GIÁO ÁN PP MỚI THEO CHỦ ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 11

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (4 tiết) 

(Đại số và Giải tích 11) 

I. KẾ HOẠCH CHUNG. 

Phân phối 

Tiến trình dạy học 

thời gian 

Hoạt động khởi động 

Tiết 1 

KT1: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại 

một điểm. Định nghĩa 1. 

Tiết 2 

Tiết 3 

Hoạt động hình thành kiến thức 

Hoạt động luyện tập 

KT2: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại 

một điểm. Định lí về giới hạn hữu hạn 

KT3: Giới hạn một bên 

KT4: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô 

cực 

KT5: Giới hạn vô cực của hàm số.Định 

nghĩa, một vài giới hạn đặc biệt 

Tiết 4 


Hoạt động vận dụng, tìm tòi, mở rộng 

KT6: Giới hạn vô cực của hàm số. Một 

vài quy tắc về giới hạn vô cực 

II. KẾ HOẠCH DẠY HỌC 

1. Mục tiêu bài học 

a. Kiến thức 

- Học sinh biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn một bên, giới hạn hữu 

hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số. 

- Học sinh hiểu được định lí về giới hạn hữu hạn, định lí về giới hạn một bên, một vài giới hạn đặc 

biệt và các quy tắc về giới hạn vô cực. 

b. Về kĩ năng 

- Học sinh biết cách tính giới hạn hàm số tại một điểm, tính giới hạn hàm số tại vô cực 

- Học sinh phân biệt được các dạng vô định của giới hạn hàm số. 

c. Thái độ 

- Tích cực, chủ động và hợp tác trong hoạt động nhóm. 

- Say mê hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn. 

d. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh 

- Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động. 

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải 

quyết bài tập và các tình huống. 

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các 

câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. 

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. 

2. Nhiệm vụ của giáo viên và học sinh 

+ Giáo viên 

- Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học. 

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề. 

+ Học sinh 

- Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập. Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm 

sau khi đã thảo luận và thống nhất. 

- Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm 

hướng dẫn. 

- Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập. 

3. Phương pháp dạy học 

- Phương pháp dạy học nêu vấn đề và dạy học hợp tác. 

Trang 1/16

4. Phương tiện dạy học 

- Máy chiếu, sử dụng các phần mềm dạy học để tăng tính trực quan cho bài giảng. 

5. Tiến trình dạy học 

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

* Mục tiêu: 

+ Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới. 

+ Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm “giới hạn hàm số tại một điểm”. 

* Nội dung, phương thức tổ chức: 

+ Chuyển giao: 

L1. Quan sát các hình ảnh (máy chiếu) 

L2. Lớp chia thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực học) 

và tìm câu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ. 

H1. . Em có nhận xét gì về hình ảnh sau? 

H2.Quan sát hình ảnh dưới đây, em có nhận xét gì về giá trị hàm số y = f ( x) 

khi x dần đến 2? 

Câu 3. Quan sát hình ảnh dưới đây, em có nhận xét gì về giá trị hàm số y = f ( x) 

khi x dần đến -2? 

Trang 2/16

+ Thực hiện 

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Viết kết quả 

vào bảng phụ. 

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội 

dung các câu hỏi 

+ Báo cáo, thảo luận 

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. 

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn. 

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời. 

- GV quan sát, lắng nghe, ghi chép. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: 

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương 

nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động 

học tiếp theo. 

Qua các hoạt động giáo viên dẫn dắt vào bài “Giới hạn của hàm số” 

* Sản phẩm: 

+ Các phương án giải quyết được ba câu hỏi đặt ra ban đầu. 

+ Hình thành khái niệm giới hạn hàm số tại một điểm 

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 

1. HTKT 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Định nghĩa 1. 


- Học sinh biết được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. 

- Áp dụng để tính được giới hạn hàm số tại một điểm. 



L. Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành câu hỏi số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành câu hỏi số 2. 

Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ. 

Xét hàm số 

f( x) 

= 

2 

2x 

− 2 

x 

. 

x −1 

1. Cho biến x những giá trị khác nhau lập thành dãy số ( x ), x → 1 như trong bảng sau. 

Tính các giá trị của f ( x ) 

3 4 5 

n + 1 

1 

x x 

1 

= 2 x 

2 

= x 

3 

= x 

4 

= …. xn 

= ….. 

2 3 4 

n 

f ( x ) f( x 

1) = ? f( x 

2) = ? f( x 

3) = ? f( x 

4) = ? …. f( x 

n) = ? ….. ? 

Ta thấy rằng tương ứng với các giá trị của dãy ( x 

n ) là các giá trị 

f ( x ), f ( x ), f ( x ), f ( x ),..., f ( x ),... cũng lập thành dãy ký hiệu là f ( x ) 

1 2 3 4 

n 

( n ) 

f x . 

+ Tìm giới hạn dãy số ( ) 

n 

n 

( n ) 

Trang 3/16

2. Với mọi dãy số ( ) n 

x sao cho x 1, 1 

n 

x → thì dãy số tương ứng ( ) 

n 

( n ) 

f x có giới hạn 

bằng bao nhiêu ? 


- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết 

kết quả vào bảng phụ. 


dung các câu hỏi. 






- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành khái niệm 

giới hạn hữu hạn của hàm số. 

Định nghĩa 1: 

+ Củng cố, luyện tập 

- Yêu cầu học sinh Nhóm 1, 2 làm Ví dụ 1; Nhóm 3, 4 làm Ví dụ 2. 

2 

x −1 

- Ví dụ 1 . Cho hàm số f( x) 

= 

x + 1 

. Chứng minh rằng lim f( x) =− 2 

x→−1 

Giải :Hàm số xác định trên R \{ −1} 

Giả sử ( ) n 

Ta có 

Do đó 

x là một dãy số bất kỳ, thảo mãn x −1và x →− 1 khi n → + 

( xn 

− )( xn 

+ ) 

( x ) 

2 

x 

1 1 

n 

−1 

lim f ( xn) = lim = lim = lim( xn 

− 1) 

= −2 

x + 1 + 1 

lim f( x) =− 2 

x→−1 

Nhận xét: lim x = x o 

, lim c = c 

x→x x→x o 

n 

o 

1 

Ví dụ 2. Chứng minh rằng giới hạn limsin không tồn tại? 

x→0 

x 

1 

Giải: Đặt f ( x) 

= sin , xét hai dãy số ( xn) ,( y 

n) 

với 

x 

1 

+ xn 

= xn 

→ 0, khi n → + 

2n 

n 

( ) ( ) 

n 

f x = sin 2n f x → 0, khi n → + 

n 

n 

n 

Trang 4/16

1 

+ y = n 

yn 

0, khi n 

 

→ → + 

+ 2n 

2 

 

 

f ( yn) = sin + 2n 

f ( yn) 

→1, 

khi n → + 

2 

Như vậy, tồn tại hai dãy số ( x ),( y ) cùng tiến đến 0 mà hai dãy số tương ứng ( ) 

n 

1 

không cùng tiến đến một giá trị, nên không tồn tại limsin . 

x→0 

x 

Bài tập củng cố: Tính các giới hạn sau 

n 

( f xn 

);( f ( y 

n) 

) 

2 

2 

6x 

−1 

x − 3x+ 

2 

a. I = lim ( 4x− 3) 

b. J = lim ( x + 5 − 4) c. lim 

d. lim 

x→2 

x→2 

x→3 

x + 5 

x→−2 

x − 2 


- Lời giải các phiếu học tập số 1, 2; lời giải các Ví dụ 1, 2 

- Định nghĩa hàm số hữu hạn tại điểm. 

2. HTKT 2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. Định lí về giới hạn hữu hạn 

* Mục tiêu: Học sinh biết được nội dung định lí 1. Thông quá đó biết áp dụng nội dung định lí vào 

để tính giới hạn tại một điểm. 



Câu hỏi 1. Tính 

M 

2 

= lim (4 x+ x + 5 − 7) . 

x→2 

Câu hỏi 2. Tính I+J. Biết I lim ( 4x 

3) 

= − , 

J = + − 

2 

lim ( x 5 4) 

x→2 

x→2 

So sánh giá trị của M và I+J? 

Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi 


- Các nhóm thảo luận đưa ra các đáp án trả lời cho các câu hỏi H1, H2. Viết kết quả vào 

bảng phụ. 




- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. Đại diện các nhóm trình bày. 

- Dự kiến câu trả lời: 

J = + − = − 

x→2 

2 

lim ( x 5 4) 1 

2 

M = lim (4 x+ x + 5 − 7) = 4 I ( x ) 

x→2 

Vậy M = I+J 


- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, Giáo viên đưa ra nội dung định lí 1. 

Định lí 1: 

a) Nếu lim f ( x) 

= L và 

x→x0 

x→x0 

 

 

lim g ( x ) = M thì: 

x x 

→ 0 

lim f ( x) + g( x) 

= L + M 

x→x0 

 

lim f ( x) − g( x) 

= L − M 

x→x0 

 

lim f ( x). g( x) = L. 

M 

lim 

x→x0 

g ( x ) 

 

 

f ( x) 

L 

= (nếu M 0) 

M 

b) Nếu f(x) 0 và lim f ( x) 

= L thì L 0 và lim f ( x) 

= 

x→x0 

x→x0 

L 

= lim 4 − 3 = 5 

x→2 

Trang 5/16

c) Nếu lim f ( x) 

= L thì lim f ( x) 

= 

x→x0 


1. lim(4x 2 - 2x+5) 

x→1 

x→x0 

L 

2. lim(3x - 2 x +10) 

x → 1 

3. ( ) 3 

lim 3x - 4x+5 

x → 3 

3 

8x+1 

x +7x - 5 

2 

4. lim 

5. lim 

6. lim(3x+1)(-4x +8) . 

x→1 

2 

4 

4x - 6 

x→-1 

2x +1 

x→1 

Yêu cầu học sinh: tính giới hạn trên 

* Sản phẩm 

- Đáp án. 

- Định lí 1. 

3. HTKT 3. Giới hạn một bên 

* Mục tiêu: Học sinh hiểu được định nghĩa giới hạn một bên và nội dung định lí 2 



L. Học sinh nhận phiếu học tập. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau 

Em nhận xét gì về hai hình ảnh trên? (Hình ảnh hàng người chạy (theo 1 hướng) về đích) 

5x 

+ 2 khi x 1 

Cho hàm số f( x) 

= 2 

x 

khi x 1 

3 4 5 

n + 1 

1 

x x 

1 

= 2 x 

2 

= x 

3 

= x 

4 

= …. xn 

= ….. 

2 3 4 

n 

f ( x ) f( x 

1) = ? f( x 

2) = ? f( x 

3) = ? f( x 

4) = ? …. f( x 

n) = ? ….. ? 

Câu hỏi? Em có nhận xét gì về giá trị của dãy f( x 

n) 

khi x 

n 

→ 1 và xn 

1? 


- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi. 

- Các nhóm viết kết quả dự đoán của nhóm mình lên bảng phụ. 



- Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu Định nghĩa 2, Định lí 2 

b) Định nghĩa 2(SGK) 

Định lí 2: lim f ( x) 

= L lim f ( x) = lim f ( x) 

= L c) Củng cố. 

x→x0 

− + 

x→x0 x→x0 

Ví dụ. Trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau . 

Câu 1. Cho hàm số: f ( x) 

2 

x − x + khi x 

3 1 2 

= 

5x 

−3 khi x 2 

, tìm f ( x) 

lim . 

− 

x→2 

A.11 B. 7 C. − 1 

D. − 13 

Trang 6/16

Câu 2. Cho hàm số f ( x) 

3 

 

2x −2 x khi x 1 

= 

3 

x −3 x khi x 1 

, tìm lim f ( x) 

− 

x→1 

. 

A. − 4 

B. − 3 

C. − 2 

D. 2 

Câu 3. Cho hàm số: ( ) 

2 

x + 

1 

khi x 1 

f x = 1− 

x 

 

2x −2 khi x 1 


− 

x→1 

A. − 1 

B. 0 C.1 D. + 


2 

x + x − x 

2 1 khi 1 

= 


. 

2 

x→1 

3x 

+ 1 khi x1 

A. − B. 2 C. 4 D. + 


- Đáp án cho các câu hỏi. 

- Phát biểu được định nghĩa 2, định lí 2. 

4. HTKT 4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. 


- Học sinh biết định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. 

-Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải một số bài toán đơn giản về giới hạn của hàm số. 

.* Nội dung, phương thức tổ chức: 


L1. Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn 

thành Phiếu học tập số 2. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ. 

. 

Câu hỏi :Cho hàm số 

1 

f ( x) 

= có đồ thị như hvẽ 

x − 2 

6 

4 

2 

-5 5 

-2 

-4 

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 

Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong bảng 

x = 3 x = 4 x = 5 ...... x → + 

f ( 3 ) = ? f ( 4 ) = ? f ( 5 ) = ? ......... f ( + ) = ? 

Trang 7/16

PHIỂU HỌC TẬP SỐ 2 

Tính giá trị của hàm số với những giá trị của x cho trong bảng 

x = 0 x =− 3 x =− 7 ...... x → − 

f ( 0 ) = ? f ( − 3 ) = ? f ( − 7 ) = ? ......... f ( − ) = ? 


- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết 

kết quả vào bảng phụ. 








- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm 

số tại vô cực 

Hoạt động của GV 

Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô 

cực 

a. Định nghĩa 3 : SGK/T 128 

3x 

+ 2 

Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) 

= . x −1 

Tìm lim f ( x) 

và lim f ( x) 

. 

x→− 

x →+ 

H: Tìm tập xác định của hàm số trên ? 

H: Học sinh giải thích ntn? 

Hoạt động của HS 

HS: Ghi nhận kiến thức. 

a. Định nghĩa 3 : SGK/T 128 

3x 

+ 2 

Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) 

= . x −1 

Tìm lim f ( x) 

và lim f ( x) 

. 

x→− 

x →+ 

Giải: 

Hàm số đã cho xác định trên (- ; 1) và trên 

(1; + ). 

Giả sử ( x n 

) là một dãy số bất kỳ, thoả mãn 

x < 1 và x → − . 

n 

n 

2 

3 + 

3xn 

+ 2 xn 

Ta có lim f ( xn 

) = lim = lim = 3 

x − 1 1 

n 

1 − 

x 

3x 

+ 2 

Vậy lim f ( x) 

= lim = 3 

x→− 

x→− 

x −1 

Giả sử ( x n 

) là một dãy số bất kỳ, thoả mãn 

x 

n 

> 1 và x 

n 

→ + . 

Ta có: 

2 

3 + 

3xn 

+ 2 xn 

lim f ( xn 

) = lim = lim = 3 

x − 1 1 

n 

1 − 

x 

3x 

+ 2 

Vậy lim f ( x) 

= lim = 3 

x→+ 

x→+ 

x −1 

n 

n 

Trang 8/16

. Chú ý: 

Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, 

lim c = ? 

x→ 

c 

lim = ? 

x→ 

k 

x 

H: Khi x → + hoặc x → − thì có nhận xét gì 

về định lý 1 ? 

HS: Định lý 1 vẫn còn đúng. 

+ Củng cố, luyện tập: 

- Từ định nghĩa, hãy nêu phương pháp tìm giới hạn 

hữu hạn của hàm số tại vô cực? 

Học sinh làm các ví dụ 2,3,4,5. 

H: Giải như thế nào? 

H: Chia cả tử và mẫu cho 

Kết quả ? 

Gọi HS lên bảng làm 

2 

x , ta được gì? 

b. Chú ý: 

+) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, 

ta luôn có : 

c 

lim c = c ; lim = 0. 

x→ 

x→ 

k 

x 

+) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số 

khi x → x0 

vẫn còn đúng khi x → + hoặc 

x → − 

2 

5x 

− 3x 

Ví dụ 2: Tìm lim 

x→+ 

x 2 

+ 2 

2 

Giải: Chia cả tử và mẫu cho x , ta có: 

3 

3 

2 

5 − lim (5 − ) 

5x 

− 3x 

lim 

x→+ 

x 2 

= lim 

x x→+ 

= x = 

+ 2 x→+ 

2 

2 

1 + lim (1 + ) 

2 

2 

x 

x→+ 

x 

3 

lim 5 − lim 

x→+ 

x→+ 

x 5 − 0 

= = 5 

2 1 + 0 

lim 1 + lim 

x→+ 

x→+ 

2 

x 

Ví dụ 3: 

2 

5x 

+ 3x+ 1 5 

lim 

x 2 

2 = 

→− x − 2 2 

Ví dụ 4: 

Ví dụ 5: 

3x 

+ 1 

lim 0 

x 

2 = 

→− x − 2 

lim 

x→+ 

( x x x) 

+ − = 

2 

2 1 

- Quy tắc tìm : 

f ( x ) 

x→ 

g( x) 

 

 

lim . 

 

 


- Lời giải các phiếu học tập số 1, 2; lời giải các Ví dụ 1, 2,3,4,5. 

- Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực. 

5. HTKT 5. Giới hạn vô cực của hàm số .Một vài giới hạn đặc biệt . 

* Mục tiêu: Học sinh biết, hiểu định nghĩa giới hạn vô cực. Từ đó áp dụng làm các bài tập tìm giới 

hạn vô cực đặc biệt 



L1: Tính giới hạn: 

lim 

x→2 

1 

x − 2 

L2. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi sau. 

Trang 9/16

x → thì x −2 → ? 

1 

→ ? 

x − 2 

1 

lim = ? 

x→2 

x − 2 

H1. Khi 2 

H2. 

H3. 


- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Nhóm nào 

xong trước được quyền trả lời trước, các nhóm khác nghe nhận xét, bổ sung nếu thiếu. 




- Đại diện nhóm trình bày. 

- Dự kiến câu trả lời: 

TL1. . Khi x → 2 thì x −2 → 0 

TL2. 

TL3. 

1 

→ + 

x − 2 

1 

lim = + 

x→2 

x − 2 


- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận hàm số có giới hạn vô cực khi x→ x0 

. 

- GV kết luận hàm số có giới hạn vô cực khi x → . 


III. Giới hạn vô cực của hàm số : 

1. Giới hạn vô cực: 


- Giáo viên : gọi học sinh đứng tại chỗ đọc 

định nghĩa 4 SGK 

- Giáo viên hướng dẫn học sinh ghi định 

nghĩa bằng kí hiệu. 

- lim f ( x) 

= + thì lim ( − f ( x)) 

= ? 

x→+ 

x→+ 

- Giáo viên đưa đến nhận xét. 


III. Giới hạn vô cực của hàm số : 

1. Giới hạn vô cực: 


Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng 

(a; +∞). 

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là - ∞ khi 

x → + nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và 

x 

n 

→ + , ta có f ( x n 

) → − . 

Kí hiệu: lim f ( x) 

= − hay f (x) → − khi 

x → + . 

Nhận xét : 

x→+ 

x→+ 

lim f ( x) 

= + lim ( − f ( x)) 

= − 

x→+ 

- Giáo viên gọi học sinh tính các gới hạn 

sau: 

5 

* lim x 

c →+ 

, 

5 

lim x 

c→− 

6 

, lim x 

c→− 

- Giáo viên đưa đến một vài gới hạn đặc 

biệt. 

2. Một vài giới hạn đặc biệt: 

k 

a) lim x = + với k nguyên dương. 

x→+ 

k 

b) lim x = − nếu k là số lẻ 

x→− 

k 

c) lim x = + nếu k là số chẵn. 

x→− 


Trang 10/16

6. HTKT 6. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực. 

* Mục tiêu: Học sinh biết được quy tắc về giới hạn vô cực: giới hạn của tích, thương . 



L1. Học sinh nhận phiếu học tập. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi 

sau trong phiếu học tập số 3. 

PHIẾU HỌC TẬP SÔ 3 

- Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x). 

- Tìm giới hạn lim ( x 

3 − 2x) 

x→+ 

Yêu cầu học sinh: 

- Dưới sự hướng dẫn của Giáo viên học sinh phát biểu quy tắc tìm giới hạn của tích . 

- Vận dụng tìm giới hạn ở phiếu học tập số 03 






- Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x). 



3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực. HS: Ghi nhận kiến thức. 

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực. 

a. Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x). a. Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x). 

Nếu lim f ( x) 

= L 0 và lim g( 

x) 

= + 

x→x0 

hoặc - ∞ ) thì lim f ( x). 

g( 

x) 

x→x0 

x→x0 

quy tắc cho trong bảng sau: 

lim f ( x) 

lim g( 

x) 

lim f ( x). 

g( 

x) 

x→ x0 

L > 0 

L < 0 

x→x0 

x→x0 

+ ∞ + ∞ 

- ∞ - ∞ 

+ ∞ - ∞ 

- ∞ + ∞ 

3 

Ví dụ : Tìm lim ( x − 3x) 

x→ 

( 

được tính theo 


- Đáp án cho các câu hỏi và kết quả cho bài ví dụ. 

- Hiểu được và vận dụng quy tắc tìm giới hạn một tích vào tìm giới hạn của hàm số.. 

L2. Học sinh nhận phiếu học tập. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi 

sau trong phiếu học tập số 4. 


f ( x) 

- Nêu nội dung qui tắc tìm giới hạn thương . 

g( 

x) 

2x 

+ 1 

- Tìm giới hạn lim 

x→− 

2 ) 2 

( x + 2 


- Dưới sự hướng dẫn của Giáo viên học sinh phát biểu quy tắc tìm giới hạn của 

Trang 11/16

thương . 

- Vận dụng tìm giới hạn ở phiếu học tập số 04 






- Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu qui tắc tìm giới hạn thương 



a. Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x). 

f ( x) 

b. Quy tắc tìm giới hạn của thương 

g( 

x) 

f ( x) 

. 

g( 

x) 




a. Qui tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x). 

f ( x) 

b. Quy tắc tìm giới hạn của thương 

g( 

x) 

Dấu f ( x) 

lim f ( x) 

lim g( 

x) 

lim 

x→ x0 

x→x của x→ x0 g( 

x) 

0 

g(x) 

Tuỳ 

L ± ∞ 

0 

ý 

+ + ∞ 

L > 0 

- - ∞ 

0 

+ - ∞ 

L < 0 

- + ∞ 

Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các 

+ 

− 

trường hợp x → x0 , x → x0 

, x → +, 

x → − 

Ví dụ : Tìm a) 

x→1 

2x 

− 4 

lim 

− 

x −1 

2x 

− 4 

lim 

b) 

+ 

x→1 

x −1 


- Đáp án cho các câu hỏi và kết quả cho bài ví dụ. 

- Hiểu được và vận dụng quy tắc tìm giới hạn một thương vào tìm giới hạn của hàm số.. 

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 

* Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi và tính 

toán. 



L1. HS nhận phiếu học tập gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận 

L2. Học sinh hoạt động cá nhân, trả lời các câu hỏi trắc nghiệm và hoạt động nhóm làm các 

câu hỏi tự luận. 


Trang 12/16

Câu 1. lim ( 3x 

2 3x 

8) 

x→−2 

− − bằng 

A.5 B. 7 C. 9 D.+ 

2 

x − 3x+ 

2 

Câu 2: lim 

x→1 

x −1 

bằng 

A. -1 B. 1 C. 2 D.+ 

Câu 3. Cho hàm số: f ( x) 

2 

x − x + khi x 

3 1 2 

= 

5x 

−3 khi x 2 

, tìm f ( x) 

lim . 

− 

x→2 

A.11 B. 7 C. − 1 

D. − 13 


3 

 

2x −2 x khi x 1 

= 

3 



− 

x→1 

. 

A. − 4 

B. − 3 

C. − 2 

D. 2 

2 

x + 1 

Câu 5. lim bằng 

+ 

x→1 

x −1 

A. + B. 2 C.1 D. − 

2 

x + x − x 

2 1 khi 1 


= 


. 

2 

x→1 

3x 

+ 1 khi x1 

A. − B. 2 C. 4 D. + 

2 

2x 

− 3x+ 

1 

Câu 8. 

bằng 

x→1 

2 

lim 

1 − x 

A.1/2 B. 1/4 C. -1/4 D.-1/2 

2 

Câu 9. x − 12x+ 

35 

bằng 

x →5 

5 x − 25 

A. 1 B. 2 2 

C. − 

5 

5 

5 

D. + 

Câu 10. lim ( x 1 x 3) 

+ − − bằng 

x→+ 

A. − B. 2 C. 0 D. + 


Bài tập 1. Tính các giới hạn sau: 

1. lim ( x 

2 x 7) 

x→−1 

− + 2. 

x 

lim 

x→1 

2 

− 3x+ 

2 

x −1 

3. 

lim 

x→4 

4 

x + 5−3 

− x 

4. 

lim 

x→−1 

3 2 

3x 

− 2x 

+ 2 

x − 2 

Trang 13/16

4x 

+ 1 −3 

5. lim 

x→2 

2 

x − 4 


6. 

lim 

x→0 

2 

1+ x −1 

x 

1. 

x 

lim 

x→2 

x 

3. lim 

x→3 

2 

2 

− 3x+ 

2 

( x − 2) 

2 

− 4x+ 

3 

x − 3 

3 

1− 

x −1 

5. lim 

x→0 

3x 


1. 

lim 

x→ 

2 

3x 

− 5x+ 

1 

x 

2 

− 2 

( )( ) 

( )( ) 

2 

3. lim 2x 

+ 1 5x+ 

3 

x→ 

2 3 

x − 1 x+ 

1 

2. 

2 

2x 

− 3x+ 

1 

x→1 

3 2 

x − x − x + 

lim 

6 5 

4x − 5x + x 

4. lim 

x→1 

2 

1− 

x 

6. 

lim 

x→−1 

2. lim 

x→ 

( ) 

x 

3 

2 

x + 1 

+ 3−2 

1 

( x− 1 ) .( 7x+ 

2) 

4 

( 2x 

+ 1) 

2 2 

4. lim( x ) 

2 −4x − x 

x→ 


1. lim x( x ) 

2 + 5 −x 

x→+ 

 

 

 

2. lim ( x ) 

2 − x + 3 + x 

x→ 


- Học sinh làm việc cá nhân và khoanh đáp án vào phiếu trả lời trắc nghiệm và làm việc 

nhóm vào bảng phụ với câu hỏi tự luận. 

- Giáo viên theo dõi, đảm bảo tất cả học sinh đều tự giác làm việc. 


- GV đưa ra đáp án cho từng câu hỏi, các nhóm thống kê số học sinh làm đúng từng câu. 

- GV yêu cầu học sinh trình bày cách làm cụ thể cho từng câu hỏi. 

- GV nhận xét và lựa chọn cách làm nhanh nhất cho từng câu trắc nghiệm. 

* Sản phẩm: Đáp án các câu hỏi trắc nghiệm và lời giải các câu hỏi tự luận. 

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG 

* Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng áp dụng kiến thức 

vào các dạng bài toán khác. 



L1. HS nhận bài tập gồm các câu hỏi sau. 

L2. Học sinh hoạt động cá nhân, giải các bài tập đó. 

Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm và kỹ năng 

biến đổi toán học, yêu cầu học sinh tính các giới hạn sau. 

Trang 14/16

1. 

x 

lim 

x→1 

x 

2018 

2016 

+ x−2 

+ x−2 

(1 + 5 x)(1 + 9 x) −1 

3. lim 

x→0 

x 

2 

x + x + ... + x − n 

5. lim 

x→1 

x −1 

m 

−2 x khi x 1 

f x = 

x 

−3 khi x 1 

7. Cho hàm số ( ) 

2 

n 

m 

x −1 

2. lim 

x→1 

n 

x −1 

(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x) −1 

4. lim 

x→0 

x 

n 

x − nx + n −1 

6. lim 

x→1 

( 1) 

2 

x − 

. Tìm m đề tồn tại giới hạn lim f ( x) 

x→1 

. 

8. 

10. 

lim 

x→0 

3 

2 x 1 8 

lim 

x→0 

+ − − x 

x 

3 2 3 

8x + x + 6x + 9 − 9x 2 + 27x 

+ 27 

x 

3 

9. 

11. 

lim 

x→ 0 1 + sin3 − cos 2 

lim 

x→0 

x 

2 

x x x 

( x ) 

+ 1998 1− 2x 

−1998 

2 7 

x 


- Học sinh làm việc cá nhân giải bài vào vở bài tập. 

- Giáo viên theo dõi, đảm bảo tất cả học sinh đều tự giác làm việc. 


- GV yêu cầu học sinh trình bày cách làm cụ thể cho từng bài. 

- GV nhận xét và bổ sung lựa chọn cách làm hay, nhanh nhất cho từng bài. 

* Sản phẩm: lời giải của từng bài. 

V. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG 

* Mục tiêu: GV cùng học sinh chia sẻ các bài toán tương tự, các bài toán mới liên quan tới giới 

hạn hàm số vào tính thành thạo giới hạn hàm số đồng thời vận dụng linh hoạt , sáng tạo vào giải 

toán trong đó đặc biệt quan tâm tới ứng dụng giới hạn của hàm số vào giải quyết các bài toán thực 

tiễn. 



L1. HS nghiên cứu sang các môn học khác như Địa lý, Sinh học….. 

L2. Học sinh nghiên cứu và là các bài tập sau? 

*Bài toán 1: Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con người của một nước đang phát triển, sau x năm kể từ 

138x 

+ 236 

bây giờ là: T(x) = năm . Hỏi tuổi thọ của con người sẽ đạt được tới mức Giới hạn là bao 

2x 

+ 5 

nhiêu? 

* Bài toán 2 :Nhu cầu mỗi tháng đối với một sản phẩm mới hiện nay là 195 tấn. Nhà quản lí của xí 

nghiệp đưa ra một dự đoán rằng sau x năm kể từ bây giờ nhu cầu hàng tháng cho sản phẩm sẽ là: 

2 

259x 

+ 95 

Sx ( ) = 

tấn. Hỏi nhu cầu đối với sản phẩm này hàng tháng sẽ đạt tới mức. Giới hạn nào 

2 

x + 9 

sau một khoảng thời gian thật dài? 

----- HẾT ---- 

Trang 15/16

Trang 16/16

Chủ đề: PHÉP DỜI HÌNH ( 4 tiết) 

I. Mục đích, yêu cầu 

1. Về kiến thức 

- Nắm được định nghĩa về phép biến hình, một số thuật ngữ và kí hiệu liên quan đến nó. 

- Nắm được định nghĩa về phép tịnh tiến. Hiểu được phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết 

vectơ tịnh tiến. 

- Biết được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. 

- Hiểu được tính chất cơ bản của phép tịnh tiến là bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. 

- Nắm được định nghĩa và tính chất của phép quay. 

- Nắm được biểu thức tọa độ của phép quay với góc quay đặc biêt. 

2. Về kĩ năng 

- Dựng được ảnh của một điểm qua phép biến hình đã cho. 

- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác qua phép phép tịnh tiến. 

- Biết áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để xác định tọa độ ảnh của một điểm, phương trình 

đường thẳng, đường tròn. 

- Dựng ảnh và xác định tọa độ ảnh của một điểm, đường thẳng, tam giác qua phép quay. 

3. Về tư duy, thái độ 

- Phát triển tư duy hàm, tư duy lôgic. 

- Liên hệ trong thực tiễn với phép biến hình, phép tịnh tiến. 

- Hứng thú trong học tập, phát huy tính độc lập, hợp tác trong học tập. 

4. Các năng lực chính hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh 

II. Chuẩn bị: 

1. Giáo viên: 

2. Học sinh: Chuẩn bị đồ dùng học tập, và ôn tập: 

III. Mô tả các mức độ nhận thức 

Nội dung Nhận biết thông hiểu Vận dụng thấp vận dụng cao 

Phép biến 

hình 

Phép tịnh tiến 

Phép quay 

Nắm đuợc định 

nghĩa 

Nắm được định 

nghĩa 

Nắm được định 

nghĩa 

IV. Thiết kế câu hỏi bài tập 

Tìm đuợc ảnh của 

một điểm qua phép 

tịnh tiến 

Tìm đuợc ảnh của 

một điểm qua phép 

quay 

Tìm ảnh của đuờng 

thẳng, đuờng tròn 

qua phép tịnh tiến 

Tìm tập hợp điểm 

Sử dụng phép tịnh tiến 

trong đại số 

Sử dụng phép quay 

trong các bài toán thực 

tế 

1. Nhận biết 

Ví dụ : Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. 

1 

a) Tìm ảnh của A qua phép tịnh tiến theo v = AC 

2 

b) Tìm phép tịnh tiến biến N thành điểm C và B thành điểm N 

Bài tập 4. Chọn phương án đúng trong các câu sau: 

Câu 1: Cho A( 3 ; 0 ) Phép quay tâm O và góc quay là 90 0 biến A thành : 

A. M(– 3 ; 0) B. M( 3 ; 0) C. M(0 ; – 3 ) D. M ( 0 ; 3 ) 


A. N(– 3 ; 0) B. N( 3 ; 0) C. N(0 ; – 3 ) D. N ( 0 ; 3 ) 

2. Thông hiểu 

Ví dụ 1. Cho điểm A và đường thẳng d, A 

d . Dựng điểm A’ là hình chiếu của A trên d 

Ví dụ 2. Cho điểm A và v . Dựng điểm A’ sao cho AA' 

= v 

Ví dụ 3. Cho điểm A và I, Dựng A’ sao cho I là trung điểm của AA’ 

Ví dụ 4. Cho điểm A và đường thẳng d. Dựng A’ sao cho d là trung trực của AA’ 

Ví dụ: Dựng ảnh của điểm M qua Q( O, ), biết: 

1

a) = 2k 

b) = (2k 

+ 1) 

Bài tập 1: Trong các quy tắc sau, quy tắc nào là phép biến hình, quy tắc nào không là phép biến hình? Giải 

thích! 

a) Cho điểm I và số k > 0. Quy tắc biến I thành điểm M thỏa mãn IM = k 

b) Cho điểm I và v . Quy tắc biến I thành điểm M thỏa mãn IM = v 

c) Cho điểm A và đường thẳng d, A d . Quy tắc biến A thành điểm M d thỏa mãn AM 

Bài tập 2: Qua phép tịnh tiến theo véc tơ v , đường thẳng d có ảnh là đường thẳng d / . Với các mệnh đề 

sau, nêu tính đúng, sai và giải thích . 

a) d / trùng với d khi d song song với giá của v 

b) d / trùng với d khi d vuông góc với giá của v 

c) d / trùng với d khi d cắt đường thẳng chứa giá của v 

d) d / trùng với d khi d song song hoặc d trùng với giá của v 

M ' 4;2 

Bài tập 3: Cho v ( − 1;5 ) và điểm ( ) 

A. M ( 3;7 ) . B. M ( 5; − 3) 

. C. M ( 3; − 7) 

. D. ( 4;10) 

3. Vận dụng 

Bài 5: Trong mặt phẳng (Oxy) cho u = ( 1; − 2) 

⊥ d 

. Biết M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến T . Tọa độ M là . 

v 

a) Viết phương trình ảnh của đường thẳng 3x – 5y + 1 = 0 trong trường hợp sau : 

2 2 

b) Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : x + y − 4x + y − 1= 

0 

Bài 6: Cho A(2;0), d: x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua Q 

0 

O,90 

M − . 

4. Vận dụng cao 

Bài 7: Cho hai thành phố A và B nằm hai bên của một dong sông người ta muốn xây 1 chiếc cầu MN bắt 

qua con sông người ta dự định làm hai đoạn đường từ A đến M và từ B đến N. hãy xác định vị chí chiếc 

cầu MN sao cho đoạn thẳng AMNB là ngán nhất ( Ta coi 2 bờ song là song song với nhau và cây cầu là 

vuông góc với hai bờ sông) 

V. Tiến trình dạy học 

Tiết 1: 


1. Mục tiêu 

Cho học sinh nhận ra có một số quy tắc biến một điểm thành duy nhất một điểm 

2. Nội dung phương thức tổ chức: 

a. Chuyển giao 

Giáo viên nêu một số ví dụ sau: 

Ví dụ 1. Cho điểm A và đường thẳng d, A 

d . Dựng điểm A’ là hình chiếu của A trên d 

Ví dụ 2. Cho điểm A và v . Dựng điểm A’ sao cho AA' 

= v 

Ví dụ 3. Cho điểm A và I, Dựng A’ sao cho I là trung điểm của AA’ 

Ví dụ 4. Cho điểm A và đường thẳng d. Dựng A’ sao cho d là trung trực của AA’ 

Giáo viên yêu cầu học sinh giải giải các ví dụ trên và trả lời hai câu hỏi: 

Câu hỏi 1: Có dựng được điểm A’ hay không? 

Câu hỏi 2: Dựng được bao nhiêu điểm A’? 

b. Thực hiện 

Học sinh nhận nhiệm vụ, làm việc cá nhân 

c. Báo cáo, thảo luận 

Học sinh trình bày lời giải của mình cho các ví dụ trên 

trả lời các câu hỏi Câu hỏi 1: Luôn dựng được điểm A’ 

Câu hỏi 2: Điểm A’ dựng được là duy nhất 

d. Đánh giá: 

2

Giáo viên nhận xét bài làm của học sinh và nêu ra được : Những quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm A 

với một và chỉ một điểm A’ gọi là một phép biến hình. 

e. Sản phẩm: 

- Lời giải các ví dụ 

- Hình dung được định nghĩa phép biến hình 


B1. Hoạt động hình thành kiến thức 1. Hình thành định nghĩa phép biến hình 


Học sinh nắm được định nghĩa phép biến hình . 


a.Chuyển giao 

Qua các ví dụ phần khởi động mà ta gọi các quy tắc đó là phép biến hình, vậy thế nào là phép biến 

hình 

b. Học sinh 

Học sinh nhận nhiệm vụ 

c. Báo cáo thảo luận 

Học sinh thảo luận, trình bày định nghĩa phép biến hình theo suy nghĩ của mình( thoát li SGK) 


Giáo viên đánh giá câu trả lời của học sinh, đưa ra định nghĩa của phép biến hình (SGK) 

Định nghĩa : (sgk) 

F(M) = M’ 

M’ : ảnh của M qua phép bh F 

F(H) = H’ 

Hình H’ là ảnh hình H 

Ví dụ 1: Cho trước số dương a, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M’ là điểm sao cho MM’ = a. 

Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu trên có phải là một phép biến hình hay không? 

Giáo viên: Yêu cầu học sinh dựa vào định nghĩa phép biến hình để đưa ra câu trả lời 

Học sinh: Ta có thể tìm được ít nhất 2 điểm M’ và M” sao cho MM’ = MM” = a. 

quy tắc tương ứng này không phải là một phép biến hình 


Định nghĩa phép biến hình 

B2. Hoạt động hình thành kiến thức 2. Hình thành định nghĩa phép tịnh tiến 

1. Mục tiêu: Học sinh nắm được định nghĩa phép tịnh tiến 



b. Thực hiện: 

Giáo viên: Qua VD2 phần khởi động ta thấy quy tắc 

trong ví dụ có phải là phép biến hình hay không? Vì 

sao? 

Quy tắc xác định trong ví dụ hai gọi là phép 

tịnh tiến theo v . Hãy nêu định nghĩa phép tịnh tiến? 

Học sinh: Quy tắc xác định điểm A’ trong ví dụ 2 là 

một phép biến hình vì điểm M’ luôn được xác định 

và duy nhất 

Học sinh: Suy nghĩ trả lời 


Học sinh nêu định nghĩa phép tịnh tiến 


Giáo viên đánh giá câu trả lời của học sinh, đưa ra định nghĩa của phép tịnh tiến 

Trong mặt phẳng cho véc tơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho 

MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ v . 

Phép tịnh tiến theo véc tơ v được kí hiệu T → , véc tơ v gọi là véc tơ tịnh tiến. 

v 

T → (M) = M ' 

v 

MM ' 

= v 


Định nghĩa phép tịnh tiến 

Ví dụ : Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA. 

3

1 

a) Tìm ảnh của A qua phép tịnh tiến theo v = AC 

2 

b) Tìm phép tịnh tiến biến N thành điểm C và B thành điểm N 

B3. Hoạt động hình thành kiến thức 3. Hình thành tính chất phép tịnh tiến 


Treo bảng phụ 

Nội dung bảng phụ: 

v 

M 

N 

Dựng ảnh M’, N’ lần lượt của điểm M, N qua phép tịnh tiến theo v 

So sánh độ dài đoạn MN và đoạn M’N’. Chứng minh 

Rút ra nhận xét tổng quát 


Học sinh: Nhận nhiệm vụ, làm việc cá nhân 


Học sinh đưa ra đáp án của mình 

MN = M’N’ 

Nhận xét: Nếu M’, N’ lần lượt là ảnh của điểm M, N qua phép tịnh tiến theo v thì MN = M’N’ 


Giáo viên nhận xét câu trả lời của học sinh và đưa ra tính chất 1 và tính chất 2 

Tính chất 1: Nếu T → (M) = M ' ; T → (N) = N ' thì M ' N ' = MN và từ đó suy ra M’N’ = MN 

v 

v 

Từ tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, 

biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành 

đường tròn có cùng bán kính 


Nội dung hai tính chất 

B4. Hoạt động hình thành kiến thức 4. Hình thành biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến 


Học sinh nắm được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến 

2. Nội dung phương thức tổ chức 

a. Chuyển giao: Yêu cầu học sinh giải bài toán sau: 

Bài toán : Trong mp0xy cho v = (a; b), với mỗi điểm M(x; y). Tìm tọa độ điểm M ’ là ảnh của M 

qua phép tịnh tiến v ? 


Học sinh làm việc cá nhaanm dựa vào định nghĩa phép tịnh tiến để suy ra tọa độ của M’ 


Học sinh trình bày lời giải bài toán 

x − x = a 

T (M) = M ’ M' M x = a + x 

M' M 

MM = v 

v 

 

 

y − y = b 

M' M y = b + y 

M' M 

d. Đánh giá 

Giáo viên nhận xét bài giải của học sinh và đưa ra biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến 

e. Sản phẩm: Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến 

Tiết 2. 

B5. Hoạt động hình thành kiến thức 5. Hình thành định nghĩa phép quay 


Học sinh nắm được định nghĩa phép quay và dựng được ảnh của một điểm qua phép quay 

4


a. Chuyển giao: 

? Hãy quan sát 1 chiếc đồng hồ đang chạy. Hỏi từ lúc đúng 12h00 đến 12h15 phút, kim phút của 

đồng hồ đã quay 1 góc lượng giác bao nhiêu rad? 

