cosx 

har nøyaktig én løsning, og finn denne med fem sikre sifre ved bruk av Newtons 

metode. 

b) Finn (tilnærmet) de punktene på kurven 

som ligger nærmest origo. 

y 2 +sinx =1

SIF5003 Matematikk 1 1999-08–02 Side 2 av 2 

Oppgave 3 Langviseren (minuttviseren) på det berømte uret Big Ben i London måler 

ca 4 meter fra spissen til senteret i urskiven, og kortviseren (timeviseren) måler ca 2 meter. 

Hvor fort endres avstanden mellom spissene på disse viserne idet klokken akkurat passerer 

02.00? 

Hint: Cosinus-setningen (Rottmann s. 40) kan være til hjelp. 

Oppgave 4 La K være kurven 

y =coshx, 0 ≤ x ≤ 2. 

Finn lengden av K og arealet av flaten vi får ved årotereK om x–aksen. 

Oppgave 5 

a) Avgjør om rekkene konvergerer betinget, konvergerer absolutt eller divergerer 

∞∑ 

(i) (−1) n+1 1 

∞∑ 

n + √ (2n)! 

(ii) 

n 

n!(2n) n 

n=1 

b) Bestem konvergensintervallet for rekken 

∞∑ 

( 

− 1 ) n 

(x +4) n 

4 2n +1 

Oppgave 6 

La 

n=0 

P 5 (x) =1+3x +5x 3 − x 5 

være Taylorpolynomet av grad 5 om a = 0 for en 6 ganger deriverbar funksjon f(x). 

Bestem f ′′ (0) og f ′′′ (0). 

n=1 

For hvilke x kan en garantere at 

når |f (6) (x)| ≤72 for alle x? 

|f(x) − P 5 (x)| ≤10 −7 

Oppgave 7 Radioaktive stoffer nedbrytes med en hastighet som er proporsjonal med 

den til enhver tid gjenværende mengde av stoffet. Halveringstiden er den tiden det tar før 

en mengde av stoffet er halvert. 

En ulykke i en reaktor førte til at det radioaktive stoffet Polonium–210 som har halveringstid 

på 140 dager, trengte seg inn i styringsrommet for reaktoren. Målinger viste at da 

lekkasjen var tettet, var det 8 ganger så meget Polonium–210 i rommet som den maksimalt 

tillatte mengden M. Hvor mange dager tar det før mengden Polonium–210 er redusert til 

M?


universitet 


Side 1 av 3 


Vigdis Petersen 73593529 

Berner Larsen 73 59 35 25 

Bjørn Ian Dundas 73 55 02 42 



Tid: 09:00–14:00 

Hjelpemidler: 

B2 - Typegodkjent kalkulator med tomt minne. 

- Rottmann: Matematisk Formelsamling. 

Sensuren faller i uke 4. 

Oppgave 1 skal besvares uten begrunnelse. På de andre oppgavene må det være med så mye 

mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. 

Oppgave 1 

For hver av rekkene 

∞∑ 

n=1 

(−1) n 

n√ n 

∞ 

∑ 

n=1 

(−1) n 

2 n ∞ 

∑ 

n=1 

(−1) n 

n 

avgjør om den er 

i) absolutt konvergent ii) betinget konvergent iii) divergent. 

Svarene skal ikke begrunnes. 

Oppgave 2 

Finn grensene 

i) lim 

x→∞ 

x(e 1 x − 1) 

ii) lim 

x→0 

1 − cos 2x 

(arctan x) 2


Oppgave 3 

a) La f(x) = √ 1+x 4 . Finn største og minste verdi av 

på intervallet [0, 2]. 

f ′′ (x) = 2x2 (x 4 +3) 

(1 + x 4 ) 3 2 

b) Bruk trapesmetoden med fire delintervaller til å finne en tilnærmet verdi for integralet 

(∗) 

∫ 2 

0 

√ 

1+x4 dx . 

Gjør et overslag over feilen ved å benytte resultatet fra a). 

Forklar hvorfor trapesmetoden gir en for stor verdi for integralet (∗), uansett antall 

delintervaller. 

Oppgave 4 

For summen av en endelig geometrisk rekke gjelder formelen 

når x ≠1. 

Vis dette ved induksjon. 

1+x + x 2 + x 3 + ···+ x n = 

+1 

1 − xn 

, n =0, 1, 2, 3,... 

1 − x 

Oppgave 5 En båt trekkes mot kaia ved hjelp av et tau. Den ene enden av tauet er 

festet i baugen av båten, den andre enden går gjennom en ring som er festet på kaikanten. 

Høydeforskjellen mellom ringen og baugen er 5 m. 

En person trekker i tauet med en hastighet av 24 m/min. Med hvor stor fart nærmer båten 

seg kaia i det øyeblikk taulengden mellom ringen og baugen er 13 m? 

Oppgave 6 Når strømmen går klokken 00.00 den 1. januar år 2000, sitter Kjell Magne på 

sitt kontor som da holder temperaturen 19.0 ◦ C. Fra dette tidspunkt avtar temperaturen på 

kontoret i samsvar med Newtons avkjølingslov: Temperaturendringen pr. tidsenhet er proporsjonal 

med differansen mellom inne- og utetemperatur. Utetemperaturen denne rekordkalde 

natten er −36.9 ◦ C. Klokken 01.00 er temperaturen på kontoret falt til 10.8 ◦ C. 

På Kjell Magnes bord står et glass med vann. Hva er klokken når vannet i glasset begynner å 

fryse?


Oppgave 7 

Bestem konvergensradien R til potensrekken 

∞∑ 

sin( 1 n ) xn . 

n=1 

Undersøk også om rekken konvergerer for x = −R og x = R. 

Oppgave 8 

Sirkelen med radius 1 og sentrum i punktet (0, 2) har parameterfremstilling: 

x =sint, y =2+cost, 0 ≤ t ≤ 2π. 

Finn ved integrasjon overflatearealet av “smultringensom dannes når sirkelen roteres om x- 

aksen. 

Oppgave 9 

En vanntank fremkommer ved at kurven 

x = g(y) roteres om y-aksen. Vannvolumet V 

ved vannhøyde y er gitt ved 

V = 

∫ y 

0 

π · (g(u)) 2 du . 

Ved et bestemt tidspunkt lages et lite hull i bunnen 

av tanken. I følge Torricellis lov er volumendringen 

pr. tidsenhet gitt ved 

y 

x=g(y) 

dV 

dt = −k√ y 

hvor y er vannhøyden og k er en positiv konstant. 

Bestem funksjonen g(y) når du får oppgitt at 

endringen pr. tidsenhet i vannhøyden y er konstant 

(dvs., er konstant), og vannvolumet 

dy 

dt 

V =1når vannhøyden y =1. 

y 

x

Norges teknisk–naturvitenskapelige universitet 


Side 1 av 3 


Vigdis Petersen, 73 59 16 50 


lørdag 5. august 2000 

Tid: 0900-1400 

Tillatte hjelpemidler: 

- Typegodkjent kalkulator med tomt minne, 

- Rottmann: Matematisk formelsamling. 

Alle svar skal begrunnes. Det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår 

tydelig av besvarelsen. Rene kalkulatorsvar godtas ikke. 

Oppgave 1 

Avgjør om følgende grensene eksisterer. Dersom grensen eksisterer skal du også finne grensen. 

(i) 

lim(e x + e −x ) 1/x , (ii) lim ( √ t + t 2 − t) 

x→0 t→∞ 

Oppgave 2 

Finn volum og overflateareal av legemet som fremkommer ved å dreie området begrenset av 

kurvene y = x og y = x 2 om y-aksen.


Oppgave 3 

Vis ved induksjon at for alle hele positive tall n så er 

1 3 + 2 3 + 3 3 + · · · + n 3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n) 2 

(om du vil kan du bruke at 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)/2). 

Oppgave 4 

En sfærisk ballong fylles med en rate av 1000 kubikkcentimeter per sekund. Med hvilken rate 

vokser overflatearealet til ballongen når radius er 25 cm? 

Oppgave 5 

Skisser i xy-planet kurven gitt ved 

x = sin t, y = sin 2t, t ∈ [0, 2π] 

Finn tangentlinjene i t = 0 og t = π/4, og beregn arealet av området begrenset av kurven. 

Oppgave 6 

Tidlig en mandag morgen begynte det å sne med en konstant rate. Klokken 06.00 begynte en 

sneplog å rydde en vei. Klokken 07.00 hadde den kjørt 5 km. Først klokken 09.00 hadde den 

kjørt 10 km. 

Anta at plogen rydder unna sne med en konstant rate (i f.eks. kubikkmeter per time). La t = 0 

idet det begynner å sne, og la x(t) være distansen sneplogen har kjørt ved tid t. 

Forklar hvorfor 

for en konstant k. 

t · x ′ (t) = k 

Hva var klokken da det startet å sne? 

Oppgave 7 

La f være en to ganger deriverbar funksjon med f ′ (x) > 0 for x ∈ [1, 2], og slik at f(1) = −3 

og f(2) = 5. 

a) Begrunn at funksjonen f har nøyaktig ett nullpunkt a ∈ (1, 2). 

b) Anta i tillegg at f ′′ (x) > 0 for x ∈ [1, 2]. Begrunn at Newtons metode med startverdi 

x 0 = 2 konvergerer mot nullpunktet a.


Oppgave 8 

La 

∫ √ π/4 

I = sin(t 2 ) dt 

0 

a) Finn en tilnærming til I ved å bruke Simpsons metode, hvor intervallet [0, √ π/4] skal 

deles i fire like deler. 

b) Finn en tilnærming til I ved å bruke Taylor-utviklingen av orden 3 til f(x) = sin x om 

x = 0.


universitet 


Side 1 av 3 


Bjørn Ian Dundas 7355 0242 

Harald Hanche-Olsen 7359 3525 

Dag Olav Kjellemo 7359 3549 

Vigdis Petersen 7359 3523 

Hjelpemidler: B2 



Tid: 09:00–14:00 

– Typegodkjent kalkulator med tomt minne. 

– Rottmann: Matematisk Formelsamling. 

Sensuren faller i uke 3. 

Oppgave 1 skal besvares uten begrunnelse. Alle andre svar skal begrunnes, og det må være med 

så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Rene kalkulatorsvar 

godtas ikke. 

Oppgave 1 La R være området avgrenset av x–aksen, kurven y = arctan x og linjen 

x = √ 3. Hvilket integral nedenfor gir volumet av omdreiningslegemet vi får 

– når R roteres om y–aksen? 

– når R roteres om linjen x = −1? 

Svarene skal ikke begrunnes. 

(i) 

(iii) 

∫ √ 3 

0 

∫ π/3 

0 

π(arctan x) 2 dx 

π ( ( √ 3+1) 2 − (1 + tan y) 2) dy 

(ii) 

(iv) 

∫ π/3 

0 

∫ √ 3 

0 

π( √ 3 − tan y) 2 dy 

2πx arctan xdx 

Oppgave 2 Et kirkevindu skal være innrammet i gull. Det er nok gull 

til å la omkretsen av vinduet (vinduskarmen) være 10 m lang. Vinduet skal 

ha form som et rektangel med en halvsirkel på toppen. Finn målene til 

rektanglet som maksimerer vinduets areal.


Oppgave 3 

a) Bestem konvergensradien R for potensrekken 

∞∑ 

n=1 

x n+2 

n(n +2)4 n 

og undersøk om rekken konvergerer for x = ±R. 

b) La g(x) betegne summen av rekken i a) for |x|


Oppgave 6 For mange arter av mus er tilveksten avhengig av årstiden. Bestanden vi 

studerer her, vokser til enhver tid med en rate som er proporsjonal med produktet av antall 

mus i bestanden og en årstidsavhengig faktor 

1 − cos(2πt) 

der t angir tidspunktet målt i år etter 1/1–2000. Finn antall mus i bestanden som funksjon av 

t når den har 10 individer den 1/1–2000 og 20 individer den 1/1–2001. 

Oppgave 007 En agent sniker seg med jevn hastighet 0,9m/s langs en rett hekk. Ti meter 

fra hekken er det montert et overvåkingskamera som kan dreies horisontalt. Kameraet følger 

agenten. Hvor raskt (i radianer per sekund) dreier kameraet når han er 30 m vekk fra det? 

Oppgave 8 Figuren viser grafen til to kurver. Den 

ene kurven har parameterfremstilling 

y 

x =sint, y = 1 sin(2t), 0 ≤ t ≤ 2π. 

2 

Beregn arealet av det området denne kurven omslutter 

iplanet. 

x 

Den andre kurven er gitt i polarkoordinater ved 

r 2 =cos(2θ). 

Beregn arealet av det området denne kurven omslutter i planet. 

Den ene kurven ligger utenfor den andre kurven. Hvilken av dem ligger ytterst? 

Husk at svaret skal begrunnes. 

Oppgave 9 Ligningen x 2 + ye y = 1 og ulikheten y>−1 definerer implisitt en entydig 

funksjon y = f(x). Finn f ′ (1), og bestem Taylorpolynomet av annen grad for f om x =1.