? Trên đường tròn lượng giác như hình vẽ , là góc nhọn 

A’ 

O 

A 

Dựng điểm A’ sao cho 

AOA' 

= ? Dựng được bao nhiêu điểm A’ như vậy? 

OA; OA" 

= ? Dựng được bao nhiêu điểm A” như vậy? 

Dựng điểm A” sao cho góc lượng giác ( ) 

Quy tắc nào là phép biến hình? 

b. Thực hiện: Học sinh làm việc theo nhóm để thực hiện các yêu cầu mà giáo viên đã đưa ra 


Học sinh trả lời các câu hỏi 

+) Từ lúc đúng 12h00 đến 12h15 phút, kim phút của đồng hồ đã quay 1 góc lượng giác là 2 

rad. 

+) Dựng được hai điểm A’ 

+) Dựng được và duy nhất điểm A” 

+) Quy tắc dựng điểm A” là phép biến hình 


Giáo viên nhận xét bài giải của học sinh và đưa ra định nghĩa phép quay: 

Định nghĩa: SGK trang 16 


Q 

Kí hiệu: O, 

O là tâm quay; là góc quay 

OM 

' = OM 

Ta có: Q( O, )( M ) = M ' 

( OM ; OM ') = 

Chiều dương của phép quay là chiều dương trên đường tròn lượng giác. 

Ví dụ: Dựng ảnh của điểm M qua Q( O, ), biết: 

a) = 2k 

b) = (2k 

+ 1) 

Giáo viên: +) Yêu cầu học sinh lên bảng dựng ảnh của M 

+) Trong mỗi trường hợp trên, Q( O, ) 

thực chất là phép biến hình nào? 

Học sinh: +) Dựng ảnh của M 

+) = 2k 

: Q( O, ) 

là phép đồng nhất. 

+) = (2k 

+ 1) : Q( O, ) 

là phép đối xứng tâm O. 

Học sinh ghi nhớ được định nghĩa phép quay 

B6. Hoạt động hình thành kiến thức 6. Hình thành tính chất của phép quay 


Học sinh xây dựng và ghi nhớ được tính chất của phép quay 



Hãy dựng ảnh của M, N qua Q(O,90 0 ) ? So sánh độ dài của đoạn MN và M’N’? 

Phép quay có bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì hay không? 

b. Thực hiện: Học sinh làm việc theo nhóm để thực hiện các yêu cầu mà giáo viên đã đưa ra 

5


Học sinh trình bày lời giải của mình 

Q(O,90 0 ) biến M thành M’ OM = OM '; MOM ' = 90 

Q(O,90 0 0 

) biến N thành N’ ON = ON '; NON ' = 90 

MOM' và NON ' là hai tam giác vuông bằng nhau MN = M' N' 

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. 


Giáo viên nhận xét bài làm của học sinh và tính chất mà học sinh nêu ra 

Chính xác hóa tính chất 1 và tính chất 2 

Q M M ' 

O, 

Tính chất 1: 

M ' N ' MN 

Q N N ' 

O, 

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng 

bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính 

Chú ý: Q ( ) ',0 

( O, ) 

d = d 

( d; d ') = khi 0 

2 

( d; d ') = − khi 

2 


Học sinh nắm được hai tính chất của phép quay 

Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm O. Xác định ảnh của tam giác đó qua Q 0 

Giáo viên: Yêu cầu các học sinh làm việc độc lập, cá nhân 

Gọi một học sinh lên bảng trình bày 

Học sinh: Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên 


C1. Hoạt động luyện tập 1. 

Tiết 3 

6 

0 

( O,60 ) 

1. Mục tiêu: Củng cố các định nghĩa về phép biến hình, phép tịnh tiến, phép quay ( Các bài tập mức độ 

nhận biết) 


Bài tập 1: Trong các quy tắc sau, quy tắc nào là phép biến hình, quy tắc nào không là phép biến hình? Giải 

thích! 

a) Cho điểm I và số k > 0. Quy tắc biến I thành điểm M thỏa mãn IM = k 

b) Cho điểm I và v . Quy tắc biến I thành điểm M thỏa mãn IM = v 

c) Cho điểm A và đường thẳng d, A d . Quy tắc biến A thành điểm M d thỏa mãn AM 


Giáo viên đưa ra bài tập 1. Yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm để tìm lời giải 

b. Thực hiện: Học sinh hoạt động theo nhóm, tìm lời giải 


⊥ d

Học sinh đại diện nhóm trình bày lời giải của nhóm mình 


Giáo viên nhận xét bài của các nhóm và đưa ra đáp án chuẩn 

a) Quy tắc này không là phép biến hình vì có rất nhiều điểm M thỏa mãn, tập hợp các điểm M này là 

đường tròn tâm I, bán kính R = k 

b) Quy tắc này không là phép biến hình vì có rất nhiều điểm M thỏa mãn, tập hợp các điểm M này là 

đường tròn tâm I, bán kính R = v 

c) Quy tắc này là phép biến hình vì điểm M luôn xác định và là duy nhất 

e. Sản phẩm: Lời giải bài tập 1 

Bài tập 2: Qua phép tịnh tiến theo véc tơ v , đường thẳng d có ảnh là đường thẳng d / . Với các mệnh đề 

sau, nêu tính đúng, sai và giải thích . 

a) d / trùng với d khi d song song với giá của v 

b) d / trùng với d khi d vuông góc với giá của v 

c) d / trùng với d khi d cắt đường thẳng chứa giá của v 

d) d / trùng với d khi d song song hoặc d trùng với giá của v 



b. Thực hiện: Học sinh hoạt động theo nhóm, tìm lời giải 





a) Đúng vì khi d song song với giá của v . 

M ' = T M MM ' = v M ' d d ' d 

b) Sai 

Lấy M thuộc d và ( ) 

v 

d ' 

d 

M’ 

M 

N’ 

v 

N 

c) Sai vì c là một trường hợp của b 

d) Đúng vì 

Khi d song song với giá của v . 

M ' = T M MM ' = v M ' d d ' d 


Khi d trùng với giá của v . 


v 

M ' = T M MM ' = v M ' d d ' d 

v 


1;5 

Bài tập 3: Cho v ( − ) và điểm M '( 4;2) 

A. M ( 3;7 ) . B. M ( 5; − 3) 

. C. M ( 3; − 7) 

. D. ( 4;10) 

. Biết M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến T . Tọa độ M là . 

v 


Giáo viên đưa ra bài tập 3. Yêu cầu học sinh làm việc cá nhân để tìm lời giải 

b. Thực hiện: Học sinh tìm lời giải 

M − . 

7


Học sinh trình bày lời giải của nhóm mình 



x = a + x 

M' M x = a - x = −1− 4 = −5 

M M' 

 

M( −5;3) 

. Chọn đáp án B 

y = b + y 

= 5 − 2 = 3 

M' M y = b - y 

M M' 


Bài tập 4. Chọn phương án đúng trong các câu sau: 


A. M(– 3 ; 0) B. M( 3 ; 0) C. M(0 ; – 3 ) D. M ( 0 ; 3 ) 


A. N(– 3 ; 0) B. N( 3 ; 0) C. N(0 ; – 3 ) D. N ( 0 ; 3 ) 



b. Thực hiện: Học sinh hoạt động theo nhóm tìm lời giải 





y 

M(0;3) 

N(-3;0) 

O 

3 

A 

x 

Câu 1: Đáp án B 

Câu 2: Đáp án A 


Tiết 4 

C2. Hoạt động luyện tập 2. Các bài tập vận dụng tính chất của phép tịnh tiến và phép quay 


Giáo viên nêu bài tập 5 

Yêu cầu học sinh thực hiện 


Học sinh thực hiện theo yêu cầu của 

giáo viên 

Bài 5: Trong mặt phẳng (Oxy) cho u = ( 1; − 2) 

a) Viết phương trình ảnh của đường thẳng 3x – 5y + 1 = 0 

trong trường hợp sau : 

b) Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : 

2 2 

x + y − 4x + y − 1= 

0 




Giáo viên nhận xét và chuẩn hóa lời 

giải 

e. Sản phẩm 

Giải. 

a) Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) 

thuộc các đường ảnh của chúng. Theo công thức tọa độ của 

x ' = 1 + x x = x ' −1 

phép tịnh tiến ta có : 

y ' = − 2 + y y = y ' + 2 

Thay x,y vào phương trình các đường ta có : 

3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 3x’-5y’-12= 0 

b) Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc 

8






giáo viên 





giải 

các đường ảnh của chúng. Theo công thức tọa độ của 

x ' = 1 + x x = x ' −1 

phép tịnh tiến ta có : 

y ' = − 2 + y y = y ' + 2 

2 2 

Đường tròn (C’) : ( ) ( ) ( ) 

x' − 1 + y' + 2 − 4 x' − 1 + y' + 2 − 1= 

0 

2 2 

hay : x + y − 6x + 5y 

+ 10 = 0 

Bài 6: Cho A(2;0), d: x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua 

Q 

0 

O,90 

Giải. 

d 

A' 

d' 

9 

A'' 

Dựa vào hình vẽ ta được Q 

0 

A A ' 0;2 

1 

O 

O,90 

Giả sử Q 

0 

d d ' thì d ⊥ d’ 

O,90 

d’: x - y + c = 0, mà do A’ d’ nên ta có 0 – 2 + c = 0 

c = 2 

Vậy PT d’: x - y + 2 = 0 

D. Hoạt động vận dụng: Vận dụng phép tịnh tiến và phép quay trong một số bài toán 

thực tế 

1. Mục tiêu: 

Học sinh vận dụng được kiến thức của phép quay, phép tịnh tiến trong một số bài toán quỹ tích 


Bài 7: Cho hai thành phố A và B nằm hai bên của một dong sông người ta muốn xây 1 chiếc cầu MN bắt 

qua con sông người ta dự định làm hai đoạn đường từ A đến M và từ B đến N. hãy xác định vị chí chiếc 

cầu MN sao cho đoạn thẳng AMNB là ngán nhất ( Ta coi 2 bờ song là song song với nhau và cây cầu là 

vuông góc với hai bờ sông) 






giáo viên 





giải 

E. Hoạt động tìm tòi, mở rộng 

Bài 7: 

Ta thực hiện phép tịnh tiến théo véc tơ MN biến điểm A 

thành A’ lúc này theo tính chất của phép tịnh tiến thì AM = 

A’N vậy suy ra AM+NB =A’N +NB ≥ A’B 

Vậy AMNB ngắn nhất thì A’N+ NB ngắn nhất khi đó ba 

điểm A’, N, B thẳng hàng 

1 

A

1. Mục tiêu: Học sinh tự sưu tập các bài toán ứng dụng của phép tịnh tiến, phép quay trong các bộ môn học 

khác và trong thực tế 



Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tìm các bài toán áp dụng hai đơn vị kiến thức vừa học 

b. Thực hiện: Học sinh ghi nhớ nhiệm vụ 

c. Báo cáo, thảo luận: 

d. Đánh giá: Giáo viên kiểm tra việc chuẩn bị của học sinh 

e. Sản phẩm: Hệ thống các bài tập đã nêu 

10

I. Mục tiêu – Hình thức. 

1. Mục tiêu. 

a. Kiến thức: 

KIỂM TRA HÌNH CUỐI NĂM 

Kiểm tra, đánh giá kiến thức của học sinh về: 

- Định nghĩa, tính chất và biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến, phép quay, phép dời 

hình. 

- Các tính chất và cách chưng minh hai đường thẳng song song, đường song song với 

mặt, hai mặt phẳng song song.. 

- Các tính chất và cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường vuông góc 

với mặt, hai mặt phẳng vuông góc. 

b. Kỹ năng: 

- Kiểm tra, đánh giá về kỹ năng vẽ hình, tính toán. 


- Học sinh có thái độ nghiêm túc khi làm bài. 

d.Năng lực. 

- Học sinh có năng lực tự chủ trong công việc 

2. Hình thức: Tự luận kết hợp trắc nghiệm. 

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh. 

1. Giáo viên: Chuẩn bị ma trận đề, đề, đáp án, biểu điểm. 

2. Học sinh: Chuẩn bị kiến thức, thước, bút, giấy kiểm tra ... 

III. Các bước tiến hành . 

1.KHUNG MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA

Cấp độ 

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Cộng 

Tên 

Cấp độ thấp 

Cấp độ cao 

Chủ đề 

(nội dung, 

chương…) 

Phép tịnh tiên 

TNKQ TL TNKQ TL TNKQ TL TNK 

Q 

TL 

Số câu: 1 

Số điểm Tỉ lệ 

3 % 

Số câu:1 

Số điểm: 

0,3 

Số câu 

1 

điểm 

= 3% 

Phép quay 

Số câu: 2 

Số điểm1,3 

Tỉ lệ 13 % 

Số câu:1 

Số điểm: 

0,3 

Số 

câu:1 

Số 

điểm: 

1 

Số câu 

2 

điểm 

=1 3% 

Phép vị tự 

Số câu: 1 


3 % 

Số câu: 1 

Số điểm: 

0,3 

Số câu 

1 

điểm=3.% 

Phép đồng 

dạng 

Số câu: 1 


10 % 

Số 

câu: 

1 

Số 

điểm: 

1 

Số câu 

1 

điểm 

= 10% 

Vị trí hai 

đường thẳng 

Số câu: 1 


1 câu 

0,3 điểm 

Số câu 

1 

điểm=3.%

3 % 

Quan hệ song 

song 

3 câu 

1 câu 

1 câu 

1 câu 

3 câu 

16 % 

0,3 điểm 

0,3 điểm 

1 điểm 

16 % 

Vecto trong 

không gian 

1 câu 

1 câu 

1 câu 

3 % 

0,3 điểm 

3 % 

Quan hệ 

vuông góc 

3 câu 

1 câu 

1 câu 

1 câu 

1 câu 

16 % 

0,3 điểm 

0,3 điểm 

1 điểm 

16 % 

Góc 

1 câu 

1 

điểm 

Khoảng cách 

3 câu 

23 % 

1 câu 

0,3 điểm 

1 câu 

1 

điểm 

1 

câu 

1 

điểm 

3 câu 

23 % 

Tổng số câu: 

16 

Tổng số điểm 

Tỉ lệ %: 100% 

Số câu: 5 

Số điểm: 1,5 

15% 

Số câu: 7 


32% 

Số câu: 4 


33 

% 

Số câu: 1 


10% 

Số câu: 20 

Số điểm: 

10

2.BẢNG MÔ TẢ CHI TIẾT NỘI DUNG CÁC CÂU HỎI ỨNG VỚI CÁC CẤP ĐỘ 

Chủ đề Cấp độ Mô tả 

Phép tịnh tiến NB Sử dụng biểu thức tọa độ tìm tọa độ ảnh của điểm. 

Phép quay TH Tìm ảnh của vecto qua phép quay 

Phép vị tự VD Tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự 

Phép đồng dạng VD Tìm phép đồng dạng biến hình này thành hình kia 

Vị trí hai đường thẳng NB Nhận biết được vị trí hai đường thẳng 

Quan hệ song song NB Biết được tính chất hình hộp 

TH 

Chứng minh hai mặt phẳng song song 

Vecto trong không gian NB Biết được quy tắc hình bình hành 

Quan hệ vuông góc NB Chứng minh đường vuông góc với mặt phẳng 

TH 

Chứng minh hai mặt vuông góc 

Góc VD Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 

Khoảng cách TH Tính khoảng cách điểm và mặt phẳng 

VD 

VDC 

Tính khoảng cách điểm và mặt phẳng 

Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau 

3.NỘI DUNG 

Phần trắc nghiệm

Câu 1:Cho M(-3;4) và Phép tịnh tiến vecto v = (4;3) 

biến điểm M thành điểm M’ có tọa độ là: 

A.(7; -1). B.(1; 7). C.(4; 3). D.(-3; 4). 

Câu 2: Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi M, N lần lượt là trung điểm của CB,CD. Phép 

quay nào biến BM thành CN 

A. Q(O,45 o ) B. Q(O,90 o ) C. Q(A,45 o ) D. Q(A,90 o ) 

2 2 

Câu 3:Phép vị tự tâm O(0;0), tỉ số k = 2 biến đường tròn (C): x + y = 1 thành đường tròn 

(C’) có phương trình: 

2 2 

2 2 

2 2 

A. x + y = 1 B. x + y = 2 C. x + y = 4 D. 

x 

2 

+ y 

2 

= 

1 

4 

Câu 4(NB): Trong các mệnh đề nào sau đây, mệnh đề nào đúng? 

A. Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt 

phẳng kia. 

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. 

C. Hai mặt phẳng song song thì một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song 

song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia. 

D. Hai mặt phẳng phân biệt đi qua hai đường thẳng song song thì song song với nhau. 

Câu 5:Mệnh đề nào sau đây sai? 

A. Trong hình hộp sáu mặt là sáu hình bình hành. 

B. Trong hình hộp bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 

C. Trong hình hộp bốn đường chéo bằng nhau. 

D. Trong hình hộp không cần phân biệt mặt đáy và mặt bên. 

Câu 6:Cho tứ diện ABCD. Mệnh đề nào sau sai? 

A. AB chéo CD. B. AC chéo BD. C.AD chéo BC D. AC chéo CB. 

Câu 7: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, tâm O.Gọi M,N,P lần lượt là 

trung điểm SA,CB,CD. Mệnh đề nào sau đây sai? 

A.NP//(SBD) B.BD//(MNP). C. (MNP)//(SBD) D.MO//SC 

Câu 8: Cho hình bình hành ABCD. Mệnh đề nào sau đây là sai? 

A. BA = CD ; B. AB + CD = 0 C. AB + BD = CB D. AB + AD = AC 

Câu 9: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết SA =SB =SC =SD. Cạnh SB 

vuông góc với đường nào trong các đường sau đây?

A. BA B. AC C. DA D. BD 

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 

khoảng cách từ tâm O của đáy đến một mặt bên: 

2 . Tính 

A. 

a 5 

2 

B. 2 a 3 

3 

C. a 2 

3 

D. a 2 

5 

Phần tự luận 

Câu 1(2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O.Vẽ hình vuông AOBE 

1/ Tìm ảnh của hình vuông AOBE qua phép quay tâm A góc quay -45 o . 

2/ Tìm phép biến hình biến hình vuông AOBE thành hình vuông ADCB. 

Câu 2(5,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD), SA = a 2 ;đáy 

ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. ; gọi I,J lần lượt là trung điểm BC,SC . 

4. ĐÁP ÁN 

1/ Chứng minh rằng: (OIJ) // (SAB) 

2/ Chứng minh: (SBC) ⊥ (SAB). 

3/ Tính khoảng cách từ A đến (SBC) và góc giữa SC và (SAB).. 

4/ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SO và AD. 

Phần trắc nghiệm 

1.B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.C 

Phần tự luận 

Câu Đáp án Điểm 

1 1.Hình vuông AOBE qua phép quay tâm A góc quay -45 o . 1,0 

là hình vuông AO’B’E’ với AO’=AO và O’ thuộc AD 

2.Phép biến hình biến đó là phép có được bằng cách thực hiện 

liên tiếp phép quay tâm A góc quay -45 o và phép vị tự tâm A 1,0 

tỉ số k=DA/AO 

2 

S 

H 

M 

A 

E 

F 

D

1.Ta có IJ//SB;OI//AB mà SB và AB cắt nhau trong (SAB) 0,5 

Vậy (OIJ) // (SAB) 0,5 

2. *) Có BC ⊥ AB; SA ⊥ BC (vì SA ⊥ (ABCD) 

0,5 

BC ⊥ (SAB) 

Mà BC (SBC) (SBC) ⊥ (SAB) 0,5 

3.*) Trên (SAB) dựng AM ⊥ SB BC ⊥ AM(vì BC ⊥ (SAB)) 0,5 

AM ⊥ (SBC) 

d( A,( SBC)) 

= AM 

1 1 1 

= + = 

AM SA AB 

Trong tam giác vuông SAB có: 

2 2 2 

1 1 3 

+ = 

2a a 2a 

2 2 2 

2 

d( A,( SBC)) 

= a 

3 

*) Có BC ⊥ (SAB) SB là hình chiếu của SC trên (SAB) 

Góc tạo bởi SC và (SAB) là góc tạo bởi SC và SB do đó là 

góc BSC 

Tam giác SBC vuông tại B 

BSC = 30 o 

BC 1 

tan BSC = = SB 3 

4.Từ O dựng OK //AD(K∈AB). Trên (SAK) dựng AH ⊥ 0,25 

SK(H∈ SK). 

Trên (SKO) dựng HE//KO(E SO);Trên(ADEH) dựng EF//AH (F 

AD) 

Ta có AD ⊥ AB, AD ⊥ SA AD ⊥ (SAB) AD ⊥ AH (1) 

Mặt khác: OK //AD OK ⊥ (SAB) OK ⊥ AH 

Mà AH ⊥ SK AH ⊥ (SOK) AH ⊥ SO (2) 

Do EF//AH. Kết hợp với (1) ,(2) EF ⊥ SO;EF ⊥ AD 

Vậy EF là đoạn vuông góc chung của SO và AD; và EF = AH 

1 

AH 

1 

SA 

1 

AK 

Trong tam giác vuông SAK ta có: = + 

2 2 2 

1 

= 

2a 

2 

1 

+ 

a 

 

2 

2 

9 

= 

2a 

2 

0,5 

0,5 

0,5 

0,25 

0,25 

0,25

EF = AH 

= 

a 2 

3

ÔN TẬP CHƯƠNG I 

KẾ HOẠCH CHUNG 

Phân phối thời gian 



Tiết 1 



Tiết 2 

Hoạt động vận dụng và bài tập trắc nghiệm 

Hoạt động tìm tòi sáng tạo 

I. MỤC TIÊU: 

1. Kiến thức: 

- Các định nghĩa và các yếu tố xác định các phép dời hình và phép đồng dạng; 

- Các biểu thức tọa độ của phép biến hình; 

- Tính chất cơ bản của phép biến hình. 

2. Kĩ năng: 

- Biết tìm ảnh của một điểm, một đường qua phép biến hình; 

- Biết vận dụng các tính chất, biểu thức tọa độ của các phép dời hình, phép vị tự vào bài tập. 

3. Tư duy - Thái độ: 

- Tư duy các vấn đề của toán học một cách lôgic và hệ thống, quy lạ về quen. 

- Tích cực xây dựng bài, nghiêm túc học tập. 

4. Năng lực phẩm chất hình thành cho học sinh 

- Năng lực phân tích, đưa ra kết luận toán học. 

- Năng lực hợp tác, sáng tạo 

II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 


- Đồ dùng dạy học: SGK, giáo án, phấn, thước, hình vẽ minh hoạ... 

- Soạn giáo án lên lớp chi tiết. 

2. Học sinh: 

- Đồ dùng học tập: SGK, vở ghi, vở bài tập, bút, thước, compa... 

- Ôn lại biểu thức tọa độ các phép dời hình, vị tự. 

III. MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ. 

Nội dung Nhận biết Thông hiểu VDT VDC 

1.Phép tịnh tiến 

Nhận biết được 

thế nào là phép 

tịnh tiến. 

Áp dụng biểu thức tọa 

độ vào bài tập tìm tọa 

độ của 1 điểm. 

Áp dụng biểu thức 

tọa độ vào bài tập tìm 

tọa độ của đường 

thẳng, đường tròn, 

elip 

Tìm ảnh 

thông qua hợp 

của hai phép 

biến hình và 

các bài toán 

thực tế 

2. Phép đối 

xứng tâm 







Tìm ảnh 

thông qua hợp

đối xứng tâm. độ của 1 điểm. tọa độ của đường 


elip 




thực tế 

3. Phép đối 

xứng trục 



đối xứng trục. 








elip 

Tìm ảnh 





thực tế 

4. Phép quay Nhận biết được 

thế nào là quay. 








elip 

Tìm ảnh 





thực tế 

5. Phép vị tự Nhận biết được 

thế nào là phép vị 

tự. 








elip 

Tìm ảnh 





thực tế 

IV. THIẾT KẾ CÂU HỎI/ BÀI TẬP THEO MỨC ĐỘ 

1. Nhận biết: 

Câu hỏi kiểm tra bài cũ: Nêu định nghĩa, biểu thức tọa độ của các phép tịnh tiến, phép quay, 

phép vị tự? 

Bài 1.(1/24/SGK) Cho lục giác đều tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF 

a)Qua phép tịnh tiến 

b)Phép đối xứng qua đường thẳng BE 

2. Thông hiểu: 

Bài 2(2/24/SGK): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d có phương 

trình Tìm ảnh của A và d: 

a)Qua phép tịnh tiến theo vecto 

b)Qua phép đối xứng qua trục Oy 

c)Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ 

Bài 3(3/34/SGK): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3;-1), bán kính 3. 

a) Viết phương trình của đường tròn (C) đó 

b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto 

c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng qua trục Ox. 

d) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng qua gốc tọa độ. 

Bài 4(5/35/SGK): Cho hình chữ nhật ABCD có O là tâm đối xứng của nó. Gọi I,E,F lần lược là 

trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. Tìm ảnh của tam giác AEQ qua phép đồng dạng có 

được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị trự tâm B tỉ số 2 

3. Vận dụng thấp: 

Bài 5(7/35/SGK) : Cho 2 điểm A,B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng 

AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn tâm (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm 

N chạy trên một đường tròn cố định. 

4. Vận dụng cao: 

Bài 6: Hai thành phố M và N nằm về 2 phia của một con song rộng có hai bờ a và b song song với 

nhau. M nằm phía bờ a, N nằm phía bờ b. Hãy tìm vị trí cảu A nằm trên bờ A,B nằm trnee bờ b để xây

một chiếc cầu AB nối hai bờ song đó sao cho AB vuông góc với hai bờ song và tổng khoảng cách 

ngắn nhất. 

V. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: 

A. Hoạt động khởi động: 


Nắm được khái niệm phép dời hình và phép đồng dạng. 

Phân loại được các phép dời hình và phép đồng dạng đã học. 



Yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm phép dời hình và phép đồng dạng. 

Yêu cầu học sinh nêu tên các phép dời hình và phép đồng dạng đã học. 


Học sinh nhận nhiệm vụ, lập nhóm và giải quyết 


Học sinh hệ thống kiến thức 


Giáo viên nhận xét tổng hợp và đánh giá. 

* Phép dời hình: 

+ Khái niệm: Phép dời hình F là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. 

M’N’ = MN 

+Nhận xét: 

- Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay là phép dời hình. 

- Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình ta cũng được phép dời hình. 

* Phép đồng dạng: 

+ Khái niệm: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì 

và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN 

+ Nhận xét: 

Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1 

Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k . 

Thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số p.k 

3. Sản phẩm: Hệ thống hóa kiến thức về phép dời hình và phép đồng dạng. 

B. Hoạt động hình thành kiến thức 


Hệ thống hóa kiến thức chương 1 



Nêu định nghĩa, biểu thức tọa độ của các phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự? 


Học sinh nhận nhiệm vụ, nghiên cứu tìm lời giải 


Học sinh nêu phương pháp giải quyết bài toán 


Giáo viên đưa ra kết luận và chuẩn hóa kiến thức 

* Phép tịnh tiến: 

+ Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho véc tơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho 

được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ . 

+ Biểu thức tọa độ: M( x; y) ; M’(x’; y’); = (a; b) 

* Phép quay: 

Khi đó:

+ Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M 

khác O thành M’ sao cho OM=OM’ và góc lượng giác (OM,OM’) bằng được gọi là phép quay tâm O 

góc quay . 

Ta có: 

Q 

Kí hiệu: O, 

O là tâm quay; là góc quay 

OM 

' = OM 

Q( O, )( M ) = M ' 

( 

OM ; OM ') = 

+Biểu thức tọa độ: 

Q(O,) (M(x;y)) = M’(x’;y’) 

- Nhận xét: 

x ' =−y 

Q 

0 

: 

( O,90 ) 

y' 

= x 

x ' = y 

Q 

0 

: 

( O, −90 

) 

y' 

=−x 

*Phép vị tự: 

+ Định nghĩa: Cho điểm O và số k 0. Phép biến hình biến O thành chính nó, biến M thành M’ sao cho 

Ta có: 

+ Biểu thức tọa độ: Cho 

được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. 

-Kí hiệu: V 

Ok , 

O: Tâm vị tự 

M 

k: tỉ số vị tự 

O 

x ' = kx 

V(O, k) (M) = M’ 

y' 

= ky 

3. Sản phẩm: Các kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự. 

C. Hoạt động luyện tập 

C.1. Hoạt động luyện tập 1. Vẽ hình qua phép biến hình 


Biết cách vẽ hình qua phép biến hình 



Giáo viên nêu bài tập, yêu cầu học sinh tìm cách giải quyết 

Bài 1.(1/24/SGK) Cho lục giác đều tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF 

a)Qua phép tịnh tiến 

b)Phép đối xứng qua đường thẳng BE 

b. Thực hiện: Học sinh nhận nhiệm vụ, nghiên cứu tìm lời giải 

c. Báo cáo, thảo luận: Học sinh nêu phương pháp giải quyết bài toán 

d. Đánh giá: Giáo viên nhận xét và chuẩn hóa lời giải 

M' 

P 

N 

P' 

N'

A 

B 

F 

O 

C 

E 

a) T : AOF → BOC 

AB 

0 

c) ( ) 

Q O;120 : AOF → EOD 

D 

3. Sản phẩm: Lời giải bài tập trên 

C.2. Hoạt động luyện tập 2. Tìm ảnh qua phép biến hình 


Tìm ảnh bằng tọa độ qua phép biến hình 

Vẽ hình bằng cách kết hợp nhiều phép 


a. Chuyển giao: Giáo viên nêu bài tập, yêu cầu học sinh tìm cách giải quyết 

Bài 2(2/24/SGK): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d có phương 

trình Tìm ảnh của A và d: 

a)Qua phép tịnh tiến theo vecto 

b)Qua phép đối xứng qua trục Oy 

c)Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ 

Bài 3(3/34/SGK): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3;-1), bán kính 3. 

a) Viết phương trình của đường tròn (C) đó 

b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto 

c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng qua trục Ox. 

d) Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng qua gốc tọa độ.. 

Bai 4(5/35/SGK): Cho hình chữ nhật ABCD có O là tâm đối xứng của nó. Gọi I,E,F lần lược là 

trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. Tìm ảnh của tam giác AEQ qua phép đồng dạng có 

được từ việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị trự tâm B tỉ số 2 

b. Thực hiện: Học sinh nhận nhiệm vụ, nghiên cứu tìm lời giải 

c. Báo cáo, thảo luận: Học sinh nêu phương pháp giải quyết bài toán 

d. Đánh giá: Giáo viên nhận xét và chuẩn hóa lời giải 

Bài 2: 

a) Gọi ảnh là A’. Có 

Lây điểm 

M’ là ảnh của nó thì ta có 

b) ( vì qua trục Oy thì x đổi dấu) 

c) (Vì qua gốc tọa độ thì x và y đổi dấu) 

Bài 3. 

a) (C): (x-3) 2 + (y+2) 2 = 9 

b) Qua phÐp tÞnh tiÕn theo 

T : I(3; −2) → I '(1; − 1) vµ b¸n kÝnh R'=R=3 

v 

(C’): (x- 1) 2 + (y+1) 2 = 9. 

a) Qua § OX: I(3; −2) →I''(3;2) 

vµ R= R’’ 

Khi ®ã: (C’’): (x- 3) 2 +(y- 2) 2 = 9 

Qua § O: (C 1): (x+3) 2 + (y-2) 2 =

9. V 

SAHK 

= 

2 5 

Rh.sin 2 

2 2 2 2 2 

3( h + 4 R )( h + 4R 

cos ) 

Bài 4: 

A 

I 

B 

E 

O 

f 

D 

J 

C 

Qua phÐp ®èi xøng qua ®êng th¼ng IJ: 

Tam gi¸c AEO biÕn thµnh tam gi¸c BOF. 

Qua phÐp vÞ tù t©m B tØ sè 2 tam gi¸c BOF biÕn thµnh tam gi¸c BCD. 

3. Sản phẩm: Lời giải bài tập trên 

D. Hoạt động vận dụng 

D.1.Hoạt động vận dụng 1 

1. Mục tiêu: Học sinh vận dụng phép biến hình vào bài toán hình phẳng 



Giáo viên nêu các bài tập và yêu cầu học sinh về nhà giải quyết 

Bài 5(7/35/SGK) : Cho 2 điểm A,B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng 

AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn tâm (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm 

N chạy trên một đường tròn cố định. 


c. Báo cáo, thảo luận: làm vào vở bài tập 

d. Đánh giá: Giáo viên sẽ kiểm tra vở bài tập của học sinh 

3. Sản phẩm: Lời giải 

M 

A 

N 

B 

O 

O’ 

Gọi (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vecto . Vì nên N cũng là 

ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vecto do đó N phải nằm trên (O’) mà (O’) cố định nên N nằm trên 

một đường tròn cố định 

D.2. Hoạt động vận dụng 2 

1. Mục tiêu: Học sinh vận dụng phép biến hình vào bái toán thực tế 



Giáo viên nêu các bài tập và yêu cầu học sinh về nhà giải quyết

Bài 6: Hai thành phố M và N nằm về 2 phia của một con song rộng có hai bờ a và b song song với nhau. 

M nằm phía bờ a, N nằm phía bờ b. Hãy tìm vị trí cảu A nằm trên bờ A,B nằm trnee bờ b để xây một 

chiếc cầu AB nối hai bờ song đó sao cho AB vuông góc với hai bờ song và tổng khoảng cách 

ngắn nhất. 


c. Báo cáo, thảo luận: làm vào vở bài tập 

d. Đánh giá: Giáo viên sẽ kiểm tra vở bài tập của học sinh 

3. Sản phẩm: Lời giải 

Giả sử tìm được A,B thỏa mãn điều kiện của bài toán. 

Lấy các điểm C và D tương ứng thuộc a và b sao cho CD tương ứng với thuộc đường thẳng a và b sao cho 

CD vuôn góc với a. Phép tịnh tiến theo vecto biến A thành B và biến M thành M’. Khi đó MA=M’B. Do 

đó MA+BN ngăn nhất nếu MB’+BN ngắn nhất hay M’B,N thẳng hàng 

M 

A 

M’ 

B 

E. Bài tập trắc nghiệm 

1. Mục tiêu: Làm bài tập trắc nghiệm tổng hợp chương 1 



Giáo viên yêu cầu học sinh làm các bài tập sau trong thời gian ngắn: 

N 

Câu 1: Trong mp Oxy cho v = (2; −1) 

và điểm M(-3;2). Ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến v là: 

a. (1;-1) b.(-1;1) c.(5;3) d.(1;1) 

Câu 2: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có pt 2x + 3y – 3 = 0. Ảnh của đt d qua phép vị tự tâm O tỉ số k 

= 2 biến đường thẳng d thành đường thẳng có pt là: 

a. 2x + 3y – 6 = 0 b. 4x + 2y – 5 = 0 

c. 2x + 3y + 3 = 0 d .4x - 2y – 3 = 0 

Câu 3: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến hình vuông thành chính nó: 

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 

Câu 4: Trong mp Oxy choM(-2;4). Ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 là: 

a.(4;8) b.(-8;4) c.(4;-8) d.(-4;-8) 

Câu 5: Trong mp Oxy cho v = (1; 2) và điểm (2;5). Ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến v là: 

a. (1;6) b.(3;1) c.(3;7) d.(4;7)

2 2 

Câu 6: Trong mp Oxy cho đường tròn (C) có pt ( x− 1) + ( y− 2) = 4 . Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k = - 2 

biến (C) thành đường tròn nào sau đây: 

2 

2 

a. ( x − 4) + ( y − 2) = 4 

b. ( x − 4) + ( y − 2) = 16 

2 

2 

c. ( x + 2) + ( y + 4) = 16 

d. ( x − 2) + ( y − 4) = 16 

Câu 7: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có pt 2x – y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo v biến đt d thành 

chính nó thì v phải là vectơ nào sau đây: 

a. v = ( 2;1 ) 

b. v = ( 1;2 ) 

c. v = ( −1;2 ) 

d. v = ( 2; 

−1) 

Câu 8: Trong mp Oxy cho v = (2;1) và điểm A(4;5). Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm sau đây 

qua phép tịnh tiến v : 

a. (1;6) b. (2;4) c. (4;7) d. (3;1) 

Câu 9: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó: 

a. 0 b. 1 c. 2 d. vô số 

Câu 10: Trong mp Oxy cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến d thành 

đt nào trong các đt sau: 

a. 2x + 2y – 4 = 0 b. x + y + 4 = 0 

c. x + y – 4 = 0 d. 2x + 2y = 0 

2 

2 

2 

2 

b. Thực hiện: Học sinh ghi nhớ nhiệm vụ. 

c. Thảo luận: Tìm hướng giải quyết. 

d. Đánh giá: Giáo viên kiểm tra việc chuẩn bị của học sinh. 

3. Sản phẩm: Lời giải, đáp số 

1b;2a;3a;4c;5c;6c;7d;8b;9a;10c 

F. Hoạt động tìm tòi, mở rộng 

1. Mục tiêu: Học sinh tự sưu tập các bài toán ở các dạng trên 



Giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tìm các bài toán áp dụng các đơn vị kiến thức vừa học 


c. Báo cáo, thảo luận: 

d. Đánh giá: Giáo viên kiểm tra việc chuẩn bị của học sinh 

3. Sản phẩm: Hệ thống các bài tập đã nêu

ÔN TẬP CHƯƠNG III (2 tiết) 


I. KẾ HOẠCH CHUNG. 

Phân phối 


thời gian 


Tiết 1 

KT1: Phương pháp quy nạp toán học 


KT2: Dãy số 


KT3: Cấp số cộng – Cấp số nhân 

Tiết 2 Hoạt động luyện tập 





- Hệ thống hóa các kiến thức mà các em đã được học trong chương ba gồm các vấn đề: Phương 

pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. 


- Áp dụng các công thức để giải bài tập 






- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải 


- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các 

câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. 

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. 


+ Giáo viên 

- Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học. 

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề. 

+ Học sinh 

- Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng. Mỗi nhóm trả lời kết luận của nhóm sau khi đã thảo luận và 

thống nhất. 


hướng dẫn. 

- Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập. 




- Máy chiếu, sử dụng các phần mềm dạy học để tăng tính trực quan cho bài giảng. 




+ Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới. 

+ Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với những kỹ năng giải bài tập về “phương pháp quy 

nạp toán học, Dãy sỗ, Cấp số cộng và Cấp số nhân”. 



L1. Quan sát các hình ảnh (máy chiếu) 

Page 1/7

L2. Lớp chia thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực học) 

và tìm câu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ. 

H1. Theo em hình 1, hình 2 có áp dụng được phương pháp quy nạp toán học không? 

Hình 1 Hình 2 

Hình 3 Hình 4 

H2. Theo em hình nào là dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân? 

H3. Em có thể đưa ra thêm một số ví dụ về những dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân? 


- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Viết kết quả 

vào bảng phụ. 

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội 



- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. 

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn. 

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời. 



- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương 

nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động 


- Dự kiến các câu trả lời: 

TL1. Hình 1 và Hình 2 áp dụng phương pháp quy nạp toán học. 

Page 2/7

TL2. Hình 3 là cấp số nhân, hình 4 là cấp số công, dãy số 


+ Các phương án giải quyết được ba câu hỏi đặt ra ban đầu. 

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC, LUYỆN TẬP 

* Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải bài tập. 



L1. HS nhắc lại kiến thức. 

L2. Học sinh hoạt động cá nhân, trả lời các câu hỏi và giải các bài tập. 

1. Phương pháp quy nạp toán học: 

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n (n 

N*), ta làm như sau: 

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k( k 1) (gọi là giả thiết quy nạp) 

Bước 3: Chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n= k+ 

1 

Bài tập 1: Chứng minh 1+3+5+....+ (2n + 1) = (n+ 1) n N 

2 * 

2. Dãy số: 

- Định nghĩa: dãy số Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N * được gọi là 

một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). 

* 

Ký hiệu u : N → R 

n u( n ) 

Một hàm số u xác định trên tập M = 1,2,3,...,m, m 

Kí hiệu u:M→ 

R 

n u( n ) 

- Cách cho một dãy số: 

Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát; 

Dãy số cho bằng phương pháp mô tả; 

Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi. 

- Dãy số tăng, dãy số giảm: 

Định nghĩa: dãy số (u 

n) 

là dãy số tăng nếu n−1 

n, 

n 

N 

dãy số (u 

n) 

là dãy số giảm nếu n−1 

n, 

n 

N 

n 

n 

u 

u 

* 

N được gọi là một dãy số hữu hạn. 

H = u − u (H>0 dãy số tăng, H1 dãy số tăng, T

3. Cấp số cộng – Cấp số nhân 

Cấp số cộng 

Cấp số nhân 

Định Nghĩa 

* 

u = n 1 

u + + n 

d( n * 

N ) 

u = n 1 

un.q( n 

+ 

N ) 

Số hạng tổng 

n−1 

un 

= u1 + ( n −1) d( n 2) 

un 

= u1 .q ( n 2) 

quát 

Tính chất các 

2 

uk− 1+ 

uk+ 

u 

1 

( 2) 

số hạng 

k 

= k 

uk = uk− 1. uk+ 

1( k 2) 

2 

Tổng N số n n 

n 

S ( 

hạng đầu 

n 

= u1 + un) = 2 u1 

+ ( n − 1) d 

1− 

q 

 

Sn 

= u1. ( q 1) 

2 2 

1− 

q 

Bài tập 3: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 15 và tổng 

bình phương của chúng bằng 83. 

Bài tập 4: Gọi (S 

n) 

là tổng của n số hạng đầu của dãy số (u 

n 

) Biết Sn 

= n( n + 1) , chứng 

minh (u 

n) 

là cấp số cộng. 

u − u + u = 65 

325 

Bài tập 5: Cho cấp số nhân (u 

n 

) biết u 

1 + u 

3 = 

5 

1 7 

a) Tìm số hạng đầu u 

1 

và cộng bội q của cấp số nhân. 

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân. 

* Thực hiện: 

- Học sinh làm việc cá nhân và lên bảng giải các bài tập. 

- Giáo viên theo dõi, đảm bảo tất cả học sinh đều tự giác làm việc. 