ÆÓÖ× ØÒ×ÒØÙÖÚØÒ×ÔÐ 

ÙÒÚÖ×ØØ 

ÁÒ×ØØÙØØ ÓÖ ÑØÑØ× 

Ë ½ Ú ¿ 

Ð ÓÒØØ ÙÒÖ ×ÑÒ 

ÖØ ÊÓÑ ¿ ¿½ 

ÇÐÚ ÃÐÐÑÓ ¿ ¿ 

ÀÐÔÑÐÖ ¾ 

ÃËÅÆ Á ËÁ¼¼¿ ÅÌÅÌÁÃÃ ½ 

ÓÑÐ 

ÌÖ× ¿½º ÙÐ ¾¼¼½ 

Ì ¼¼¼½¼¼ 

ÌÝÔÓÒØ ÐÙÐØÓÖ Ñ ØÓÑØ ÑÒÒº 

ÊÓØØÑÒÒ ÅØÑØ× ÓÖÑÐ×ÑÐÒº 

ËÒ×ÙÖÒ ÐÐÖ ½º ×ÔØÑÖº 

ÐÐ ×ÚÖ ×Ð ÖÙÒÒ×¸ Ó Ø Ñ ÚÖ Ñ × ÑÝ ÑÐÐÓÑÖÒÒ Ø ÖÑÒ×ÑØÒ 

ÖÑÖ ØÝÐ Ú ×ÚÖÐ×Òº ÊÒ ÐÙÐØÓÖ×ÚÖ ÓØ× º 

ÇÔÔÚ ½ Ò ÖØØ ×ÝØ× ÙØ Ú Ø t =0º Ö×Ø ½¾¼ ×ÙÒÒ Ö ÖØØÒ Ò 

ÖØØÐÒØ ÚÐ× Ñ ÖØ ØØ Ú 

v(t) =0,0004 t 3 − 0,03 t 2 +8t (0 ≤ t ≤ 120) 

ÑÐØ ÑØÖ ÔÖ ×ÙÒ¸ Ö t Ö ÑÐØ ×ÙÒÖº ÒÒ Ò Ñ×ÑÐ Ó ÑÒÑÐ ×ÐÖ¹ 

×ÓÒÒ ØÐ ÖØØÒ ØØ Ø×ÖÓÑÑØº 

ÇÔÔÚ ¾ 

Ä R ÚÖ ÓÑÖØ ÖÒ×Ø Ú ÐÒÒ y =2¸ y×Ò Ó ÙÖÚÒ 

x = t 3 , y = t 2 +1, 0 ≤ t ≤ 1º 

Ä T ÚÖ ÓÑÖÒÒ×ÐÑØ Ú Ö ÒÖ R ÖÓØÖ× ÓÑ y×Òº ÒÒ ÚÓÐÙÑØ Ú T Ñ ×× 

ØÓ ÑØÓÒ 

´µ ØÚÖÖ×ÒØØÑØÓÒ ´×ÚÑØÓÒµ¸ 

´µ ×ÝÐÒÖ×ÐÐÑØÓÒº

ËÁ¼¼¿ ÅØÑØ ½ ¾¼¼½¼¿½ Ë ¾ Ú ¿ 

ÇÔÔÚ ¿ Ä ÙÒ×ÓÒÒ f ÚÖ ÒÖØ ÓÖ x>0º ÒØ Ø f Ö ØÓ ÒÖ ÖÚÖÖ 

Ñ ÓÒØÒÙÖÐ ÒÒÒÖÚÖØ¸ Ó Ø |f ′′ (x)| ≤5 ÓÖ ÐÐ x>0º 

µ ÖÙ ØÖÔ×ÑØÓÒ Ñ Ö ÐÒØÖÚÐÐÖ ØÐ ÖÒ Ò ØÐÒÖÑØ ÚÖ ÓÖ ÒØÖÐØ 

∫ 3 

1 

f(x) dx 

ÒÖ ÙÒ×ÓÒ×ÚÖÒ ÒÐØ ÔÙÒØÖ Ö ØØ Ú 

x 1 3» 2 2 5» 2 3 

f(x) −1 − 1 » 4 

1» 4 

3» 2 3 

ÒÒ Ò ÚÖ ÖÒ×ÒÒ ´×ÖÒµ ÓÖ ×ÓÐÙØØÚÖÒ Ú ÐÒº 

µ ÒØ ØÐÐ Ø |f(x)| ≤3 Ó |f ′ (x)| ≤ 4 ÓÖ x>0º ÌÒ Ø Ù ×Ð ÖÒ 

ÒØÖÐØ 

∫ 3 

[ ] 2 

f(x) dx 

1 

Ú ÐÔ Ú ØÖÔ×ÑØÓÒ Ó Ñ Ð Ý×Ø 10 −4 ºÀÚÓÖ ÑÒ ÐÒØÖÚÐÐÖ Ñ Ù 

ÖÙ 

ÇÔÔÚ ËÙÒ ÓÐÐÝ Ö ×Ý¸ Ó ÚØÖÒÖÒ ÌÖÙ ×Ð Ø ØÑÔÖØÙÖÒº ÁØ ØÖÑÓ¹ 

ÑØÖØ ×ØØ× ×ÙÒ¸ Ú×Ö Ø 15 ◦ Cº ØØÖ 10 ×ÙÒÖ Ú×Ö Ø 25 ◦ C Ó ØØÖ 20 ×ÙÒÖ 

Ö Ø Ò 31 ◦ Cº ÐÖ ÓÐÐÝ ÖØ¸ Ó ØÖÑÓÑØÖØ ÐÐÖ ÙØ Ó Ö ×ØÝÖº ÀÚÓÖ Ý 

ØÑÔÖØÙÖ ×ÙÒ 

Ù Ò ÒØ Ø ÒÖÒ×ÖØÒ ØÐ ØÖÑÓÑØÖØ× ØÑÔÖØÙÖ Ö ÔÖÓÔÓÖ×ÓÒÐ Ñ ØÑÔÖØÙÖ¹ 

ÖÒ×Ò ÑÐÐÓÑ ×Ù Ó ØÖÑÓÑØÖ ´ÆÛØÓÒ× ÚÐÒ×»ÓÔÔÚÖÑÒ×ÐÓÚµº 

ÇÔÔÚ 

ÓÖ ÚÖ Ú ÖÒ 

´µ 

∞∑ 

n=1 

ne −n2 

´µ 

∞∑ 

n=1 

( (−1) 

n 

√ n 

− 1 n 

) 

×ØÑ ÓÑ ÖÒ ÚÖÖÖ¸ ÓÒÚÖÖÖ ×ÓÐÙØØ ÐÐÖ ÓÒÚÖÖÖ ØÒØº 

ÇÔÔÚ Ø ÐÖ Ö ÒØØº Î ×ØØÖ Ò ×ÒØØ ÙÒÖ Ð×Òº ËØÒ 

ØØÒ Ö ÖÓØ×ÓÒ×ØÒ Ù Ö Ú Ö ÐÒ×ØÝØ 

y =3(x − 10), y ∈ [0, 30] 

ÓÑ y×Ò¸ Ó ÙÒÒÒ ØØÒ Ö ÔÐÒº ÀÖ ÑÐ× x Ó y Ñº Ø ÐÖ 1cm 3 /sº ÀÚÓÖ ÓÖØ 

×ØÖ ÚÒÒØ ØØÒ ÒÖ ÚÒÒÝÒ Ö 10 cm

ËÁ¼¼¿ ÅØÑØ ½ ¾¼¼½¼¿½ Ë ¿ Ú ¿ 

ÇÔÔÚ 

ÖÙ ÖÙØÚÐÒÒ 

ØÐ ÖÒ ÒØÖÐØ 

∞ 

1 

1 − t = ∑ 

t n (|t| < 1) 

n=0 

∫ 1/2 

Ñ Ò Ð ÑÒÖ ÒÒ 10 −4 ×ÓÐÙØØÚÖº 

0 

1 

1+x 4 dx 

ÇÔÔÚ 

Î ØÖØÖ ÖÒ ØÐ ÙÒ×ÓÒÒ 

f(x) = 

ÒÒ ÐÒÒ Ú ÖÒº 

∫ x 

0 

√ 

(t3 +2) 2 − 1 dt ÓÖ 0 ≤ x ≤ 2º 

ÇÔÔÚ 

Ä y = f(x) ÚÖ Ò Ð×ÒÒ Ú ÖÒ×ÐÐÒÒÒ 

dy 

dx = √ xy − 1 

ÓÖ x>1¸ 

×Ð Ø lim f(x) =1º ÖÒ ÖÒ×ÚÖÒ 

x→1 + 

´µ 

xf(x) − 1 

lim 

x→1 + x − 1 

´µ 

f(x) − 1 

lim 

x→1 + (x − 1) 3/2 

ÀÒØ Ù ×Ð Ð× ÖÒ×ÐÐÒÒÒº Ù Ò ÖÙ Ö×ÙÐØØ Ö ´µ Ð ´µº



Side 1 av 3 


Harald Hanche-Olsen 7359 3525 

Lisa Lorentzen 7359 3548 

Johan Aarnes 7359 1744 Bokmål 

Hjelpemidler (kode C): 

Sensuren faller 16. januar. 



Tid: 09:00–14:00 

Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning. 


Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten 


Oppgave 1 

Beregn følgende grenser: 

lim 

x→0 + 

ln x 

ln sin x , 

( 

√ 

lim x 

3 

1+ 1 ). 

x→∞ x − 1 

Oppgave 2 Finn trapeset med størst areal som 

kan innskrives i en halvsirkel med radius 1. (Et trapes 

er en firkant med to parallelle sider.) 

Hint: Det kan være lurt å uttrykke arealet ved vinkelen 

antydet i figuren. 

Oppgave 3 

Beregn buelengden av kurven y = f(x), der f er gitt ved 

f(x) = 

∫ x 

1 

√ 

t 2 e 2t2 − 1 dt, 1 ≤ x ≤ 2.


Oppgave 4 

a) Vis at den første av rekkene under er divergent. Er den andre rekken divergent, betinget 

konvergent, eller absolutt konvergent? 

∞∑ 

n=2 

1 

n √ ln n , 

∞ 

∑ 

n=2 

(−1) n 

(n + √ n) √ ln n . 

b) Potensrekken 

∞∑ 

n=0 

2n +1 

x 2n 

n! 

er gitt. Vis at rekken konvergerer for alle x, og finn rekkens sum når x =1. 

Oppgave 5 Personer med for lavt stoffskifte må tilføres en daglig dose av legemidlet 

thyroxin. Dette stoffet har en biologisk halveringstid på ca. 7 døgn, det vil si etter denne tiden 

er bare halvparten av en tilført stoffmengde tilbake i organismen. La M(t) være mengden av 

thyroxin (målt i mg) i kroppen ved tiden t (målt i døgn). Vi antar at M(t) ergittved 

der k er en positiv konstant. 

M(t) =M(0)e −kt 

a) Bruk de gitte opplysningene til åviseatk ≈ 0,1. Regn med verdien k =0,1 irestenav 

oppgaven. 

Anta at en person tilføres én daglig dose thyroxin på 0,1 mg. Vis at på n-te dag er 

thyroxin-mengden i kroppen (umiddelbart etter dagens dose) gitt ved 

M n =0,1 · 1 − e−0,1·n 

1 − e −0,1 . 

(Hint: Det kan lønne seg å bruke induksjon.) 

b) Vis at medisinmengden M n i kroppen vil nærme seg et grensenivå M ∗ , og bestem dette. 

Hvor mange dager vil det ta fra behandlingen startet til medisinmengden i kroppen er 

større enn 95% av M ∗ ?


Oppgave 6 

Michaelis–Menten-ligningen 

dy 

dt = − y 

1+y 

brukes i biokjemien til å beskrive virkningen av et enzym. 

a) Vis at for y>0 er den generelle løsningen på implisitt form gitt ved 

y +lny = C − t 

der C er konstant. 

La heretter y(t) være en løsning av Michaelis–Menten-ligningen som oppfyller initialbetingelsen 

y(0) = 1. Ved hvilket tidspunkt t er y =0,3? 

b) Svaret på spørsmålet foran får oss til å tro at y(2) ≈ 0,3. Finn en bedre tilnærming til 

y(2) ved én iterasjon med Newtons metode. 

Oppgave 7 

ved ligningen 

Figuren viser konkoiden til Nikodemes, som er kurven gitt i polarkoordinater 

r =2− 1 

sin θ , 

0



Side 1 av 2 


Kari Hag 73 59 35 21 

Per Hag 73 59 17 43 

Bokmål 


Sensurdato: 2. september. 


Tirsdag 30. juli 2002 

Tid: 9–14 





Oppgave 1 

Avgjør om denne rekken konvergerer: 

∞∑ 

n=0 

1 

n 3/2 + 1 . 

Oppgave 2 

Bruk induksjon til å vise at 

( 

1 + √ 1 )( 

1 + 1 ) ( 

√ · · · 1 + 1 ) 

√ ≥ n + 1 

1 2 n 

for alle hele tall n ≥ 1. 

Oppgave 3 En nyttårsrakett blir sendt vertikalt opp. En tilskuer 

står 100 m unna og måler vinkelen α som vist på figuren. Hvor raskt 

stiger raketten idet vinkelen er 45 ◦ og øker med 5 ◦ per sekund? 

α


Oppgave 4 

(superellipsen) 

Et torg er avgrenset av kurven 

y 

) 4= 

1. 

( x 

5 

) 4+ ( y 

3 

Hvor stort areal kan et rektangel maksimalt ha 

når det skal ligge innenfor denne kurven og ha 

sider parallelle med koordinataksene? 

x 

Oppgave 5 

a) Bruk trapesmetoden med fire delintervaller til å beregne integralet 

I = 

∫ 1 

0 

cos(x 2 ) dx. 