* Báo cáo, thảo luận: 

- GV đưa ra đáp án cho từng bài tập, các nhóm thống kê số học sinh làm đúng từng bài. 



- GV nhận xét và lựa chọn cách làm nhanh nhất cho từng bài tập. 

- Kết quả cho từng bài tập. 

C. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI, MỞ RỘNG 

* Câu hỏi trắc nghiêm: 

Câu hỏi 1: Chọn khẳng định Đúng trong các khẳng định: Nếu a,b,c lập thành CSC (khác không) 

A. Nghịch đảo của chúng cũng lập thành một CSC 

B. Bình Phương của chúng cũng lập thành CSC 

C. c,b,a theo thứ tự đó cúng lập thành CSC 

D. Tất cả các khẳng định trên đều sai 

Câu hỏi 2: Chọn khẳng định Sai trong các khẳng định: Nếu a,b,c lập thành CSN (khác không) 

A. Nghịch đảo của chúng cũng lập thành một CSN 

B. Bình Phương của chúng cũng lập thành CSN 

C. c,b,a theo thứ tự đó cúng lập thành CSC 

D. Tất cả các khẳng định trên đều sai 

Câu hỏi 3: Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn 

u = 1, u = 2, u = 3u − 2 u , n = 2,3,4...... 

0 1 n n−1 n−2 

A. 1;2;4;8;16;36….. 

B.1;2;8;16;24;54… 

C. u = 2 n + 1 

n 

Page 4/7

D. u 2 n 

n 

= ( n=0;1;2….) 

Câu hỏi 4: Cho dãy số có 

A. un+ 3 

= 2un+ 2 

+ 3u 

n+ 

1 

B. un+ 3 

= 2un+ 

2 

+ 3u 

n 

C. 

n+ 3 

= 2 

n− 2 

+ 3 

n+ 

1 

u1 

= 1 

 

 

un = 2un− 

1+ 3un 

−2 

n 

N 

u u u un+ 3 

= 2un+ 2 

+ 3u 

n−1 

Câu hỏi 5: Cho dãy số có công thức tổng quát là 

3 

A. u 

n+ 3 

= 2 

B. u 

3 

8.2 

n+ = 

n 

C. u 

3 

6.2 D. u 

3 

6 

n+ = 

n 

n+ 

= n 

* 

( ) 

.Khi đó số hạng thứ n+3 là? 

u 2 n 

n 

= thì số hạng thứ n+3 là? 

u1 

= 5 

Câu hỏi 6: Cho dãy số . Số hạng tổng quát của dãy số trên là? 

un+ 

1 

= un 

+ n 

( n−1) 

n 

A. u 

n 

= 

2 

( n−1) 

n 

B. u 

n 

= 5+ 

2 

n( n+ 

1) 

C. u 

n 

= 5 + 

2 

( n+ 1)( n+ 

2) 

D. u 

n 

= 5 + 

2 

1 1 1 1 

Câu hỏi 7: Tính tổng S( n) 

= + + + ......... + . Khi đó công thức của S(n) là? 

1.2 2.3 3.4 n n+ 1 

( ) 

n 

A. S( n) 

= 

n + 2 

B. S( n) 

= n 

n + 1 

2n 

C. S( n) 

= 

2n 

+ 1 

1 

D. S( n ) = 

2 n 

Câu hỏi 8: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN. 

A 1 1 1 2 1 

. u n 

= − 1 . . . 

n 

n n 2 

n n 

3 B u = 

3 C u = n + 

3 D u = n − 

− 

3 

Câu hỏi 9: Xác định x để 3 số 2x-1;x; 2x+1 lập thành CSN? 

1 

A. x = 

3 

B. x = 3 

1 

C. x = 

3 

D. Không có giá trị nào của x 

1 

Câu hỏi 9: Cho CSN có u2 = ; u5 

= 16 . Tìm q và số hạng đầu tiên của CSN? 

4 

A. q = 1 ; u 

1 

1 

= 

2 2 

Page 5/7

B. q = − 1 , u 

1 

1 

= − 

2 2 

1 

C. q = 4, u 

1 

= 

16 

1 

D. q= − 4, u 

1 

= − 

16 

* Bài tập mở rộng: 

Hiệu ứng domino Khi xếp các quân cờ domino đứng cạnh nhau với khoảng cách giữa hai quân cờ 

không quá xa, ta có thể đẩy đổ một quân cờ domino đầu tiên, quân cờ đó sẽ đổ vào quân cờ đứng 

cạnh khiến nó đổ theo, quá trình này tiếp diễn đến khi toàn bộ loạt quân cờ domino đều đổ. Các 

thay đổi đối với những quân cờ là giống nhau, vì vậy chúng tạo ra một chuỗi thay đổi tuyến tính, 

điều này có được khi ta coi hệ quân cờ domino là độc lập và sự thay đổi của hệ chỉ gây ra bởi tác 

động tới quân cờ đầu tiên, điều này khác với hiệu ứng cánh bướm khi thay đổi của hệ còn phụ thuộc 

nhiều điều kiện khác và vì thế chúng là phi tuyến tính. 

Bài toán con thỏ 

"Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) cứ mỗi tháng đẻ được một đôi thỏ con (cũng gồm 

một thỏ đực và thỏ cái); một đôi thỏ con, khi tròn 2 tháng tuổi, sau mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con, 

và quá trình sinh nở cứ thế tiếp diễn. Hỏi n tháng bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có 

một đôi thỏ sơ sinh? 

Trong hình vẽ trên, ta quy ước: 

• Cặp thỏ nâu là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng. 

Page 6/7

• Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh sản. 

Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy: 

• Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ. 

• Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ. 

• Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ. 

• Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con 

nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ. 

• Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở 

thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ. 

Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có: 

• Với n = 1 ta được f(1) = 1. 

• Với n = 2 ta được f(2) = 1. 

• Với n = 3 ta được f(3) = 2. 

Do đó với n > 3 ta được: f(n) = f(n-1) + Số đôi thỏ ở tháng thứ n-2. 

Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n -1 không thể sinh con ở tháng 

thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n - 2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở 

tháng thứ n chính là giá trị của f(n - 2). 

* Tìm hiểu thêm về lịch sử toán học 

Những nhà toán học đã đặt nên móng cho sự phát triển và Phương pháp quy nạp toán học, dãy số, 

cấp số cộng – cấp số nhân 

Fermat (1601-1665) Fibonacci (1170-1250) H.von Koch (1879-1924) 

----- HẾT ----- 

Page 7/7

ÔN TẬP CHƯƠNG IV (2Tiết ) 


I/ KẾ HOẠCH CHUNG 

Phân phối thời 

gian 

Tiết 1 


Tién trình dạy học 

KT1:Lý thuyết về giới hạn dãy số,hàm 

số 

KT2:Luyện tập giới hạn dãy số 

KT3:Luyện tập giới hạn hàm số 

Tiết 2 


Hoạt động vận dụng, tìm tòi, 

mở rộng 

KT1:Lý thuyết về liên tục của hàm số. 

KT2:luyện tập về h/s liên tục 

KT3:ứng dụng của h/s liên tục 




- Học sinh biết các dạng giới hạn và cách tìm giới hạn của dãy số 

- Học sinh biết các dạng giới hạn và cách tìm giới hạn của hàm số 

- Học sinh hiểu được khái niệm hàm số liên tục,định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục 

cũng như ý nghĩa hình học của định lí này. 


- Học sinh biết cách nhận dạng và tìm được giới hạn của dãy số,hàm số ở các dạng. 

- Áp dụng định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một 

số phương trình đơn giản. 






- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải 


- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các 

câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. 

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. 


+ Giáo viên 

- Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học. 

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề. 

+ Học sinh 

- Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng và phiếu học tập. Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của nhóm 

sau khi đã thảo luận và thống nhất. 


hướng dẫn. 




1


- Máy chiếu, sử dụng các phần mềm dạy học để tăng tính trực quan cho bài giảng. 


A. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 

* Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng tìm giới hạn của 

dãy số,giới hạn của hàm số. 



L1. HS nhận phiếu học tập gồm các câu hỏi trắc nghiệm. 

L2. Học sinh hoạt động cá nhân, trả lời các câu hỏi trắc nghiệm. 

2 

Câu 1: Tìm lim − n + n+ 

2 2 

n − n+ 

3 

A. 3 2 

Câu 2:Tìm 

3 5 1 

B. 

3 2 

3n + 2n + n 

lim 

3 

n + 4 


3 

− C. 0 D. + 

2 

3 1 

A. B. C. + D. 3 

4 

3 

Câu 3:Tìm 

A. 1 4 

1+ 

3 

lim 

4 + 

3 

n 

n 

B. + C. 1 D. 3 4 

2 

Câu 4: Tìm lim 2n 

− n+ 

3 

3 2 

n + 2 n+ 

1 

A. 2 3 

Câu 5: Tìm 

B. 3 C. 

4 2 

lim 2n 

+ n −3 

3 4 2 

n − 2 n + 1 

A. − 3 

2 B. 

3 

Câu 6: Tìm lim 

3n 

−1 

2 

3n 

+ 2n−2 

ta được: 

C. 

1 

− D. 0 

2 

1 

− D. + 

2 

A. 3 B. 1 C. 3 D. 0 

Câu 7: Tìm 

3 3 

lim 8n 

+ 1 

2 n − 5 

ta được: 

A. 4 B. + C. 

1 

− D. 1 

5 

2

Câu 8: Tìm 

A. 2 3 

3 2 

2n + n − 3n 

+ 1 

lim 

3n 

− 2 

B. 0 C. + D. 3 

Câu9: Tìm 

3 2 

− n + n − 3n 

+ 1 

lim 

4n 

+ 2 

1 

− 

4 

C. + D. 0 

A. − B. 

2 

Câu10: Tìm lim n + n+ 

2 3 

n + 1 

A. 3 2 

Câu 11: Tìm 

lim 

n 

3 1 

1 

B. − 

4 

C. + D. 0 

2n 

+ 1 

3 2 

+ 4n 

+ 3 

A. − B. 0 C. 2 D. 1 3 

Câu 12: Tìm 

A. 1 2 

n 

2 

+ 1 

lim 

2 4 

n + n+ 

1 

B. 0 C. − D. 1 

Câu 13.Tìm 

lim 

2 

3n 

+ 2n−1 

2 

4n 

+ n−2 

A. 3 2 

B. 3 4 

C. 1 2 

D. + 

Câu 14.Tìm 

lim 

3 3 

8n 

+ 4n−2 

5n 

−1 

A. 8 5 

B. + C. 2 5 

D. 4 5 

4 

n 


( 1)(2 )( 

2 

n + + n n + 1) 

Câu16: Tìm 

n 

4.3 + 7 

lim 

2.5 

n 

+ 7 

n+ 

1 

n 

ta được: 

ta được: 

A. 1 B. 7 C. 3 5 

D. 7 5 

Câu 17: Tìm 

n+ 1 n+ 

2 

4 + 6 

lim 

5 

n 

+ 8 

n 

ta được: 

A. 0 B. 6 8 

C. − D. 4 5 

Câu 18: Tìm 

n 

1− 2.3 + 6 

n 

lim 

2 n (3 n+ 1 

− 5) 

ta được: 

3

A. + B. 1 2 

Câu 19. Tìm lim( n ) 

2 − n − n 

2 + 2 

A. 1 2 

Câu 20. Tìm lim( 4n ) 

2 − 2 − 4n 2 − 2n 

A. 1 2 

C. 1 D. 1 3 

1 

B.1 C.2 D. − 

2 

B.1 C.2 D. 

1 

− 

2 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------- 

Câu 1: Tìm 

2 

lim(5x 

− 7 x) 

x→3 

A. 24 B. 0 C. D. Không có giới hạn 

2 

x + 2x−15 


x→3 

x − 3 

A. B. 2 C. 1 8 

D. 8 

3 

x + 3x−5 

Câu3: Tìm lim 

x→1 

x − 2 

A. 1 B.2 C. 4 D.3 

2 

Câu 4: Tìm lim( x + 3 x) 

x→2 

A. 6 B.8 C.10 D.12 

Câu 5: Tìm 

2 

5x 

+ 4x−3 

x→ 

2 2 

x − 7 x+ 

1 

A. 5 2 

B. 1 C. 2 D. + 

Câu 6: Tìm 

lim 

x→+ 

2 

x + 1 

x 

A.1 B.2 C.3 D.4 

3+ 

2x 

Câu 7. Tìm lim+ 

x→2 

x − 2 

A.1 B.2 C. + D. − 

2x 

+ 2017 

Câu 8. Tìm lim− 

x→3 

3 − x 

A.1 B.2 C. + D. − 

Câu 9. Tìm 

x 

lim 

x→3 

2 

− 4x+ 

3 

x − 3 

A. 2 B.3 C.5 D.6 

2 

Câu10. Tìm 

A. 1 2 

2x 

+ 3x+ 

1 

lim 

2 

x −1 

x→−1 

B. 1 C. 2 D. + 

4

Câu 11. Tìm lim 

x→4 

1− 

x 

( x − 4) 2 

A. − B.1 C. + D.0 

Câu 12. Tìm 

lim 

x→0 

x + − x + x + 

x 

2 

1 1 

A.0 B.1 C. D.2 

Câu 13. Tìm 

A. 1 2 

lim 

x→− 

2 2 

x − x − 4x 

+ 1 

2x 

+ 3 

Câu 14. Cho hàm số: ( ) 

Khi đó lim f ( x) 

− 

x→2 

1 

B. + C. − D. − 

2 

2 

x − 3x + 1 khi x 2 

f x = 

. 

5x 

−3 khi x 2 

bằng: 

A. 11 B. 7 C. − 1 

D. − 13 

3 

 

2x 

−2 x khi x 1 


= 

. 

3 


lim f x bằng 

Khi đó ( ) 

− 

x→1 

A. – 4 B. –3 C. –2 

D. 2 

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- 


2 

x −1 

khi. x 1 

Câu 1: cho hàm số: f( x) = x −1 

để f(x) liên tục tại điêm x0 = 1 thì a bằng? 

 

a 

khi x = 1 

A. 0 B. +1 C. 2 D. -1 

2 

x + 1 khi x 0 

Câu 2: cho hàm số: f( x) 

= 

trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 

x 

khi x 0 

A. lim f( x) = 0 B. lim f( x) = 1 C. f( x ) = 0 D. f liên tục tại x0 = 0 

x→0 

x→0 

2 

x −16 

khi x 4 

Câu 3: cho hàm số: f( x) = x − 4 

đề f(x) liên tục tại điêm x = 4 thì a bằng? 

 

a 

khi x = 4 

A. 1 B. 4 C. 6 D. 8 

2 

 

ax khi x 2 

Câu 4.cho hàm số: f( x) 

= 

để f(x) liên tục trên R thì a bằng? 

2 

x + x −1 khi x 2 

A. 2 B. 4 C. 3 D. 3 4 

5 

Câu 5. Cho hàm số f ( x) = x + x − 1. Xét phương trình: f(x) = 0 (1) trong các mệnh đề sau, tìm 

mệnh đề sai? 

A. (1) có nghiệm trên khoảng (-1; 1) 

B. (1) có nghiệm trên khoảng (0; 1) 

C. (1) có nghiệm trên R 

D. Vô nghiệm 

3 

Câu 6 Cho phương trình 3x 

+ 2x− 2 = 0. Xét phương trình: f(x) = 0 (1) trong các mệnh đề sau, 

5

tìm mệnh đề đúng? 

A. (1) Vô nghiệm 

B. (1) có nghiệm trên khoảng (1; 2) 

C. (1) có 4 nghiệm trên R 

D. (1) có ít nhất một nghiệm 

Câu 7. Cho hàm số. 

x −1 

, khi x 1 

f ( x) 

= 2 − x −1 

 

− 2x, 

khi x 1 

Mệnh đề nào dưới đây sai? 

A. Hàm số f ( x ) liên tục trên . B. Hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( ; 1) 

C. Hàm số f ( x ) không liên tục trên . D. Hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( 1; + ) . 

Câu 8. Cho hàm số 

6 

− − . 

2 

x − x − 2 

, khi x 2 

g ( x) 

= x − 2 

. Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x 

0 

= 2 . 

 

m, 

khi x = 2 

A. m = 1. B. m =− 3. C. m = 5. D. m = 3. 

trắc nghiệm. 

việc. 



sinh làm đúng từng câu. 

hỏi. 

trắc nghiệm. 

* Sản phẩm: Đáp án các câu hỏi trắc nghiệm. 

V. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI, MỞ RỘNG 

* Bài toán1:Tìm a) 

TL:a) 1 6 

b) 

13 

12 

* Bài toán2. 

lim 

x→1 

3 

x+ 7 − x+ 

3 

2 

x − 3x + 2 

a)Chứng minh rằng phương trình: 

có ít nhất một nghiệm dương. 

b) Chứng minh rằng phương trình 

- Học sinh làm việc cá nhân và khoanh đáp án vào phiếu trả lời 

- Giáo viên theo dõi, đảm bảo tất cả học sinh đều tự giác làm 

- GV đưa ra đáp án cho từng câu hỏi, các nhóm thống kê số học 

- GV yêu cầu học sinh trình bày cách làm cụ thể cho từng câu 

- GV nhận xét và lựa chọn cách làm nhanh nhất cho từng câu 

3 

2 1+ x − 8 − x 

b) lim 

x→0 

x 

x −10000x − = 0 

100 

3 2 1 

3 

x − 3x+ 1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt.

* Bài toán1: Người ta xếp các hình vuông kề nhau trên một tia Ax,mỗi hình vuông có độ dài cạnh 

bằng nửa độ dài cạnh của hình vuông đứng trước nó..Nếu hình vuông đầu tiên có cạnh dài 10 cm 

thì trên tia Ax cần có môti đoạn thẳng dài bao nhiẽuentimét để có thể xếp được tất cả các hình 

vuông đó? 

TL: Tổng các cạnh nằm trên tia Ax của các hình vuông đó là: 

5 5 5 10 

10 + 5 + ... 20( ) 

2 3 

2 + 2 + cm 

2 

+ = 1 

= 

1− 

2 

Bài toán 2:Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81 m .Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên 

hai phần ba độ cao của lần rơi trước.Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả 

bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa. 

2 

TL:Đặt h 

1 

=81(m).Sau lần chạm đất đầu tiên,quả bóng nảy lên một độ cao là h2 = h1 

.Tiếp 

3 

2 

đó,bóng rơi từ độ cao h 

2 

,chạmđất và nảy lên độ cao h 3 

= h 2 

rồi rơi từ độ cao h 

3 

và cứ tiếp tục 

3 

2 

như vậy. Sau lần chạm thứ n từ độ cao h n 

,quả bóng nảy lên độ cao hn+ 1 

= hn, 

… . Tổng các 

3 

khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa là 

( ) 

d = h + h + h + ... + h + ... + ( h + h + h + ... + h + ...) 

1 2 3 n 

2 3 4 

n 

d là tổng của hai csn lùi vô hạn có cùng công bội 

h h 

2 2 

1− 

1− 

3 3 

1 2 

d = + = h1+ h2 

= m 

3( ) 405( ) 

2 

q = .Do đó 

3 

7

8

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN (8 tiết) 


I. KẾ HOẠCH CHUNG 

Phân phối 

thời gian 

Tiết 1 

Tiết 2 

Tiết 3 

Tiết 4 

Tiết 5 

Tiết 6 

Tiết 7 

Tiết 8 


Hoạt động khới động 

KT1. Phương pháp quy nạp toán học 

KT2.1. Định nghĩa 

KT2.2. Cách cho dãy số 

KT2. Dãy số 

KT2.3. Dãy số tăng, dãy số giảm 

KT2.4. Dãy số bị chặn 

KT3.1. Định nghĩa 

KT3.2. Số hạng tổng quát 

Hoạt động hình 

KT3.3. Tính chất các số hạng của cấp 

thành kiến thức KT3. Cấp số cộng 

số cộng 

KT3.4. Tổng n số hạng đầu của một 

cấp số cộng 

KT4. Cấp số nhân 



KT4.1. Định nghĩa và tính chất 

KT4.2. Số hạng tổng quát 

KT4.3. Tổng n số hạng đầu của một 

cấp số cộng 




- Hiểu nội dung và các bước tiến hành của phương pháp quy nạp toán học. 

- Biết định nghĩa dãy số, cách cho dãy số, tính tăng (giảm) và bị chặn của dãy số. 

- Biết định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng 

n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân. 

b. Kĩ năng 

- Biết cách chứng minh các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học. 

- Biết vận dụng các công thức và tính chất để giải các bài toán về hai cấp số. 





- Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động. 

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương 

pháp giải quyết bài tập và các tình huống. 

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải 

quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. 

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết 

trình. 


+ Giáo viên 

- Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của 

bài học. 

- Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề. 

+ Học sinh 

- Mỗi học sinh trả lời ý kiến riêng vào phiếu học tập. Mỗi nhóm có phiếu trả lời kết luận của 

nhóm sau khi đã thảo luận và thống nhất. 

Trang 1/21

- Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn 

trong nhóm hướng dẫn. 





- Máy chiếu, bảng phụ, sử dụng các phần mềm dạy học để tăng tính trực quan cho bài giảng. 



* Mục tiêu 

+ Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới. 

+ Tạo tình huống có vấn đề cần giải quyết 

* Nội dung, phương thức tổ chức 

+ Chuyển giao 

L. Chia lớp thành 4 nhóm (mỗi nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực 

học). Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành Phiếu học tập số 2. Các 

nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ. 

Phiếu học tập số 1 

Khi ký hợp đồng dài hạn với các kỹ sư được tuyển dụng, công ty liên doanh A đề xuất hai phương 

án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể: 

- Phương án 1: Người lao động sẽ nhận được 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, kể từ năm 

làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 3 triệu đồng mỗi năm. 

- Phương án 2: Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, kể từ quý thứ 

hai mức lương sẽ tăng thêm 500 000 đồng mỗi quý. 

a) Gọi u 

n 

là số tiền lương mà người kỹ sư nhận được trong năm thứ n khi kí hợp đồng theo 

phương án 1. Hãy tính u1, u2, u3, u4, 

u 

5 

? 

b) Gọi v 

n 

là số tiền lương mà người kỹ sư nhận được trong năm thứ n khi kí hợp đồng theo 

phương án 1. Hãy tính v1 , v2, v3, v4, 

v 

5 

? 

c) Hãy tính tổng số tiền lương mà người kỹ sư nhận được khi kí hợp đồng làm việc 2 năm, 3 năm, 

4 năm theo mỗi phương án? 

d) Nếu em là người ký hợp đồng lao động với công ty liên doanh A thì em sẽ chọn phương án 

nào? 


Quan sát câu truyện vui: “ Cuộc mua bán kỳ lạ giữa nhà tỷ phú và nhà toán học’’ (máy chiếu, hoặc 

bảng phụ). 

Ngày Số tiền 

nhà toán học bán Số tiền nhà tỉ phú dùng để mua 

1 10.000.000 đ 500 đ Ai là người có lãi? 

2 10.000.000 đ 1.000 đ 

3 10.000.000 đ 2.000 đ 

4 10.000.000 đ 4.000 đ 

……………… ………………. …………….. 

20 10.000.000 đ ……………. 

……………. ……………… …………….. 

a) Tính số tiền mà nhà toán học bán cho nhà tỷ phú, nhà tỷ phú trả cho nhà toán học trong ngày 

thứ 6, ngày thứ 20? 

b) Có thể tính được số tiền mà nhà toán học bỏ ra, nhà tỷ phú bỏ ra sau 20 ngày diễn ra cuộc mua 

Trang 2/21

án hay không? Nếu có thì tính như thế nào? Theo em, sau 20 ngày mua bán thì ai là người có lãi 

và số tiền lãi là bao nhiêu? 


- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi. Viết kết quả vào bảng 

phụ. 












- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: 

Với câu chuyện trong Phiếu học tập số 1, khi kí hợp đồng lao động, thông thường người lao 

động sẽ chọn phương án để tổng số tiền lương có được là nhiều nhất. Nếu số năm ký hợp đồng ít, 

chẳng hạn 1 năm, 2 năm, 3 năm thì ta có thể tính được tổng số tiền lương thu về theo mỗi phương 

án bằng cách tính cụ thể số tiền lương của mỗi năm rồi cộng lại, từ đó đưa ra được sự lựa chọn 

phương án. Tuy nhiên, nếu số năm kí hợp đồng nhiều hơn, chẳng hạn 7 năm, 8 năm,… thậm chí là 

15 năm mà vẫn tính tổng số tiền lương thu về theo mỗi phương án bằng cách tính cụ thể số tiền 

lương của mỗi năm thì sẽ rất mất thời gian và phép tính thực hiện khá cồng kềnh. 

Với câu chuyện trong Phiếu học tập số 2, ta cũng có thể tính được số tiền mà mỗi người phải 

bỏ ra trong 20 ngày bằng cách tính số tiền mỗi người bỏ ra trong một ngày rồi cộng lai. Tuy nhiên, 

nếu tính theo cách đó thì sẽ rất mất thời gian, phép tính thực hiện khá cồng kềnh và khi số ngày 

mua bán nhiều hơn thì sẽ càng khó khăn hơn. 

Vậy có cách nào thuận lợi hơn để tìm câu trả lời chính xác cho câu hỏi trong phiếu học tập 

số 1 và Phiếu học tập số 2 hay không? Nội dung kiến thức của chủ đề Dãy số - Cấp số cộng – Cấp 

số nhân sẽ giúp chúng ta giải quyết điều đó. 


- Câu trả lời cho các câu hỏi trong Phiếu học tập số 1, 2. 

- Xuất hiện tình huống có vấn đề. 


1. HTKT 1. Phương pháp quy nạp toán học 

* Mục tiêu 

- Nhớ và hiểu được nội dung của phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) 

theo một trình tự quy định. 

- Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải các bài toán một 

cách hợp lí. 



L. Chia lớp thành 4 nhóm (mỗi nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực 

học), yêu cầu mỗi học sinh hoàn thành Phiếu học tập số 1. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu 

trả lời vào bảng phụ. 


Xét hai mệnh đề chứa biến ( ) : 

n 

P n "3 n 100" 

+ , ( ) : 

1) Với n = 1,2,3,4,5 thì P( n ) , Q( n ) đúng hay sai? 

2) Với mọi 

* 

n thì P( n ) , Q( n ) đúng hay sai? 


n 

Q n "2 n" 

với n 

* 

Trang 3/21

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết 

kết quả vào bảng phụ. 



- Dự kiến các câu trả lời: 

1) 

2) Với mọi 

P( 1 ) :"3 101" Đúng ( ) 

P( 2 ) :"9 102" Đúng ( ) 

P( 3 ) :"27 103" Đúng ( ) 

P( 4 ) :"81 104" Đúng ( ) 

P( 5 ) :"243 105" Sai ( ) 

Q 1 :"2 1" Đúng 

Q 2 :"4 2" Đúng 

Q 3 :"8 3" Đúng 

Q 4 :"16 4" Đúng 

Q 5 :"32 5" Đúng 

* 

n thì P( n ) sai vì nó sai với n = 5, còn Q( n ) chưa biết đúng hay sai 


- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. Đại diện các nhóm trình bày. 


+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp 




- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV nêu các kết luận sau: 

Phép thử trong một vài trường hợp không phải là phép chứng minh cho kết luận trong 

trường hợp tổng quát. 

mệnh đề 

Muốn chứng tỏ một kết luận là sai ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ, chẳng hạn 

* 

n 

thì ( ) 

P n sai vì nó sai trong trường hợp n = 5. 

Muốn chứng tỏ một kết luận là đúng, ta phải chứng minh nó đúng trong mọi trường hợp. 

Trở lại với mệnh đề Q( n ), nếu ta tiếp tục kiểm tra mệnh đề với những giá trị khác nữa của n thì 

vẫn có Q( n ) đúng nhưng không khẳng định được Q( n ) là đúng với mọi 

để chứng minh được Q( n ) là đúng hay sai với mọi 

* 

n ? 

n 

* 

. Vậy làm thế nào 

 

Tổng quát, đối với các mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n thì việc thử với một số giá trị 

của n (cho dù làm được với số lượng lớn) cũng không thể coi là chứng minh. Hơn nữa tập hợp 

là vô hạn nên việc thử với mọi số tự nhiên là không thể làm được. Do vậy, phương pháp quy nạp 

toán học (gọi tắt là phương pháp quy nạp) được nêu sau đây sẽ là phương pháp hữu hiệu để giải 

quyết các bài toán loại này. 

- GV chốt kiến thức, kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS, chuyển giao nhiệm vụ mới. 

HS ghi chép, thực hiện các yêu cầu mới của giáo viên: 

Hoạt động của GV và HS 

GV. Nêu nội dung phương pháp quy nạp toán 

học và nhấn mạnh rằng hai bước của phương 

pháp quy nạp là bắt buộc, trong đó bước 1 tuy 

đơn giản nhưng không thể bỏ qua, còn bước 2 

thực chất là nêu ra một bài toán mới và tìm 

Nội dung kiến thức 

Phương pháp quy nạp toán học 

a) Để chứng minh một mệnh đề là đúng với 

mọi 

* 

n ta làm như sau: 

Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 

Bước 2. - Giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên 

bất kì n= k 1 (giả thiết quy nạp) 

 

Trang 4/21

cách giải quyết. Bài toán nêu ra ở bước 2 có giả 

thiết là mệnh đề đúng với n= k 1 và có kết 

luận là mệnh đề đúng với n= k+ 1. Từ kết quả 

của cả hai bước ta mới kết luận được rằng 

mệnh đề đúng với mọi 

HS. Ghi nhận kiến thức 

* 

n . 

GV. Yêu cầu học sinh Nhóm 1 làm Ví dụ 1, 

Nhóm 2 làm Ví dụ 2, Nhóm 3 và 4 làm Ví dụ 

3. 

- Chứng minh mệnh đề đúng với 

n= k+ 

1 

b) Để chứng minh một mệnh đề là đúng với 

mọi số tự nhiên n p ( p ) ta làm như sau: 

Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với 

n= 

p 

Bước 2. - Giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên 

bất kì n = k p (giả thiết quy nạp) 

- Chứng minh mệnh đề đúng với 

n= k+ 

1 

Ví dụ 1. Chứng minh rằng 2 n 

* 

n với n . 

Hướng dẫn: 

- Chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = 1? 

- Hãy nêu giả thiết quy nạp? 

- Hãy nêu điều cần chứng minh? 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng 

1+ 3+ 5+ + 2n− 1 = n với 

( ) 

2 

* 

n . 

Ví dụ 3. Cho hai số 3 n 

 

và 8n với n . 

a) So sánh 3 n và 8n khi n = 1,2,3,4,5. 

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh 

bằng phương pháp quy nạp. 


- Lời giải Phiếu học tập số 3; lời giải các Ví dụ 1, 2, 3. 

- Nội dung phương pháp quy nạp toán học. 

2. HTKT 2. Dãy số 

2.1. HTKT 2.1. Định nghĩa 

* Mục tiêu 

- Biết khái niệm dãy số vô hạn và dãy số hữu hạn. 

- Xác định được số hạng tổng quát của dãy số, số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu 

hạn. 

- Lấy được ví dụ cho dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn. 



L. Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành 

Phiếu học tập số 2. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ. 


Cho hàm số u( n) 

1 

= 

2n 

− 1 

, * 

n N 

. Tính u ( 1) 

, u ( 2) 

, u ( 3) 

, u ( 4) 

, ( 5) 


0 1 2 3 4 5 

1 1 1 1 1 1 

Cho dãy số sau: − , − , − , − , − , − ,.... 

2 2 2 2 2 2 

1) Dãy số trên tuân theo quy luật nào? 

u . 

2) Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu v 

n 

là số nằm ở vị trí thứ n (kể từ trái qua phải) của dãy số 

trên, hãy biểu diễn v 

n 

theo n ? 


Trang 5/21













- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: 

u n được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của n trong tập 

Tập hợp các giá trị tương ứng của ( ) 

: u ( 1) 

, u ( 2) 

, u ( 3) 

, u ( 4) 

, u ( 5) 

Với mỗi số nguyên dương n , ta có v( n) 

,… tạo thành một dãy số. 

1 

= − 

2 

n−1 

, công thức này xác định một hàm số với 

biến là số tự nhiên. Dãy số trong Phiếu học tập số 2 chính là tập hơp các giá trị của hàm số v( n ) 

được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của n trong tập 

. 

Như vậy, ta thấy có một sự tương ứng giữa một hàm số với biến tự nhiên với một dãy các số 

thực trong hai phiếu học tập trên. Vì thế, ta có thể coi dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp 

các số nguyên dương. 

- GV chốt kiến thức, kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS, chuyển giao nhiệm vụ mới, 

HS ghi chép, thực hiện các yêu cầu mới của giáo viên. 


GV. Nêu định nghĩa dãy số và dãy số hữu hạn. 

Nhấn mạnh dãy số là hàm số với biến là số tự 

nhiên. 

HS. Ghi nhận kiến thức. 

GV. Từ nay về sau khi nói đến dãy số thì phải 

hiểu đây là dãy số vô hạn và trong trường hợp 

ngược lại thì phải nói rõ đó là dãy số hữu hạn. 

1. Định nghĩa 


* 

Định nghĩa dãy số. Cho hàm số u : → 

n 

( ) 

u n 

Hàm số u được gọi là một dãy số vô hạn (gọi 

tắt là dãy số), kí hiệu là ( u 

n ) trong đó 

un 

( ) 

= u n . 

u 

1 

: số hạng đầu 

u 

n 

: số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của 

dãy số. 

Dạng khai triển của dãy số ( u 

n ) : 

u , u , u ,..., u ,... 

1 2 3 

Định nghĩa dãy số hữu hạn. Mỗi hàm số u 

xác định trên tập M 1,2,3,..., 

m 

n 

* 

= ( m ) 

được gọi là dãy số hữu hạn. Dạng khai triển 

của nó là u1, u2, u3,..., u 

m 

trong đó u 

1 

là số 

hạng đầu, u 

m 

là số hạng cuối. 

Ví dụ 4 

Dãy các số chính phương 1, 4,9,16, 25,.... có số 

Trang 6/21

GV. Yêu cầu Nhóm 1, 2 làm Ví dụ 5, Nhóm 

3,4 làm Ví dụ 6. 

hạng đầu u 

1 

= 1, số hạng tổng quát 

un 

= n 

1 1 1 1 1 

Dãy số hữu hạn , , , , có số hạng 

2 4 8 16 32 

1 

1 

đầu u 

1 

= , số hạng cuối u 

5 

= . 

2 

32 

Ví dụ 5. Hãy viết dạng khai triển của dãy các 

số tự nhiên lẻ, chỉ ra số hạng đầu và số hạng 

tổng quát của dãy đó? 

Ví dụ 6. Hãy chỉ ra số hạng đầu và số hạng 

cuối của các dãy số sau: −5, − 2,1,4,7,10,13 . 


- Lời giải Phiếu học tập số 4,5; lời giải các Ví dụ 5, 6. 

- Định nghĩa dãy số vô hạn và dãy số hữu hạn. 

2.2. HTKT 2.2. Cách cho một dãy số 

* Mục tiêu 

- Biết được cách cho dãy số (bởi công thức của số hạng tổng quát, bởi hệ thức truy hồi, bằng 

mô tả). 

- Lấy được ví dụ minh họa ba cách cho dãy số. 

- Tìm được số hạng thứ k trong dãy số cho bởi một trong ba cách trên. 



L. Học sinh nhận phiếu học tập. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau 

trong phiếu học tập. 


Cho các dãy số sau: 

( ) : ( 3) 

n u1 = u2 

= 1 

un 

u 

n 

= − , ( vn 

) : 

, ( w 

n ) : Dãy các số nguyên tố. 

un = un− 

1+ un−2, n 3 

1) Hãy viết 10 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số trên? 

2) Với k là số tự nhiên cho trước, ta có thể xác định được số hạng thứ k của mỗi dãy trên hay 

không? 














- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: Mỗi dãy số được coi là xác định nếu ta biết 

cách tìm mọi số hạng của dãy số đó. Với k là số tự nhiên cho trước ta luôn xác định được số hạng 

thứ k của mỗi dãy trên. Do đó, các dãy số đã cho ở trên là hoàn toàn xác định và ta nói ( n ) 

số cho bằng công thức của số hạng tổng quát, ( v 

n ) là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, ( w 

n ) 

2 

u là dãy 

là dãy số cho bằng phương pháp mô tả. 

- GV chốt kiến thức, kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS, chuyển giao nhiệm vụ mới, 


Trang 7/21


GV. Dãy số cho bằng công thức của số hạng 

tổng quát là một cách cho khá thông dụng và 

nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ 

tự của số hạng) thì ta có thể tìm ngay được u 

n 

. 

GV. Dãy số cho bằng công thức truy hồi có 

tính “kiến thiết”, nghĩa là để tính được số hạng 

có chỉ số cho trước, ta phải tính lần lượt tất cả 

các số hạng đứng trước nó. 

GV. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả, tức 

là người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác 

định các số hạng liên tiếp của dãy số. Trong 

một số trường hợp, không thể tìm ngay được 

u 

n 

với n tùy ý. 


H. Hãy cho ví dụ về dãy số cho bằng công thức 

của số hạng tổng quát, dãy số cho bằng phương 

pháp truy hồi, dãy số cho bằng phương pháp 

mô tả? 

TL. HS trả lời. 

GV. Yêu cầu HS về nhà tham khảo các nội 

dung sau: 

- Biểu diễn hình học của dãy số (SGK_88) 

- Hoa, lá và dãy số Phi-bô-na-xi. 


2. Cách cho một dãy số 

a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng 

quát 

Ví dụ 7. ( u ) : 

n 

* 

( u ) : u = f ( n) , n 

N 

n 

u 

n 

= 

n 

n 

n + 1 

b) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay 

quy nạp) 

- Cho số hạng thứ nhất u 

1 

(hoặc một vài số 

hạng đầu) 

- Với n 2 , cho công thức tính u 

n 

nếu biết un 

− 1 

(hoặc một vài số hạng đứng ngay trước nó). 

Công thức truy hồi thường gặp là 

u1 

= a 

 

u ( 1 ) , 2 , 

n 

= f un− 

n 

Ví dụ 8. ( u ) 

( v ) 

n 

n 

u1 = a, 

u2 

= b 

 

un = f ( un− 

1, un−2) 

, n 3 

u1 

= 3 

: 

2 

un 

= 1 + un− 

1, n 2 

v1 = v2 

= 1 

: 

(dãy Phi-bô-na-xi). 

vn = vn− 

1+ vn−2, n 3 

c) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 

Ví dụ 9. Dãy các số nguyên tố. 

Ví dụ 10. Cho dãy số ( u 

n ) : 

u1 

=−1 

 

un+ 

1 

= un 

+ 3, n 1 

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. 

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp 

un 

= 3n− 4. 


- Lời giải Phiếu học tập số 6, câu trả lời cho các câu hỏi, lời giải Ví dụ 10. 

- Cách cho một dãy số, biểu diễn hình học của dãy số. 

2.3. HTKT 2.3. Dãy số tăng, dãy số giảm 

Trang 8/21

* Mục tiêu 

- Biết khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm. 

- Xét được tính tăng, giảm của dãy số. 



L. Học sinh nhận phiếu học tập. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 5; Nhóm 3, 4 hoàn 

thành Phiếu học tập số 6. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ. 


Cho dãy số ( u ) 

a) Tính u 

n + 1? 

n 

1 

: un 

= 1+ 

n 

b) Xét dấu u − n+ 1 

u , từ đó hãy so sánh 

n 

u 

n + 1 

và u 

n 

với mọi n ? 

Cho ( v ) : v = 5n 

− 1 

n 

n 

a) Tính v 

n + 1? 


b) Xét dấu v − n+ 1 

v , từ đó hãy so sánh 

n 

v 

n + 1 

và v 

n 

với mọi n ? 














- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: Dãy số ( ) n 

( v 

n ) được gọi là dãy số giảm. 

u được gọi là dãy số tăng, dãy số 




GV. Nêu định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm. 


H. Hãy nêu phương pháp xét tính đơn điệu của 

dãy số? 



3. Dãy số tăng, dãy số giảm 

a) Định nghĩa 

( ) n 

u là dãy số tăng u n + 1 

u , * 

n 

n 

. 

( ) n 

u là dãy số giảm u n + 1 

u , * 

n 

n 

. 

Các dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung 

là dãy số đơn điệu. 

b) Phương pháp xét tính đơn điệu của dãy số 

Phương pháp 1. Xét hiệu un 

1 

- Nếu u − n 1 

u + n 

0 , * 

n 

 

+ − 

u 

n 

Trang 9/21

GV. Yêu cầu Nhóm 1 làm ý a), Nhóm 2 và 3 

làm ý b), Nhóm 4 làm ý c). 

u n + 1 

u , * 

n 

n 

( ) 

- Nếu u − n 1 

u + n 

0 , * 

n 

 

u n + 1 

u , * 

n 

n 

( ) 

Phương pháp 2. Nếu un 

0 

un+ 1 

rồi so sánh với 1 

u 

n 

u là dãy số tăng 

n 

n 

u là dãy số giảm 

* 

n 

thì lập tỉ số 

un+ 1 * 

- Nếu 1, nN 

u n + 1 

u n 

u 

, * 

n 

 

n 

( u 

n ) là dãy số tăng 

un+ 1 * 

- Nếu 1 nN 

un 

un 

u 

n 

( u 

n ) là dãy số giảm 

+1 

, 

n 

 

Ví dụ 11. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau 

a) ( u ) : u = 2n 

− 1 

n 

b) ( ) : 

n 

n 

vn v 

n 

= 

n 

3 

c) ( u ) u = ( − ) 

n 

: 3 n 

n 

Chú ý. Có những dãy số không tăng, không 

giảm, chẳng hạn ( u ) u = ( − ) 

n 

n 

: 3 . 


- Lời giải Phiếu học tập số 7,8; câu trả lời cho các câu hỏi, lời giải Ví dụ 11. 

- Định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm. 

- Phương pháp xét tính đơn điệu của dãy số. 

2.4. HTKT 2.4. Dãy số bị chặn 

* Mục tiêu 

- Biết khái niệm dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn dưới, dãy số bị chặn. 

- Chứng tỏ được một dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn. 