Hvor mange delintervall ville du bruke om feilen skulle være garantert mindre enn 10 −5 

i absoluttverdi? (Husk at svaret skal begrunnes.) 

b) Finn Maclaurinrekken til cos(x 2 ). 

c) Bruk resultatet i b) til å beregne integralet i a) med feil garantert mindre enn 10 −3 i 

absoluttverdi. 

Oppgave 6 La R være området i første kvadrant som ligger mellom linjene x = 1 og x = 4 

og under kurven y = x 3 . La videre T være legemet som fremkommer når R roteres om x-aksen. 

a) Finn volumet av rotasjonslegemet T . 

b) Finn arealet av den krumme delen av overflaten til T . 

Oppgave 7 

Løs initialverdiproblemet 

xy ′ + y 2 = 4, y(1) = 1.



Side 1 av 3 


Johan Aarnes 73 59 17 44 

Bjarte Rom 73 55 02 55 

Harald Hanche-Olsen 73 59 35 25 

Runar Ile 73 55 02 81 


Bokmål 


Sensurdato: 15. januar. 



Tid: 9–14 





Oppgave 1 

a) Et vannkar dannes ved å rotere kurven 

y = 1 4 x3 , x ≥ 0 

om y-aksen. Finn volumet av karet opp til høyde h. 

b) Karet fylles med vann. Hvor fort stiger vannhøyden i karet idet høyden er 2 dm og vannet 

strømmer inn med 10 liter per sekund? (Vi antar x og y er målt i dm.)


Oppgave 2 En melkekartong der temperaturen i melken var 6 ◦ C, ble stående på kjøkkenbenken 

i 2 timer. Da var temperaturen steget til 13 ◦ C. Lufttemperaturen i kjøkkenet var 

20 ◦ C. Vi regner med at Newtons avkjølings-/oppvarmingslov gjelder, det vil si at temperaturendringen 

per tidsenhet i melken er proporsjonal med differansen mellom lufttemperaturen og 

temperaturen i melken. 

a) Still opp en differensialligning for temperaturen T i melken som funksjon av tiden t, og 

vis at den har løsning av formen 

T (t) = A + Be −αt 

der A er lufttemperaturen. Finn konstantene B og α. 

b) Da temperaturen i melken var 15 ◦ C, ble kartongen satt inn i kjøleskapet. Etter 1 time 

var temperaturen i melken sunket til 12 ◦ C. Hva var temperaturen i kjøleskapet? 

Oppgave 3 

a) Bruk for eksempel rekken ln(1 + x) = x − 1 2 x2 + 1 3 x3 − 1 4 x4 + · · · (for |x| < 1) til å vise at 

∫ 

1/2 

0 

ln(1 + t 2 ) dt = 

∞∑ 

n=1 

(−1) n+1 

2 2n+1 n(2n + 1) . 

b) Bruk formelen over til å finne verdien av integralet med feil mindre enn 10 −3 i absoluttverdi. 

Begrunn feilestimatet uten å bruke den eksakte verdien av integralet. Løs deretter 

integralet (det kan lønne seg å starte med en delvis integrasjon). 

Oppgave 4 En sirkulær plate er laget av et materiale der 

massetettheten (masse per arealenhet) er ρ(r) = (r + 1) 2 

i avstanden r fra sentrum. Finn massen til platen når 

radien er R. 

r 

R


Oppgave 5 

a) Bestem buelengden av kurven 

hvor a er en positiv konstant. 

y = 

cosh ax 

, −1 ≤ x ≤ 1 

a 

b) Gjør rede for at ligningen x tanh x = 1 har nøyaktig én positiv løsning x. Bruk Newtons 

metode med x 0 = 1 til å bestemme denne løsningen med fire desimaler. 

c) Kurven i a) representerer en jevntykk kabel som er opphengt i endepunktene og henger 

fritt mellom disse. 

θ 

Strekkraften i kabelen ved opphengspunktet i x = 1 er halve tyngden av kabelen dividert 

med sin θ, hvor θ er vinkelen i figuren. Hvilken verdi av a gir minst mulig kraft i opphenget? 

Hvor langt ned henger midtpunktet i forhold til endepunktene? (Som en omtrentlig 

kontroll på løsningen kan det opplyses at figuren er tegnet med den optimale verdien av 

a.)



Side 1 av 3 


Anne Kværnø tlf. 73 59 35 42 

Christian Skau tlf. 73 59 17 55 


Sensurdato: 1. september. 


Bokmål 

Fredag 1. august 2003 

Tid: 9–14 





Oppgave 1 

a) Finn maksimum for 

f(x) = x √ 100 − x for 0 ≤ x ≤ 100. 

b) Lille Even skal lage en julekurv i glanspapir. Han klipper en sektor ut av en sirkelskive 

med radius 10 cm, og limer den sammen til en kjegle som vist på figuren. Hvor stort volum 

kan denne julekurven maksimalt ha? Hvilke mål har kurven med maksimalt volum? (Du 

vil kanskje legge merke til at den resulterende julekurven nok vil fungere dårlig i praksis, 

noe som bare viser at optimalt design ikke alltid er det beste.) 

(Sirkelsektoren og julekurven er ikke tegnet i samme skala.)


Oppgave 2 

En logaritmisk spiral er kurven gitt i polarkoordinater ved 

r = e θ for − ∞ < θ < ∞. 

a) Finn arealet av området avgrenset av x-aksen og kurven r = e θ for 0 ≤ θ ≤ π. 

Finn buelengden av kurven r = e θ for −π ≤ θ ≤ 0. 

b) La L k være buelengden til kurven 

r = e θ 

for − (k + 1)π ≤ θ ≤ −kπ. 

Finn summen til rekken 

∞∑ 

L k . 

k=0 

Oppgave 3 

La y = f(t) være løsningen av differensialligningen 

dy 

dt = t2 e y2 

med initialbetingelsen f(0) = 1. (Hint: Ikke forsøk å løse differensialligningen.) 

a) Bestem lim 

t→0 

y − 1 

t 3 . 

b) Finn et tredjegradspolynom P (t) slik at 

P (0) = f(0), P ′ (0) = f ′ (0), P ′′ (0) = f ′′ (0) og P ′′′ (0) = f ′′′ (0). 

Oppgave 4 La f(x) = sin x − x 3 . 

a) Vis at f(x) har akkurat ett nullpunkt for x > 0. 

b) Finn Taylorpolynomet P 3 (x) av orden 3 om x = 0 til f(x). Bruk P 3 (x) til å finne en 

tilnærming til det positive nullpunktet til f(x). 

Oppgave 5 

Avgjør om rekkene konvergerer eller divergerer. 

(i) 

∞∑ 

n=2 

1 

n ln n 

(ii) 

∞∑ 

∫ nπ 

n=1 

(n−1)π 

sin x 

x 

dx


Oppgave 6 

La f(x) = arctan √ x for x > 0. Finn en tilnærmet verdi for integralet 

I = 

∫ 3 

1 

f(x) dx 

ved å bruke trapesmetoden med fire delintervaller. Hvor mange delintervaller er tilstrekkelig 

for at trapesmetoden gir et svar med feil mindre enn 10 −3 i absoluttverdi? (Du kan uten bevis 

bruke at |f ′′ (x)| ≤ 1 for x ≥ 1.) 

4

Norges teknisk– 

naturvitenskapelige universitet 


Side 1 av 3 



Kristian Seip 73 59 35 16 

Ivar Amdal 73593468 

EKSAMEN I TMA4100 MATEMATIKK 1 

Bokmål 


Kl. 9–14 

Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning 

Rottman: Matematisk formelsamling 

Sensurdato: 12. januar 

Alle svar skal begrunnes, og det må væremedså mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår 

tydelig av besvarelsen. 

Oppgave 1 


(i) 

e 2x − 1 

lim 

x→0 sin x 

og (ii) lim 

x→0 

( 

1 

ln(x +1) − 1 ) 

. 

x 

Oppgave 2 


y ′ = −2x(y − 1), 

y(0)=2. 

Oppgave 3 

Finn ligningen til tangenten i punktet (1, 1) til kurven 

x 2 y + xy 3 =2.

TMA4100 Matematikk 1 10.12.03 Side 2 av 3 

Oppgave 4 

Bestem arealet til rotasjonsflaten som fremkommer når kurven 

dreies om linjen x = −1. 

y =coshx, 0 ≤ x ≤ ln 2, 

Oppgave 5 

Funksjonen F er definert ved 

F (x) = 

∫ x 2 

0 

e − sin t dt. 

Finn Taylorpolynomet av grad 2 for F om punktet x =0. 

Oppgave 6 

a) Finn konvergensradien til potensrekken 

∞∑ 

n=1 

x n 

2 n√ n 

og avgjør om rekken konvergerer i endepunktene av konvergensintervallet. 

b) La S betegne summen av rekken i punkt a) når x = −1/2. Finn en tilnærmet verdi L 

for S slik at |S − L| < 0.001. Begrunn at den ønskede nøyaktigheten er oppnådd. 

Oppgave 7 

a) Begrunn at ligningen 

(∗) e x − x − 2=0 

har nøyaktig to løsninger. 

b) Forklar hvorfor x 0 = 0 er uegnet som startverdi dersom (∗) skal løses ved hjelp av 

Newtons metode. Bruk så Newtons metode til å finne den største av de to løsningene av 

(∗) med to desimaler. 

Oppgave 8 

Et legeme har grunnflate i xy-planet. Grunnflatens omkrets er sirkelen x 2 + y 2 = 1, og alle 

tverrsnitt gjennom legemet vinkelrett på x-aksen er likesidede trekanter. 

Finn volumet av legemet.


Oppgave 9 

En innsjø har et volum på8·10 9 m 3 . Anta konsentrasjonen av et forurensende stoff er 2.5kg/m 3 

ved tidspunktet t = 0. En elv tilfører innsjøen vann som inneholder 0.5 kg/m 3 av det forurensende 

stoffet. Vannet fra elven strømmer med konstant hastighet 5 · 10 8 m 3 pr. dag inn i 

innsjøen. En annen elv fjerner hver dag 5 · 10 8 m 3 vann fra innsjøen. Vi antar at vannet i 

innsjøen til enhver tid er perfekt blandet. Når vil konsentrasjonen av det forurensende stoffet 

i innsjøen være redusert til 1 kg/m 3 ? 

Oppgave 10 

Med utgangspunkt i et rektangel med sidekanter x og y lages et område som antydet i 

nedenstående figur. 

y 

y/2 

y/4 ... 

x/2 

x/4 

x 

Det vil si at en uendelig sekvens av rektangler “hektes” på hverandre, slik at vi ved hver 

“påhekting” halverer sidekantene i foregående rektangel. 

Omkretsen av området skal være 6. Hva må x og y være for at området skal ha maksimalt 

areal?




Side 1 av 3 


Kari Hag tlf. 73 59 35 21 



Kl. 9–14 



Sensurdato: 1. september 



Oppgave 1 


(i) 

cos x − cos 2x 

lim 

og (ii) lim x ( e 1/x − 1 ) . 

x→0 x 2 x→∞ 

Oppgave 2 

Løs initialverdiproblemet. 

a) y ′ = y2 

x 2 +1 , y(0) = 1 

b) y ′′ − 2y ′ − 8y =0, y(0)=3, y ′ (0)=0 

Oppgave 3 

Finn konvergensradien til potensrekken 

∞∑ 

n=1 

x n 

√ n 

og avgjør om rekken konvergerer i endepunktene av konvergensintervallet.


Oppgave 4 

a) En kurve K som går gjennom origo har ligning 

ax + by =ln(1+xy) 

der a og b er gitte positive konstanter. 

Finn dy/dx ved implisitt derivasjon og bestem ligningen for tangenten til K i origo. 

b) Sett a=1 og b =1.Daer 

dy 

dx = 1+xy − y 

x − xy − 1 . 

Vis at hvis dy/dx = 0 i et punkt (x, y) på K (når a = b =1),såer 

(∗) x + 1 +ln(1− x) =0. 

1 − x 

Gjør rede for at ligningen (∗) har nøyaktig en løsning. 

c) Bruk Newtons metode med startverdi x 0 = −1 tilå finne løsningen av (∗) medto 

desimaler. 

Oppgave 5 En mann står i A på kanten av et sirkulært 

svømmebasseng med radius 20 m og sentrum i O (se figuren). 

Han ønsker å komme seg til det diametralt motsatte 

punktet B på kortest mulig tid. Han kan løpe langs kanten 

fra A til C og deretter svømme til B. Han kan også løpe 

hele veien fra A til B, eller svømme direkte fra A til B. La 

θ ∈ [0,π] være vinkelen mellom OA og OC. 

Hvis mannen løper med en fart av 6 m/s og svømmer med 

en fart av 3 m/s, for hvilken vinkel θ blir tiden han bruker 

fra A til B minst mulig? 

Vink: Du kan bruke at avstanden fra C til B er 40 cos (θ/2). 

B 

O 

θ 

C 

A 

Oppgave 6 En stav med lengde 2 m ligger langs x-aksen fra x =1tilx =3.Stavenhar 

variabel massetetthet δ(x) målt i kg/m. Finn stavens masse når massetettheten er gitt ved 

δ(x) = 

2 

x(4 − x) .


y 

✻ 

2 

Oppgave 7 Området R påfigurentilhøyreerbegrenset 

av x-aksen, y-aksen, linjen y = π/2 ogkurven 

y =arcsin(x − 1). 