L. Học sinh nhận phiếu học tập. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 5; Nhóm 3, 4 hoàn 



n 

Cho dãy số ( un) : un 

= 

2 

n + 1 

. Chứng minh rằng 1 

* 

un 

, n 

? 

2 


2 

n + 1 

* 

Cho dãy số ( vn) 

: vn 

= . Chứng minh rằng vn 

1, 

n 

? 

2n 








n 

* 

Trang 10/21







- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: Dãy số ( ) n 

( v 

n ) được gọi là bị chặn dưới. 

u được gọi là bị chặn trên, dãy số 




GV. Nêu định nghĩa dãy số bị chặn trên, dãy số 

bị chặn dưới, dãy số bị chặn. 


GV. Nhấn mạnh: Các dấu “=” trong định nghĩa 

không nhất thiết phải xảy ra. 

H. Hãy cho ví dụ về dãy số bị chặn dưới, dãy 

số bị chặn? 


GV. Yêu cầu Nhóm 1 làm ý a), Nhóm 2 làm ý 

b), Nhóm 3 làm ý c), Nhóm 4 làm ý d). 

4. Dãy số bị chặn 

Định nghĩa 


( u 

n ) bị chặn trên M : 

( u 

n ) bị chặn dưới m: 

( u 

n ) bị chặn M, 

m: 

Ví dụ 12 

u M n 

* 

n 

, . 

u m n 

* 

n 

, . 

m u M n 

* 

 

n 

, . 

a) Dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới vì un 

1, 

n 

 

* 

b) Dãy số ( un) : un 

= 

2 

1 

* 

0 u n 

, n 

. 

2 

n 

n + 1 

bị chặn vì 

Ví dụ 13. Trong các dãy số ( u 

n ) sau, dãy số nào 

bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? 

2 

1 

a) un 

= 2n 

− 1 b) u n 

= 

n n+ 

2 

( ) 

1 

c) un 

= sin n + cos n d) u n 

= 

2 

2n 

−1 


- Lời giải Phiếu học tập số 9, 10; lời giải Ví dụ 13. 

- Định nghĩa dãy số bị chặn. 

3. HTKT3. Cấp số cộng 

3.1. HTKT 3.1. Định nghĩa cấp số cộng 


- Học sinh biết được khái niệm của cấp số cộng. 

- Áp dụng để chứng minh một dãy số cho trước có là cấp số cộng, xác định số hạng đầu và 

công sai của cấp số cộng. 



L. Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành 

Phiếu học tập số 2. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ. 


Cho năm số hạng đầu của một dãy số là -3; -1; 1; 3; 5 . 

Chỉ ra quy luật của các số hạng trên, từ đó viết tiếp 5 số hạng của dãy ? 


Trang 11/21

* 

Cho dãy số ( u 

n) 

thỏa mãn : u = n 1 

u − + n 

5, n 

Nhận xét về khoảng cách giữa hai số hạng liền nhau của dãy ? 











- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: Các dãy số trên đều có tính chất từ số 

hạng thứ hai mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước cộng với một số không đổi, các dãy số này 

được gọi là cấp số cộng. 

Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi 

số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với số không đổi d . 

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 

Nếu ( un) 

là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi 

* 

u = n 1 

u + + n 

d, 

n 

Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là dãy không đổi 


- Từ định nghĩa, hãy nêu phương pháp chứng minh một dãy số là cấp số cộng ? 

- Yêu cầu học sinh Nhóm 1, 2 làm Ví dụ 1; Nhóm 3, 4 làm Ví dụ 2. 

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số: −15; − 3;9;21;33;45 là cấp số cộng, tìm công sai? 

3n 

+ 2 * 

Ví dụ 2: Chứng minh dãy số: ( u 

n) 

với un 

= , n là cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công 

5 

sai? 


- Lời giải các phiếu học tập số 1, 2; lời giải các Ví dụ 1, 2 

- Định nghĩa cấp số cộng. 

3.2. HTKT 3.2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng 

* Mục tiêu: Học sinh biết công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, từ đó xác định được số 

hạng bất kỳ của cấp số cộng. 



L1. Quan sát hình vẽ (máy chiếu) 

Bạn Hoa xếp que diêm thành hình tháp trên mặt sân như hình vẽ : 

H2 . 

1 tầng 2 tầng 3 tầng 

L2. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi sau. 

H1. Hỏi nếu có 5 tầng thì cần bao nhiêu que diêm xếp tầng đế của tháp? 

H2. Hỏi nếu có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm xếp tầng đế của tháp? 


- Yêu cầu học sinh Nhóm 1, 2 trả lời cho các câu hỏi H1; Nhóm 3, 4 trả lời cho các câu hỏi 

Trang 12/21

- Các nhóm viết kết quả vào bảng phụ 





- Dự kiến câu trả lời: 

TL1. Xếp 1 tầng cần 3 que xếp đế tháp 

Xếp 2 tầng cần 7 que xếp đế tháp 

Xếp 3 tầng cần 11 que xếp đế tháp 



TL2. Giả sử để xếp n tầng thì cần u 

n 

que xếp tầng đế, khi đó ta có: 

u = 3 

u 

1 

= u + 4 

2 1 

u = u + 4 = u + 2.4 

3 2 1 

u = u + 4 = u + 3.4 

4 3 1 

u = u + 4 = u + 4.4 

5 4 1 

...... 

u100 = u99 + 4 = u1 

+ 99.4 = 3 + 99.4 = 399 


- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận công thức tổng quát của cấp số cộng khi 

biết số hạng đầu và công sai. 

Định lý 1: 

Nếu cấp số cộng ( un) 

có số hạng đầu u 

1 

và công sai d thì số hạng tổng quát un 

được xác định bởi 

công thức: 

un 

= u1 + ( n −1) d, víi n 2 


- Yêu cầu học sinh làm ví dụ 3. 

Ví dụ 3: Cho cấp số cộng ( un) 

biết số hạng đầu u 

1 

=− 23 , công sai d = 11 . 

a) Tìm số hạng thứ 17 của cấp số cộng 

b) Số 318 là số hạng thứ bao nhiêu? 


a) Áp dụng công thức u = u1 + ( n −1) d, víi n 2 suy ra: 

u 

17 

= − 23+ 17.11 = 164 

b) Giả sử 318 là số hạng thứ n, khi đó: 

318 = − 23 + ( n−1).11 n= 

32 


- Lời giải các câu hỏi H1, H2 ; lời giải Ví dụ 3 

- Định lý 1. 

n 

3.3. HTKT 3.3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng 

* Mục tiêu: Học sinh biết được tính chất các số hạng của cấp số cộng, từ đó giải quyết một số bài 

toán liên quan đến cấp số cộng. 



L1. Yêu cầu học sinh suy nghĩ và trả lời các câu hỏi sau: 

Từ công thức số hạng tổng quát hãy biểu diễn u 

k 

theo uk 

− 1 

và u 

k + 1 

? 


- Học sinh suy nghĩ, trao đổi 

- Giáo viên quan sát việc thực hiện của học sinh, giải đáp thắc mắc của học sinh. 

Trang 13/21


- Học sinh suy nghĩ lên bảng trình bày. 


Ta có : 

u = u + d 

k 

k+ 

1 

k−1 

u = u + d 

k 

u − u = u − u 

k k − 1 k + 1 k 

uk− 1+ 

uk+ 

1 

uk 

= 

2 


- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận tính chất các số hạng của cấp số cộng. 

Định lý 2: 

uk− 1+ 

uk+ 

u 

1 

k 

= , k 2 

2 



Ví dụ 4: Cho cấp số cộng có 7 số hạng biết tổng số hạng thứ 3 và số hạng thứ năm bằng 28, tổng số 

hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó ? 


u3+ 

u5 

28 

Ta có : u4 

= = = 14 

2 2 

u5 + u7 

140 

u6 

= = = 70 

2 2 

u1 + 3d = 14 u1 

=−70 

 

 

u1 

+ 5d = 70 d 

= 28 


- Lời giải câu hỏi L1; lời giải Ví dụ 4 


3.4. HTKT 3.4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng 

* Mục tiêu: Học sinh biết được công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, từ đó giải 

quyết một số bài toán liên quan đến cấp số cộng. 



L1. Yêu cầu học sinh suy nghĩ và trả lời : 

Khi ký hợp đồng dài hạn với các kỹ sư được tuyển dụng, công ty liên doanh A đề xuất hai 

phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể: 

+) Phương án 1: Người lao động sẽ nhận được 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, kể từ năm 

làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 3 triệu đồng mỗi năm. 

+) Phương án 2: Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, kể từ quý thứ 

hai mức lương sẽ tăng thêm 500 000 đồng mỗi quý. 

Nếu em là người ký hợp đồng lao động với công ty liên doanh A thì em sẽ chọn phương án nào? 


- Học sinh suy nghĩ, trao đổi 

- Giáo viên quan sát việc thực hiện của học sinh, giải đáp thắc mắc của học sinh. 



Phương án 1 hoặc phương án 2 


- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận để có lựa chọn đúng cần tìm hiểu công 

thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: 

Định lý 3: Cho cấp số cộng ( u 

n) 

. Đặt Sn 

= u1 + u2 + u3 + .... + un 

Trang 14/21

n( u1 

+ un) nn ( −1) Khi đó Sn 

= = nu1 

+ . d 

2 2 


- Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi trong phần chuyển giao nhiệm vụ. 


Gọi n là số năm ký hợp đồng làm việc với công ty A ( n 0 ) 

Nếu ký hợp đồng theo phương án 1 thì tổng số tiền lương nhận được trong n năm là: 

2 

n( n − 1) 3n + 69n 

S1 

= n.36 + .3 = 

2 2 

Nếu ký hợp đồng theo phương án 2 thì tổng số tiền lương nhận được trong n năm là: 

4 n(4n−1) 

2 

2 

S2 

= 4 n.7 + .0,5 = 4n + 27n 

Xét 

2 2 

3 n + 69 n 2 − 5 15 

1 2 

(4 27 ) 

n + 

S − S = − n + n = 

n 

2 2 

2 

− 5n 

+ 15n 

S1− S2 

0 0 0 n 3 

2 

Vậy nếu làm việc dưới 3 năm thì lựa chọn theo phương án 1, nếu làm việc 

trên 3 năm thì lựa chọn phương án 2. 


- Lời giải câu hỏi trong phần chuyển giao nhiệm vụ; 


4. HTKT4. Cấp số nhân 

4.1. HTKT 4.1. Định nghĩa và tính chất của cấp số nhân. 


- Học sinh biết được khái niệm CSN. 

- Học sinh biết được tính chất CSN. 

- Áp dụng để chứng minh dãy số là một cấp số nhân. 



L1. Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn 



Hãy quan sát các dãy số sau và cho biết đặc điểm liên quan của các số hạng trong từng dãy số đó? 

Từ đó chỉ ra số hạng thứ n chứng tỏ quy luật của dãy số đó? 

a) 2, 6, 18, 54, 162,……. 

b) 1, -3, 9, -27, 81. 


Hãy quan sát các dãy số sau và cho biết đặc điểm liên quan của số hạng đứng giữa với hai số hạng 

kề cạnh nó trong từng dãy số đó? Từ đó chỉ ra hệ thức tổng quát của nó? 

a) 2, 6, 18, 54, 162,……. 

b) 1, -3, 9, -27, 81. 






Trang 15/21






- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận: Định nghĩa và tính chất của cấp số nhân. 


1.Định nghĩa và tính chất của cấp số nhân 

a. Định nghĩa : Cấp số nhân là một dãy số (hữu 

hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, 

mỗi số hạng đếu là tích của số hạng đứng ngay trước 

nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công 

bội của cấp số nhân. 

Có nghĩa là: Dãy (Un) là CSN với công bội q khi và 

* 

chỉ khi un = un-1 . q , với n N . 

b. Tính chất: 

Định lý 1: Trong một CSN: u 2 k = uk-1 . uk+1 

với k 2 . ( hay uk = uk − 1. 

uk 

+ 1 

). 


- Từ định nghĩa, hãy nêu phương pháp chứng 

minh dãy số là CSN ? 

- Từ định nghĩa, hãy nêu phương pháp tìm 

công bội q của CSN ? 



un 

1 

HS: Xét + q 1 

u 

= , thì dãy (Un) là CSN . 

n 

un 

1 

HS: + q 

u 

= , vậy q là công bội. 

n 

HS: Từ định nghĩa ta có un = un-1 . q 

Và un+1 = un . q . Suy ra: un = un+1 : q. Thay vào 

công thức trên ta được: un-1 . q 2 = un+1 . Nhân hai 

vế với un-1. Suy ra định lý 1. 

Ví dụ 1: Trong các dãy số sau dãy số nào là CSN? 

Hãy chỉ ra số hạng đầu và công bội của nó? 

a) 3, 6, 12, 24, 48, 96. 

- Từ định nghĩa, hãy nêu phương pháp chứng 

b) 7, 0, 0, 0, 0,……,0,… 

minh định lý 1? 

c) 1, 1, 1, 1, 1,……… 

d) 0, 0, 0, 0, 0,……,0,…. 

e) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. 

- Giải một số bài toán sử dụng tính chất của CSN? 

- Yêu cầu học sinh cả lớp cùng làm. 

- GV: Gọi HS nêu lời giải, nhận xét? 

c. Đặc biệt: 

+ Khi q = 0, CSN có dạng u1, 0, 0,….,0,…. 

+ Khi q = 1, CSN có dạng u1, u1, u1,…..,u1,…. 

+ Khi u1 = 0 thì với mọi q, CSN có dạng 0, 0, 0, 

0, 0…..,0,…… 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng dãy số : an = 2.3 n là 

một CSN , chỉ ra công bội q và số hạng đầu a1? 

Ví dụ 3: Chứng minh rằng ba số a, b, c theo thứ tự 

đó lập thành CSN khi và chỉ khi : 

( a 2 + b 2 )( b 2 + c 2 

) = ( ab + bc) 2 


- Lời giải các phiếu học tập số 1, 2; lời giải các Ví dụ 1, 2 ,3. 

- Định nghĩa và tính chất của CSN. 

4.2. HTKT 4.2. Số hạng tổng quát. 

* Mục tiêu: Học sinh biết công thức số hạng tổng quát của CSN. Từ đó áp dụng làm các bài tập 

tìm un và tìm n? 



L1. Quan sát câu truyện vui: “ Cuộc mua bán kỳ lạ giữa nhà tỷ phú và nhà toán học’’ (máy 

chiếu, hoặc bảng phụ). 

Ngày 1 

Ngày 2 

Ngày 3 

Bán 

10.000.000 đ 

10.000.000 đ 

10.000.000 đ 

Mua 

500 đ 

1.000 đ 

2.000 đ Ai là người có lãi? 

Trang 16/21

Ngày 4 

…………………. 

………………… 

………………… 

Ngày 20 

……………….. 

10.000.000 đ 

…………………... 

…………………… 

…………………… 

10.000.000 đ 

………………….. 

4.000 đ 

……… 

……… 

………. 

? 

L2. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời các câu hỏi sau. 

H1. Nếu coi cuộc mua bán giữa nhà tỷ phú và nhà toán học là một dãy số mà mỗi số hạng 

trong dãy là một số tiền mà nhà tỷ phú phải trả cho nhà toán học.Vậy dãy số này có phải là một 

CSN không? 

H2. Tính số tiền mà nhà tỷ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ 6? 

H3. Tính số tiền mà nhà tỷ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ 20? 

H4. Tính số tiền mà nhà tỷ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ n? 


- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3, H4. Nhóm 

nào xong trước được quyền trả lời trước, các nhóm khác nghe nhận xét, bổ sung nếu thiếu. 




- Đại diện nhóm trình bày. 


TL1. Coi u1 = 500 đ ; 

u2 = 1000 đ = 500 . 2 = u1. 2 

u3 = 2000 đ = 1000 . 2 = u2 . 2 

u4 = 4000 đ = 2000 . 2 = u3 . 2 

Vậy dãy số đó là CSN có số hạng đầu u1= 500, công bội q = 2. 

TL2. Mặt khác ta còn viết: 

u1 = 500 đ ; 

u2 = 1000 đ = 500 . 2 = u1 . 2 2-1 

u3 = 2000 đ = 1000 . 2 = 500 . 2 2 = u1 . 2 3-1 

u4 = 4000 đ = 2000 . 2 = 500 . 2 3 = u1 . 2 4 -1 

u5 = 4000 đ . 2 = 8000 đ = 500 . 2 4 = u1 . 2 5 -1 

u6 = 8000 đ . 2 = 16000 đ = 500 . 2 5 = u1 . 2 6-1 

TL3. Vậy u20 = 500 . 2 19 

TL4. Vậy un = 500 . 2 n-1 


- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận công thức số hạng tổng quát của CSN. 



2. Định lý 2: 

HS: ghi nhận kiến thức. 


1 3 

c) u1 

= 3, q = − . Hỏi là số hạng thứ 


2 256 

+ u1 và q 

mấy trong CSN đó? 

+ Áp dụng công thức: un = u1 . q n - 1 

Nếu CSN có số hạng đầu u1 và công bội q thì số 

hạng tổng quát un được xác định bởi công thức 

un = u1 . q n -1 với n 2 . 


- Từ định nghĩa hãy dùng phương pháp Ví dụ 4: Cho CSN ( Un) biết: 

quy nạp để tìm ra công thức số hạng tổng quát a) u1 = 2 , q = 5. Tính u9 =? 

un. 

b) u3 = 1 , q = 2. Tính u10 = ? 


- Đáp án cho các câu hỏi. 

Trang 17/21

a) 

- Đáp án ví dụ 4: a) u9 = 2 .5 8 2 2 1 

; b) u3 = u1. q 1 = u1.2 

u1 

= 

4 

9 1 9 7 

u10 = u1. q = .2 = 2 

4 

c) 

n−1 n−1 

n−1 

3 1 1 1 

1. 3. 8 1 9 

un 

= u q = − = − = n − n = 

256 2 256 2 

- Công thức số hạng tổng quát của CSN. 

4.3. HTKT 4.3. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. 

* Mục tiêu: Học sinh biết được công thức tính tổng n số hạng đầu của CSN. 



L. Học sinh nhận phiếu học tập. Yêu cầu học sinh thảo luận theo nhóm và trả lời câu hỏi sau 

trong phiếu học tập số 3. 


Cho cấp số nhân ( Un) có số hạng đầu u1 và công bội q. Tìm tổng Sn = u1 + u2 + u3 +………+un 


+ Trong công thức tính tổng Sn đó chuyển các số hạng từ u2 đến un theo u1và q? Viết lại công thức 

Sn theo u1 và q? ( gọi là hệ thức 1) 

+ Nhân hai vế của hệ thức 1 đó với q ta được hệ thức 2. 

+ Lấy 1 – 2 ta được hệ thức nào? Từ đó rút Sn = ? 


- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi. 

- Các nhóm viết kết quả dự đoán của nhóm mình lên bảng phụ. 



- Giáo viên nhận xét, kết luận và phát biểu Định lý 3. 


3. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân 

Định lí 3. Cho cấp số nhân (Un) với công bội 

q 1. Đặt Sn = u1 + u2 +u3 +……..+ un. 

n 

( − q ) 

u1 Khi đó : S 

1 n 

= 

1− 

q 

*CY: Khi q = 1 thì Sn = n.u1. 

Kết quả : Ví dụ 5: 

20 

500( 1− 

2 ) 

S20 

= = 524.287.500 

1− 

2 



Ví dụ 5: Quay lại câu truyện vui: “ Cuộc mua 

bán kỳ lạ giữa nhà tỷ phú và nhà toán học’’ . 

a) Tính số tiền mà nhà tỷ phú phải trả cho nhà 

toán học sau 20 ngày? 

b) Tính số tiền mà nhà tỷ phú thu được sau 20 

ngày? 

c) Hỏi ai là người có lãi? 

b) S20 = 10.000.000 x 20 = 200.000.000 

c) Vậy nhà toán học là người có lãi. 


- Đáp án cho các câu hỏi và kết quả cho bài toán vui trong hoạt động khởi động. 

- Phát biểu được định lí 3. 


* Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi và tính 

toán. 



L1. HS nhận phiếu học tập gồm các câu hỏi trắc nghiệm. 

L2. Học sinh hoạt động cá nhân, trả lời các câu hỏi trắc nghiệm. 


Trang 18/21

Câu 1. Cho dãy số (un), biết u 3 n 

n 

= . Hãy chọn đáp án đúng: 

a) Số hạng un+1 bằng: 

A. 3 n + 1 

B. 3 n n 

+ 3 

C. 3 .3 

D. 3( n + 1) 

b) Số hạng u2n bằng: 

A. 2.3 n B. 9 n C. 3 + 3 D. 6n 

c) Số hạng un-1 bằng: 

A. 3 − 1 

B. 3n − 1 

C. 3 − 3 D. 1 n 

.3 

3 

d) Số hạng u2n-1 bằng: 

2 

A. 3 .3 − 1 

n n−1 

B. 3 .3 

C. 

2 

3 − 1 

2( 1) 

D. 3 n− 

Câu 2. Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát 

un của nó là : 

n+ 

1 

2n 1 

n 

A. ( − 1 ) .sin B. ( 1 ) .( 5 n + 1) 

C. 

D. 

2 

n 

n+ 1 + n 

n + 1 

Câu 3. Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đùng trong các kết quả sau: 

A. x = -6, y = -2 B. x = 1, y = 7 C. x = 2 , y = 8 D. x = 2, y = 10 

Câu 4. Cho cấp số nhân -4, x, -9. Hãy chọn kết quả đùng trong các kết quả sau: 

A. x = 36 B. x = -6,5 C. x = 6 D. x = -36 

Câu 5. Trong các dãy số cho bởi các công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân : 

u1 

= 2 

u1 

=−1 

A. 

2 

B. 

un+ 

1 

= u n 

un+ 

1 

= 3. un 

u1 

=−3 

C. 

D. 7,77,777,.........,777...7. 

un+ 

1 

= un 

+ 1 


- Học sinh làm việc cá nhân và khoanh đáp án vào phiếu trả lời trắc nghiệm. 



- GV đưa ra đáp án cho từng câu hỏi, các nhóm thống kê số học sinh làm đúng từng câu. 

- GV yêu cầu học sinh trình bày cách làm cụ thể cho từng câu hỏi. 

- GV nhận xét và lựa chọn cách làm nhanh nhất cho từng câu trắc nghiệm. 

* Sản phẩm: Đáp án các câu hỏi trắc nghiệm. 

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG 

* Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng áp dụng kiến thức 

vào các dạng bài toán khác. 



L1. HS nhận bài tập gồm các câu hỏi sau. 

L2. Học sinh hoạt động cá nhân, giải các bài tập đó. 

Câu 1. Dãy (un) được xác định bởi : 

tổng của 10 số hạng đầu của dãy. 

u1 

= 3 

. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số đó và tính 

un+ 

1 

= 2. un 

Trang 19/21

Câu 2. Dùng phương pháp quy nạp, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) biết: 

1 

u1 = 3, un+ 

1 

= 2 + . u 

2 

n 

Câu 3. Ba góc của một tam giác vuông lập thành CSC. Tìm ba góc đó ? 

A B C 

Câu 4. CMR: Nếu tam giác ABC có ba góc với: cot ,cot ,cot theo thứ tự đó lập thành một 

2 2 2 

CSC thì ba cạnh theo thứ tự đó cũng tạo thành một CSC. 

Câu 5. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 

hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, ………Hỏi trồng được bao nhiêu hàng? 

Câu 6. Tìm bốn góc của một tứ giác, biết các góc đó lập thành một CSN và góc cuối bằng 9 lần góc 

thứ hai? 

Câu 7. CMR : Nếu ba cạnh của một tam giác lập thành một CSN thì công bội của cấp số đó ắt phải 

1 

1 

nằm giữa ( 5− 1) 

và ( 5 1) 

2 

2 

+ . 

Câu 8. Tính tổng các cạnh của một hình hộp chữ nhật, biết rằng thể tích của chúng bằng a 3 , diện 

tích toàn phần của nó bằng 2ma 2 và các cạnh lập thành một CSN. 

Câu 9. Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1, 8, 22, 43,…… Hiệu của hai số hạng liên tiếp 

của dãy số đó lập thành CSC: 7, 14, 21,….., 7n. Hỏi số 35351 là số hạng thứ mấy của dãy số đã 

cho? 

Câu 10. Tìm m để phương trình: x 4 – (3m +5).x 2 + (m+1) 2 = 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành 

CSC. 

Câu 11. a) Tính 

2 2 2 

n 

n 

1 1 1 

S = 2 + + 4 + + ........ + 2 + 

2 4 2 

b) Tính tổng của n số hạng: S = 3 + 33 + 333 + 3333 + ………….. 

c) Giả sử a, b, c, d theo thứ tự đó là CSN. Tính: S = (a-c) 2 + (b-c) 2 + (b-d) 2 – (a-d) 2 

Câu 12. Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c theo thứ tự đó là CSC. 

A C 

Chứng minh rằng: cot .cot = 3 

2 2 

Câu 13. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA.tanB = 6 và tanA.tanC = 3. Chứng minh : 

tanA, tanB, tanC theo thứ tự đó lập thành CSC. 

Câu 14. Tam giác ABC có cotA, cotB, cotC theo thứ tự đó lập thành CSC. Chứng minh rằng: 

a 2 ,b 2 ,c 2 theo thứ tự đó cũng lập thành CSC. 

Câu 15 . Cho tam giác ANC cân ( AB = AC), có cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo 

thứ tự đó lập thành CSN. Tính công bội q của CSN đó? 


- Học sinh làm việc cá nhân giải bài vào vở bài tập. 


Trang 20/21



- GV nhận xét và bổ sung lựa chọn cách làm hay, nhanh nhất cho từng bài. 

* Sản phẩm: lời giải của từng bài. 

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG 

* Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức của chủ đề ‘’ Dãy số’’ vào các môn học khác, hoặc 

các vấn đề về lĩnh vực đời sống. 



L1. HS nghiên cứu sang các môn học khác như Địa lý, Sinh học….. 

L2. Học sinh nghiên cứu và là các bài tập sau? 

*Bài toán 1: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. 

a) Hỏi một tế bào sau 10 lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào? 

b) Nếu có 10 5 tế bào thì sau hai giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào? 

* Bài toán 2: Theo số liệu của LHQ và WHO, dịch sốt xuất huyết Ebola diễn ra ở Tây phi cứ 3 tuần 

thì số người nhiểm tăng gấp đôi. Giả sử tổng số người nhiểm ban đầu ở các quốc gia Tây phi là 

1000 người. Hãy Tính số người nhiễm của tuần thứ 9. 

*Bài toán3: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày 

khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nữa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm ) khối lượng 

còn lại của 20g poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm). 

*Bài toán 4: Dân số nước ta hiện nay là 90 triệu người. Giả sử tỉ suất gia tăng dân số tự nhiên là 

1.2% trên một năm và không đổi trong suốt thời gian sau. 

a) Sau 10 năm nữa thì dân số nước ta là bao nhiêu? b) Đến năm 2049 thì dân số nước ta là bao 

nhiêu? 

c) Theo dự đoán của cục điều tra dân số đến năm 2049 dân số nước ta là 108.7 triệu người. Theo đó 

thì tỉ suất gia tăng dân số tự nhiên của nước ta là bao nhiêu? 

* Tìm hiểu thêm về dãy số trong hình bông tuyết vôn kốc ( Bài đọc thêm : Đại số và giải tích 

11- trang 104-105-106). 

* Tìm hiểu thêm về dãy số trong : 

1. http://tinhhoa.net/khoa-hoc-cong-nghe-dang-doi-mat-nhung-o-cuoi-tren-ban-co-cap-so-nhan.html 

3. Các em hãy tự tìm tòi các bài toán trong thức tế về sự tăng trưởng của các chủng vi rút ( gây ra 

dịch sốt xuất huyết, dịch ebola,…. ), các bài toán lãi xuất ngân hàng, … 

----- HẾT ---- 

Trang 21/21

TIẾT ÔN TẬP HỌC KỲ 1 

NỘI DUNG: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân 

I. Mục tiêu: 

1) Hệ thống khái niệm dãy số; đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân; tính tăng giảm, bị chặn của 

một dãy số. 

2) Vận dụng được tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân tìm được số hạng CSC, CSN; công bội, 

công sai, tính tổng CSC,CSN. 

3) Vận dụng thành thạo công thức CSC, CSN trong việc giải quyết một số bài thực tế. 

II. Tiến trình dạy học 

Hoạt động 1. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 

+Thực hiện nhiệm vụ : Làm việc theo nhóm 

+Báo cáo thảo luận : Học sinh báo cáo kết quả trên bảng phụ sau đó treo kết quả lên bẳng để các 

nhóm khác quan sát, thảo luận , đánh giá 

- Các nhóm thảo luận, chuẩn bị phương án phản biện 

-GV: Quan sát các nhóm hoạt động , hỗ trợ , tư vấn học sinh. 

+ Nhận xét, đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ (Hình thức : Thuyết trình , chất vấn,…) 

- GV đưa ra các tiêu chí đánh giá : Thời gian , kết quả làm việc,… 

- GV:Nhận xét thái độ , kết quả làm việc của các nhóm. Nêu các kết luận của các nhóm sai hoặc 

chưa tìm ra phương án thực nghiệm . Kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS. 

Trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau 

Câu 1. Cho dãy số 

u 5 n 

n 

= . Hãy chọn mệnh đề đúng 

n 

n 

A. u + 1 

= 5 + 1 B. 

1 

5 5 

n 

u + 

= + C. u ( n ) 

n 

= + 1 

5 + 1 D. u 

1 

5.5 n 

+ 

= 

n 

n 

Câu 2. Cho dãy số 

u 

n 

π 

= sin . Hãy chọn mệnh đề SAI 

n 

3 

2 

A. u 

2 

= 1 

B. u 

3 

= C. u 

4 

= D. u 

5 

= 1 

2 

2

Câu 3. Tìm dãy bị chặn trong các dãy sau 

A. 

y 

2 

= n 

B. sin cos 

y = n + n C. 

3 

y = 

2n 

+ 1 

D. y= 

cot n 

Câu 4. Cho cấp số cộng − 4, x, 10, 

y. Mệnh đề nào dưới đây đúng 

A. x= 7, y= 13 B. x= 3, y= 17 

C. x= 5, y= 15 D. x= 3, y= 

12 

Câu 5. Cho cấp số nhân − 4, 10, n . Mệnh đề nào dưới đây đúng 

A. n =− 25 B. n = 25 

C. n =− 20 D. n = 20 

Câu 6. Cho cấp số cộng ( u 

n ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng 

u 

+ u 

2 

A. 

2 6 

= u1 + u3 

B. u2u3 u6 

= C. u2 + u10 = 2u6 

D. u2u10 = 2u6 

Câu 7. Cho cấp số cộng ( ) n 

u có u1 = 123, u3 − u15 

= 84 . Số hạng u 

17 

là 

A. u 

17 

= 242 B. u 

17 

= 235 C. u 

17 

= 11 D. u 

17 

= 4 

Câu 8. Cho cấp số nhân ( ) n 

u4 

u có u1 

= 24, = 16384 . Số hạng u 

17 

là 

u 

11 

3 

3 

3 

u = B. u 

17 

= C. u 

17 

= D. 

17 

67108864 

268435456 536870912 

A. 

17 

u = 

3 

2147483648 

Câu 9. Cho dãy số ( ) 

* 

của dãy bằng 

A. 9027 

2 

u , n là cấp số cộng với u4 + u6 = 2018 . Tổng của 9 số hạng đầu tiên 

n 

9081 

. B. . C. 9081. D. 9027 . 

2 

Hoạt động 2. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG VÀ TÌM TÒI MỞ RỘNG 

-Mục tiêu : Giúp học sinh gắn kiến thức cấp số cộng, cấp số nhân vào trong các môn học và trong 

cuộc sống thực tế hàng ngày 

-Nội dung , phương thức tổ chức: 

+/Chuyển giao

Giáo viên đưa ra bài toán, hiện tượng trong thực tiễn 

Câu 10. Một người thuê công nhân đào giếng sâu 10m, sau khi hoàn thành theo đúng hợp đồng 

thì tiền công được trả cho công nhân như sau: Mét đầu tiên trả tiền công 200 nghìn, từ mét sâu thứ 

hai trở đi có giá tăng 15% so với mét sâu ngay trước đó. Hỏi phải trả cho công nhân khoản tiền là 

bao nhiêu 

Câu 11. Tháp nghiêng Pisa nổi tiếng ở Italia (cao 56,7m có độ nghiêng là 3,97 độ). Từ độ cao 

54m người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên 

một độ cao bằng 1 4 

độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính độ dài hành trình của quả 

bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất. 

+/Thực hiện nhiệm vụ : Làm việc theo nhóm 

+/Báo cáo thảo luận : Học sinh báo cáo kết quả trên bảng phụ sau đó treo kết quả lên bẳng để các 

nhóm khác quan sát , thảo luận , đánh giá 

- Các nhóm thảo luận , chuẩn bị phương án phản biện 

-GV : Quan sát các nhóm hoạt động , hỗ trợ , tư vấn học sinh. 

+/ Nhận xét , đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ (Hình thức : Thuyết trình , chất vấn,…) 



chưa tìm ra phương án thực nghiệm . Kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS.

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (4TIẾT) 

A. KẾ HOẠCH CHUNG. 


Tiết 1 

Tiết 2 

Tiết 3 

Tiết 4 

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG 

HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG 


KT1: Định nghĩa các hàm số 

KT2: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác 

KT3: Sự biến thiên và đồ thị của hàm số 

y sin x 


y cos x 


y tan x 

KT6:Sự biến thiên và đồ thị của hàm số 

y cotx 

B. KẾ HOẠCH DẠY HỌC. 

I. Mục tiêu bài học: 

1. Về kiến thức: 

+/ Nắm được định nghĩa , tính tuần hoàn , chu kỳ , tính chẵn lẻ , tập giá trị , tập xác định , sự biến thiên và đồ thị của các hàm số 

lượng giác. 

2. Về kỹ năng: 

+/ Tìm được tập xác định của các hàm số đơn giản 

+/ Nhận biết được tính tuần hoàn và xác định được chu kỳ của một số hàm số đơn giản 

+/Nhận biết được đồ thị các hàm số lượng giác từ đó đọc được các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số 

+/Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

+/Ttìm số giao điểm của đường thẳng ( cùng phương với trục hoành) với đồ thị hàm số 

3. Thái độ: 

+/ Phân tích vấn đề chi tiết, hệ thống rành mạch. 

+/ Tư duy các vấn đề logic, hệ thống. 

+/ Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm 

+/ Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn 

+ /Bồi dưỡng đạo đức nghề nghiệp, tình yêu thương con người, yêu quê hương, đất nước 

4. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh: 


- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các 

tình huống. 

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách 

giải quyết các tình huống trong giờ học. 

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, mang internet, các phần mềm hỗ trợ học tập để 

xử lý các yêu cầu bài học. 


- Năng lực tính toán. 

II. Chuẩn bị của GV và HS 

1. Chuẩn bị của GV: 

+/ Soạn KHBH 

+/ Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phấn, thước kẻ, máy chiếu... 

2.Chuẩn bị của HS: 

+/ Đọc trước bài

+/ Làm việc nhóm ở nhà, trả lời các câu hỏi được giáo viên giao từ tiết trước (thuộc phần HĐKĐ), làm thành file trình chiếu. 

+/ Kê bàn để ngồi học theo nhóm 

+/ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … 

III. Bảng mô tả các mức độ nhận thức và năng lực được hình thành: 

Nội dung Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao 

Định nghĩa 

Nhận biết được các 

hàm số , tập xác định 

của các hàm số 

Tính chẵn lẻ của hàm 

số 

Tìm tập xác định của 

hàm số 

Xác định tính chẵn lẻ 

của một hàm số mở 

rộng. Giải quyết một 

số bài toán thực tế 

(nếu có) 

Tính tuần hoàn của 

hàm số lượng giác 

Sự biến thiên và đồ 

thị của hàm số 

y sin x 



y cos x 



y tan x 



y cotx 

Nắm được khái niệm 

hàm số tuần hoàn 

Sự biến thiên và bảng 

biến thiên của hàm số 

trên đoạn 0; 



trên đoạn ; 

Chu kỳ của hàm số 

tuần hoàn 

Đồ thị của hàm số 



trên đoạn ; 

Sự biến thiên và bảng Đồ thị của hàm số 

biến thiên của hàm số trên nửa khoảng 

trên nửa khoảng 

0; . 2 

0; 

2 



trên khoảng 0; 



Chứng minh hàm số 

tuần hoàn và tính chu 

kỳ. 


trên tập xác định 

. Biết được tập giá trị 

của hàm số 


trên tập xác định . 

Biết được tập giá trị 

của hàm số 



Tập giá trị của hàm 

số 




số 

Liên quan đến các 

môn học (Vật lý,..), 

bài toán thực tế. 

Vẽ đồ thị một số hàm 

số khác thông qua đồ 

thị hàm số y sin x 

Tìm giá trị nhỏ nhất 

và lớn nhất của hàm 

số . Giải quyết một số 

bài toán thực tế (nếu 

có) 

Vẽ đồ thị một số hàm 

số khác thông qua đồ 

thị hàm số y cos x 



số . Giải quyết một số 


có) 



số.Giải quyết một số 


có) 



số. Giải quyết một số 


có)

IV. Các câu hỏi/bài tập theo từng mức độ (các câu hỏi bài tập sử dụng trong luyện tập, vận dụng) 

Mức độ Nội dung Câu hỏi /bài tập 

Định nghĩa các hàm số lượng giác 

Hàm số nào dưới đây có tập xác định là? 

D R \ k , k Z . 

Nhận biết 

A. y tan x . B. y cot x . C. y cos x . D. y sin x . 

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác Hàm số nào dưới đây là hàm số không tuần hoàn ? 

A. y cos x . B. y tan x . C. y sin x . D. y x 

2 . 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y sin x 

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên đoạn 0; 

3 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số 

A. y sinx B. y x . C. y 1. D. y sin x . 

y cos x Cho hàm số y cos x. 

Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Thông 

hiểu 

Vận dụng 

Vận dụng 

cao 

V. Tiến trình dạy học: 

A.Hàm số đồng biến trên đoạn 0; . 

2 

B. Hàm số nghịch biến trên đoạn 0; . 

2 

C.Hàm số đồng biến trên đoạn ; . 

2 

D.Hàm số đồng biến trên đoạn 0; . 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y tan x ………………… 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y cotx …………………. 

Định nghĩa các hàm số lượng giác Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn ? 

A. y tan x . B. y cos x . C. y cot x . D. y sin x . 

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác Hàm số nào dưới đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

A. y tan x . B. y cos x . C. y x . D. y 

2 

x 3. 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y sin x ……………… 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y cos x …………… 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y tan x ………………. 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y cotx ………………. 


Tìm tập xác định của các hàm số sau 

1) y 

2 cos x 

2) y cot 3x 

1 sin x 

5 

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác Chứng minh rằng hàm số y sin 3x là hàm số tuần hoàn và 

tìm chu kỳ 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y sin x ……………. 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y cos x …………….. 




Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau 

1) y 2 sin x.cos 

x 2) y 

3 

x x 

cotx 

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác 

Bài toán ứng dụng thực tế 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y sin x Bài toán tực tế 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y cos x Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y tan x Bài toán liên quan đến đồ thị 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y cotx Tìm gái trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

TIẾT 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

1.HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

a)Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận đến khái niệm hàm số lượng giác 

b) Nội dung,Phương thức tổ chức: Cho sinh quan sát hiện tượng,. 

+ Chuyển giao: Giáo viên đưa ra hiện tượng trong vật lý 

Khi ta gõ trống, gảy đàn, thổi sáo hay mở miệng ra nói chuyện, tai ta sẽ nghe và cảm nhận được âm thanh phát ra. Vật tạo ra âm 

thanh được gọi là nguồn phát âm, hay nguồn âm. Âm thanh (sound) là dao động cơ lan truyền trong môi trường và tai ta cảm 

nhận được. Âm thanh nói riêng và các dao động cơ nói chung không lan truyền qua chân không vì không có gì để truyền sóng. 

Âm thanh là phương tiện trao đổi thông tin, liên lạc với nhau (communication media) phổ biến nhất của con người, bên cạnh 

phương tiện hình ảnh. Như vậy nghiên cứu âm thanh có hai mặt: Đặc trưng vật lý (lý tính) và đặc trưng sinh học. Vật lý khách 

quan: nguồn tạo ra âm thanh, tính chất lan truyền, đặc tính âm thanh... 

Nếu ta biểu diễn tín hiệu của âm thanh trên gắn vào hệ trục tọa độ như hình vẽ trên ( giả thiết a; d , b; 

c là các tập đối xứng và 

a 2b) 

CH1:Ta có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên các đoạn a; b ; b;0 ; 0; c ; c; 

d ? 

CH2:Liệu có xác định đồ thị trên là đồ thị của hàm số nào mà chúng ta đã được học không? 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ 

+ Báo cáo, thảo luận: Gọi một học sinh trình bày trước lớp, các học sinh khác phản biện và góp ý kiến. 

+Đánh giá : Giáo viên đánh giá chung và giải thích các vấn đề học sinh chưa giải quyết được 

c)Sản phẩm: 

- Trên các đoạn đó đồ thị có hình dạng giống nhau 

- Qua phép tịnh tiến theo v (b a; 0) biến đồ thị đoạn ab ; thành đoạn b;0 

và biến đoạn b;0 

thành … 

- Chúng ta thấy các đồ thị đã học không có đồ thị nào có hình dạng như thế. Vậy chúng ta sẽ nghiên cứu tiếp các hàm số đồ thị 

có tính chất trên. 

2.1. HTKT1: Định nghĩa 

2.HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 

a) Hoạt động 2.1.1 

- Mục tiêu: Xây dựng các hàm số lượng giác 

- Nội dung, phương thức tổ chức:Giáo viên trình chiếu câu hỏi 

+ Chuyển giao : Học sinh làm việc theo cá nhân rồi trả lời câu hỏi

Cho đường tròn lượng giác ( Hình vẽ bên cạnh).Điểm M nằm 

trên đường tròn đó.Điểm M ; M lần lượt là hình chiếu vuông 

1 2 

góc của điểm M trên đường tròn. Tia OM lần lượt cắt trục At 

và Bs tại T và S . Giả sử sđ AM ; R . 