Finn volumet av rotasjonslegemet vi får når R dreies om 

y-aksen. 

R 

✲ 

x 

Oppgave 8 

a) Finn Maclaurinrekken (Taylorrekken om x = 0) for funksjonen 

f(x) = 

∫ x 

0 

e −t2 /2 dt 

ved å ta utgangspunkt i Maclaurinrekken til e x . For hvilke x konvergerer rekken for f(x)? 

b) Når x =1/2 blir rekkeutviklingen i a) gitt ved 

f(1/2) = 1 2 − 1 

3 · 2 + 1 

4 5 · 2! 2 − 1 

7 7 · 3! 2 + 1 

10 9 · 4! 2 − 1 

+ −··· . 

13 11 · 5! 216 Bruk denne rekken til å finne en tilnærmet verdi I for f(1/2). Ta med så mange ledd av 

rekken at |f(1/2) − I| < 0.0001 og begrunn at den ønskede nøyaktigheten er oppnådd.




Side 1 av 2 


Marius Irgens tlf. 73550228 

Dag Olav Kjellemo tlf. 73593549 

Kristian Seip tlf. 73593516 


Bokmål 

Mandag 6. desember 2004 

Kl. 9–13 



Sensurdato: 6. januar 2005 

Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår 


Oppgave 1 

a) 

b) 

Løs initialverdiproblemet. 

y ′ = 

y , y(0) = 3. 

1 + x2 2y ′′ + 5y ′ − 3y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0. 

Oppgave 2 La R betegne området i xy-planet begrenset av y = x 2 og y = √ x. 

a) Finn arealet av området R. 

b) Bestem tyngdepunktet (sentroiden) til R.


Oppgave 3 

Ligningen 

x 5 y + 2xy 3 = 3 

definerer implisitt en funksjon y = f(x) for x > 0 med f(1) = 1. Finn Taylor-polynomet til f 

av grad 2 om x = 1. 

Oppgave 4 

Finn konvergensradien til potensrekken 

∞∑ 

n=1 

(−1) n x n 

ln(n + 1) , 


Oppgave 5 

a) Bruk trapesmetoden med fire delintervaller til å finne en tilnærmet verdi for integralet 

∫ 1 

0 

e x3 /3 dx. 

b) La f(x) = e x3 /3 være integranden i punkt a). Vis at |f ′′ (x)| ≤ 3e 1/3 når 0 ≤ x ≤ 1, og 

bruk dette til å vurdere feilen ved tilnærmingen i punkt a). Hvor mange delintervaller 

ville du bruke for å være sikker på at feilen ble mindre enn 10 −4 ? 

Oppgave 6 

a) Vis ved induksjon at for n = 1, 2, 3, ... gjelder 

2n∑ 

i=n+1 

b) Bruk resultatet i punkt a) til å vise at 

1 

2n∑ 

i = 

m=1 

(−1) m+1 

m . 

∞∑ (−1) m+1 

m=1 

m 

= ln 2. 

(Hint: Husk ideen bak integraltesten.)



Side 1 av 2 


Ivar Amdal tlf. 735 93468 


Tirsdag 16. august 2005 

Kl. 9–13 






Oppgave 1 


x − sin x 

lim . 

x→0 x 3 

Oppgave 2 

a) Løs initialverdiproblemet 

der k er en gitt konstant. 

dy 

dx = ( x 2 − k ) y 2 , y(0) = 1 

b) For k = −1 kan løsningen i a) skrives 

y = 

−3 

x 3 +3x − 3 . 

Det størst mulige definisjonsområdet for denne løsningen er et åpent intervall (−∞,a) 

der a>0. Bruk Newtons metode til å bestemme a med to desimaler.


Oppgave 3 

Gitt funksjonen 

1 

f(x) = 

x 2 +2x +4 . 

La R betegne området i xy-planet begrenset 

av y-aksen, den rette linje x =2ogkurvene 

✿ 

y = f(x) ogy = −f(x), se figuren til høyre. 

a) Finn arealet A av området R. 

b) Finn volumet V av rotasjonslegemet som 

dannes når R dreies om aksen x = −1. 

Bestem tyngdepunktet (x, y) tilR ? 

x=−1 

1 

4 

− 1 4 

y 

✻ 

y=f(x) 

y=−f(x) 

✲ 

x 

Oppgave 4 

a) En kurve K i xy-planet har ligning 

(∗) 2e 2x − e y = x 2 y. 

Vis at punktet (0, ln 2) ligger på K, og finn ligningen for tangenten til K i dette punktet. 

b) Finn Taylorpolynomet av grad 2, P 2 (x), om x = 0 for funksjonen y = f(x) somer 

definert implisitt ved ligningen (∗). 

Oppgave 5 

a) Bestem konvergensradien for potensrekken 

∞∑ x n 

√ , 4n +1 


n=0 

b) La S betegnesummenavrekkenia) når x = −1/4. Finn en tilnærmet verdi L for S 

slik at |S − L| ≤10 −3 . 

Oppgave 6 Gitt punktene A(a, 0), B(1, 1) 

og C(0, 1) der a > 0. La P være skjæringspunktet 

mellom linjestykket fra origo O til B 

og linjestykket fra A til C, sefigurentilhøyre. 

C(0,1) 

y 

✻ 

P 

B(1,1) 

Bestem a slik at summen S av arealene av trekantene 

OAP og BCP blir minst mulig. 

O 

A(a,0) 

✲ 

x



Side 1 av 2 


Johan Aarnes tlf. 920 80 614 

Kristian Seip tlf. 911 29 136 

Ivar Amdal tlf. 995 59 273 


Bokmål 


Kl. 9–13 



Sensurdato: 9. januar 

Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår 


Oppgave 1 

En funksjon er definert for x ∈ R ved 

⎧ 

⎨0 hvis x = 0 

f(x) = cosh x − 1 

⎩ 

hvis x ≠ 0. 

x 

cosh x − 1 

Bestem lim 

, og avgjør om f er kontinuerlig i x = 0. 

x→0 x 

Oppgave 2 

a) Vis at ligningen cosh x − 1 − x = 0 har nøyaktig én løsning x ∗ i intervallet (1, 2). 

b) Benytt Newtons metode til å beregne x ∗ med to desimaler.


Oppgave 3 Et kvadrat er plassert med en diagonal langs x-aksen og to hjørner i punktene 

(1, 0) og (3, 0). Finn volumet av legemet som fremkommer når kvadratet roteres om y-aksen. 

Oppgave 4 


dy 

dx + y tan x = sin2 x 

cos x , y(0) = 1, −π 2 < x < π 2 . 

Oppgave 5 Et vassdrag skal behandles med giften Rotenon fordi en ønsker å bekjempe 

lakseparasitten Gyrodactylus Salaris. Elven som skal behandles, renner ut fra et lite tjern. 