CH1)Hãy chỉ ra đâu là trục sin, côsin, tang,côtang 

CH2)Hãy tính sin ;cos ;tan ;cot 

CH3)Cứ một giá trị của thì xác định được bao nhiêu giá trị 

của sin ;cos ;tan ;cot 

CH4)Tìm các giá trị của để sin ;cos ;tan ;cot xác định. 

+ /Thực hiện:Học sinh suy nghĩ 

+/ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. 

+ /Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải 

Chốt kiến thức : - Hàm số y sin x; y cos x có tập xác định là R 

- Hàm số y tan x có tập xác định là R \ k , k Z 

2 

- Hàm số y cotxcó tập xác định là R \ k , k Z 

b) Hoạt động 2.1.2 Tính chẵn , lẻ của hàm số 

-Mục tiêu : Học sinh xác định được tính chẵn lẻ của các hàm số lượng giác y sin x, y cos x, y tan x, y cot x . 

-Nội dung , phương thức tổ chức : Hoạt động nhóm, làm việc độc lập 

- GV: chia lớp làm 04 nhóm , giao mỗi nhóm 01 bảng phụ và bút dạ. 

- HS: Bầu nhóm trưởng , thư ký 

+ /Chuyển giao nhiệm vụ 

GV: Yêu cầu HS hoàn thiện nội dung trong bảng 

Hàm số Tập xác định Tính f( x ) So sánh fx () và f( x ) Kết luận về tính chẵn lẻ 

của hàm số fx () 

f( x) sin x 

f( x) cos x 

f( x) tan x 

f( x) cotx 

HS: Nhận nhiệm vụ mà GV giao cho 

+/ Thực hiện nhiệm vụ : Các nhóm làm việc , lập báo cáo kết quả trả lời các câu hỏi trên 

+/Báo cáo kết quả và thảo luận 

-HS : Báo cáo kết quả trên bảng phụ sau đó treo kết quả lên bẳng để các nhóm khác quan sát , thảo luận , đánh giá


-GV : Quan sát các nhóm hoạt động , hỗ trợ , tư vấn học sinh. 



- GV:Nhận xét thái độ , kết quả làm việc của các nhóm. Nêu các kết luận của các nhóm sai hoặc chưa tìm ra phương án thực 

nghiệm . Kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS. Chốt lại kiến thức 

- HS:Ghi chép kiết thức vào vở. 

Chốt kiến thức : Hàm số 

c)Hoạt động 2.1.3 : Củng cố 

y cos x là hàm số chẵn . Các hàm số y sin x; y tan x; y cotx là hàm số lẻ 

VD 1: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là? D R \ k , k Z . 

2 

A. 

y 

2x 

1 . 

cos x 

B. y cot x . C. y cos x . D. 

y 

sin x 3 . 

sin x 

VD 2: Hàm số nào là hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây ? 

A.y x cos x . 

2 

B.y ( x 1)cos x C.y cos x.cotx 

2 

B.y ( x 1)tan x 

2.1. HTKT2: Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác 


- Mục tiêu: Nắm đượckhái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ T 

- Nội dung, phương thức tổ chức:Giáo viên trình chiếu câu hỏi , Học sinh làm việc cá nhân 

+/ Chuyển giao: Trả lời các câu hỏi sau 

Cho hàm số f( x) sin x; 

và g( x) tan x .. 

CH1: Hãy so sánh fx ( 2 ) và fx ().;x 

CH 2 : Hãy so sánh gx ( ) và gx ().; x R \ k , k Z 

2 

CH 3: Hày so sánh f( x k2 ) và fx () vói k Z; 

x R . 

CH 4: Hày so sánh g( x k ) và gx () vói k Z; x R \ k , k Z . 

2 

CH 5: Tìm số T dương nhỏ nhất thỏa mãn ( x T) 

R và f( x T) f( x), x R . . 

R 

CH 6: Tìm số T dương nhỏ nhất thỏa mãn ( x T) 

R và g( x T) g( x), x R. \ k , k Z . 

2 

+ Thực hiện:Học sinh suy nghĩ để trả lời câu hỏi 

+ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. 

+ Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải 

Khái niệm :Hàm số y f() 

x xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 sao cho với mọi x Dta có 

( x T) 

R và f( x T) f( x ). 

Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số y f() 

x được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T .

Kết luận : Hàm số y sin x; y cos x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 

Hàm số y tan x; y cot x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

b)Hoạt động 2.2.2:Củng cố 

VD 3: Chứng minh rằng hàm số 

y 

sin2x là hàm số tuần hoàn và tìm chu kỳ 

……………………………..Hết tiết 1………………………………………….. 

TIẾT 2 

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

1.HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

Kiểm tra bài cũ : Hãy ghép các ô với nhau để được một mệnh đề đúng? 

A.Hàm số y f() 

x là hàm số chẵn B.Đồ thị hàm số y f() 

x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 

C. Hàm số y f() 

x là hàm số lẻ D. Đồ thị hàm số y f() 

x nhận trục tung làm trục đối xứng. 

2.HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 

2.1 HTKT1:Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y sin x . 

a)Hoạt động 2.1.1:Sự biến thiên của hàm số y sin x. 


-Mục tiêu : Nắm được sự biến thiên của hàm số y sin x. 


- Nội dung , phương thức tổ chức : Giáo viên trình chiếu câu hỏi , gọi Học sinh trả lời. 

+/Chuyển giao : Trả lời các câu hỏi trong bảng sau 

CH1:Hãy so sánh 

y và 

6 

Cho hàm số y 

sin x 

y CH 2:Hãy so sánh 

3 

5 

y và y 

6 

2 

3 

CH3:Hãy só sánh y x và y x với x , x 0; , và x x CH4:Hãy só sánh y x và y x với x , x ; , và x x 

1 

2 

1, 2 

1 2 

1 

2 

1, 2 

1 2 

2 

2 

+ Thực hiện:Học sinh suy nghĩ để trả lời câu hỏi 

+ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. 

+ Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải 

Chốt kiến thức : Hàm số 

y sin x đồng biến trên 0; và nghịch biến trên ; 

2 2 

b)Giáo viên trình chiếu bảng biến thiên và đồ thị của hàm số 

y sin x trên đoạn 0;

c) Đồ thị của hàm số y sin x trên đoạn ; 

CH5: Có nhận xét gì về đồ thị hàm số 

Giáo viên trình chiếu đồ thị của hàm số 

y sin x trên các đoạn 0; và ;0 ? 

y sin x trên đoạn ; 

d) Đồ thị của hàm số y sin x trên tập xác định R 

Dựa vào tính tuần hoàn với chu kỳ 2 . Do đó muốn vẽ đồ thị của hàm số y sin x trên tập xác định R , ta tịnh tiến tiếp đồ thị 

hàm số 

y sin x trên đoạn ; theo các véc tơ v 2 ;0 và v 2 ;0 . 

Giáo viên trình chiếu đồ thị của hàm số y 

sin x trên tập xác định R 

CH6: Dựa vào đồ thị hàm số 

y sin x trên tập xác định R hãy chỉ ra điểm nằm trên đồ thị có tung độ nhỏ nhất và lớn nhât ? 

Giá trị lớn nhất của bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng -1 . Vậy Tập giá trị của hàm số là 1;1 . 

b)Hoạt động 2.1.2 : Củng cố 

Ví Dụ 1: Cho hàm số y 2 sinx 

4 

- Tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên R . 

- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 

3 

; 

6 4 .

2.1 HTKT2:Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y cos x . 

a)Hoạt động 2.2.1: Đồ thị hàm số y cos x . 

-Mục tiêu : Biết được dạng đồ thị của hàm số y cos x . 

-Nội dung , phương thức tổ chức : Giáo viên trình chiếu câu hỏi , gọi Học sinh trả lời. 

+/Chuyển giao : Trả lời các câu hỏi trong bảng sau 

CH1:Hãy so sánh sin 

x và cos x . 

2 

CH2:Từ đồ thị hàm số y f( x ) nêu cách vẽ đồ thị hàm số y f() 

x ( với là hằng số dương) 

CH3:Có thể nêu cách vẽ của đồ thị hàm số y cos x. 

thông qua đồ thị hàm số y sin x được không? 

+/ Thực hiện : Học sinh suy nghĩ để trả lời câu hỏi 

+/ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. 

+/ Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải 

Chốt kiến thức: Tịnh tiến đồ thị hàm số y sin x theo véc tơ v ;0 ( tức là sang bên trái một đoạn có độ dài bằng ) thì 

2 

2 

ta được đồ thị hàm số y cos x .. 

Giáo viên trình chiếu đồ thị hàm số y cos x . 

b)Hoạt động 2.2.2 : Củng cố 

Ví dụ 2.Cho hàm số y cos x ..Mệnh đề nào dưới đây sai? 

A.Hàm số đồng biến trên đoạn ;0 . B.Hàm nghịch biến trên đoạn 0; . 

C.Hàm số đồng biến trên đoạn 0; D.Hàm số nghịch biến trên ;0 

2 

Ví dụ 3: Cho hàm số y cos x .. Mệnh đề nào dưới đây sai? 

A.Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 1 B.Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1 

C.Đồ thị của hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng D.Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1 

Ví dụ 4: Tìm số nghiệm của phương trình 

3 

cos x trên khoảng 

4 

3 3 ; 

2 2 . 

A.1 B.2 C.3 D.4

Vái dụ 5. 

Giả sử một con tầu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ – ran 

(Cânveral) ở Mỹ . Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên 

một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo ) của mặt đất như hình vẽ 

bên . Điểm M mô tả cho con tầu , đường thẳng mô tả cho đường 

xích đạo . Khoảng cách h (kilômet) từ M đến được tính theo công 

thức h d , trong đó d 4000 cos ( t 10) . Với t (phút)là thời gia 

45 

trôi qua kể từ khi con tầu đi vào quỹ đạo , d 0 nếu M ở phía trên , 

d 0 nếu M ở phía dưới . 

Giả thiết con tầu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên mũi Ca-na-vơ – 

ran (tức là ứng với t=0) . Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đường 

thẳng , trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ – 

ran. 

……………………………..Hết tiết 2………………………………………….. 

TIẾT 3 

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC(tt) 



Nắm được tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn , chu kỳ , , , sự biến thiên và đồ thị của các hàm số 

và 

y 

cotx 


- Xác định được tập xác định, tập giá trị của các hàm số y tan x và y cotx 

- Nhận biết được tính tuần hoàn và xác định được chu kỳ của các hàm số y tan x và y cotx 

- Nhận biết được đồ thị các hàm số lượng giác từ đó đọc được các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số các hàm số 

y tan x và y cotx 






+ /Bồi dưỡng đạo đức nghề nghiệp, tình yêu thương con người, yêu quê hương, đất nước 



- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các 

tình huống. 



- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, mang internet, các phần mềm hỗ trợ học tập để 

xử lý các yêu cầu bài học. 





y 

tan x



2. Chuẩn bị của HS: 

+/ Đọc trước bài 

+/ Làm việc nhóm ở nhà, trả lời các câu hỏi được giáo viên giao từ tiết trước (thuộc phần HĐKĐ), làm thành file trình chiếu. 




số 


Sự biến thiên và bảng Đồ thị của hàm Đồ thị của hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất 

thị của hàm số trên nửa khoảng 

Tập giá trị của hàm số.Giải quyết một số 

0; . 

y tan x 

2 số 


0; 

2 có) 

Sự biến thiên và đồ biến thiên của hàm số trên nửa khoảng trên tập xác định và lớn nhất của hàm 



y cotx 









số 



số. Giải quyết một số 


có) 


Mức độ Nội dung Câu hỏi /bài tập 

Nhận biết 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y tan x ………………… 


Định nghĩa các hàm số lượng giác Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn ? 

A. y tan x . B. y cos x . C. y cot x . D. y sin x . 

Thông Tính tuần hoàn của hàm số y tan x 

Hàm số nào dưới đây là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 

hiểu 

2 

và y cotx 

A. y tan x . B. y cos x . C. y x . D. y x 3. 



Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau 

3 


x x 

Vận dụng 

1) y tan 2x 2) y 

cotx 

cao 

Chứng minh rằng hàm số y sin 3x là hàm số tuần hoàn 

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác 

và tìm chu kỳ 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y tan x 

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y cotx 

IV. Tiến trình dạy học 

Tiết 3 

1. Hàm số y = tan x 

HÐ1: KHỞI ĐỘNG. 

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

GỢI Ý

1.1. Cho hàm số y= tan x hãy xác định: 

a) Tập xác định của hàm số? 

b) Tập giá trị của hàm số? 

c) Tính chẵn, lẻ của hàm số? 

d) Chu kì của hàm số? 

1.2. Quan sát hình vẽ và trả lời câu hỏi 

Hàm số y= tan x đồng biến hay nghịch 

 

biến trong khoảng 0; 2 

? 

 

HĐ2: Hình thành kiến thức. 

 

2.1 Sự biến thiên của hàm số y= tan x trong nửa khoảng 0; 2 

 

 

Từ hình 1), ta thấy với x , x 0; 

1 2 2 

 

 

 

đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 . 

 

Bảng biến thiên 

x 

và 

1 2 

Hình 1 

x thì tan x tan x . Điều đó chứng tỏ hàm số y= 

tan x 

1 2 

x 0 

y= 

tan x 

0 

 

2 

+ 

Câu hỏi 1: Dựa vào tính chất hàm số lẻ hãy lập bảng biến thiên của hàm số 

Câu hỏi 2: Để vẽ đồ thị hàm số 

định nào? 

Đồ thị 

 

y= tan x trên khoảng − 

; 

2 2 

 

 

 

y= tan x trên khoảng − 

; 

2 2 

 

 

y 

y= tan x 

 

trong khoảng − 

;0 

2 

? 

 

ta cần vẽ trên đồ thị của nó trên khoảng xác 

3 

− 

2 

 

O 

− 2 

2 

3 

2 

x

2. Hàm số y = cot x 

HÐ3: KHỞI ĐỘNG. 

1.1 Cho hàm số y= cot x hãy xác định: 

i) Tập xác định của hàm số? 

ii) Tập giá trị của hàm số? 

iii) Tính chẵn, lẻ của hàm số? 

iv) Chu kì của hàm số? 

1.2 Quan sát bảng giá trị của y= cot x và trả lời 

câu hỏi: Hàm số 

y= cot x đồng biến hay 

nghịch biến trong khoảng ( 0; ) ? 

x 

cotx 

0 

 

6 

 

4 

GỢI Ý 

 

3 

 

2 

2 5 

3 6 

3 3 3 

1 0 − − 3 

3 3 

 

HĐ4: Hình thành kiến thức. 

2.1 Sự biến thiên của hàm số y cot 

Từ bảng giá trị trên ta thấy: Hàm số 

Bảng biến thiên 

= x trong nửa khoảng ( 0; ) 

y= cot x nghịch biến trong khoảng ( 0; ) 

Câu hỏi : Để vẽ đồ thị hàm số 

x 0 

y= cot x 

+ 

− 

y= cot x ta cần vẽ trên đồ thị của nó trên khoảng xác định nào? 

Đồ thị hàm số trên 

y= cot x khoảng ( 0; ) 

y 

O 

 

2 

 

x

II. 

Củng cố 

Phát phiếu học tập cho từng hs gồm các câu hỏi trắc nghiệm khách quan. Hs làm bài tập theo từng cá 

nhân. 

Câu 1: Mệnh đề nào đúng? 

a) Tập xác định của hàm số y= tan x là . 

b) Tập xác định của hàm số y= cot x là . 

 

c) Tập xác định của hàm số y= tan x là \{ + k} 

. 

2 

 

d) Tập xác định của hàm số y= cot x là \{ + k} 

. 

2 

Câu 2: Khẳng định nào đúng? 

a) Hàm số y= tan x đồng biến trên tập xác định. 

b) Hàm số y= cot x đồng biến trên tập xác định . 

c) Hàm số y= sin x đồng biến trên . 

d) Hàm số y= cos x đồng biến trên . 

Câu 3: Tập xác định của hàm số y = tan2x là: 

 

 

A. x + k 

B. x + k 

C. 

2 

4 

 

x + k 

D. 

8 2 

 

x + k 

4 2 

Câu 4: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? 

A. y = x.cosx B. y = x.tanx C. y = tanx D. 

1 

y = 

x 

Câu 5: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? 

A. y = sin x 

B. y = tanx + x C. y = x 2 +1 D. y = cotx 

x 


HĐ1. Khởi động 

1. Tìm tập giá trị của các hàm số : y = sin 2x 

2. Tìm TXĐ của hàm số 

HĐ 2. Bài tập 

5 

y = 

2 + sin 2x 

Bài tập 1. 

1. Tìm tập xác định của các hàm số 

2 

a) y = 

1 − sin x 

b) y= 2 + cos x 

Gợi ý

f x 

= 2018 + cos 

2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số ( ) 

2017 

3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

4 4 

a) 

y = sin x + cos x 

b) y = sin x −cos 

x 

x 

Bài tập 2. 

Gv phát phiếu học tập cho hs gồm các câu hỏi trắc nghiệm 

khách quan. 

3 

Câu hỏi 1. Với mọi k , tập xác định của hàm số y = sin x 

là 

A. x k 

B. x + k2 

C. x k D. x 

k2 

2 2 

Hs trả làm bài tập theo cá nhân 

Câu hỏi 2. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên TXĐ của nó 

A. y = sin x B. y = cos2x 

C. y= tan3x 

D. y= 

cot 3x 

2 

Câu hỏi 3. Tìm chu kì T của hàm số y= 2018 − 2sin x 

A. T = 2 

B. T = C. T = 3 

D. T = 

 

2 

Câu hỏi 4. Mệnh đề nào sau đây đúng ? 

 

a) Hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng 0; 

2 

 

b) Hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng ; 

2 

 

c) Hàm y= cos x đồng biến trên khoảng 0; 

2 

 

d) Hàm y= cos x đồng biến trên khoảng ; 

2 

Câu hỏi 5. Giá trị lớn nhất M của hàm số y = sin x + cos x là 

A. M =− 1 B. M = 1 C. M =− 2 D. M = 2 

Hoạt động vận dụng

Ví dụ 6. Một guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m , 

trục của nó đặt cách mặt nước 2m ( như hình vẽ bên). Khi guồng 

quay đều , khoảng cách h ( mét)từ một chiêc gầu gắn tại điểm A 

của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h y , trong 

1 

đó y 2 2,5 sin 2 ( x ) . Với x là thời gain quay của guồng 

4 

( x 0) , tính bằng phút ; ta quy ước rằng y 0 khi gầu ở bên 

trên mặt nước và y 0 khi gầu ở dưới mặt nước . 

a)Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất. 

b)Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất

CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (10 TIẾT) 




gian 

Tiết 1 HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

KT 1: Phương trình sin x a 

KT 2:Phương trình cosx a 

Tiết 2 KT 3: Phương trình tan x a 

HOẠT ĐỘNG HÌNH KT4 : Phương trình cotx a 

Tiết 3 THÀNH KIẾN KT5:Phương trình bậc nhât đối với một hàm số lượng giác 

Tiết 4 THỨC 

KT6: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 

Tiết 5 KT8:Phương trình 

2 2 

Tiêt 6 

Tiết 7 

Tiết 8 

Tiết 9 

Tiết 10 

HOẠT ĐỘNG 

LUYỆN TẬP 

HOẠT ĐỘNG VẬN 

DỤNG 

HOẠT ĐỘNG TÌM 

TÒI, MỞ RỘNG 

asinx bcosx c a b 

KT7: Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với 

một hàm đô lượng giác. 




+/ Nắm được công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản 

+/ Nắm được cách giải phương trình bậc nhất , bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 

2 2 

+/Nắm được cách giải phương trình a sin x b sin x.cos x c.cos 

x d 

+/Nắm được cách giải phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx 


+/ Biết sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản để giải bài tâp 

+/ Nhận biết và giải được phương trình bậc nhất , bậc hai , bậc cao đối với một hàm số lượng giác 

+/ Biết cách biến đổi biểu thức a sin x b cos x và giải phương trình a sin x b cos x c 

+/Biết cách giải một số phương trình dùng công thức hạ bậc , công thức biến đổi tổng thành tích ,nhân đôi…. 

+/Tìm nghiệm của phương trình trên một tập K cho trước,… 

+/Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 

+/ Tìm được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số lượng giác nhờ vào việc tìm điều kiện phương trình có nghiệm 






+ /Bồi dưỡng đạo đức nghề nghiệp, tình yêu thương con người, yêu quê hương, đất nước. 


- Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động. 

- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và 

các tình huống. 



- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, mang internet, các phần mềm hỗ trợ học tập 

để xử lý các yêu cầu bài học. 



0





2.Chuẩn bị của HS: 


+/ Làm việc nhóm ở nhà, trả lời các câu hỏi được giáo viên giao từ tiết trước (thuộc phần HĐKĐ), làm thành file 

trình chiếu. 





Phương trình sin x a Học sinh 

nắm được 

công thức 

nghiệm 

Phương trình cosx a Học sinh 


công thức 

nghiệm 

Phương trình tan x a Học sinh 


công thức 

nghiệm , 

điều kiện 

xác đinh 

của phương 

trình 

Phương trình cotx a Học sinh 


công thức 

nghiệm , 

điều kiện 

xác đinh 

của phương 

Phương trình bậc nhât đối với 

một hàm số lượng giác 

Phương trình bậc hai đối với 

một hàm số lượng giác 

trình 

Học sinh 

nhận biết 

được 

phương 

trình và 

cách giải 

Học sinh 

nhận biết 

được 

phương 

trình và 

cách giải 

Học sinh áp dụng 

công thức nghiệm 

để giải các phương 

trình đơn giản 













Học sinh biết cách 

đưa về phương 

trình cơ bản và 

giải tìm nghiệm 

Học sinh giải được 

phương trình 

(bằng phương 

pháp đặt ẩn phụ) 

Học sinh giải 


sinu 

cosv và tìm 

điều kiện phương 

trình có nghiệm ,.. 



2 2 

sin u a;cos 

u a 

và tìm điều kiện 

phương trình có 

nghiệm ,.. 



tan u cotv. 

Phương trình có 

loại nghiệm 



tan u cotv. 

Phương trình có 

loại nghiệm 

Sử dung một số 

công thức lượng 

giác để chuyển về 

phương trình bậc 

nhất rồi giải 




phương trình bậc 

hai rồi giải 

Tìm nghiệm của 

phương trình trên 

tập K và giải 

quyết một số bài 

toán thực tế (nếu 

có) 



tập K và giải 



có) 



tập K .Giải quyết 

một số bài toán 

thực tế (nếu có) 



tập K .Giải quyết 



Tìm điều kiện để 

phương trình có 

nghiệm trên tập 

K cho trước. Giải 



có) 

Giải các phương 

trình đưa về bậc 

cao đối với một 

hàm số lượng 

giác.Tìm điều 

kiện để phương

Phương 

trình 

2 

a sin x b sin x.cos x 

2 

c.cos 

x d 

Phương trình 

asinx bcosx c a b 

2 2 

0 

Học sinh 

nhận biết 

được 

phương 

trình và 

cách giải 

Học sinh 

nhận biết 

được 

phương 

trình và 

cách giải 


tìm được nghiệm 

của phương trình 


tìm được nghiệm 

của phương trình 




phương trình dạng 

đó rồi giải 




phương trình dạng 

đó rồi giải . Tìm 

điều kiện phương 

trình có nghiệm 

trình có nghiệm 

trên tập K cho 

trước. Giải quyết 



Tìm Giá trị nhỏ 

nhất và lớn nhất 

của hàm số . Giải 



có) 

Tìm Giá trị nhỏ 

nhất và lớn nhất 

của hàm số . Giải 



có) 


VÍ dụ : 

Mức độ Nội dung Câu hỏi / Bài tập 

Phương trình VD1 ) Mệnh đề nào sau đây đúng? 

sin x a 

x k2 

A. sin x sin 

B. sinx 

sin 

x k2 

x 

k2 

x 

k2 

Nhận biết 

Thông 

hiểu 

Vận dụng 

Vận dụng 

cao 

…… 

….. 

…… 

…… 


sin x a 

….. 

…… 

…… 

….. 


sin x a 

…… 

……. 

…… 

……. 

C. 

sin x 

sin 

x 

x 

k2 

k2 

VD 2)Giải các phương trình sau : 

D. sin x sin 

a)sin x sin b)sin x 0,5 

7 

VD 3) Giải phương trình sau sin 5x 

cos x 


sin x a VD 4) Tìm số nghiệm của phương trình 

….. 

….. 

….. 

…… 

sin 

3 

x 

x 

x trên đoạn 0;2 

2 

k 

k


Ta xét bài toán : Một vệ tinh nhân tạo bay quanh 

trái đất theo một quỹ đạo hình Elips . Độ cao h ( 

tính bằng kilômet) của vệ tinh so với bề mặt trái đất 

được xác định bởi công thức 

h 

550 450 cos . 

50 

t Trong đó t là thời gian tính 

bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo . 

Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khoa học 

khi vệ tinh cách mặt đất 250km. Bài toán này dãn 

đến việc giải phương trình 

550 450 cos 250. 

50 t hay 2 

cos t . 50 3 

Nếu đặt 50 

t 

x thì phương trình trên có dạng 

cosx 

2 

3 

. Trên thực tế có rất nhiều bài toán dẫn 

đến giải phương trình có một trong các dạng sau: 

sin x a;cos x a;tan x a;cot x a . . Đó là các 

phương trình lượng giác cơ bản. 

TIẾT 1 

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

a)Mục tiêu: Tạo ra tình huống để học sinh tiếp cận khái niệm phương trình lượng giác cơ bản và 

một số ví dụ minh họa cho phương trình sinx=a, cosx=a, tanx=a, cotx=a. 

b) Nội dung, phương thức tổ chức: 

+ Chuyển giao: Hôm trước các em đã được học các hàm số lượng giác và các tính chất của nó, ở 

lớp 10 các em đã được học các công thức lượng giác. Sau đây hãy trả lời các câu hỏi sau: 

-Tình huống 1: Với mỗi điểm M trên đường tròn lượng giác ta xác định được bao nhiêu góc (cung) 

lượng giác có điểm đầu là điểm A, điểm cuối là điểm M. 

-Tình huống 2:Với mỗi số thực m ta tìm được bao nhiêu điểm M(x,y) để: 

+ Sinm = y

+ Cosm = x 

- Tình huống 3: Tìm x biết Sinx = 0,5; Sinx = 1; Sinx = − 1; Sinx = 0; Sinx = 3; Sinx = − 4 

- Tình huống 4: Tìm x biết Cosx = 0,5; Cosx = 1; Cosx = − 1; Cosx = 0; Cosx = 2; Cosx = − 2 

+ Thực hiện: chia lớp học thành 4 nhóm cho thảo luận báo cáo kết quả trên giấy 

+ Báo cáo, thảo luận: các nhóm trình bày kết quả vào giấy cử đại diện báo cáo, các nhóm 

khác thảo luận cho ý kiến 

+Đánh giá: Giáo viên nhận xét đánh giá chung và dẫn dắt vào bài mới. 

c)Sản phẩm: Các bài làm của học sinh trên khổ giấy A0. 

2. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 

2.1. HTKT1: Phương trình Sinx = a 

Hoạt động 2.1. 

- Mục tiêu: Tiếp cận phương trình Sinx = a, biết cách giải phương trình Sinx = a, 

- Nội dung, phương thức tổ chức: 

+ Chuyển giao: Các em vừa theo dõi các bạn trình bày một số khởi động ở trên. Hãy 

cho cô nhận xét về điều kiện của a để phương trình có nghiệm 

+ Thực hiện: Học sinh quan sát các khởi động và trả lời 

Giáo viên trình chiếu đường tròn lượng giác cho học sinh quan sát rút ra công thức nghiệm: 

1. Phương trình sinx = a 

• a > 1: PT vô nghiệm 

• a 1: PT có nghiệm 

x = arcsin a + k2 , k Z; 

x = − arcsin a + k2 , k Z; 

Chú ý: 

a) Sinx = Sinm 

b) Sinf(x) = Sing( m) 

 

x = m + k2 

 

( k 

Z) 

x = − m + k2 

f ( x) = g( x) + k2 

 

( k 

Z) 

f ( x) = − g( x) + k2 

0 

c) Sinx Sin 

= 

0 0 

x = + k360 

 

( k 

Z) 

0 0 0 

x 

= 180 − + k360

d) Các trường hợp đặc biệt 

 

Sinx = 1 x= + 2k 

2 

 

Sinx = −1 x= − + 2k 

2 

Sinx = 0 x= 

k 

VD1: giải phương trình 

a) 

Sinx 

3 

2 

= b) 

Sinx =− 

2 

2 

VD2: giải phương trình: 

a) 

Sin 1 

2 x = 2 

b) Sin( 45 0 ) 

2 

2 

x + = c) Sin3x 

= Sin2x 

xét. 

+ Báo cáo, thảo luận: gọi học sinh lên trình bày bảng, các học sinh còn lại thảo luận, nhận 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp kiến thức: Trên cở sở bài làm và nhận xét của học sinh, giáo 

viên tổng hợp kiến thức yêu cầu học sinh chữ bài vào vở. 

-Sản phẩm: Học sinh nắm được cách giải phương trình Sinx = a các công thức nghiệm và các bài 

giải thu được ở các ví dụ. 

2.1. HTKT2: Phương trình a) Cosx = a 

Hoạt động 2.2. 

2. Phương trình Cosx = a 

a > 1: PT vô nghiệm 

a 1: PT có nghiệm 

x = arccos a + k2 , k Z; 

x = − arccos a + k2 , k Z; 

Chú ý: 

a) cosx=cosm 

x = m + k2 

 

( k 

Z) 

x = − m + k2 

b) Cosf ( x) = Cosg( x) f ( x) = g( x) + 2 k, 

k Z

c) cosx = cos 0 x = 0 + k360 0 , k Z 

d) Các trường hợp đặc biệt 

cosx = 1 x = k2 

cosx = –1 x = + k2 

 

cosx = 0 x = + k 2 

VD1: Giải các phương trình: 

a) 

Cosx 

= b) 

Cos 

6 

1 

Cosx = c) 

2 

Cos2x =− 

2 

2 

VD2: Giải các phương trình:: 

a) 

Cos 1 

2 x = 2 

b) ( 45 0 ) 

2 

2 

Cos x + = c) Sin3x 

= Cos2x 

VD3: Giải các phương trình: 

a) Cos2x 

= Sinx b) Sin3x 

= Cosx c) Cos2x 

= Sinx 

- Mục tiêu: Tiếp cận phương trình Cosx = a , biết cách giải phương trình Cosx = a , 


+ Chuyển giao: Các em vừa theo dõi các bạn trình bày một số khởi động ở trên. Hãy cho 

cô nhận xét về điều kiện của a để phương trình có nghiệm 

+ Thực hiện: Học sinh quan sát các khởi động và trả lời 

Giáo viên trình chiếu đường tròn lượng giác cho học sinh quan sát rút ra công thức 

nghiệm 

xét. 

+ Báo cáo, thảo luận: gọi học sinh lên trình bày bảng các học sinh còn lại thảo luận, nhận 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp kiến thức: Trên cở sở bài làm và nhận xét của học sinh, giáo 

viên tổng hợp kiến thức yêu cầu học sinh chữ bài vào vở. 

- Sản phẩm: Học sinh nắm được cách giải phương trình Cosx = a các công thức nghiệm và các bài 

giải thu được ở các ví dụ.

Tiết 2 

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH tan x = a,cot 

x = a 

1. HTKT1: Giải phương trình tan x= 

a 

a) HĐ 1.1: Khởi động 

- Mục tiêu: Tiếp cận phương trình tan x= a . Hình thành công thưc nghiệm. 



L: Học sinh làm việc cá nhân giải quyết câu hỏi sau. 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ để trả lời câu hỏi 

+ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh trả lời câu hỏi , các học sinh khác đánh giá lời giải. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời 

giải 

Câu hỏi 

Gợi ý 

H1. Nêu tập giá trị của hàm số y = tanx Đ1. R. 

H2. Nêu chu kì của hàm số y = tanx ? Đ2. . 

H3: Dựa H.16 có nhận xét gì về hoành độ giao điểm của 

đồ thị hàm số y= tan x và đường thẳng y=a? 

Đ3: Hoành độ của mỗi giao điểm hơn kém 

nhau bội của 

b) HĐ 1.2: Hình thành kiến thức 

- Mục tiêu: HS nắmđược công thức nghiệm và áp dụng làm VD 



L: Học sinh ghi bài và làm các VD 

+ Thực hiện: Học sinh trao đổi nhóm tìm lời giải 

+ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh lên bảng làm VD 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên 

chuẩn hóa lời giải 

3. Phương trình tanx = a 

• ĐK : x 2 

+ k (k Z). 

• PT có nghiệm: x = arctana + k, k Z; 

Chú ý a) tanx= tan x = + k 

( k Z) 

b) tanf(x) = tang(x) f(x) = g(x) + k, k Z 

c) tanx = tan 0 x = 0 + k180 0 , k Z 

Câu hỏi 

Gợi ý

Câu 1: Phương trình lượng giác : 3.tan x − 3 = 0 có 

nghiệm là : 

 

 

A. x = + k 

B. x = − + k2 

3 

3 

 

 

C. x = + k 

D. x = − + k 

6 

3 

Câu 2: Phương trình lượng giác : 3.tan x + 3 = 0 có 


 

 

A. x = + k 

B. x = − + k2 

3 

3 

 

 

C. x = + k 

D. x = − + k 

6 

3 

ĐA: A 

ĐA: B 

Câu 3: Giải phương trình: 

a) tan x= 1 

b) tan x=− 1 

c) tan x= 0 

a) tanx = 1 x = 4 

+ k 

b) tanx = –1 x = – 4 

+ k (k Z). 

c) tanx = 0 x = k 

c) HĐ 1.3: Củng cố 

- Mục tiêu: HS áp dụng công thức nghiệm vào GPT 



L: Học sinh thảo luận theo nhóm giải quyết câu hỏi sau. 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm ví dụ vào giấy nháp. 

+ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh mỗi nhóm trình bày lời giải 1 ý, các học sinh khác đánh giá 

lời giải. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Giáo viên chuẩn hóa lời giải 

a) tanx = 

1 

3 

VD1:Giải các phương trình sau 

a) x = 6 

+ k (k Z). 

GỢI Ý 

b) tanx = 5 b) x = arctan5 + k (k Z). 

c) tan(x + 45 0 ) = 

3 

3 

c) x + 45 0 = 30 0 + k180 0 (k Z). 

d) tan2x = tanx d) ĐK: 

2x = x + k x = k (k Z). 

Đối chiếu điều kiện: x = k 

2) HĐKT2: Giải phương trình cot x= 

a 

a) HĐ 2.1: Khởi động 

- Mục tiêu: Tiếp cận phương trình cot x= a. Hình thành công thưc nghiệm. 

- Nội dung, phương thức tổ chức:


L: Học sinh làm việc cá nhân giải quyết câu hỏi sau. 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ câu trả lời. 

+ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh trả lời câu hỏi 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: GV giới thiệu kí hiệu arccot và nêu công thức nghiệm. HS 

viết bài vào vở.. 

Sau đó cho HS làm việc nhóm trả lời câu hỏi H3, ghi các trường hợp đặc biệt 

Câu hỏi 

H1. Nêu tập giá trị của hàm số y = cotx Đ1. R. 

GỢI Ý 

H2. Nêu chu kì của hàm số y = cotx ? Đ2. . 

H3: : Dựa H.17 có nhận xét gì về hoành độ giao điểm 

của đồ thị hàm số y= cot x và đường thẳng y=a? 

Đ3: Hoành độ của mỗi giao điểm hơn kém 

nhau bội của 

b) HĐ 2.2: Hình thành kiến thức 

- Mục tiêu: HS nắm được công thưc nghiệm. 



L: Học sinh ghi bài và làm các VD. 

+ Thực hiện: Học sinh ghi bài và làm VD ra giấy nháp 

+ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh trả lời câu hỏi 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: GV chuẩn hóa lời giải 

4.Phương trình: cotx = a 

• ĐK: x k (k Z). 

• PT có nghiệm: x = arccota + k, k Z; 

Chú ý: 

a) cotf(x) = cotg(x) f(x) = g(x) + k, k Z 

b) cotx = cot 0 x = 0 + k180 0 , k Z 

Câu hỏi 

Câu 1: Phương trình lượng giác : 3.cot x − 3 = 0 có 


 

 

A. x = + k 

B. x = − + k2 

3 

3 

 

 

C. x = + k 

D. x = − + k 

6 

3 

Câu 2: Phương trình lượng giác : 3.cot x + 3 = 0 có 


 

 

A. x = + k 

B. x = − + k2 

3 

3 

 

 

C. x = − + k 

D. x = − + k 

6 

3 

ĐA: A 

ĐA: B 

Gợi ý 

Câu 3: Giải phương trình: 

 

a)cot x = 1 

a) cot x = 1 x = + k 4

)cot x=− 1 

c)cot x= 0 

 

b)cot x =−1 x = – + k (k Z). 

4 

c) cot x = 0 x = + k 

2 

c) HĐ 2.3: Củng cố 

- Mục tiêu: HS áp dụng công thức nghiệm vào GPT 



L: Học sinh thảo luận theo nhóm giải quyết câu hỏi sau 

+ Thực hiện: HS trao đổi theo nhóm lời giải 

+ Báo cáo, thảo luận: Gọi mỗi nhóm 1 hs lên trình bày LG 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: GV chuẩn hóa LG 


 

a) cotx = cot 5 

b) cotx = – 3 

GỢI Ý 

a) x = 5 

+ k(k Z). 

b)x = – 6 

+ k(k Z). 

c) cotx = 5 c)x = arccot5 + k(k Z). 

d) 

( ) 

0 3 

cot 3x + 10 = 

3 

d)3x + 10 0 = 60 0 + k180 0 (k Z). 


a)tan2x =1 

a)2x = 4 

+ k (k Z). 

GỢI Ý 

b) 

cot 

+ = − 

 

3 x 

6 

1 

b) 

 

3x+ = − + k (k Z). 

6 4 

c) ) cos2x.tanx = 0 

 

c) ĐK:cosx 0 x + k 2 

 

cos 2x = 0 2x= + k 

pt 

 

2 

tan x = 0 

x= 

k 

(k Z). 

k 

x = + 

4 2 

x= 

k

ĐCĐK: Thỏa mãn 

d) 

sin3x.cotx = 0 

d)ĐK:sinx 0 x k 

k 

3x= k 

x = 

sin 3x 

= 0 3 

pt 

 

cot x = 0 x= + k 

 

2 x= + k 

2 

2 

ĐCĐK: x = + k; x = + k; 

x = + k 

(k Z). 

3 3 2 

Tiết 3 

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC THƯỜNG GẶP 

-. Mục tiêu: Nắm được dạng PT và cách giải PT bậc nhất, PT qui về PT bậc nhất 

- Nội dung: Đưa ra phần lý thuyết và bài tập ở mức độ NB, TH 

- Phương thức tổ chức : Thuyết trình, tổ chức hoạt động nhóm 

- Sản phẩm: HS nắm được cách giải PT bậc nhất, và PT đưa về PT bậc nhất 

I. HĐKT 1: Khởi động 

- Mục tiêu: Nhận biết dạng PT bậc nhất. 


+ Chuyển giao:: Học sinh giải quyết câu hỏi sau. 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và trả lời câu hỏi. 

+ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trả lời câu hỏi, các học sinh khác đánh giá lời giải. 


giải, từ đó GV định nghĩa. HS viết bài vào vở.. 

Câu hỏi 

H1: Nêu định nghĩa PT bậc nhất đối với x ? Đ 1; Dạng ax+b=0 

Gợi ý 

H2: Hãy phát biểu PT bậc nhất đối với 1 HSLG? Đ 2: HS phát biểu định nghĩa 

H3: Cho các VD về PT bậc nhất đối với 1 hàm số LG? 

Đ 3: . 2sinx – 3 = 0; 

2sinx – 3 = 0; 3 tanx + 1 = 0 

II. HĐKT 2: Hình thành kiến thức 

- Mục tiêu: Nhận biết dạng PT bậc nhất., cách giải PT bậc nhất , 


+ Chuyển giao:: Học sinh giải quyết câu hỏi sau. 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và trả lời câu hỏi.và ghi bài 

+ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trả lời câu hỏi, các học sinh khác đánh giá lời giải. 


giải, từ đó GV định nghĩa. HS viết bài vào vở..

Ta có định nghĩa sau: 

1. Định nghĩa: 

PT bậc nhất đối với 1 HSLG là PT có dạng at + b = 0 

Trong đó a, b là các hệ số (a 0), t là 1 trong các HSLG 

2.Cách giải phương trình bậc nhất đối với 1 HSLG: Đưa về PTLG cơ bản 

III) HĐ 3: Củng cố 

- Mục tiêu: HS áp dụng công thức nghiệm vào GPT và PT qui về PT bậc nhất 



L: Học sinh thảo luận theo nhóm giải quyết câu hỏi sau 

+ Thực hiện: HS trao đổi theo nhóm lời giải 

+ Báo cáo, thảo luận: Gọi mỗi nhóm 1 hs lên trình bày LG 1 ý 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: GV chuẩn hóa LG 


a) . 2sinx – 3 = 0; 

b)2sinx – 3 = 0 

c) 3 tanx + 1 = 0 

d)2cosx – 3 = 0 

3. Cách giải PT đưa về PT bậc nhất 

Gợi ý 

 

2 

3 

x= + k 

3 

a) pt sinx = 

( k Z) 

2 2 

x= + k2 

3 

b)pt sinx = 3 > 1: PT VN 

2 

c)Pt tanx = – 1 3 x = – + 

6 

k 

3 

d) pt cos x = x = + k2 ( k Z) 

2 3 

Ví dụ 2 

Gợi ý 

H1: Khai triển sin2x? Đ1 sin2x = 2sinx.cosx 

H2:Nêu cách giải phương trình tích? 