Giften tilføres tjernet med en konstant rate på k kg pr. time i tre døgn. Vi antar at like mye 

vann flyter inn i tjernet som ut, og at tjernet har et konstant vannvolum på 100 000 = 10 5 liter. 

Vi antar at vi har fullstendig blanding av gift i vannet til enhver tid, og at elven har konstant 

vannføring på 1000 liter pr. time. 

a) Still opp en differensialligning for mengden x(t) av Rotenon i tjernet ved tiden t målt i 

timer (t ∈ [0, 72]) fra behandlingen startet, og vis at løsningen er gitt ved 

x(t) = 100k ( 1 − e −t/100) . 

b) For at behandlingen skal være virkningsfull må konsentrasjonen av gift i elven overstige 

15 gram pr. liter. Hvor stor må tilførselsraten k være for at dette kan oppnås i løpet av 

tre døgn? 

Oppgave 6 Beregn ∫ ∞ 

0 

dx 

(x + 1)(x + 2)(x + 3) . 

Oppgave 7 

a) Finn Taylorrekken om x = 0 (Maclaurinrekken) for funksjonen 

f(x) = cos x − 1 

x 2 . 

For hvilke x konvergerer rekken? 

Det oppgis at 

b) Beregn integralet 

cos x = 1 − x2 

2! + x4 

4! − x6 

x2k 

+ · · · + (−1)k 

6! (2k)! + · · · . 

∫ 1 

0 

cos x − 1 

med en feil som i absoluttverdi er mindre enn 10 −4 . 

x 2 

dx



Side 1 av 2 


Ivar Amdal tlf. 995 59 273 


Fredag 18. august 2006 

Kl. 9–13 






Oppgave 1 


lim 

x→π/2 

1 − sin x 

1+cos2x . 

Oppgave 2 

a) Finn summen av rekken 

∞∑ 

n=0 

2 n +5 

3 n . 

b) Finn konvergensradien for potensrekken 

∞∑ 

n=1 

x n 

arctan n 

og avgjør om rekken konvergerer i endepunktene av konvergensintervallet.

TMA4100 Matematikk 1, 18.08.06 Side 2 av 2 

Oppgave 3 


( 

x 2 +1 ) dy 

= x(2y − 3), 

dx y(0)=1. 

Oppgave 4 Et rektangel R (se figuren) der sidene 

er parallelle med koordinataksene, har øverste venstre 

hjørne i punktet (t, √ t )påkurveny = √ x og nederste 

høyre hjørne i punktet (9, 0) på x-aksen. 

a) Finn arealet av R uttrykt ved t. Bestem den 

største verdien som arealet oppnår når t varierer 

fra 0 til 9. 

b) For hvilken verdi av t blir arealet av R like stort 

som arealet av et kvadrat med side t?BrukNewtons 

metode til å løse ligningen du får, og angi 

svaret med to desimaler. 

✻ y 

(t, √ t) 

t 

y= √ x 

R 

9 

✲x 

Oppgave 5 

(∗) 

Gitt initialverdiproblemet 

dy 

dx = x + y2 , 

y(0)=1. 

a) Bruk Eulers metode med skrittlengde h =0.1 tilå finne en tilnærmet verdi for y(0.3). 

b) La P 2 (x) betegne Taylorpolynomet av grad 2 om x = 0 for løsningen y(x) av initialverdiproblemet 

(∗). Beregn P 2 (0.3). 

Hint: Deriver (∗) implisitt for å finne y ′′ . 

Oppgave 6 La R betegne området i xy-planet begrenset av x-aksen og kurven y =3x−x 2 . 

Finn volumet av rotasjonslegemet som fremkommer når R dreies om linjen x = −1. 

Oppgave 7 La f(x) være en ikkenegativ funksjon som er deriverbar med kontinuerlig 

derivert for x ≥ 1. Buelengden til kurven y = f(x) frax =1tilx = u er gitt ved en funksjon 

H(u). Bestem funksjonen f dersom 

H(u) = u3 

3 + u − 4 3 

og f(1) = 0.

Noregs teknisk–naturvitskaplege universitet 


Side 1 av 2 

Fagleg kontakt under eksamen: 

Magnus Landstad (73 59 17 53) 

KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4100 MATEMATIKK 1 

Nynorsk 

Laurdag 16. august 2008 

Kl. 9 – 13 

Hjelpemiddel (kode C): Kalkulator HP30S 

Rottmann: Matematisk formelsamling 

Oppgåvesettet har 2 sider. 

Sensurdato: 6. september 2008 

Alle svar skal grunngis, og det skal være med så mykje mellomrekning at framgangsmåten går 

tydeleg fram av svaret ditt. 

Oppgåve 1 

La 

f(x) = x3 − 3x 2 − 4 

. 

x 3 − 4 

a) Finn f ′ og angi dei lokale ekstremalpunkta til funksjonen. 

b) Finn horisontale og vertikale asymptotar, skisser grafen og forklar kvifor f har nøyaktig 

eitt nullpunkt. 

Oppgåve 2 

Rekn ut det ubestemte integralet 

∫ 

x 

x 2 − 3x + 2 dx .

Side 2 av 2 

Oppgåve 3 

Finn konvergensradien til rekkja 

∞∑ 

n=2 

(−1) n x 2n 

√ 2n + 1 

og avgjer om rekkja konvergerer i eventuelle endepunkt for konvergensintervallet. 

Oppgåve 4 

To av hjørna til eit rektangel ligg på x-aksen, og dei to andre ligg på parabelen 

y = 6 − x 2 , y ≥ 0. 

Kva er det største arealet eit slikt rektangel kan ha? 

Oppgåve 5 Krimskrams AS skal starte produksjon av dekorative pyramidar i massivt 

metall. Grunnflata i kvar pyramide skal vere kvadratisk med sidelengd x cm, og høgda skal 

også vere x cm. Metallet kostar 0,12 kr/cm 3 . Undersida dekkjast med filt til 0,17 kr/cm 2 . Syn 

at materialkostnadene gitt i kr pr pyramide er 

K = 0,04x 3 + 0,17x 2 . 

For å levere til konkurransedyktig pris må materialkostnadene ikkje vere meir enn 50 kr pr 

pyramide. Bruk Newtons metode til å gi eit overslag for kor stor sidelengda x da maksimalt 

kan vere. 

Oppgåve 6 

Finn løysinga av initialverdiproblemet 

√ dy 1 − x 

2 

+ y = x, y(0) = −1. 

dx 

Oppgåve 7 

Bruk ε-δ-definisjonen av grenseverdi til å syne at 

lim 

x→0 

√ 

1 + x = 1.

EKSAMEN I FAG SIF5003/5004 MATEMATIKK 1/1A

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?