Đ2 A.B = 0 

A = 

B 

= 

0 

0 

VD: GPT sau: 

a) (sinx + 1)(2cos2x – 2 ) = 0 

b) 5cosx – 2sin2x = 0 

c) 8sinx.cosx.cos2x = –1 

d) sin 2 x – sinx = 0 

Đ3 

sin x =−1 

a)PT 

 

2 

cos2x 

= 

2 

b) PT cosx(5 – 4sinx) = 0 

c) PT 2sin4x = –1 

d) PT sinx(sinx – 1) = 0 

VD3: Giải phương trình sau: 

Gợi ý 

a) 2sin2x + 2 sin 4x = 0 

a) PT 2sin2x(1 + 2 cos2x) =0

)2cos 2 x – 1 = 0 b) PT cos2x = 0 

c)sinx + sin2x + sin3x = 0 c) PT sin2x(2cosx + 1) = 0 

d) sinx + cosx = 1 

 

PT 2 sin x 

+ = 

d) 

4 

1 

Tiết 4 

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

1) Hoạt động khởi động. 

a. Mục tiêu: 

-Nắm được cách giải phương trình bậc hai và công thức nghiệm 

b) Nội dung và phương thức tổ chức. 

- Chuyển giao: Các nhóm (4 nhóm) nêu cách giả và lấy ví dụ minh họa. 

- Thực hiện: 4 nhóm thực hiện. 

- Báo cáo, thảo luận: Các nhóm báo cáo kết quả. 

- Đánh giá: Giáo viên đánh giá các nhóm. 

c) Sản phẩm 

2 

2 '2 

Kết luận: Phương trình bấc hai là phương trình có dạng ax bx c 0 a 0 Ta có: = b − 4 ac ( ' = b − ac) 

+ 0: 

Phương trình vô nghệm 

−b 

+ = 0: Phương trình có nghiệm kép x 1 

= x 2 

= 

2a 

+ 0: 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt 

−b 

− 

x1 

= 

2a 

− b + 

x2 

= 

2a 

2) Hoạt động hình thành kiến thức. 

2.1) Hoạt động kiểm tra 1: Định nghĩa 


- Mục tiêu: Nắm được định nghĩa phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 

- Nội dung, phương thức, tổ chức. 

+Chuyển giao: Các nhóm nêu đinh nghĩa phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 

+ Thực hiện: 4 nhóm thực hiện. 

+ Báo cáo, kết quả thảo luận: Các nhóm báo cáo kết quả. 

- Sản phẩm: 

+ Định nghĩa: phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng 

2 

at + bt + c = 0 ( a, b, c R ( a 0) 

và t là một trong các hàm số lượng giác). 

b) Hoạt động 2.1.2: Các nhóm tự lấy ví dụ minh họa. 

2.2.0) Cách giải. 

a) Hoạt động 2.2.1: Cách giải. 

- Mục tiêu: Nêu được cách giải các phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 

- Nội dung, phương thức tổ chức. 

+ Chuyển giao: Các nhóm tìm cách giải. 

+ Thực hiện: 4 nhóm thực hiện. 

+ Báo cáo, thảo luận: 4 nhóm báo cáo kết quả. 

+ Đánh giá: Giáo viên

- Sản phẩm: 

Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình 

theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. 

b) Hoạt động 2.2.2: Ví dụ minh họa. 

- Mục tiêu: Giải được ví dụ giáo viên đưa ra. 


+ Chuyển giao: Các ví dụ đối với từng nhóm. 

+ Thực hiện: Giải ví dụ. 

+ Báo cáo, thảo luận: Giáo viên nhận xét 4 báo cáo. 

2 

- Sản phẩm: Giải phương trình sau: 2sin + 2 sinh 2− 2 = 0 

Giải 

Đặt sin2x=t ( −1 t 1) (*) 

+ − = 

2 

2t 

2t 

2 0 

t =− 2 (lo¹i) 

 

2 

t 

= (tháa m·n) 

2 

Vây ta có 

 

2x 

k2 

x k 

2 

= + 

4 

= + 

8 

sin2x 

= sin 2x 

= sin 

 

2 4 3 

3 

2x = + k2 

x = + k 

4 

8 

2.3) Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 

2.3.1) Hoạt động 1: Nhắc lại kiến thức cũ. 

- Mục tiêu: Nắm được các công thức lượng giác. 


+ Chuyển giao: Yêu cầu nhắc lại: 

- Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. 

- Công thức cộng. 

- Công thức nhân đôi. 

- Công thức biến đổi tích ->tổng, tổng -> tích. 

+ Thực hiện: 4 nhóm thực hiện 

+ Báo cáo, thảo luận: 4 nhóm báo cáo. 

+ Đánh giá: Giáo viên nhận xét. 

- Sản phẩm: Các công thức lượng giác. 

2.3.2) Hoạt động 2: Ví dụ minh họa. 

- Mục tiêu: Giải được các phương trình lượng giác giáo viên đưa ra. 


+ Chuyển giao: 3 ví dụ tới 4 nhóm. 

+ Báo cáo thảo luận: 4 nhóm báo cáo kết quả. 

+ Đánh giá: Giáo viên nhận xét. 

- Sản phẩm: Giải các phương trình lượng giác sau 

2 

* 6cos x + 5sinx− 2 = 0(1) 

Giải: 

2 

6(1 − sin x) + 5sinx− 2 = 0 

(1) 

2 

− 6sin + 5sinx+4=0 

Đặt sinx = t ( −1 t 1)

2 

− 6t + 5t + 4 = 0 

4 

t 

= (lo¹i) 

 

3 

 

1 

t =− (tháa m·n) 

2 

1 

Vậy ta có: sinx =− 

2 

 

sinx = sin( − ) 

6 

 

 

x= − + k2 

6 

 

(k Z) 

7 

x= + k2 

6 

* : 3tanx-6cotx+2 3 − 3 = 0(2) 

+) Điều kiện: sinx 0 và cosx 0 (*) 

Ta có : 

1 

3 tan x-6. + 2 3 − 

tan x 

3 = 0 

+ − − = 

Đặt tan x =t ta có. 

2 

3 t = (2 3 −3).t − 6 = 0 

2 

3 tan x (2 3 3) tan x 6 0 

t = 3 

 

t 

=− 2 

Ta có 

 

tanx = 3 tanx = tan x = + k (k Z ) 

3 3 

tanx = −2 x = arc tan( − 2) + k (k Z ) 

Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện (*) 

 

Vậy phương trình có nghiệm là : x = + k 

và x = arc tan( − 2) + k (k Z ) 

3 

(*) 2sin 2 x− 5sinx.cosx− cos 2 x = −2 (3) 

 

Trường hợp 1 : cos x = 0 x = + k 

, k Z không phải là nghiệm của phương trình (3) 

2 

Trường hợp 2 : cos x 0 

2 

Chia cả hai vế phương trình (3) cho cos x ta được. 

2 

−2 

2 tan x− 5tan x− 1 = cos 

2 

x 

2 

4 tan x − 5tanx+ 1 = 0 

 

tan x = 1 

 

x= + k 

4 

 

1 

(k Z) 

tan x = 1 

4 x= arctan + k 

4

x= + k 

4 

Vậy phương trình có nghiệm là : 

(k Z) 

1 

x= arctan + k 

4 

Tiết 5: 

2 2 

a sin x + bcos x = c( a + b 0) 


I.HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG: Kiểm tra bài cũ. 

Nối cột A với cột B để cho công thức đúng. 

A 

B 

cos( a− b) 

= sin acos b+ 

cos asin 

b 

cos( a+ b) 

= sin acos b− 

cos asin 

b 

sin( a− b) 

= cosa cos b− 

sin asin 

b 

sin( a+ b) 

= cosa cos b+ 

sin asin 

b 

II.HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 

II.1. Biến đổi biểu thức: 

2 2 

a sin x + bcos x,( a + b 0) 

- Mục tiêu: Nắm được cách biến đổi biểu thức 

2 2 

a sin x bcos x,( a b 0) 

+ + về dạng 

2 

a + b 2 sin( x + ) 

, với là số thỏa mãn 

a 

b 

cos 

= ,sin 

= 

a + b a + b 


+ Chuyển giao: Hãy chứng minh công thức sau: 

Câu hỏi 

CH1: Chứng minh rằng: 

A=a sin x + bcos 

x 

 

a 

2 2 

= a + b sinx + 

2 2 2 2 

 

CH2: Tính: 

2 2 2 2 

2 2 2 2 

a sin x bcos x a b sin( x ),( a b 0) 

b 

a + b a + b 

+ = + + + (*) 

Với 

2 2 

a 

b 

cos 

= ,sin 

= . 

2 2 2 2 

a + b a + b 

Gợi ý 

2 2 

+,Vì a + b 0 nên ta viết được biểu 

thức dưới dạng trên. 

 

cosx 

 

a b 

I = + 

2 2 2 2 

a + b a + b 

CH3: Với 

a 

b 

cos 

= ,sin 

= , hãy thu 

2 2 2 2 

a + b a + b 

gọn biểu thức A? 

+, I=1 

+, Ta 

có 

. 

( sin x cos 

cos sin) 

2 2 

A = a + b + x 

( ) 

2 2 

= a + b sin x +

+ Thực hiện nhiệm vụ: HS chú ý lắng nghe và trả lời các câu hỏi gợi ý. 

+ Báo cáo, thảo luận: GV yêu cầu 1 HS trình bày từng bước. các HS khác chú ý và nhận xét. 

+ Đánh giá: GV chuẩn hóa lại kiến thức, từ đó đưa ra hoạt động tiếp theo. 

2 2 

II.2. Cách giải phương trình dạng a sin x + bcos x = c,( a + b 0) . 

- Mục tiêu: Nắm được cách giải và giải được phương trình trên. 


+ Chuyển giao: Nêu cách giải phương trình trên? 

Câu hỏi 

Gợi ý 

CH1: Áp dụng công thức (*), đưa phương 

2 2 

a + b sin( x + ) 

= c 

trình về dạng PTLG cơ bản? 

PT 

c 

sin( x + ) 

= 

2 2 

CH2: PT trên có nghiệm khi nào? 

a + b 

PT có nghiệm khi 2 2 

a + b 

c 

1 

c a + b 

2 2 2 


+ Báo cáo, thảo luận: GV yêu cầu 1 HS trình bày từng bước. các HS khác chú ý và nhận xét. 

+ Đánh giá: GV chuẩn hóa lại kiến thức, từ đó đưa ra hoạt động luyện tập. 

I. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 

-Mục tiêu : Vận dụng lí thuyết trên để giải các phương trình ở mức độ nhận biết , thông hiểu , vận dụng. 

-Nội dung , phương thức tổ chức 

+/Chuyển giao : 

Ví dụ 1:Giải các phương trình sau sin x 3 cos x 1 

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì phương trình 2sin 2x 

+ 5cos2x 

= m có nghiệm. 

+/Thực hiện nhiệm vụ :Học sinh độc lập làm việc 

+/ Báo cáo, thảo luận : Gọi học sinh lên chữa Ví dụ 1, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. 

+ /Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở lời giải của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải 

- Sản phẩm: Lời giải :\ 

VD1: 

sin x 3 cosx 

1 

1 3 1 

sin x cosx 

2 2 2 

sin 

x 

1 

3 2 

x k2 x k2 

3 6 6 ( k Z). 

5 

x k2 x k2 

3 6 2 

VD2: Phương trình có nghiệm khi

m 

( ) 2 

5 + 2 

2 2 

−3 

m 3 

IV.HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI , MỞ RỘNG 

-Mục tiêu : Giúp học sinh gắn kiến thức phương trình lượng giác vào trong các môn học và trong cuộc sống 

thực tế hàng ngày 


+/Chuyển giao 

Giáo viên đưa ra một bài toán hiện tượng trong vật lý. 

Ví dụ 3 : Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo , 

chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng (như 

hình vẽ bên). Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí 

cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo công 

thức h d trong đó d 5 sin 6t 6 cos 6t , với d 

được tính bằng cm , ta quy ước rằng d 0 khi 

vật ở phía trên vị trí cân bằng , d 0 khi vật ở 

phía dưới vị trí cân bằng .Ở thời điểm nào trong 

một 1 giây đầu tiên thì: 

a, vật ở vị trí cân bằng. 

b, vật ở xa vị trí cân bằng nhất. 


+/Báo cáo thảo luận : Học sinh báo cáo kết quả trên bảng phụ sau đó treo kết quả lên bẳng để các nhóm 

khác quan sát , thảo luận , đánh giá 





- GV:Nhận xét thái độ , kết quả làm việc của các nhóm. Nêu các kết luận của các nhóm sai hoặc chưa tìm 

ra phương án thực nghiệm . Kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS. 

Tiết 6 

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 

I.HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG: Kiểm tra bài cũ. 

Nối cột A với cột B để cho công thức đúng. 

A 

B

2 

2 

1+ tan x = sin x 

2 

cos 

x 

2 

tan x = 

1 

2 

sin x 

2 

2 

1+ cot x = cos 

x 

2 

sin x 

2 

cot x = 

1 

2 

cos 

x 

( cos x 0) 

( sin x 0) 

( sin x 0) 

( cos x 0) 

II. 


2 2 

A asin x bsin x cos x c cos x 

= + + với 

2 2 2 

II.1. Biến đổi biểu thức: 

- Mục tiêu: Nắm được cách biến đổi biểu thức trên. 


+ Chuyển giao: Biến đổi biểu thức trên. 

Câu hỏi 

CH1: Với cos x 0, chia biểu thức trên Với cos x 0 thì 

2 

2 

cho cos x? 

sin x 

a + b + c 0 . 

Gợi ý 

A sinx 

= a + 

2 

cos x 

b + 

cos x 

c 

CH2: Viết lại biểu thức A dưới dạng 

hàm số đối với tanx? 

Ta có 

sinx 

tan x = cos x 

nên 

2 

A = a tan x + b tan x + c 


+ Báo cáo, thảo luận: GV yêu cầu 1 HS trình bày từng bước. các HS khác chú ý và nhận 

xét. 


2 2 

asin x bsin x cos x c cos x d 

+ + = . (*) 

II.2. Cách giải phương trình dạng 

- Mục tiêu: Nắm được cách giải và giải được phương trình trên. 



a, Áp dụng biến đổi biểu thức trên, nêu cách giải phương trình (*)? 

2 

b, Ta có thể chia cả vế cho sin x không? 



xét. 


-Sản phẩm: Cách giải: 

2 2 

asin x bsin x cos x c cos x d 

+ + = .

III. 

2 

Chia cả hai vế cho cos x ( với điều kiện cos x 0) để đưa về phương trình bậc hai đối với 

tanx. Khi đó ta được phương trình sau: 

2 

sin x sinx d 

a + b + c = 

2 2 

cos x cos x cos x 

+ + = + 

( ) 

( ) 

2 2 

a tan x b tan x c d 1 tan x 

a − d + b + c − d = 

2 

tan x tan x 0 

Giải phương trình bậc hai đối với tanx ta tìm được nghiệm của phương trình ban đầu. 

2 

Chú ý: Nếu chia cả hai vế cho sin x ta được phương trình bậc hai đối với cotx. 


-Mục tiêu : Vận dụng lí thuyết trên để giải các phương trình ở mức độ nhận biết , thông 

hiểu , vận dụng. 



Ví dụ 1: Giải phương trình sau 

Ví dụ 2: Giải phương trình sau 

2 2 

2sin 5sin cos cos 2 

x x x x (1) 

sin x sin 2x 2 cos x (2) 

2 

2 2 1 



xét. 

+ Đánh giá: GV chuẩn hóa lại kiến thức.. 

-Sản phẩm: Lời giải: 

2 2 

VD1: 2sin x 5sin x cos x cos x 2 

Trước hết , ta thấy nếu cos x = 0 thì phương trình (1) có vế trái bằng 2, còn vế phải bằng 

-2, nên cos x = 0không thỏa mãn (1) . Vậy cos x 0. 

2 

Chia cả hai vế của phương trình cho cos xta được: 

−2 

− − = 

2 

cos 

x 

2 

2 tan x 5tan x 1 

2 

4 tan x 5tan x 1 0 

( ) 

2 2 

2 tan x − 5tan x − 1 = − 2 1+ 

tan x 

− + = 

tanx=1 

 

 

1 

tanx= 4 

 

 

x= + k 

4 

 

, k 

Z 

1 

x= arctan + k 

4 

2 2 1 

VD2: sin x sin 2x 2 cos x 

2

Trước hết , ta thấy nếu cos x = 0 thì phương trình (2) có vế trái bằng 1, còn vế phải bằng 

1 

2 

, nên cos x = 0không thỏa mãn (2) . Vậy cos x 0 . 

2 

Chia cả hai vế của phương trình cho cos xta được: 

2 

1 

tan x+ 2 tan x− 2 = 

2 

2cos 

x 

2 1 

2 

tan x + 2 tan x − 2 = 1+ 

tan x 

2 

2 

tan x+ 4 tan x− 5 = 0 

( ) 

tanx=1 

 

tanx=-5 

 

 

x = + k 

4 , k 

Z 

 

x 

= arctan( − 5) + k 

Tiết 7 

LUYỆN TẬP: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

I. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

- Mục tiêu: Củng cố lại cách giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. 

- Nội dung, phương thức tổ chức: Giáo viên trình chiếu câu hỏi gọi học sinh trả lời 

+/ Chuyển giao: 

CH1. Phương trình acos x b 0 có nghiệm khi và chỉ khi 

b 

b 

b 

A. 1 B. 1 1 

C. 1 1 

a 

a 

a 

CH2. Khẳng định nào sau đây là sai. 

x k2 

A. sin x sin , k 

x k2 

b 

D. 1 1 

a 

B. cos x cos x k , k 

C. tan x tan x k ,k 

D. cot x cot x k , k 

+/ Thực hiện nhiệm vụ : Học sinh làm việc 

+/ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện 

lời giải. 

+/ Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải. 

- Giáo viên chốt lại kiến thức. 

II. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 

Hoạt động II.1 

- Mục đích: Vận dụng để giải các phương trình lượng giác ở mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng. 

- Nội dung, phương thức tổ chức 

+/ Chuyển giao: GV trình chiếu đề bài bài 1 và bài 2. 

Bài 1. Giải các phương trình sau: 


a) 2cos x 3 0 

a) cos x.cos5 x cos2 x.cos4 

x 

b) cos5 x.sin4 x cos3 x.sin2 

x

2 

b) sin x sin x 0 

c) 2sin 2x 2 sin 4x 

0 

d) sin x 1 2cos 2x 

2 0 

c) sin2 x sin4 x sin6x 

d) sin x sin2 x cos x cos2x 

+/ Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh độc lập làm việc 

+/ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh lên chữa bài tập, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. 

+/ Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở lời giải của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải 

- Sản phẩm: Lời giải cho 2 bài tập. 

Bài 1: 

3 

a) cos x = x = + k2 , 

k 

2 6 

b) sin x sin x 1 0 

x = k 

sin x = 0 

 

 

, k 

sin x = 1 x = + k2 

2 

c) 2sin 2x( 

1 2 cos2 x ) 0 

 

 

sin2x = 0 

 

x = k 

 

 

2 2 , k 

 

 

cos2x 

=− 3 

2 

x = + k 

8 

 

 

sin x =− 1 

 

x = − + k2 

d) 

 

2 2 , k 

 

 

cos2x 

= 

2 

x = + k 

8 

Bài 2: 

Sử dụng các công thức biến đổi tích → tổng, tổng 

→ tích. 

a) cos4 x cos2x 

b) sin9 x sin5x 

c) sin3x cos3 x – cos x 0 

d) 

x 3x 3x 

cos x .cos sin cos 0 

2 2 2 


- Mục đích: Rèn luyện cho HS cách làm bài tập trắc nghiệm. 


+/ Chuyển giao: GV phát phiếu học tập gồm các câu hỏi trắc nghiệm khách quan đủ các mức độ cho HS. 

Phiếu học tập 

Câu 1: Cho phương trình: sin( 2x 

− ) + 1 = 0 , nghiệm của phương trình là: 

6 

 

 

 

 

A. x = + k 

, k B. x = − + k 

, k C. x = + k 

, k D. x = − + k 

, k 

4 

2 

6 

6 

Câu 2: Cho phương trình: 2 cos2x 

+ 2 = 0 , nghiệm của phương trình là: 

 

3 

3 

 

A. x = + k 

, k B. x = + k2 

, k C. x = + k 

, k D. x = − + k 

, k 

4 

8 

8 

6 

Câu 3: Cho phương trình: sin x + cos3x 

= 0 , nghiệm của phương trình là: 

 

 

 

 

 

x = + k 

4 

A. x = − + k 

, k B. x = + k2 

, k C. x = + k 

, k D. 

, k 

8 

4 

2 

− 

x = + k 

 

8 2 

Câu 4: Cho phương trình: 2 cos2x 

+ 1= 

0 , số nghiệm của phương trình thuộc khoảng 0; là: 2 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 5: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x− 

m= 1 có nghiệm là: 

A. 0m 

1 

B. m 0 

C. m 1 

D. −2 m 0 

Câu 6: Nghiệm của phương trình: sin x cos x 1 là:

A. x= k2 

B. 

x 

= k2 

 

 

 

x = + k2 

2 

 

C. x= + k2 

D. 

4 

Câu 7. Phương trình sin x.cos x.cos2 x = 0 có nghiệm là: 

π 

A. k π 

B. k C. 

2 

Câu 8. Biết nghiệm của phương trình 

ab ; 1. Ta có tổng a b bằng 

 

 

x= + k2 

4 

 

 

x= − + k2 

4 

π 

k D. 

4 

2cos x 3 

2sin 2x 

3 

0 

π 

k 

8 

trên đoạn 0;2 là 

A. 7 B. 5 C. 17 D. 13 

Câu 9. Tổng các nghiệm của phương trình cos sin x 1 trên đoạn 0;2 bằng 

x 

a 

b 

với 

* 

a ,b và 

A. 0 B. C. 2 D. 3 

2m 

1 

Câu 10. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình msin 

x có nghiệm thuộc đoạn ;0 

2 

4 

1 1 1 1 1 

1 

A. m B. m C. m 0 D. m hoặc m 0 

2 3 2 3 2 

3 

+/ Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh độc lập làm việc. 

+/ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh đưa ra đáp án cho các câu hỏi trắc nghiệm, các học sinh khác thảo luận để 

hoàn thiện lời giải. 

+/ Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở lời giải của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải. 

-Sản phẩm: Đáp án cho phần trắc nghiệm.

Tiết 8 

LUYỆN TẬP: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 


- Mục tiêu: Củng cố lại cách giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 



CH1. Cho phương trình 

2 

asin x bsin x c 0 . Đặt t sin x. Khi đó điều kiện của t là 

A. t 1 

B. t 1 

C. t 1 

D. 1 t 1 

+/ Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh làm việc 


lời giải. 







+/ Chuyển giao: GV trình chiếu đề bài bài 1 


2 

a) 2cos x 3cos x 1 0 

2 x x 

b) sin 2cos 2 0 

2 2 

2 

c) 2 tan x 3tan x 1 0 

d) tan x 2cot x 1 0 

+/ Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh độc lập làm việc 

+/ Báo cáo, thảo luận: Gọi học sinh lên chữa bài tập, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. 


- Sản phẩm: Lời giải cho bài tập 1. 

Dùng ẩn phụ đưa về phương trình đại số bạc hai. 

x 

t = cos x, −1 t 1 

t = cos , − 1 t 1 

a) 2 

b) 2 

2t 

− 3t+ 1 = 0 

2 

t 

+ 2t 

− 3 = 0 

t = tan x 

t = tan x, t 0 

c) 2 

d) 2 

2t 

+ 3t+ 1 = 0 

t 

+ t − 2 = 0 






2 2 

Câu 1. Phương trình sin x + sin 2x = 1 có nghiệm là: 

 

 

x = + k 

6 3 

x = + k 

3 2 

x = + k 

12 3 

A. 

B. 

C. 

D. Vô nghiệm. 

 

 

x = − + k 

x = − + k 

 

x = − + k 

2 

4 

3 

2 

Câu 2. Phương trình lượng giác: sin x− 3cos x− 4 = 0 có nghiệm là: 

 

 

A. x = − + k2 

B. x= − + k2 

C. x = + k 


2 

6 

2 

Câu 3. Phương trình lượng giác: cos x+ 2cos x− 3 = 0 có nghiệm là:

A. x= k2 

B. x= 0 

C. x = + k2 


2 

2 

Câu 4. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin x+ 5sin x− 3 = 0 là: 

 

 

3 

5 

A. x = B. x = C. x = D. x = 

6 

2 

2 

6 

2 

2 

2 3 

Câu 5. Cho phương trình: sin x + sin 2x 

+ sin 3x 

= , nghiệm của phương trình là: 

2 

 

 

 

A. x = + k , k B. x = k , k C. x = + k 

, k D. Vô nghiệm 

2 

3 

3 

3 

Câu 6. Phương trình tan x tan x 0 có các nghiệm là: 

A. x k ; x k k B. x k2 ; x k k 

4 

4 

C. x k ; x k k D. x k ; x k2 

k 

6 

4 

Câu 7. Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên đoạn 0;2 của phương trình 

cos 2x cos x 0 là: 

3 6 

A. 0 B. 4 3 

C. 4 9 

D. 2 

Câu 8. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 

2 

cos x m 1 cos x m 0 (m là tham số thực) trên 

đường tròn lượng giác là 1 khi và chỉ khi: 

A. m 1 

B. m 1 C. m 1 

D. m 1 hoặc m 1 

2 1 2 

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x m m 1 có nghiệm. 

cos x 

A. m 0 hoặc m 2 B. m 1 

C. m 1 

D. m 

Câu 10. Phương trình 

khi: 

2 

sin x m 1 sin x m 0 (m là tham số thực) có nghiệm thuộc đoạn ; 

4 4 

A. m B. m 1;1 C. m 0;1 D. 

m 

1 1 

; 

2 2 

khi và chỉ 





- Sản phẩm: Đáp án cho phần trắc nghiệm.

Tiết 9 

LUYỆN TẬP PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 


- Mục tiêu: Củng cố lại cách giải một số phương trình quy về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 



CH1. Khẳng định nào sau đây là đúng 

2 1 

1 

2 

A. tan x 1 

B. cot x 1 

2 

2 

sin x 

cos x 

1 

2 

1 

2 

C. tan x 1 

D. tan x 1 

2 

2 

cos x 

cos x 

CH2. Công thức nào sau đây là đúng 

2 1 cos 2x 

2 1 sin 2x 

A. sin x B. cos x 

2 

2 

2 1 cos 2x 

2 1 sin 2x 

C. sin x D. cos x 

2 

2 

+/ Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh làm việc 


lời giải. 







+/ Chuyển giao: GV trình chiếu đề bài bài 1 và chia lớp thành 4 nhóm để làm bài tập. Mỗi nhóm một ý. 


2 2 

a. 4sin x 5sin x.cos x 6cos x 0 

2 2 

b. 2sin x 5sin x.cos x cos x 2 

2 2 

c. 25sin x 15sin 2x 9cos x 25 

2 x 

2 x 1 

d. sin + sin x − 2cos = 

2 2 2 

+/ Thực hiện nhiệm vụ: Học sinh độc làm việc theo nhóm. 

+/ Báo cáo, thảo luận: Gọi đại diện các nhóm lên chữa bài tập, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. 


- Sản phẩm: Lời giải cho bài tập 1. 






Câu 1. Phương trình 

2 2 

sin x 5sin x cos x 6cos x 0 có các nghiệm là: 

A. x k ; x arctan 6 k2 

k B. x k2 ; x arctan 6 k k 

4 

4 

C. x k2 ; x arctan 6 k2 

k D. x k ; x arctan 6 k k 

4 

4 

2 2 

Câu 2. Phương trình sin x 3 sin xcos x 2cos x 1 có nghiệm là: 

A. x k ; x k k B. x k ; x k k 

6 2 

6 2 

C. x k2 ; x k k D. x k ; x k2 

k 

6 2 

6 2

Câu 3. Trong khoảng 0; 2 

, phương trình 

2 2 

sin 4x 3sin 4xcos 4x 4cos 4x 0 có: 

A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. 4 nghiệm 

2 2 

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4cos x 3 sin 2x 2sin x m vô nghiệm 

A. 1 m 5 B. m 1 hoặc m 5 C. m 1 hoặc m 3 D. m 1 hoặc m 3 

2 

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình msin x 2msin x cos x 1 0 có nghiệm 

A. 1 5 m 1 5 

B. 

1 5 1 5 

m 

4 4 

C. 

1 5 1 5 

1 5 1 5 

m D. m 

m 

2 2 

2 

2 

2 

Câu 6. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin x 

2 

3cos x 8sin x cos x 2 0 trên đường tròn 

lượng giác là 

A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 

Câu 7. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 6sin x 

3 5sin 4xcos 

x 

2cos x 

2cos 2x 

trên đường tròn lượng 

giác là 

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 

2 

Câu 8. Phương trình msin x msin xcos x m 

2 

1 cos x 0 (m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi 

4 

4 

4 

4 

A. m 0 

B. m 0 

C. m 0 D. m 0 

3 

3 

3 

3 





- Sản phẩm: Đáp án cho phần trắc nghiệm. 

Tiết 10 

LUYỆN TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

I.HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

Hoạt động I.1. Kiểm tra bài cũ 

-Mục tiêu : Củng cố lại cách giải phương trình a sin x b cos x 

2 

c với a 

2 

b 0 . 

-Nội dung , phương thức tổ chức : Giáo viên trình chiếu câu hỏi gọi học sinh trả lời 


CH1: Cho biểu thức P a sinu 2 

b cos u ( với a 

2 

b 0) và 

a 

cos ; 

b 

a b a b 

P bằng biểu thức nào sau đây? 

A. sin u . B. 

2 

a b 2 sin u . C. 

2 2 2 2 

sin 

2 

a b 2 cos u . D. cos u . 

2 2 

CH2: Điều kiện phương trình a sinu b cos u c (với a b 0) có nghiệm là : 

. Biểu thức

2 

A. a 

2 

b c 2 . 

2 

B. a 

2 

b c 2 . 

D.a b c . D. a b c . 

HS: Nhận nhiệm vụ mà GV giao cho 

+/ Thực hiện nhiệm vụ : Học sinh làm việc 


lời giải. 

+ /Đánh giá, nhận xét: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải 

- Giáo viên chốt lại kiến thức 

II.HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 

Hoạt động II.1. 

-Mục đích : Vận dụng để giải các phương trình lượng giác dạng a sinu b cos u 

2 

c (với a 

2 

b 0 ) ở mức độ nhận 

biết , thông hiểu , vận dụng. 



Ví dụ 1:Giải các phương trình sau 

1) sin x 3 cos x 1 

2)sin 2x cos2x 2 sin 3x 

0 

2 

3) 3 sin x cos x sin2x 2cos x 1 0 


+/ Báo cáo, thảo luận : Gọi học sinh lên chữa Ví dụ 1, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải. 


-Sản phẩm : Lời giải cho Ví dụ 1 

1) sin x 3 cos x 1 

3) 

sin 

x 

1 

3 2 

x k2 x k2 

3 6 6 ( k Z). 

5 

x k2 x k2 

3 6 2 

2 

sin x cos x sin2x 2cos x 1 0 

sin x cosx sin 2x cos2x 

2)sin 2x cos2x 2 sin 3x 

0 

sin 2x cos2x 2 sin 3x sin 2x sin 3x 

4 

2x 3x k2 

4 

2x 3x k2 

4 

x 

x 

k 

4 ( k Z). 

k2 

4 5 

sin x sin 2x 

4 4 

x k2 

2 ( k Z). 

2 

x k 

3 3 

Hoạt động II. 2. 

-Mục đích: Sử dung điều kiện của phương trình a sinu b cos u 

2 

c (với a 

2 

b 0 ) có nghiệm để tìm giá trị lớn 

nhất và nhỏ nhất của biểu thức . 

-Nội dung , phương thức tổ chức : 


Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức P 3sin x 4cos x 


+/ Báo cáo, thảo luận : Gọi học sinh lên chữa Ví dụ 2, các học sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải.


-Sản phẩm : Lời giải cho Ví dụ 2 

2 2 2 

Biểu thức P xác định với mọi x R.Phương trình có nghiệm (ẩn x ) khi 3 4 P 5 P 5 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -5 và giá trị lớn nhất của P bằng 5 

Cách giải khác cho Ví dụ 2 : Áp dung bất đẳng thức BCS ta có 

2 

2 2 2 2 2 

P 3sin x 4 cos x 3 4 sin x cos x 5 P 5 . 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -5 và giá trị lớn nhất của P bằng 5 

III.HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG 

Bài tập 

Bài toán 1.Cho hai số thực xy , và thỏa mãn 

2 2 

x y 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 

biểu thức 

2 2 

Q x 2y 3xy 

4 

Gợi ý 

Đặt x sin , y cos . Biến đổi biểu thức 

Q a sin 2 b cos2 c rồi tìm điều kiện phương 

trình có nghiêm ( ẩn ). Từ đó tìm được giá trị nhỏ 

nhất và lớn nhât của Q 

IV.HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI ,MỞ DỘNG 

-Mục tiêu : Giúp học sinh gắn kiến thức phương trình lượng giác vào trong các môn học và trong cuộc sống thực tế 

hàng ngày 




Bài toán 1.Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo , 

chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng (như hình vẽ 

bên). Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời 

điểm t giây được tính theo công thức h d trong đó 

d 4 sin 6t 3 cos 6t , với d được tính bằng cm , ta quy 

d 

ước rằng d 0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng , 0 

khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng .Ở thời điểm nào 

trong một 1 giây 

đầu tiên vật ở xa vị trí cân bằng nhất. 


+/Báo cáo thảo luận : Học sinh báo cáo kết quả trên bảng phụ sau đó treo kết quả lên bẳng để các nhóm khác quan 

sát , thảo luận , đánh giá 





- GV:Nhận xét thái độ , kết quả làm việc của các nhóm. Nêu các kết luận của các nhóm sai hoặc chưa tìm ra 

phương án thực nghiệm . Kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS. 

Một số bài toán liên quan đến phương trình lượng giác 

Bài 1. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40 0 bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận 

được cho bởi hàm số d( t) 3 sin ( t 80) 12 với t Z;0 t 365. Thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt 

182 

trời vào ngày nào trong năm?

Bài 2.Mùa xuân ở hội Lim( tỉnh Bắc Ninh) thường có 

trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều , cây đu sẽ 

đưa người chơi đu qua lại vị trí cân bằng . Nghiên cứu 

trò chơi này , người ta thấy khoảng cách h ( tính bằng 

mét) thì người chơi đu đến vị trí cân bằng (H2) được 

biểu diễn qua thời gian t t 0 và được tính bằng giây 

bởi hệ thức h d với d 3 cos (2t 1) , trong đó ta 

3 

quy ước rằng d 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau 

lưng người chơi đu và d 0 trong trường hợp ngược 

lại.Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà 

người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét . 

Lễ hội chơi đu ở hội Lim (Bắc Ninh) (H1) 

(H2)

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 1 VÀ CHỦ ĐỀ 2 

A. Kế hoạch chung 



Tiết 1 

Tiết 2 




Hoạt động vận dụng 

Hoạt động tìm tòi mở rộng 

Ôn tập lí thuyết chương I 

B. Kế hoạc dạy học 

I. Mục tiêu bài học 

1. Về kiến thức. 

- Ôn tập lại cho học sinh các kiến thức về hàm số, tính chẵn lẻ, sự biến thiên, tập giá trị, tập xác 

định, chu kì và đồ thị của hàm số lượng giác. 

- Ôn tập cho học sinh các dạng phương trình lượng giác. 

2. Về kỹ năng. 

- Học sinh thành thạo trong việc tìm tập xác định, tính chẵn lẻ, tìm chu kỳ, tìm giá trị của hàm số 

lương giác. 

- Học sinh thành thạo trong việc giải phương trình lượng giác. 

3. Thái độ, tư duy. 

- Có thái độ tích cự trong học tập. 

- Có tư duy logic chính xác. 

4. Các năng lục chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh. 

- Năng lực tư duy logic. 

- Năng lục sáng tạo. 

- Năng lục áp dụng thực tế. 

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh. 

1. Chuẩn bị của giáo viên. 

- Soạn kế hoạch bài giảng. 

- Phiếu học tập, phấn, máy chiếu… 

2. Chuẩn bị của học sinh. 

- Ôn tập làm bài taạp ở nhà trước.

III. Tiến trình dạy học. 

Tiết 1. 

A. Hoạt động khởi động. 

- Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh ôn tập lại lý thuyết chương I, đồng thời vận dụng làm 1 

số bài tập đơn giản. 


+ Chuyển giao: Hôm trước cô đã yêu cầu cả lớp về xem lại và nghiên cứu trước phần bài 

tập ôn tập chương I. Bây giờ yêu cầu các em hãy trả lời một số câu hỏi vào phiếu học tập. 

+ Sau đó cử đại diện trả lời cho nhóm. (Mỗi bàn là một nhóm) 

- Phiếu học tập số 1 : Điền vào ô trống tương ứng với các dòng và các cột trong bảng sau. 

HSLG 

Tc 

TXĐ TGT Tính chẵn lẻ 

Tính tuần 

hoàn 

Các khoảng 

ĐB, NB 

y=sinx 

y=cosx 

y=tanx 

y=cotagx 

Phiếu học tập số 2. 

Hàm số 

y= cosx 1) 

Nối mỗi ô ở cột bên trái với một ô thích hợp ở cột bên 

phải để được đồ 

Đồthị thị 

của hàm số tương ứng: 

y=tanx 

2) 

3 

− 

2 

 

− 

2 

 

2 

3 

2 

y=cotx 3) 

3 

− 

2 

 

− 

2 

 

2 

3 

2 

y=sinx 4) 


Nếu điệu kiện có nghiệm và công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

HSLG 

Tc 

Điều kiện có nghiệm 

Công thức nghiệm 

y=sinx 

y=cosx 

y=tanx 

y=cotx 

Phiếu học tập số 4. 

1. Nêu các giải phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 

2. Nêu cách giải phương trình dạng asinx + bcosx = c 

B. Hoạt động hình thành kiến thức. 

Sau khi cho học sinh hoàn thành các phiếu học tập ở hoạt động A. Giáo viên nhận xét và 

chốt kiến thức sẽ đựơc bảng đầy đủ về lý thuyết cơ bản của chương và chiếu lên cho học sinh 

tổng hợp ghi nhận một lần nữa về kiến thức cụ thể. 

HSLG 

Tc 

TXĐ 

TGT 

Tính 

chẵn lẻ 

Tính tuần 

hoàn 

Các khoảng ĐB, NB 

y=sinx R − 1;1 Lẻ 

y=cosx R − 1;1 Chẵn 

Chu kì 

2 

Chu kì 

2 

 

ĐB( − + k2 ; + k2 

) 

2 2 

3 

NB( + k2 ; + k2 

) 

2 2 

ĐB( − + k2 ; k2 

) 

NB( k2 ; + k2 

) 

 

 

y=tanx R \ + k 

(k Z) 

 

2 

 

R Lẻ Chu kì 

Luôn đồng biến trên 

 

( − + k; 

+ k 

) 

2 2 

y=cotagx R \ k (k R) 

 

R Lẻ Chu kì 

Luôn nghịch biến trên 

( k; + k 

(k ) ) 

Bảng 2

Hàm số 

y= cosx 1) 

Nối mỗi ô ở cột bên trái với một ô thích hợp ở cột bên 

phải để được đồ 

Đồthị thị 

của hàm số tương ứng: 

y=tanx 

2) 

3 

− 

2 

 

− 

2 

 

2 

3 

2 

y=cotx 3) 

3 

− 

2 

 

− 

2 

 

2 

3 

2 

y=sinx 4) 

Bảng 3 : 

HSLG 

Tc 

Điều kiện có nghiệm 

Công thức nghiệm 

y=sinx | a | 1 

x= + k2 

 

(k Z) 

x= − + k2 

y=cosx | a | 1 

x = + k2 ( k Z) 

Với cos = a 

y=tanx a x = + k 

( k Z) 

Với tan = a 

y=cotagx a x = + k 

( k Z) 

Với cot = a 

Phương trình lượng giác thường gặp 

a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 

- Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác co bản. 

b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 

- Cách giải : 

+ Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có). 

- Giải phương trình theo ẩn phụ.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản. 

c. Phương trình a sinx+ bcosx = c 

- Cách giải ; 

2 2 

a,b,c R, a + b 0 

+ Chia cả 2 vế của phương trình cho 

+ Đặt 

a 

+ b 

2 2 

a 

b 

= cos ; = sin 

2 2 2 2 

a + b a + b 

Đưa về phương trình lượng giác cơ bản rồi giải. 

C. Hoạt động rèn luyện 

Giáo viên giao bài tập cho học sinh: (yêu cầu học sinh làm việc cá nhân). 

Bài tập 1: 

a. Hàm số y= cos3x 

có phải là hàm số chẵn không ? Tại sao ? 

 

b. Hàm số y = tan(x + ) có phải là hàm số lẻ không ? Tại sao ? 

5 

Bài tập 2: Căn cứ vào đồ thị hàm số y=sinx. Tìm những giá trị của x trên 

đó : 

a. Nhận giá trị bằng -1. 

b. Nhận giá trị âm. 

Bài tập 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số. 

a. y = 2(1 + cosx) + 1 

 

b. y = 3sin(x− − 2 

6) 

3 

;2 

2 

 

để hàm số 

Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau đó gọi lên bảng chữa và chốt kiến thức. 

Tiết 2. 

D. Hoạt động vận dụng 

Giáo viên giao bài tập cho học sinh yêu cầu làm việc cá nhân. 

Bài 1 : Giải các phương trình sau 

Giáo viên theo dõi học sinh làm bài và hướng

a. sin(x+ 1) = 

2 

3 

dẫn kịp thời. 

b. 

sin 2x = 

2 

2 1 

c. sin x− 3cos x= 

1 

sin x 

d. 0 

1− 

cos x = 

Bài 1.d. Tìm điều kiện của phương trình ? 

Giải phương trình chú ý đến kiều kiện 

nghiệm 

-Học sinh lên bảng trình bày bài giải. 

- Giáo viên nhận xét và chốt kiến thức 

- Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài tập 2 

Bài 2 : Giải các phương trình sau : 

a. 

b. 

2 2 

cos x + 2sin xcos x + 5sin x = 2 

2 2 2 

sin + sin 2 = sin 3 

x x x 

E. Hoạt động tìm tòi mở rộng 

Bài 1) Một guồng nước có bán kính 2,5 m , có trục quay ở cách mặt nước 2m quay đều mỗi phút 

một vòng . Gọi y(mét)là khoảng cách từ mặt nước đến một chiếc gầu của guồng nước ở thời 

điểm x (phút) (quy ước rằng y 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y 0 khi gầu ở bên dưới mặt 

nước). Biết rằng sau khi khởi động 0,5 phút thì chiếc gầu đó ở đỉnh cao nhất của guồng nước . 

Hãy lập biểu thức tính y theo x. 

Bài 2)Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40 0 bắc trong ngày thứ t của một 

năm không nhuận được cho bởi hàm số d( t) 3 sin ( t 80) 12 với t Z;0 t 365. 

182 

a)Thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm? 

b)Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất? 

c)Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt mặt trời nhất?

ÔN TẬP HỌC KỲ 1 

NỘI DUNG: Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác 


1) Hệ thống các hàm số lượng giác; xác định được tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, tuần 

hoàn, chu kỳ, khoảng đồng biến nghịch biến của các HSLG 

y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x . 

2) Biết được và giải được các phương trình lượng giác cơ bản; các phương trình lượng giác 

thường gặp 

II. Tiến trình dạy học 

(Với tiết Ôn tập học kỳ ta chỉ thực hiện hai hoạt động đó là: HĐ luyện tập và HĐ vận 

dụng, tìm tòi mở rộng) 

HĐ 1. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 

+Thực hiện nhiệm vụ : Làm việc theo nhóm 

+Báo cáo thảo luận : Học sinh báo cáo kết quả trên bảng phụ sau đó treo kết quả lên bẳng để các 

nhóm khác quan sát , thảo luận , đánh giá 



+ Nhận xét, đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ (Hình thức : Thuyết trình , chất vấn,…) 



chưa tìm ra phương án thực nghiệm . Kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS. 

HĐ1. Trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau 

Câu 1. Điều kiện xác định của hàm số y= tan 2x 

là 

A. x kπ 

B. 

π 

π 

x + kπ C. x + k2π 

D. 

4 

4 

π kπ 

x + 

4 2 

Câu 2. Trong các hàm số sau lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x hàm số nào là 

hàm số lẻ và xác định trên . 

A. y = sin x B. y= cos x C. y= tan x D. y= 

cot x 

Câu 3. Trong các hàm số sau lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x , y = cot x hàm số nào là 

hàm số chẵn và xác định trên . 

A. y = sin x B. y= cos x C. y= tan x D. y= 

cot x 

Câu 4. Cho hàm số 

y= cos x. Mệnh đề nào dưới đây đúng 

 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 

2 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng 

3 

 

; 

2

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2 ) D. Hàm số nghịch biến trên khng 

3 

;2 

2 

Câu 5. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

T = M + m bằng 

y 

2 

= 3sin x+ 6 lần lượt là M và m. Tổng 

A. 9 B. 6 C. 15 D. 12 

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin3x= m− 2 có nghiệm 

A. 1m 

3 B. 1m 

2 C. −1 m 1 D. 2m 

3 

Câu 7. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào SAI 

A. Phương trình 3sin x 1 0 có nghiệm B. Phương trình 3 sin x cos x 3 vô nghiệm 

C. Phương trình 3cos x 4 0 có nghiệm D. Phương trình 3tan x 15 0 vô nghiệm 

Câu 8. Phương trình cos x sin x 0 

− ; là 

− = có số nghiệm thuộc đoạn 

A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 

 

Câu 9. Phương trình 2cot x− 2tan x+ 3 = 0 có số nghiệm thuộc đoạn − 

; 

2 là 

A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 

Câu 10. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 

2 

sin x + sin 2x = cos x + 2cos x là: 

A. 3 

 

B. 4 

 

C. 6 

 

D. 2 

3 

HDD2. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG VÀ TÌM TÒI MỞ RỘNG 

-Mục tiêu : Giúp học sinh gắn kiến thức phương trình lượng giác vào trong các môn học và trong cuộc 

sống thực tế hàng ngày 




Bài toán 1.Một vật nặng treo bởi một chiếc lò 

xo , chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng 

(như hình vẽ bên). Khoảng cách h từ vật đó 

đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được 

tính theo công thức h d trong đó 

d 4 sin 6t 3 cos 6t , với d được tính bằng cm 

, ta quy ước rằng d 0 khi vật ở phía trên vị 

trí cân bằng , d 0 khi vật ở phía dưới vị trí 

cân bằng .Ở thời điểm nào trong một 1 giây 

đầu tiên vật ở xa vị trí cân bằng nhất. 

+/Thực hiện nhiệm vụ : Làm việc theo nhóm

+/Báo cáo thảo luận : Học sinh báo cáo kết quả trên bảng phụ sau đó treo kết quả lên bẳng để các nhóm 

khác quan sát , thảo luận , đánh giá 





- GV:Nhận xét thái độ , kết quả làm việc của các nhóm. Nêu các kết luận của các nhóm sai hoặc chưa tìm 

ra phương án thực nghiệm . Kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS. 

Một số bài toán liên quan đến phương trình lượng giác 

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40 0 bắc trong ngày thứ t của một năm không 

nhuận được cho bởi hàm số d( t) 3 sin ( t 80) 12 với t Z;0 t 365. Thành phố A có đúng 12 

182 

giờ ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm? 

Bài 2.Mùa xuân ở hội Lim( tỉnh Bắc Ninh) 

thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu 

nhún đều , cây đu sẽ đưa người chơi đu qua 

lại vị trí cân bằng . Nghiên cứu trò chơi này , 

người ta thấy khoảng cách h ( tính bằng mét) 

thì người chơi đu đến vị trí cân bằng (H2) 

được biểu diễn qua thời gian t t 0 và 

được tính bằng giây bởi hệ thức h 

d với 

d 3 cos (2t 1) , trong đó ta quy ước 

3 

rằng d 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau 

lưng người chơi đu và d 0 trong trường 

hợp ngược lại.Tìm các thời điểm trong vòng 

2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí 

cân bằng 2 mét . 

Lễ hội chơi đu ở hội Lim (Bắc Ninh) (H1) 

(H2)

Bài tập rèn luyện kỹ năng 

Bài 1. Giải các phương trình sau 

a) 3 sin x cos x 2sin 3x 

b) 

c) 

d) 

2 

3 sin 2x 2cos x 2sin x 1 

2 3 

sin x sin x 2 cos x 2cos x 

3 1 

cos 2x + sin 2x + − cot 2x 

= 1 

4 4sin 2x 

Bài 2. Cho hai số thực xy , và thỏa mãn 

biểu thức 

2 2 

P x y xy 

= + 2 − 3 + 12 

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau: 

x 

+ y = 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 

2 2 

cos x sin x 

y = − 

3 − 2sin x − cos x 

π 

Bài 4. Tìm tổng các nghiệm của phương trình tan x 

+ − 3 = 0 

4 

thuộc đoạn 

 

 

−π; 

 

3π 

 

2 

 

Bài 5. Tìm tập các giá trị của tham số n để phương trình nsin x + 2cos x = 3n 

− 2 có nghiệm

CHỦ ĐỀ: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC (3 TIẾT) 




Tiết 1 HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC: KT1: Góc giữa hai mặt phẳng 

Tiết 2 HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC: KT2: Hai mặt phẳng vuông góc 

Tiết 3 HOẠT ĐỘNG HÌNH 

THÀNH KIẾN THỨC 




KT3: Hình lăng trụ đứng, Hình hộp chữ nhật, Hình 

lập phương 

KT4: Hình chóp đều, Hình chóp cụt đều 


I. Mục tiêu bài học: 

1. Về kiến thức: HS hiểu được: 

-Khái niệm góc giữa hai mặt phẳng; 

-Khái niệm về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc; 

-Tính chất hình lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương; 

- Khái niệm hình chóp đều và hình chóp cụt đều. 

- Sự giống nhau, khác nhau giữa các khái niệm trên. 

2. Về kỹ năng: 

-Xác định được góc giữa hai mặt phẳng. 

-Biết chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. 

- Vận dụng được tính chất của hình lăng trụ đứng, hình hộp, hình chóp đều, chóp cụt đều để giải một bài tập. 

3. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh: 

+ Phát triển tư duy trừu tượng, trí tưởng tượng không gian. 

+ Biết quan sát và phán đoán chính xác. 

+Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực hoạt động. 







+/ Làm việc nhóm ở nhà, trả lời các câu hỏi được giáo viên giao từ tiết trước, làm thành file trình chiếu. 



III. Bảng mô tả các mức độ nhận thức và năng lực được hình thành: 

Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao 

Góc giữa hai mặt 

phẳng 

Diện tích hình 

chiếu của một đa 

giác 

Hiểu khái niệm góc 

giữa hai mặt phẳng 

Nắm được công 

thức tính diện tích 

hình chiếu của một 

đa giác 

Nắm được cách xác 

định góc giữa hai 

mặt phẳng 

Hs cần tìm được 

diện tích S hoặc S’ 

và góc giữa hai mp 

thì sẽ tính được 

diện tích của đa 

Sử dụng cách xác 

định góc giữa hai 

mặt phẳng để giải 

bài toán cụ thể 

Phân tích công thức 



giác để áp dụng 

giải bài tập cụ thể 

Sử dụng góc giữa 

hai mặt phẳng quyết 

các vấn đề thực tế 

Sử dụng Diện tích 

hình chiếu của một 

đa giác giải quyết 

các vấn đề thực tế

Hai mặt phẳng 

vuông góc 

Hình lăng trụ đứng, 

hình hộp chữ nhật, 

hình lập phương 

Hình chóp đều và 

hình chóp cụt đều 

Hiểu khái niệm hai 

mặt phẳng vuông 

góc, các định lí. 

Hiểu khái niệm 




Hiểu khái niệm 



giác còn lại 

Biết sử dụng điều 

kiện cần và đủ để 

chứng minh hai mặt 

phẳng vuông góc. 

Sử dụng đinh lí để 

chứng minh đường 

thẳng vuông góc 

mặt phẳng. 

Biết phân biệt giữa 




với hình lăng, hinh 

hộp 

Biết phân biệt giữa 



và hình chóp đều, 

chóp cụt 

sử dụng điều kiện 

cần và đủ để chứng 

minh hai mặt phẳng 

vuông góc. Sử 

dụng đinh lí để 

chứng minh đường 


mặt phẳng trong 

các bài tap cụ thể 

Sử dụng tính chất 



hình lập phương để 

giải các bài toán 

Sử dụng tính chất 



để giải bài toán 

Sử dụng sử dụng 

điều kiện cần và đủ 

để chứng minh hai 


góc. Sử dụng đinh lí 

để chứng minh 

đường thẳng vuông 

góc mặt phẳng.giải 

quyết các vấn đề 

thực tế 

Sử dụng Hình lăng 

trụ đứng, hình hộp 

chữ nhật, hình lập 

phương giải quyết 


Sử dụng Hình chóp 

đều và hình chóp 

cụt đều giải quyết 


IV. Các câu hỏi/bài tập theo từng mức độ (các câu hỏi bài tập sử dụng trong luyện tập, vận dụng) 

MỨC 

ĐỘ 

NỘI DUNG 

CÂU HỎI/BÀI TẬP 



giác 

2 0 

Cho hình vẽ trên có S = 3 2 ( cm ), = 60 . Tính 

Kết quả: S 

H 

3 2 

2 

2 

' = (cm ) 

H 

S 

H ' ? 

NB 

TH 


vuông góc 


vuông góc 

Câu 1: Trong không gian cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) không song song và 

không trùng nhau. Số giao tuyến của (P) và (Q) là? Tìm mệnh đề đúng 

A. 1 B. 2 C. 3 D.4 

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), mặt phẳng nào vuông góc với 

mặt phẳng (ABC) 

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB 

cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Chứng minh tam giác SCD cân tại 

S 

Câu 4: ): Cho hình chóp SABC có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc 

với đáy. Xác định mệnh đề đúng: 

A. SA song song với đáy B. SA nằm trên đáy 

C. SA không vuông góc với đáy D. SA vuông góc với đáy 

Cho hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD, đôi một vuông góc với nhau: 

a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng 

b) Xác định góc giữa 2 mặt phẳng 

(CAD) (BAD) 

(CAD, BAD) 

c) Xác định số đo của góc giữa 2 mặt phẳng

((CAD, BAD)) 

VD 

VDC 

Hình lăng trụ 

đứng, hình hộp 

chữ nhật, hình lập 

phương 

Hình chóp đều, 

chóp cụt đều 


vuông góc 

Hình chóp đều 

Em hãy cho biết mệnh đề nào sau đây là Đúng ? 

A. Hình hộp là hình lăng trụ đứng. 

B. Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng. 

C. Hình lăng trụ là hình hộp. 

D. Có hình lăng trụ không phải là hình hộp. 

b) Sáu mặt của hình hộp chữ nhật có phải là hình chữ nhật hay không? 

Có tồn tại 1 hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông 

góc với mặt đáy hay không? 

Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác ASB vuông 

cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan giác của góc tạo bởi giữa 

mặt phẳng (SCD) và mặt đáy (ABCD) 

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, cạnh AD 

= 2BC, AB = BC và hai mặt phảng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. 

Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SDC) 

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Chứng 

minh (SBC) vuông góc (SAC 

Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác ASB vuông 

cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan giác của góc tạo bởi giữa 

mặt phẳng (SCD) và mặt đáy (ABCD) 

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, cạnh AD 

= 2BC, AB = BC và hai mặt phảng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. 

Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SDC) 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều 

bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.a) tính độ dài SO. 

b) gọi M là trung điểm SC. CMR: (MBD) vuông góc (SAC) 

c)Tính độ dài OM và tính góc giữa hai mp (MBD) và (ABCD). 

d) Gọi H là trung điểm CD. Tính diện tích tam giác SCD. 

Câu 1: HS lấy ví dụ cụ thể về hình lập phương, hình hộp chữ nhật trong thực tế 

đời sống?

Câu 2: quan sát hình ảnh chiếc máy tính, coi man hình là mp (P) và bàn 

phím là mp(Q). Hãy xác định góc giữa hai mp (P) và (Q) nếu ta gấp vào hoặc 

mở ra mp (P) 


TIẾT 1 

Thời gian dự kiến: 15 phút 

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG 

- Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận khái niệm. Học sinh tìm hiểu về: góc giữa 2 mặt phẳng và 2 

mặt phẳng vuông góc; lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương; hình chóp đều và hình chóp cụt 

đều và hình ảnh của chúng trong thực tế. 



Nhiệm vụ: Chia lớp học thành 3 nhóm: 

Nhóm 1 Sưu tầm hình ảnh về góc giữa 2 mặt phẳng và 2 mặt phẳng vuông góc 

Nhóm 2 Sưu tầm hình ảnh về lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 

Nhóm 3 Sưu tầm hình ảnh về hình chóp đều và hình chóp cụt đều 

Yêu cầu các nhóm cử đại diện lên thuyết trình về vấn đề mà nhóm mình đã được giao chuẩn bị. 

Ứng dụng trong thực tế: thiết kế, xây dựng, gia dụng, điện tử,… 

+ Thực hiện: Các nhóm hoàn thành trước ở nhà, làm thành file trình chiếu, cử đại diện lên thuyết 

trình. 

+ Báo cáo, thảo luận: Các nhóm trình bày file trình chiếu trước lớp, các nhóm khác qua việc tìm hiểu 

trước phản biện và góp ý kiến. Giáo viên đánh giá chung và giải thích các vấn đề học sinh chưa giải quyết 

được. 

- Sản phẩm: Các file trình chiếu của 3 nhóm(có file đính kèm) 

2. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC. 

Thời gian dự kiến: 30 phút 

2.1. HTKT1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 

a) HĐ 2.1.1: Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng 

- Mục tiêu: Tiếp cận khái niệm góc giữa hai mặt phẳng. Ghi nhớ định nghĩa (SGK trang 106) 


+ Chuyển giao:

1.Yêu cầu học sinh nhắc lại cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian 

2. Liên kết hình ảnh trong sản phẩm của nhóm 1 với định nghĩa (SGK trang 106) 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và ghi vào giấy nháp. Trả lời miệng 

+ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lại. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn 

hóa định nghĩa. HS viết bài vào vở. 

I. Góc giữa hai mặt phẳng: 

1) Định nghĩa: (SGK) 

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 

b 

a 

 

 

c 

 

Kí hiệu: (( ),( )) = (a,b) = 

b) HĐ 2.1.2: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau 

- Mục tiêu: Tiếp cận cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau. Hình thành phương pháp chung 



1. GV vẽ hình và yêu cầu học sinh nêu cách xác định góc giữa hai mặt phẳng. 

vµ là góc 

2. GV bổ sung hình vẽ (Hình 3.31 trang 106) và nêu nhận xét góc giữa hai mặt phẳng ( ) ( ) 

giữa hai đường thẳng m và n. Yêu cầu học sinh dựa vào tính chất về góc có cạnh tuơng ứng vuông góc 

thì bằng nhau hoặc bù nhau trong hình học phẳng để chứng minh nhận xét 

+ Thực hiện: Học sinh theo dõi hình vẽ và trả lời. 

+ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lại. 


hóa kiến thức, từ đó nêu phương pháp chung. HS viết bài vào vở. 

* Quy tắc: 

2) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: 

vµ cắt nhau theo giao tuyến c. 

Xét hai mặt phẳng ( ) ( ) 

Từ một điểm I bất kỳ trên c, trong mặt phẳng ( ) dựng đường thẳng m c 

n 

⊥ c. 

Góc giữa hai mặt phẳng ( ) vµ ( ) 

là góc giữa hai đường thẳng m và n. 

⊥ và dựng trong ( ) 

đường thẳng

a 

 

 

m 

c 

n 

 

 

Tổng quát: 

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng trong các hình thường gặp 

• Cách 1: Dựng hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng tại 1 điểm 

• Cách 2: Dựng 2 đường thẳng lần lượt trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 

điểm 

• Bước 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( Tìm 2 điểm chung của hai mặt phẳng đó) 

• Bước 2 : Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến 

• Hình minh họa 

Cách xác định góc theo cách 1 sử dụng định nghĩa Cách xác định góc theo cách 2 

c) HĐ 2.1.3: Diện tích hình chiếu của một đa giác 

- Mục tiêu: Ghi nhớ công thức tính diện tích một đa giác. Vận dụng vào bài tập 



Yêu cầu học sinh đọc tính chất (SGK trang 107), ghi tính chất vào vở. Giải thích khái niệm hình 

chiếu vuông góc của một hình trên mặt phẳng 

Yêu cầu học sinh làm ví dụ (SGK trang 107) 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm ví dụ vào giấy nháp. 

+ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học sinh khác thảo luận để 



hóa lời giải. HS viết bài vào vở. 

3) Diện tích hình chiếu của một đa giác:(SGK trang 107) 

Công thức: 

S ' = S. cos

Trong đó: S: diện tích hình H; 

S’: diện tích hình H’(hình chiếu của hình H lên một mặt phẳng) 

: Góc giữa hai mặt phẳng chứa hình H và hình H’. 

Ví dụ áp dụng: 

Cho hình vẽ trên có 

S 3 2 cm 60 

2 0 

H 

= ( ), = . Tính 

S 

H ' ? 

Kết quả: 

S 

3 2 

2 

2 

' = (cm ) 

H 

TIẾT 2 

2.2. HTKT2:Hai mặt phẳng vuông góc 

+) HĐ 2. 2.1: Khởi động (tiếp cận) Gợi ý: 

HĐ 2. 2.1.1: Trong không gian cho 2 mặt phẳng 

(P) và (Q) không song song và không trùng 

nhau. Số giao tuyến của (P) và (Q) là? Tìm mệnh 

đề đúng 

A. 1 B. 2 C. 3 D.4 

HĐ 2. 2.1.2: Cho hình tứ diện ABCD có AB, 

AC, AD, đôi một vuông góc với nhau: 

a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng 

(CAD) (BAD) 

b) Xác định góc giữa 2 mặt phẳng 

(CAD, BAD) 

c) Xác định số đo của góc giữa 2 mặt phẳng 

((CAD, BAD)) 

(A) 

C 

D 

A 

a) (CAD) (BAD) = AD 

B

+) HĐ 2.2.2: Hình thành kiến thức 

b) 

CA 

⊥ AD 

 

BA 

⊥ AD (CAD,BAD) = BÂC 

 

(CAD,BAD) 

= AD 

c) Vì 

AC ⊥ BA BÂC = 

o 

( CAD,BAD) = 90 

Định nghĩa: Trong không gian hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 

P 

o 

90 

o 

90 

Q 

* Kí hiệu: (P) ⊥ (Q) ((P),(Q)) = 

o 

90 

+) HĐ 2. 2.3: Khởi động Gợi ý: 

HĐ 2. 2.3.1: Cho hai mặt phẳng 

(P) (Q) = d, đường thẳng a (P) và a ⊥ (Q) 

1) Chứng minh a ⊥ d 

2) Xác định góc giữa (P) và (Q) 

3) Số đo góc giữa (P) và (Q) bằng bao nhiêu độ 


Định lý (điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc) 

1) d (Q), a ⊥ (Q) a ⊥ d 

2) Giả sử: a ⊥ d = O 

Từ O dựng đường 

thẳng b ⊥ d và 

b (Q) 

d ⊥ (a,b) 

(P,Q) = (a,b) 

3) a ⊥ ( Q) 

a ⊥ b 

b ( Q) 

(a,b) = 

o 

90 (P,Q) = 

Trong không gian nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai 

mặt phẳng đó không vuông góc với nhau. 

VD1 (Nhận biết): Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (ABC) 

S 

SA (SAC) 

SA (SAB) 

SA ⊥ (ABC) 

a 

O 

P 

d 

o 

90 

b 

Q 

A 

B

Vậy 

(SAC) ⊥ (ABC) 

(SAB) ⊥ (ABC) 

VD2 (Thực hành): Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh (SBC) 

vuông góc (SAC) 

A 

S 

C 

CB ⊥ SA CB ⊥ ( SAB) 

 

CB 

⊥ AB 

CB (SBC) 

(SBC) ⊥ (SAB) 

B 

+) HĐ 2.2.5: Khởi động Gợi ý: 

HĐ 2.2.5.1: Trong không gian cho hai mặt phẳng (P) 

và (Q) vuông góc với nhau 

1) Mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (Q) theo giao 

tuyến là d không? 

2) Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) 

và a vuông góc d, thì đường thẳng a có vuông 

góc với mặt phẳng (Q) không? 


1) (Q) (P) = d 

2) 

a ⊥ d = O, từ O dựng 

b ⊥ d d ⊥ (a,b) 

(b (Q)) 

(Q,P) = (a,b) = 

a ⊥ b 

a ⊥ (Q) 

Định lý 3: Trong không gian nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a 

nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). 

VD1 (Nhận biết): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB cân nằm trong 

mặt phẳng vuông góc với đáy. Chứng minh tam giác SCD S cân tại S 

Bài giải: 

SAB cân, gọi H là trung điểm AB 

SH ⊥ AB 

(SAB) ⊥ (ABCD) SH ⊥ (ABCD) 

H 

SHC = SHD (c.g.c) 

SC = SD 

A 

D 

VD2 (Thực hành): Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác ASB vuông cân 

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan giác của góc tạo bởi giữa mặt phẳng (SCD) và mặt đáy 

(ABCD) 

Bài giải: 

ASB vuông cân tại S, gọi H là trung điểm AB 

B 

S 

o 

90 

a 

O 

P 

d 

C 

b 

Q

SH ⊥ AB 

SH ⊥ (ABCD), từ H kẻ HE //AD 

HE ⊥ CD = E SE ⊥ CD 

(SCD, ABCD) = 

S ÊH 

a 

SH 

tan( SCD,ABCD) = = 2 = 

HE a 

1 

2 

+) HĐ 2.2.7: Khởi động Gợi ý: 

HĐ 2. 2.7.1: Trong không gian cho 2 mặt phẳng 

(P) và (Q) vuông góc với nhau, A là điểm nằm 

trong (P) 

1) Mặt phẳng (P) và (Q) có cắt nhau theo giao 

tuyến d không? 

2) d và A thuộc mặt phẳng nào? 

3) Qua A dựng được mấy đường thẳng vuông 

góc với d? 

4) XĐ góc giữa (P) và (Q) 

1) (P) (Q) = d 

2) d, A (P) 

3) Qua A dựng được duy nhất đường thẳng a vuông 

góc d 

P 

a 

A 

d 

0 

b 

Q 

HĐ 2.7.2: Trong không gian cho 2 mặt phẳng (P) 

và (Q) không song song và không trùng nhau, 

cùng vuông góc (R) 

1) Mặt phẳng (P) và (Q) có cắt nhau theo giao 

tuyến d không? 

2) Trên mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) lấy 2 

điểm A và B theo thứ tự qua A và B dựng được 

mấy đường thẳng vuông góc với (R) 

3) Giao tuyến của 2 mặt phảng đó có song song 

với 2 đường thẳng vừa dựng không? 


4) d ⊥ a = O, từ O dựng b ⊥ d; b (Q) 

d ⊥ (a,b) ((P), (Q)) = (a,b) = 

a (P) 

1) (P) (Q) = d 

o 

90 

2) Qua A, B dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông 

góc với (R) 

d // a // b 

d ⊥ (R) 

Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì 

đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) 

R 

P 

A 

a 

d 

b 

B 

Q

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng 

vuông góc với mặt phẳng thứ 3 

Hệ quả 3: (SGK) 

VD1 (Nhận biết): Cho hình chóp SABC có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Xác định 

mệnh đề đúng: 

A. SA song song với đáy B. SA nằm trên đáy 

C. SA không vuông góc với đáy D. SA vuông góc với đáy 

VD2 (Thực hành): Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, cạnh AD = 

2BC, AB = BC và hai mặt phảng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ 

(SDC) 

Bài giải: 

(SAB) (SAD) = SA 

(SAB) ⊥ (ABCD) 

(SAD) ⊥ (ABCD) 

SA ⊥ (ABCD) 

Đặt AB = a AD = 2a 

AC = a 2 CD = a 2 

ACD vuông tại C 

CD ⊥ AC 

CD ⊥ SC 

CD ⊥ (SAC) (SCD) ⊥ (SAC) 

S 

A 

B 

C 

D 

TIẾT 3 

2.3. HTKT3: Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương. 

- Mục tiêu: Nắm được định nghĩa lăng trụ đứng, chiều cao của lăng trụ, tính chất của lăng trụ đứng. 



L1: Học sinh làm việc cá nhân giải quyết câu hỏi sau. 

CÂU HỎI 

Câu hỏi 1: a) Em hãy nhắc lại khái niệm hình lăng trụ và 

hình hộp trong chương II quan hệ song song ? 

GỢI Ý 

- Cho ( ) // ( ). Trên ( ) cho đa giác lồi 

A1A2…An. Qua các đỉnh A1, A2, …, An ta vẽ 

các đường thẳng song song với nhau và cắt ( ) 

lần lượt tại A’1,A’2,…,A’n. 

Hình gồm hai đa giác A1A2…An và 

A’1,A’2,…,A’n và các hình bình hành 

A1A’1A’2A2, A2A’2A’3A3, …AnA’nA’1A1 

được gọi là hinh lăng trụ. 

- Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được

gọi la hình hộp. 

b) Nêu tính chất của hình lăng trụ? - Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và 

song song với nhau. 

- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình 

hành. 

- Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác song 

song và bằng nhau. 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm câu hỏi vào giấy nháp. 




hóa lời giải, từ đó nêu định nghĩa lăng trụ đứng và các chú ý. HS viết bài vào vở. 

* Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc các mặt đáy. Độ dài cạnh bên là 

chiều cao của hình lăng trụ. 

* Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, từ giác, ngũ giác,… được gọi là lăng trụ đứng tam giác, từ 

giác, ngũ giác,… 

* Hình lăng trụ đứngcó đáy là hình bình hành gọi là hình hộp đứng. 

* Hình lăng trụ đứngcó đáy là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật. 

* Hình lăng trụ đứngcó đáy là hinh vuông và các mặt bên là hình vuông gọi là hình lập phương. 

* Hình lăng trụ đứngcó đáy là hình bình hành gọi là hình hộp đứng 

Laêng truï Laêng truï ñöùng Laêng truï ñeàu 

Hình hoäp 

Hình hoäp ñöùng 

Hình hoäp chöõ nhaät 

Hình laäp phöông 

L2: Học sinh làm việc cá nhân giải quyết câu hỏi sau. 

CÂU HỎI 

Câu hỏi 2: a) Em hãy cho biết mệnh đề nào sau đây là 

Đúng ? 

E. Hình hộp là hình lăng trụ đứng. 

F. Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng. 

G. Hình lăng trụ là hình hộp. 

H. Có hình lăng trụ không phải là hình hộp. 

GỢI Ý 

A. Sai vì hình họp đứng mới là lăng trụ 

đứng 

B. Đúng 

C. Sai vì lăng trụ chỉ là hình hộp nếu đáy là 

hình bình hành 

D. Đúng 

b) Sáu mặt của hình hộp chữ nhật có phải là hình chữ Sáu mặt của hình hộp chữ nhật là hình chữ nhật. 

nhật hay không? 

. 

* Chú ý: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn vuông góc đáy và là hình chữ nhật. 

- Sản phẩm: Lời giải câu hỏi 1, 2 ; Học sinh biết được nội dung định nghĩa lăng trụ đứng và so sánh điểm 

khác nhau giữa lăng trụ và lăng trụ đứng.

2.4. HTKT6: Hình chóp đều và hình chóp cụt đều. 

- Mục tiêu: Học sinh hiểu hình chóp đêu, hình chóp cụt đều và tính chất của các hình đó. 



L1: HS làm việc cặp đôi lần lượt giải quyết các câu hỏi sau 

CÂU HỎI 

Câu hỏi 1: a) Em hãy nhắc lại khái niệm hình chóp và 

hình chóp cụt trong chương II quan hệ song 

song ? 

GỢI Ý 

HS nghiên cứu SGK- trang 70 

b)Nêu tính chất của hình chóp cụt? 

- Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng 

song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng 

bằng nhau. 

- Các mặt bên là những hình thang. 

- Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng qui 

tại 1 điểm. 

+ Thực hiện: HS làm việc theo cặp đôi, viết lời giải vào giấy nháp. GV quan sát HS làm việc, nhăc 

nhở các em không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc về nội dung bài tập. 

+ Báo cáo, thảo luận: Hết thời gian dự kiến cho từng bài tập, quan sát thấy em nào có lời giải tốt 

nhất thì gọi lên bảng trình bày lời giải. Các HS khác quan sát lời giải, so sánh với lời giải của mình, cho ý 

kiến. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV chỉnh sửa, hoàn thiện lời giải trên bảng.Yêu cầu HS chép lời 

giải vào vở. 

*Định nghĩa1: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là đa giác đều và chân đường 

cao trùng với tâm của đa giác đáy. 

S 

A 

E 

D 

B 

O 

C 

* Nhận xét:Hình chóp đều có các mặt bên là tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với 

đáy các góc bằng nhau. Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau. 

* Định nghĩa 2: Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các 

cạnh bên của hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều. 

** Nhận xét: các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân và các cạnh bên có 

độ dài bằng nhau.

S 

O' 

O 

-Sản phẩm: Lời giải các câu hỏi 1, 2,. Học sinh biết phát hiện ra sự khác nhau giữa hình chóp, chóp cụt và 

hình chóp đều, chóp cụt đều 

L2:HS làm việc theo nhóm đã chia giải quyết câu hỏi sau 

CÂU HỎI 

GỢI Ý 

Có tồn tại 1 hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và 

(SCD) cùng vuông góc với mặt đáy hay không? 

S 

A 

D 

 

B 

O 

C 

Trong () lấy tứ giác ABCD có 2 cạnh AB và 

CD cắt nhau tại O. Ta lấy S() lập nên hchóp 

S.ABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SCD) đều 

vuông góc với mp đáy vì chúng đều chứa SO ⊥ 

(). 

+ Thực hiện: HS làm việc theo nhóm, viết lời giải vào giấy nháp. GV quan sát HS làm việc, nhăc nhở các 

em không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc về nội dung bài tập. 

+ Báo cáo, thảo luận: Hết thời gian dự kiến cho từng bài tập, quan sát thấy em nào có lời giải tốt 

nhất thì gọi lên bảng trình bày lời giải. Các HS khác quan sát lời giải, so sánh với lời giải của mình, cho ý 

kiến. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV chỉnh sửa, hoàn thiện lời giải trên bảng.Yêu cầu HS chép lời 

giải vào vở. 

3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. 

- Mục tiêu: Nắm được định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng, từ đó định nghĩa được hai mặt phẳng vuông góc. 

Nắm được điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau và định lí về giao tuyến 

của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 trong không gian để vận dụng vào 

làm bài toán hình không gian 

Nắm được định nghĩa hình lăng trụ đứng, chóp đều và các tính chất của nó để giải quyết bài 

toán. 



L1: Học sinh làm việc theo nhóm giải quyết bài tập sau ( nhóm 1 ý a, nhóm 2 ý b, nhóm 3 ý c, nhóm 

4 ý d).

BÀI TẬP 

Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các 

cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm 

của hình vuông ABCD. 

GỢI Ý 

HS làm việc theo nhóm. 

a) T 

tính độ dài SO. 

b) G 

gọi M là trung điểm SC. CMR: (MBD) vuông 

góc (SAC) 

c) T 

Tính độ dài OM và tính góc giữa hai mp 

(MBD) và (ABCD). 

d) G 

Gọi H là trung điểm CD. Tính diện tích tam 

giác SCD. 

Bài tập 2: ( trắc nghiệm) 

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác 

vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung 

điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Khẳng định nào 

sau đây đúng ? 

A. ( SBC) ⊥ ( SAB ) B. ( BIH ) ⊥ ( SBC ) C. 

( SAC) ⊥ ( SAB ) D. ( SAC) ⊥ ( SBC ) 


cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là trung 

điểm BC, J là hình chiếu của A lên BC. Góc giữa 2 mặt 

phẳng (SBC) và (ABC) là: A. góc SBA 

SJA 

C. góc SMA D. góc SCA 

B. góc 

Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy 

ABCD là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng 

? 

A. ( AB ' C) ⊥ ( BA' C ') B. ( AB ' C) ⊥ ( B ' BD ) 

C. ( AB ' C) ⊥ ( D ' AB ) D. ( AB ' C) ⊥ ( D ' BC ) 


cân tại A, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, 

( SMC) ⊥ ( ABC ) , ( SBN) ⊥ ( ABC ) , G là trọng tâm tam 

giác ABC, I là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây 

đúng ? 

A. ( SIN) ⊥ ( SMC ) B. ( SAC) ⊥ ( SBN ) 

C. ( SIM ) ⊥ ( SBN ) D. ( SMN) ⊥ ( SAI ) 

. HS làm việc theo nhóm ( nhóm 1 câu 1, nhóm 2 

câu 2, nhóm 3 câu 3, nhóm 4 câu 4 ) 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm câu hỏi vào giấy nháp. 


hoàn thiện lời giải.


hóa lời giải, từ đó nêu định nghĩa lăng trụ đứng và các chú ý. HS viết bài vào vở. 

+Sản phẩm: Lời giải các bài tập. Học sinh biết tính góc hai mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng 

vuông góc. 

4. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG. 

- Mục tiêu: Nắm được định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng, từ đó định nghĩa được hai mặt phẳng vuông góc. 

Nắm được điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau và định lí về giao tuyến 

của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 trong không gian để vận dụng vào 

làm bài toán thực tế 

Nắm được định nghĩa hình lăng trụ đứng, chóp đều và các tính chất của nó để giải quyết bài 

toán thực tế. 



CÂU HỎI 

GỢI Ý 

Câu 1: HS lấy ví dụ cụ thể về hình lập phương, hình hộp 

chữ nhật trong thực tế đời sống? 

Câu 2: quan sát hình ảnh chiếc máy tính, coi man 

hình là mp (P) và bàn phím là mp(Q). Hãy xác định góc 

giữa hai mp (P) và (Q) nếu ta gấp vào hoặc mở ra mp (P) 

Câu 2 : HS quan sát và trả lời câu hỏi

5. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG. 

1. Tìm hiểu về kim tự tháp Ki-op 

Quá trình xây dựng được các nhà Ai Cập học tin là trong khoảng 200 năm, đánh giá được chấp nhận 

rộng rãi nhất cho năm hoàn thành là khoảng 2560 TCN [1] (Thời Cựu Vương Quốc). Năm hoàn thành 

này được ủng hộ một cách không chắc chắn bởi những khám phá khảo cổ tới bây giờ vẫn chưa tiết 

lộ một nền văn minh nào (hay một dân số đủ lớn hay đủ khả năng kỹ thuật) xưa hơn Triều đại thứ tư 

trong khu vực này. 

Đại Kim Tự Tháp này là mới nhất và lớn nhất trong ba kim tự tháp trong vùng Giza Necropolis giáp 

với Cairo, Ai Cập ở châu Phi. Nó là phần chính của một cấu trúc phức tạp các công trình bao gồm 

cả hai ngôi đền nhà xác để thờ Kheops (một gần kim tự tháp và một gần sông Nil), ba kim tự tháp 

nhỏ hơn cho các bà vợ của Kheops, và một kim tự tháp "vệ tinh" nhỏ hơn, một đường đắp cao nối 

hai ngôi đền và một nhà mồ nhỏ bao quanh kim tự tháp cho các quý tộc. Một trong các kim tự tháp 

nhỏ chứa mộ của hoàng hậu Hetepheres (khám phá năm 1925), em gái và vợ của Sneferu và mẹ của 

Kheops. Cũng có thành phố cho công nhân, bao gồm mộtnghĩa trang, các tiệm bánh, một xưởng 

làm bia và một khu để luyện (nấu chảy) đồng. Nhiều tòa nhà và các khu cấu trúc khác đang được 

khám phá bởi Dự án vẽ bản đồ Giza. 

Cách vài trăm mét về phía tây nam Kim tự tháp Kheops là một kim tự tháp hơi nhỏ hơn khác, Kim 

tự tháp Khafre, một trong những người kế vị Kheops và được tin rằng là người đã xây dựng Đại 

Sphinx Giza Đại Nhân sư. Thêm vài trăm mét nữa ở phía tây nam làKim tự tháp Menkaure, người 

kế vị Khafre, với chiều cao khoảng một nửa Đại kim tự tháp. Hiện nay, kim tự tháp Khafre là kim tự 

tháp cao nhất trong nhóm bởi Đại kim tự tháp đã mất khoảng 30 feet chiều cao vật liệu trên đỉnh. 

Thời cổ đại, Kim tự tháp Kheops quả thực là cao nhất, nhưng trên thực tế khi ấy kim tự tháp Khafre 

nhìn vẫn có vẻ cao hơn vì các cạnh của nó có góc đứng hơn so với Kim tự tháp Kheops và nó được 

xây dựng trên thế đất cao hơn. 

2.Sử dụng kiến thức đã học về hình lẳng trụ đứng, hình chóp đều yêu cầu hóc sinh dựng mô hình lăng 

trụ đứng, hinh lập phương, hình chóp đều bằng các chất liệu tre, dây thép, thanh sắt nhỏ để phục vu 

cho các tiết học và từ đó thiết kế đèn lồng.

HẾT

CHỦ ĐỀ: KHOẢNG CÁCH (3 TIẾT) 




gian 


Tiết 1 

KT1: Khoảng cách từ một điểm 

đến một đường thẳng, đến một 

mặt phẳng 

Tiết 2 

Tiết 3 





KT2: Khoảng cách giữa đường 

thẳng và mặt phẳng song song, 

giữa hai mặt phẳng song song 

KT3: Đường vuông góc chung 

và khoảng cách giữa hai đường 

thẳng chéo nhau 



1. Về kiến thức: Học sinh biết và xác định được: 

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song 

song 

+ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng 

chéo nhau. 


+ Biết xác định hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng. 

+ Biết xác định hình chiếu của một điểm trên đường thẳng. 

+ Tính thành thạo các loại khoảng cách. 


+ Liên hệ được với nhiều vấn đề có trong thực tế với khoảng cách trong không gian. 

+ Có nhiều sáng tạo trong hình học. 

+ Hứng thú trong học tập, tích cực phát huy tính độc lập trong học tập. 

+ Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm 

+ Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn 

4. Năng lực, phẩm chất: 

+ Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.

+ Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải 


+ Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động kiến thức đã học để giải quyết các câu 

hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. 

+ Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, các phần mềm hỗ trợ học tập 

để xử lý các yêu cầu bài học. 

+ Năng lực thuyết trình báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. 

+ Năng lực tính toán. 



+ Soạn KHBH 

+ Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phấn, thước kẻ, máy chiếu... 


+ Đọc trước bài 

+ Làm BTVN 

+ Chuẩn bị thước dây để đo. 

+ Kê bàn để ngồi học theo nhóm 

+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … 


Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao 

Khoảng cách từ 

một điểm đến một 


Khoảng cách từ 

một điểm đến mặt 

phẳng 

Khoảng cách giữa 

đường thẳng và mặt 

phẳng song song 


hai mặt phẳng song 

song 

Đường vuông góc 

chung của hai 

đường thẳng chéo 

nhau 


hai đường thẳng 

chéo nhau. 

Đi tìm hình chiếu 

vuông góc của 

điểm trên đường 

thẳng 



điểm trên mặt 

phẳng 



điểm thuộc đường 

thẳng trên mặt 

phẳng 



điểm thuộc mặt 

phẳng này trên mặt 

phẳng kia 

Đi tìm một đường 

thẳng cùng vuông 

góc với hai đường 


Đi tìm một đường 

thẳng cùng vuông 

góc với hai đường 


Tìm được hình 

chiếu vuông góc 

của điểm trên 




của điểm trên mặt 

phẳng 



của điểm thuộc 

đường thẳng trên 

mặt phẳng 



của điểm thuộc mặt 

phẳng này trên mặt 

phẳng kia 

Tìm được một 

đường thẳng cùng 

vuông góc với hai 


nhau 

Tìm được một 

đường thẳng cùng 

vuông góc với hai 


nhau 

Tìm được khoảng 

cách từ một điểm 

đến một đường 

thẳng 



đến mặt phẳng 


cách giữa đường 

thẳng và mặt phẳng 

song song 


cách giữa hai mặt 

phẳng song song 

Tìm được đường 

vuông góc chung 

của hai đường 



cách giữa hai 


nhau 

Sử dụng cách tìm 

khoảng cách vào 

đo đạc các bài 

toán thực tế 




















toán thực tế

IV. Thiết kế câu hỏi và bài tập theo các mức độ. 

Câu hỏi và bài tập sử dụng trong tiết 2: 

Câu 1. (tiếp cận lí thuyết đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau). 

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh: 

MN ⊥ BC; MN ⊥ AD 

Ví dụ 2 (NB). 

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường 

thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. 

B. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa 

đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. 

C. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông góc 

với cả hai đường thẳng đó. 

D. Các mệnh đề tyển đều sai. 

Ví dụ 3 (TH) 


A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng 

đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại. 

B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng 

đó và mặt phẳng vuông góc với nó, chứa đường thẳng còn lại. 

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 

lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 

D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm nằm trên đường 

thẳng này đến đường thẳng kia. 


Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng 

chéo nhau: A’B’ và AD; BD và B’C’ 

Ví dụ 4 (VD) 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. SA vuông góc với mặt 

đáy; SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 

Ví dụ 5 (VD) 

a) SC và BD b) AC và SD 

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; SA ⊥ (ABC); SA = a. Khoảng cách giữa hai 

đường thẳng chéo nhau SC và AB là: 

a 

A. 

21 

. B. 

3 

a 2 

2 

a a 21 

; C. ; D. 2 7 

Ví dụ 6 (VD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường cao SO ⊥ 

(ABCD); SO = a. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SC và AB là: 

A. 

2a a 

; B. 

36 

5 

; C. 

a ; 

5 

D. 

2 

a 

Câu hỏi và bài tập sử dụng trong tiết 3 

Bài tập luyện tập : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB= BC 

=a, cạnh bên AA’ = a 

2 . Gọi M là trung điểm của BC. 

1/ (NB) Tính khoảng cách từ điểm A’ đến mặt phẳng (ABC). 

2/ (NB) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ. 

3/ (TH) Tính khoảng cách giữa đường AA’ đến (BB’C’C). 

4/ (VD thấp) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C). Từ đó suy ra khoảng cách từ M đến 

(AB’C) 

5/ (TH) Tính khoảng cách giữa đường thẳng BB’ đến mặt phẳng (AA’C’C) 

6/ ( VD) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C 

Bài toán 1( VD thấp) : Đối với đất nước A, tòa nhà B cao 18m là trung tâm chính trị của Quốc gia 

đó. Ông C là chủ đầu tư của một công trình dự kiến hình hộp có: 16 tầng nổi và 3 tầng hầm, mỗi 

tầng cao 3,9m và công trình đó cách tòa nhà A 500m. Nếu ở độ cao gấp 3 lần chiều cao của tòa nhà 

B trở lên thì sẽ quan sát được toàn bộ tòa nhà B. Vì lý do chính trị, nếu bạn là người được cấp phép 

xây dựng công trình trên thì bạn sẽ cho phép công trình đó xây bao nhiêu tầng? tại sao? 

Bài toán 2 ( VD cao): Nhà bạn An có một vườn 500 cây cao su với chiều cao mỗi cây từ 18m đến 

25m, mỗi ngày thu nhập 300 000 VNĐ/ ngày ( đây là nguồn thu nhập chính của gia đình An, cây 

cao su cao trên 20m rất dễ gãy). Vườn cây này nằm bên cạnh đường dây trung thế 22kv của Công ty 

Điện Lực. Những cây cao su này đều nằm ngoài hành lang an toàn lưới điện.Nhưng khi đi kiểm tra 

hành lang an toàn lưới điện công ty Điện Lực lại động viên gia đình An chặt bớt 25 cây cao su có 

khoảng cách từ gốc cây đến đường thẳng nối các cột điện từ 7m đến 10m. Nếu chặt công ty sẽ hỗ trợ 

5 triệu VNĐ/cây. Bố mẹ An không muốn chặt vì thiệt hại rất lớn về kinh tế của gia đình nhưng nếu 

không chặt mà trong khi mưa bão cây đổ vào đường dây thì sẽ bị phạt số tiền rất lớn vì nếu cây đổ 

vào dây điện sẽ nguy hiểm đến tính mạng con người và gây thiệt hại lớn cho công ty Điện Lực và 

những công ty, nhà máy khác trên địa bàn tỉnh. Nếu bạn là An, bạn sẽ kiểm tra xem độ cao an toàn 

của lưới điện có phù hợp với quy định theo nghị định số: 14/2014/NĐ – CP ngày 26 tháng 2 năm 

2014 hay không? Khi đó bạn sẽ giải thích thế nào cho gia đình An để chọn phương án hợp lý nhất? 

Biết rằng đường dây này có vỏ trần nên khoảng cách an toàn phóng điện đối với vật, dụng cụ, cây 

cối… là 2m và khoảng cách từ điểm thấp nhất của dây dẫn điện ở trạng thái võng cực đại đến mặt 

đất là 14m. 

Bài tập củng cố: 

Câu 1. ( TH) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC 

bằng: 

A. 2 

a 

B. 3 

a 

C. 

a 2 

2 

Câu 2.(TH) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 ( đvd). Khoảng cách giữa AA’ 

và BD’ bằng: 

D. 

a 3 

3

A. 

3 

3 

B. 

2 

2 

C. 

2 2 

5 

D. 

3 5 

7 

Bài tập về nhà: 

Câu 3.(VD) Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần 

lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( MNP) và ( ACC’). 

A. 

a 3 

3 

B. 4 

a 

C. 3 

a 

D. 

a 2 

4 

Câu 4. (VD)Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 

60 0 , đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B, C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng 

trụ. 

A. a B. a 2 C. 

a 3 

2 

Câu 5. (VD)Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến ( BCD) bằng: 

A. 

a 6 

2 

B. 

a 6 

3 

C. 

a 3 

6 

D. 

D. 

2a 

3 

a 3 

3 

Bài tập 2 (VD): Tìm hiểu cách kiểm tra độ an toàn phóng điện giữa các đường dây cao thế ? 

V. Tiến trình dạy học 

TIẾT 1 

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG. 

- Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận khái niệm “khoảng cách” và một số bài toán minh 

họa cho bài toán tính khoảng cách, các khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, 

khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, 

khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo 

nhau, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 


+ Chuyển giao: Chia lớp thành 4 nhóm 

Nhóm 1: 

- Đo khoảng cách từ chỗ cô giáo đứng trên chỗ bàn giáo viên đến đường thẳng chân tường ở cuối 

lớp. 

- Đo khoảng cách từ chỗ cô giáo đứng trên chỗ bàn giáo viên đến bức tường ở cuối lớp. 

Nhóm 2: 

- Đo khoảng cách từ đường thẳng chân tường đầu lớp đến đường thẳng chân tường ở cuối lớp. 

- Đo khoảng cách từ trần nhà đến mặt đất ( phòng học hình hộp). 

Nhóm 3: 

- Tìm một đường thẳng mà cùng vuông góc với cả hai đường thẳng: đường thẳng thứ nhất là giao 

giữa mặt phẳng bảng với trần nhà, đường thẳng thứ 2 là đường thẳng giao của bức tường trong và 

cuối của phòng học hình hộp. 

- Đo chiều dài bức tường trong của phòng học. 

Nhóm 4: Cho đo trước ở nhà 

- Đo khoảng cách từ lớp học đến cổng trường. 

- Đo khoảng cách từ thành phố Ninh Bình đến thành phố Hà Nội. 

+ Thực hiện: Các nhóm đo và viết kết quả vào bảng phụ.

+ Báo cáo, thảo luận: Các nhóm trình bày trước lớp, các nhóm khác phản biện và góp ý 

kiến. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Giáo viên đánh giá chung và giải thích các vấn đề học sinh chưa 

giải quyết được, qua đó khái quát về cách tìm khoảng cách trong từng trường hợp. Chiếu mô hình 

phòng học thu nhỏ là một hình hộp chữ nhật và cho học sinh liên hệ khoảng cách đã đo trên hình 

hộp chữ nhật, từ đó dẫn dắt vào bài. 

A 

B 

D 

C 

A' 

B' 

D' 

C' 

- Sản phẩm: Kết quả đo được của các nhóm. 

2. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC. 

2.1. HTKT1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT 

MẶT PHẲNG. 

a) HĐ 2.1.1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG 

- Mục tiêu: Tiếp cận hoạt động khởi động. Hình thành nội dung của khoảng cách từ một điểm đến 

một đường thẳng. 


+ Chuyển giao: Từ hoạt động khởi động mô phỏng bằng hình vẽ. Trình chiếu hình vẽ 

H1: Nhìn hình vẽ em hãy nhận xét H là gì của điểm O trên a? 

TL1: H là hình chiếu của O trên a. 

H2: Lấy M bất kì thuộc a. So sánh OM với OH? 

TL2: OH < OM 

H3: Khoảng cách từ O tới đường thẳng a là đoạn nào? 

TL3: d(O, a) = OH 

+ Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và trả lời câu hỏi. 

+ Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trả lời câu hỏi, các học sinh khác thảo 

luận để hoàn thành câu trả lời. 


chuẩn hóa câu trả lời, từ đó nêu kết luận: Khoảng cách từ O đến a là bé nhất so với khoảng cách ừ O 

đến một điểm bất kì thuộc a. Viết định nghĩa. HS viết bài vào vở. 

b) HĐ 2.1.2. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG. 

- Mục tiêu: Tiếp cận hoạt động khởi động. Hình thành nội dung của khoảng cách từ một điểm đến 

một mặt phẳng. 


+ Chuyển giao: Từ hoạt động khởi động mô phỏng bằng hình vẽ. Trình chiếu hình vẽ

H1: Nhìn hình vẽ em hãy nhận xét H là gì của điểm O trên ()? 

TL1: H là hình chiếu vuông góc của O lên (). 

H2: Lấy M bất kì thuộc (). So sánh OM với OH? 

TL2: OH < OM 

H3: Khoảng cách từ O tới () là đoạn nào? 

TL3: d(O, ()) = OH 





chuẩn hóa câu trả lời, từ đó nêu kết luận: Khoảng cách từ O đến () là bé nhất so với khoảng cách ừ 

O đến một điểm bất kì thuộc (). Viết định nghĩa. HS viết bài vào vở. 

2.2. HTKT2: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, 

GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. 

a) HĐ 2.2.1. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 

- Mục tiêu: Tiếp cận hoạt động khởi động. Hình thành nội dung của khoảng cách gữa đường thẳng 

và mặt phẳng song song. 



H1: Cho A, B là 2 điểm bất kì thuộc a. Nhìn hình vẽ em hãy nhận xét A ’ , B ’ lần lượt là gì của điểm 

A, B trên ()? 

TL1: A ’ , B ’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (). 

H2: So sánh AA ’ với AB ’ ? 

TL2: AA ’ < AB ’ 

H3: Khoảng cách giữa a và () là đoạn nào? 

TL3: d(a, ()) = d(A, ()) = AA ’ = d(B, ()) = BB ’ 





chuẩn hóa câu trả lời, từ đó nêu kết luận: Khoảng cách giữa a và () là bé nhất so với khoảng cách 

từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc (). Viết định nghĩa. HS viết bài vào vở. 

b) HĐ 2.2.2. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 

- Mục tiêu: Tiếp cận hoạt động khởi động. Hình thành nội dung của khoảng cách gữa hai mặt phẳng 

song song. 

- Nội dung, phương thức tổ chức:


H1: Cho M thuộc () , M ’ là hình chiếu vuông góc của M trên (β), N là điểm bất kì trên (β). . Nhìn 

hình vẽ em hãy so sánh MM ’ với MN? 

TL1: MM ’ < MN 

H2: Khoảng cách giữa () và (β) là đoạn nào? 

TL2: d((),(β)) = d(M, (β)) = d(M ’ , ()) = MM ’ 





chuẩn hóa câu trả lời, từ đó nêu kết luận: Khoảng cách giữa () và (β) là bé nhất so với khoảng cách 

từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia. Viết định nghĩa. HS 

viết bài vào vở. 

* Củng cố: Bài tập: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c 

H:a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) 

b) Tính khoảng cách giữa BB’ và (ACC’A ’ ) 

B 

C 

A 

H 

D 

B' 

C' 

TL: a) Trong (ABCD) kẻ BH 

d ( B; ( ACC' A' )) 

= BH 

⊥ AC 

A' 

D' 

Trong tam giác vuông ABC có: 

1 1 1 AB + AC 

= + = 

2 2 2 2 2 

BH AB AC AB .AC 

2 2 

2 2 

1 a + b a.b 

= BH = 

BH a .b a + b 

2 2 2 2 2 

b) 

( ( )) d B; ( ACC' A' ) 

d BB'; ACC' A' 

a.b 

( ) 

2 2 

= = 

a 

+ b

TIẾT 2 


III. HTKT3: ĐƯỜNG VUÔNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI 

ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 

*) Mục tiêu: Học sinh nắm được định nghĩa về đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo 

nhau.Biết cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đồng thời biết cách 

xác định khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau đó. 

*) Đưa ra các phần lí thuyết và có ví dụ ở mức độ nhận biết, thông hiểu. 

*) Kỹ thuật tổ chức: Thuyết trình, tổ chức hoạt động nhóm 

*) Sản phẩm: Học sinh nắm được định nghĩa và cách xác định đường vuông góc chung của hai 

đường thẳng chéo nhau; Học sinh giải được các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu. 

HĐIII.1. Khởi động (Tiếp cận) 

HĐIII.1.1: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, 

N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD. 

Chứng minh: MN ⊥ BC; MN ⊥ AD 

GỢI Ý 

Tam giác AMD cân tại M nên MN ⊥ AD 

Tam giác BNC cân tại N nên MN ⊥ BC

HĐIII.1.2: 

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tìm 

đường thẳng d cắt cả a và b đồng thời d 

vuông góc với cả a và b 

Do a và b chéo nhau nên có duy nhất mp (Q) 

chứa đường thẳng b và (Q)// a. mp (P ) đi qua 

a và vuông góc với (Q) cắt b tại N. Gọi d là 

đường thẳng đi qua N và vuông góc với (Q) 

thì d nằm trong (P), đo đó d cắt a tại M. d là 

đường thẳng cần tìm. 

HĐIII.2: Hình thành kiến thức 

Từ HĐIII.1.1và HĐIII.1.2: MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng 

chéo nhau BC và AD; a và b; d được gọi là đường vuông góc chung của a và b 

Định nghĩa: 

+) Đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng chéo nhau a ,b và cùng vuông góc với mỗi đường 

thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b 

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai 

đường thẳng đó 

Ví dụ 1 (NB). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 

A. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa 

đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia. 

B. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng 

chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. 

C. Một đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau nếu nó vuông 

góc với cả hai đường thẳng đó. 

D. Các mệnh đề tyển đều sai. 



A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường 

thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại. 

B. . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai 

đường thẳng đó và mặt phẳng vuông góc với nó, chứa đường thẳng còn lại.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song 

song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 

D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm nằm trên 

đường thẳng này đến đường thẳng kia. 


Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng 

chéo nhau: A’B’ và AD; BD và B’C’ 

HĐIII.3: Củng cố 

GỢI Ý 

HĐIII.3.1 Cho hình chóp S.ABCD có 

đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. 

SA vuông góc với mặt đáy; SA = a. Tính 

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 

nhau: 

a) SC và BD 

b) AC và SD 

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. 

Từ O kẻ OH ⊥ SC. 

Ta có BD ⊥ (SAC) => BD ⊥ OH 

OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD 

d( SC; BD) = OH. 

Có AC = a 2 ; SA = a; SC = 

2 

SA + 

AC 

2 

SC = a 3 

HOC 

đồng dạng ASC 

HO OC 

a 

=> = => HO = . 

SA SC 

66 

b) Kẻ Dx // AC. AE ⊥ Dx; AE ⊥ SE. 

Khi đó: 

d(AC; SD) = d(AC; (S; Dx)) = 

= d(A; (SDE)) = AF . 

có 

1 

AF 

2 

1 

= 

AS 

2 

1 

+ 

AE 

2 

= 

1 

2 

a 

1 

+ 

a 2 

( ) 

2 

2

HĐIII.3.2: Cho hình chóp S.ABC có đáy 

là tam giác đều cạnh a; SA ⊥ (ABC); SA 

= a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 

chéo nhau SC và AB là: 

D 

AF = 

a 3 

2 

a 

A. 

21 

. B. 

3 

a 2 

2 

a a 21 

; C. ; D. 2 7 

HĐIII.3.3: Cho hình chóp S.ABCD có 

đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. 

Đường cao SO ⊥ (ABCD); SO = a. 

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau 

SC và AB là: 

A 

A. 

2a a ; B. 

36 

5 

; C. 

a ; 

5 

D. 

2 

a 

4.Bài tập về nhà 

Giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị trước nội dung cho tiết sau ( kèm theo nhiệm vụ của mỗi 

nhóm)

TIẾT 3 

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP, MỞ RỘNG VÀ TÌM TÒI KHÁM PHÁ 


1. Về kiến thức: Học sinh biết vận dụng kiến thức về khoảng cách để: 

+Tính: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 

+Tính: khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng 

song song 

+ Xác định được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa hai 

đường thẳng chéo nhau. 

+ Vận dụng lí thuyết vào bài toán xác định và tính khoảng cách trong thực tiễn đời sống. 

+ Biết cách tìm tòi và mở rộng bài toán khoảng cách trong thực tế đời sống. 


+ Học sinh vẽ đúng hình từ các giả thiết , biết nhận xét hình vẽ và định hướng được cách giải từ hình 

vẽ và các dữ kiện của đề bài. 

+ Biết áp dụng kiến thức đã học vào bài toán cụ thể. 

+ Hình dung và nắm được phương pháp tính khoảng cách. 

+ Vận dụng bài toán khoảng cách giải quyết một số bài tập liên quan. 

+ Rèn luyện kỹ năng vẽ hình không gian, tư duy hình học. 


+ Liên hệ được với nhiều vấn đề có trong thực tế với khoảng cách trong không gian. 

+ Có nhiều sáng tạo trong hình học. 

+ Hứng thú trong học tập, tích cực phát huy tính độc lập trong học tập. 

+ Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm 


4. Năng lực, phẩm chất: 

+ Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động. 

+ Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải 


+ Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động kiến thức đã học để giải quyết các câu 

hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. 

+ Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, các phần mềm hỗ trợ học tập 

để xử lý các yêu cầu bài học. 

+ Năng lực thuyết trình báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. 

+ Năng lực tính toán. 



+ Soạn KHBH 

+ Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phấn, thước kẻ, máy chiếu... 


+ Nghiên cứu trước bài tập đã giao từ tiết trước và chuẩn bị những nội dung đã được phân công.

+ Làm BTVN 

+ Kê bàn để ngồi học theo nhóm 

+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … 

III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: 

+ Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp đối tượng học sinh. 

+ Về cơ bản: Sử dụng PPDH gợi mở vấn đáp đan xen phương pháp truyền thống, có kết hợp 

hoạt động nhóm. 

IV: TIẾN TRÌNH BÀI HỌC 

1. Ốn định tổ chức: 

+ Kiểm tra sĩ số, vệ sinh, nề nếp, tác phong. 

2. Kiểm tra bài cũ: đan xen trong tiết học. 


Mục đích: Giúp học sinh củng cố, hoàn thiện kiến thức, kỹ năng vừa lĩnh hội được. 

Nội dung, phương thức tổ chức: 

- Chuyển giao: 

Bài tập : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB= BC =a, cạnh 

bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. 

1/ Tính khoảng cách từ điểm A’ đến mặt phẳng (ABC). 

2/ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ. 

3/ Tính khoảng cách giữa đường AA’ đến (BB’C’C). 

4/ Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AB’C). Từ đó suy ra khoảng cách từ M đến (AB’C) 

5/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng BB’ đến mặt phẳng (AA’C’C) 

6/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C 

- Thực hiện: 

+ Hỏi vấn đáp về tính chất của lăng trụ đứng. Học sinh nhớ lại kiến thức rồi trả lời. 

+ Đại diện một học sinh lên vẽ hình trên bảng, các học sinh khác tự vẽ hình vào vở. 

A' 

B' 

C' 

A' 

B' 

C' 

H 

N 

A 

B 

K 

M 

C 

A 

B 

E 

I 

M 

C

+ Hỏi vấn đáp hai ý đầu tiên. 

+ Học sinh làm việc cá nhân, suy nghĩ và trả lời trước lớp. 

+Học sinh khác bổ sung, thắc mắc. 

+Giáo viên chốt kiến thức, khắc sâu kiến thức cơ bản. 

Chia lớp thành 4 nhóm nhỏ: 

Nhóm 1: Tính khoảng cách giữa đường AA’ đến (BB’C’C). 

Nhóm 2: Tính khoảng cách từ B đến (AB’C). Tính khoảng cách từ M đến (AB’C). 

Nhóm 3: Tính khoảng cách từ đường BB’ đến (AA’C’C). 

Nhóm 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. 

+ Các nhóm thực hiện và viết kết quả vào bảng phụ. 

- Báo cáo, thảo luận: 

+ Các nhóm trình bày sản phẩm của mình, báo cáo trước lớp. 

+ Các nhóm khác phản biện và góp ý kiến. 

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: 

+ Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa câu trả lời, từ đó nêu nhận xét và tổng 

hợp. 

Nội dung 

1/ Tính khoảng cách từ điểm A’ đến mặt 

phẳng (ABC). 

2/ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy 

của lăng trụ. 

3/ Tính khoảng cách giữa đường AA’ đến 

(BB’C’C). 

4/ Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng 

(AB’C). 

Gợi ý và đáp án 

Ta có: d(A’,(ABC)) = AA’ = a 2 

Ta có: d((A’B’C’), (ABC)) =AA’ = a 2 

Do AA’//(BB’C’C) nên d(AA’, (BB’C’C)) =d(A, (BB’C’C)) 

=AB =a 

4/ Gọi K là trung điểm của AC. Kẻ BH ⊥ B’K thì BH ⊥ 

(AB’C). Nên d(B,(AB’C)) =BH. 

1 1 1 a 10 

Ta có: = + BH = 

2 2 2 

BH BK BB ' 5 

Vậy d(B,(AB’C)) = 

a 10 

5 

Tính khoảng cách từ M đến (AB’C). 

*Nhận xét: M là trung điểm của BC nên ta có: 

d(M, (AB’C)) = 1 2 d(B,(AB’C)) = a 10 

10 

5/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng BB’ 

đến mặt phẳng (AA’C’C) 

Do BB’//(AA’C’C) nên d(BB’, (AA’C’C)) =d(B,(AA’C’C) 

= BK = 

a 2 

2

6/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 

AM và B’C 

Gọi N là trung điểm của B’C thì CB’//MN nên 

CB’//(AMN). 

Vậy d(B’C,AM) = d(B’C, (AMN))= 

d(B’,(AMN))=d(B,(AMN)). 

Kẻ BI ⊥ AM và kẻ BE ⊥ NI thì BE ⊥ (AMN) nên BE là 

khoảng cách cần tìm. 

Ta có: 

1 1 1 1 1 1 a 7 

= + = + + BE = 

2 2 2 2 2 2 

BE BI BN AB BM BN 

7 

+ So sánh hai kết quả của nhóm 2 . (Giáo viên giải thích rõ cho học sinh). 

+ Các khoảng cách (giữa đường với mặt, hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau) đều 

có thể quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 

Sản phẩm: Các kết quả trên bảng phụ của học sinh. 

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, MỞ RỘNG. 

Mục tiêu: Giúp học sinh có thể vận dụng lí thuyết khoảng cách đã học áp dụng vào các bài toán thực 

tế và từ đó học sinh có thể giải thích được các hiện tượng, sự việc đã, đang diễn ra trong cuộc sống 

hiện tại. 

Nội dung, phương thức tổ chức: 

- Chuyển giao: 

Bài toán 1: Đối với đất nước A, tòa nhà B cao 18m là trung tâm chính trị của Quốc gia đó. Ông C là 

chủ đầu tư của một công trình dự kiến hình hộp có: 16 tầng nổi và 3 tầng hầm, mỗi tầng cao 3,9m 

và công trình đó cách tòa nhà A 500m. Nếu ở độ cao gấp 3 lần chiều cao của tòa nhà B trở lên thì sẽ 

quan sát được toàn bộ tòa nhà B. Vì lý do chính trị, nếu bạn là người được cấp phép xây dựng công 

trình trên thì bạn sẽ cho phép công trình đó xây bao nhiêu tầng? tại sao? 

Bài toán 2: Nhà bạn An có một vườn 500 cây cao su với chiều cao mỗi cây từ 18m đến 25m, mỗi 

ngày thu nhập 300 000 VNĐ/ ngày ( đây là nguồn thu nhập chính của gia đình An, cây cao su cao 

trên 20m rất dễ gãy). Vườn cây này nằm bên cạnh đường dây trung thế 22kv của Công ty Điện Lực. 

Những cây cao su này đều nằm ngoài hành lang an toàn lưới điện.Nhưng khi đi kiểm tra hành lang 

an toàn lưới điện công ty Điện Lực lại động viên gia đình An chặt bớt 25 cây cao su có khoảng cách 

từ gốc cây đến đường thẳng nối các cột điện từ 7m đến 10m. Nếu chặt công ty sẽ hỗ trợ 5 triệu 

VNĐ/cây. Bố mẹ An không muốn chặt vì thiệt hại rất lớn về kinh tế của gia đình nhưng nếu không 

chặt mà trong khi mưa bão cây đổ vào đường dây thì sẽ bị phạt số tiền rất lớn vì nếu cây đổ vào dây 

điện sẽ nguy hiểm đến tính mạng con người và gây thiệt hại lớn cho công ty Điện Lực và những 

công ty, nhà máy khác trên địa bàn tỉnh. Nếu bạn là An, bạn sẽ kiểm tra xem độ cao an toàn của 

lưới điện có phù hợp với quy định theo nghị định số: 14/2014/NĐ – CP ngày 26 tháng 2 năm 2014 

hay không? Khi đó bạn sẽ giải thích thế nào cho gia đình An để chọn phương án hợp lý nhất? Biết 

rằng đường dây này có vỏ trần nên khoảng cách an toàn phóng điện đối với vật, dụng cụ, cây cối… 

là 2m và khoảng cách từ điểm thấp nhất của dây dẫn điện ở trạng thái võng cực đại đến mặt đất là 

14m.

- Thực hiện, báo cáo, nhận xét đánh giá: 

Học sinh báo cáo sản phẩm mà giáo viên giao về nhà cho các nhóm 

Nhóm 1: Nêu cách giải quyết của bài toán 1. 

+ Nhóm trưởng đặt câu hỏi cho các nhóm khác: “ Cách đo chiều cao của tòa nhà hình hộp?” 

+ Các thành viên trong lớp thảo luận và trả lời. 

+ Đại diện một học sinh của nhóm lên báo cáo bài toán 1. 

+sản phẩm của nhóm: Nhóm trình bày bằng bảng phụ hoặc slide trình chiếu. 

+ Các nhóm khác góp ý, bổ sung, nhận xét. 

+ Giáo viên chốt kiến thức và giải đáp thắc mắc. 

Nhóm 2: Trình chiếu hình ảnh vi phạm hành lang an toàn điện dân dụng và tìm hiểu một vài 

vụ tai nạn điện trong dân 

+ Cho học sinh thảo luận và đưa ra các nhận xét về vi phạm hành lang an toàn của lưới điện.

Nhóm 3: Tìm hiểu hành lang an toàn của lưới điện trung thế 22kv và lưới điện cao thế 220kv. 

+ “Theo thống kê của Tập đoàn Điện Lực Việt Nam thì năm 2016 đã có 73 vụ tại nạn điện trong 

dân, tăng 14 vụ so với năm 2015”.Lí do chủ yếu là hành lang bảo vệ an toàn lưới điện bị xâm phạm. 

+ Do đó theo nghị định số: 14/2014/NĐ – CP ngày 26 tháng 2 năm 2014 đưa ra quy định chi tiết thi 

hành luật điện lực về an toàn điện. Trong đó đối với lưới điện trung thế 22kv có quy định: “ Khoảng 

cách từ điểm thấp nhất của dây dẫn điện ở trạng thái võng cực đại đến mặt đất là 14m; khoảng cách 

an toàn phóng điện đối với dây bọc là 1,0m và đối với dây trần là 2,0m”. 

Đối với lưới điện cao thế 220kv có quy định: “ Khoảng cách từ điểm thấp nhất của dây dẫn điện ở 

trạng thái võng cực đại đến mặt đất là 18m; khoảng cách an toàn phóng điện đối với dây trần là 

6,0m”. 

+ Sản phẩm của nhóm: Văn bản phát đến từng học sinh trong lớp. Kèm theo 10 hành vi nghiêm 

cấm của pháp luật về hành lang an toàn lưới điện. 

Nhóm 4: Giải quyết bài toán 2. 

+ Nhóm trưởng đặt câu hỏi cho các nhóm khác: “ Cách đo khoảng cách an toàn từ đường dây 

điện đến mặt đất ( coi đường dây là đường thẳng song song với mặt đất) ?” 

+ Các thành viên trong lớp thảo luận và trả lời. 

+ Đại diện một học sinh của nhóm lên báo cáo cách kiểm tra độ an toàn của lưới điện trung thế 22kv 

so với mặt đất. 

+ Các nhóm khác góp ý, bổ sung, nhận xét. 

+ Đại diện một học sinh của nhóm lên báo cáo cách kiểm tra độ an toàn phóng điện và từ đó đưa ra 

quyết định cho gia đình An là: “nên chặt 25 cây cao su theo yêu cầu của công ty Điện Lực”. 

+ Giáo viên chốt kiến thức và giải đáp thắc mắc. 

+sản phẩm của nhóm: Nhóm trình bày bằng bảng phụ hoặc slide trình chiếu. 

Giáo viên nhấn mạnh: Khi tham gia an toàn lưới điện chúng ta phải chú ý đến điều gì? Có nên thả 

diều, bóng bay nơi có đường dây điện không? Tại sao trên một số còn đường có biển chiều cao an 

toàn 4,5m?... 

HOẠT ĐỘNG MỞ RỘNG 

Bạn có biết:Cách đo khoảng cách từ trái đất đến các thiên thể trong hệ mặt trời?

Bài tập củng cố: ( phát bài cho học sinh) 

Bài tập 1: Trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau 

Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng: 

A. 2 

a 

B. 3 

a 

C. 

a 2 

2 

Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 ( đvd). Khoảng cách giữa AA’ và 

BD’ bằng: 

A. 

3 

3 

Bài tập về nhà: 

B. 

2 

2 

Câu 3. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là 

trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( MNP) và ( ACC’). 

A. 

a 3 

3 

B. 4 

a 

C. 

C. 3 

a 

2 2 

5 

D. 

D. 

D. 

a 3 

3 

3 5 

7 

a 2 

4 

Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60 0 , 

đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B, C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ. 

A. a B. a 2 C. 

a 3 

2 

Câu 5. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến ( BCD) bằng: 

A. 

a 6 

2 

B. 

a 6 

3 

C. 

a 3 

6 

Bài tập 2: Tìm hiểu cách kiểm tra độ an toàn phóng điện giữa các đường dây cao thế ? 

D. 

D. 

2a 

3 

a 3 

3

A. KẾ HOẠCH CHUNG: 

CHỦ ĐỀ: ÔN TẬP CHƯƠNG III 

Phân phối 

thời gian 

Tiết 1 



Ôn luyện các tính chất của quan hệ 

vuông góc, liên hệ giữa quan hệ vuông 

góc và quan hệ song song. 

Chứng minh các quan hệ vuông góc 

trong không gian 

Xác định và tính các loại góc trong 

không gian 

Tính các loại khoảng cách trong không 

gian 

Tiết 2 



B. KẾ HOẠCH DẠY HỌC: 


1. Kiến thức: Qua bài học, học sinh ôn lại các kiến thức về: 

- Véctơ trong không gian 

- Các quan hệ vuông góc trong không gian: đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng 

vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng 

- Liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song 

- Các loại góc và khoảng cách trong không gian 

2. Kỹ năng: 

- Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc 

với mặt phẳng 

- Xác định và tính toán các loại góc: góc giữa 2 đường thẳng; góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, 

góc giữa hai mặt phẳng. 

- Xác định và tính toán các loại khoảng cách trong không gian. 

- Làm việc nhóm, làm việc độc lập với sách giáo khoa, làm việc qua internet. 

- Tư duy logic, phân tích, so sánh, tổng hợp 

3. Thái độ 

- Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm 

- Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn 

4. Định hướng năng lực hình thành 

1

- Năng lực tự học 

- Năng lực hợp tác 

- Năng lực giải quyết vấn đề 

- Năng lực sáng tạo 

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông 

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ 

- Năng lực giao tiếp 

II. Chuẩn bị 


- Xây dựng kế hoạch thực hiện chủ đề học tập 

- Các tiêu chí đánh giá hoạt động học tập của nhóm học sinh 

- Nguồn tư liệu hỗ trợ học sinh (câu hỏi tự luận và trắc nghiệm) 

- Máy chiếu, máy tính… 

2. Học sinh 

- Làm bài tập ôn tập chương: tự luận và trắc nghiệm. Sưu tầm các bài toán thực tế áp dụng các kiến 

thức của chương để giải quyết (nếu có). 

- Hoàn thành các sản phẩm theo yêu cầu giáo viên và báo cáo sản phẩm 

- Kê bàn để ngồi học theo yêu cầu của giáo viên 

- Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … 


Nội dung Nhận thức Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao 

Ôn luyện 

các tính 

chất của 

quan hệ 

vuông góc, 

liên hệ giữa 

quan hệ 

vuông góc 

và quan hệ 

song song. 

Nhận biết các tính 

chất của 2 đường 

thẳng vuông góc, 


góc với mặt phẳng, 

2 mặt phẳng vuông 

góc. Các tính chất 

liên hệ giữa quan 

hệ vuông góc và 

quan hệ song song 

Hiểu rõ các tính 

chất của 2 đường 





góc. Các tính chất 

liên hệ giữa quan 

hệ vuông góc và 

quan hệ song song 

trong các bài tập 

trắc nghiệm và tự 

luận dạng đơn giản. 

Chứng Sử dụng định nghĩa Biết cách chứng Phân tích để tìm Vận dụng tất cả các 

2

minh các 

và định lý để nhận 

minh 2 đường 

cách chứng minh 2 

kiến thức liên quan để 

quan hệ 

biết 2 đường thẳng 



chứng minh các quan 

vuông góc 

vuông góc, đường 


góc, đường thẳng 

hệ vuông góc. 

trong 



vuông góc với mặt 

không gian 

với mặt phẳng, 2 


phẳng, 2 mặt phẳng 


góc dạng đơn giản 

vuông góc. Kết hợp 

góc. 

với phần hệ thức 

lượng trong tam giác 

để tính toán các yếu 

tố cạnh, góc trong 

một số ý để phục vụ 

việc chứng minh các 

quan hệ vuông góc. 

Xác định và 

Hiểu khái niệm và 

Biết xác định và 

Biết sử dụng tích vô 

tính các loại 

cách dựng góc giữa 

tính 

hướng của 2 vectơ, 

góc trong 

2 đường thẳng, góc 

góc giữa 2 đường 

kiến thức về quan hệ 

không gian 

giữa đường thẳng 

thẳng, góc giữa 

vuông góc để xác 

và mặt phẳng, góc 

đường thẳng và 

định các loại góc mà 

giữa 2 mặt phẳng. 

mặt phẳng, góc 

chưa có sẵn ngay 

giữa 2 mặt phẳng 

trên hình dựa vào giả 

dạng đơn giản 

thiết 

Tính các 

Biết xác định hình 

Phân tích bài toán, 

Huy động tất cả các 

loại khoảng 

chiếu của một điểm 

tìm cách xác định 

kiến thức liên quan để 

cách trong 

trên mặt phẳng, từ 

các loại khoảng 

xác định và tích toán 

không gian 

đó xác định khoảng 

cách. Chuyển đổi 

khoảng cách nhất là 


khoảng cách giữa 2 

khoảng cách giữa 2 

đến một mặt phẳng 



dạng đơn giản 

nhau về các loại 

nhau. 

khoảng cách đơn 

giản hơn. 

3

IV. Các câu hỏi/bài tập theo từng mức độ 

MỨC 

ĐỘ 

NB 

NỘI DUNG 

Ôn luyện các tính 

chất của quan hệ 

vuông góc, liên hệ 

giữa quan hệ 

vuông góc và 

quan hệ song 

song. 

CÂU HỎI/BÀI TẬP 

1. Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong 

các mệnh đề sau. 

A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c. 

B. Nếu a vuông góc với mặt phẳng () và b // () thì a ⊥ b. 

C. Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a. 

D. Nếu a ⊥ b, c ⊥ b và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a, c). 

2. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A. Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường 

thẳng cho trước. 

P chứa 

B. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng ( ) 

a và mặt phẳng ( Q ) chứa b thì ( P ) vuông góc với ( Q. ) 

C. Qua một đường thẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một 

đường thẳng khác. 

D. Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng 

cho trước. 

3. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì song 

song với nhau. 

B. Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt này 

sẽ vuông góc với mặt kia. 

C. Hai mặt phẳng () và () vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến 

d. Với mỗi điểm A thuộc () và mỗi điểm B thuộc () thì ta có đường thẳng 

AB vuông góc với d. 

D. Nếu 2 mặt phẳng () và () đều vuông góc với () thì giao tuyến d của 

() và () nếu có sẽ vuông góc với (). 

Chứng minh các 

quan hệ vuông 

góc trong không 

gian 

Xác định và tính 

các loại góc trong 

không gian 

2. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau 

và ABCD là hình vuông. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy là góc 

giữa cặp đường thẳng nào? 

A. ( SA, 

SC ) B. ( SA, 

AC) 

C. ( , ) 

SA BD D.( SA, 

AB ) 

Tính các loại 

4

TH 

khoảng cách trong 

không gian 







song. 




gian 



không gian 

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc 

với mặt phẳng (ABCD) . Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng BD ? 

A. (SBD) . B. (SAB). C. (SCD) . D. (SAC) . 

1. Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: 

0 

0 

0 

0 

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 

VD 



không gian 







song. 




gian 

1. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA 

vuông góc với đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳng định 

nào sau đây đúng ? 

A. 

C. 

BC ⊥ (SAB) 

B. 

BC ⊥ (SAC) 

D. 

BC ⊥ (SAM) 

BC ⊥ (SAJ) 

2. Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng taâm O. SA ⊥ (ABCD). 

Goïi H, I, K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SC, SD. 

5

a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC). 

b) CMR: AH, AK cuøng vuoâng goùc vôùi SC. Töø ñoù suy ra 3 ñöôøng thaúng 

AH, AI, AK cuøng naèm trong moät maët phaúng. 

c) CMR: HK ⊥ (SAC). Töø ñoù suy ra HK ⊥ AI. 

d) Tính diện tích tứ giác AHIK biết AB = a; SA = a 3 

e) Tính góc giữa AH và BC; AK và BC; SC và (SAB); SB và (SAC); AK và 

(SAC). 



không gian 

f) Tính góc giữa (SBC) và (SAB); (SBC) và (SCD); (AHIK) và (ABCD); 

1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu 

vuông góc của điểm A’ trên (ABC) là trung điểm của cạch BC, cạnh bên hợp 

với đáy một góc 60 0 . Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC). 

Hãy chọn đáp án đúng. 

A. tan = 2 3 

B. tan = 1/ 2 3 

C. tan = 3 

D. tan = 2 



không gian 

1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB 

đều, ( SAB) ⊥ ( ABCD) 

. Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. 

Tính d( I,( SFC)) 

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N 

lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, 

SH ⊥ ( ABCD), SH = a 3 . Tính d( DM , SC ) 

VDC 







song. 

6




gian 

1. Cho hình töù dieän ABCD coù AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = 

y. Tìm heä thöùc lieân heä giöõa a, b, x, y ñeå: 

a) Maët phaúng (ABC) ⊥ (BCD). 

b) Maët phaúng (ABC) ⊥ (ACD). 

2. Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ⊥ 

(ABCD) ; M vaø N laø hai ñieåm naèm treân caùc caïnh BC, CD. Ñaët BM = x, 

DN = y. 

a) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai maët phaúng (SAM) vaø 

(SMN) vuoâng goùc vôùi nhau laø MN ⊥ (SAM). Töø ñoù suy ra heä thöùc lieân heä 

giöõa x vaø y. 

b) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc giöõa hai maët phaúng 

(SAM) vaø (SAN) coù soá ño baèng 30 0 laø a(x + y) + 3 xy = a 2 3 . 



không gian 



không gian 

1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, 

a 2 

AA ' = . Tính d( AB, CB ') 

2 


1. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP. 

Tiết 1: 

a) HĐ1: 

- Mục tiêu: Luyện tập lại các quan hệ vuông góc trong không gian: đường thẳng vuông góc với đường 

thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng; liên hệ giữa quan 

hệ vuông góc và quan hệ song song; các loại góc trong không gian dạng đơn giản thông qua bài tập 

trắc nghiệm 


+ Chuyển giao (Trình chiếu) 

L1: (Đã chia lớp thành 3 nhóm yêu cầu các nhóm về nhà hoàn thành phần việc được giao 

và báo cáo bằng các bản trình chiếu) : Hãy hệ thống lại kiến thức cơ bản của chương trọng tâm vào: 

7

*Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc 

với mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng. 


*Cách xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai 

*Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng; giữa 

đường thẳng và mặt phẳng song song; giữa 2 mặt phẳng song song; giữa 2 đường thẳng chéo nhau. 

L2: Học sinh làm việc cá nhân hoặc cặp đôi giải quyết bài tập sau. 

BÀI TẬP 

Bài tập 1: 

a) Cho a, b, c là các đường thẳng trong không 

gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. 

A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c. 

B. Nếu a vuông góc với mặt phẳng () và b // 

() thì a ⊥ b. 

C. Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a. 

D. Nếu a ⊥ b, c ⊥ b và a cắt c thì b vuông góc 

với mặt phẳng (a, c). 

b) Mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A. Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng 

vuông góc với một đường thẳng cho trước. 

B. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với 

P chứa a và mặt phẳng 

nhau, nếu mặt phẳng ( ) 

( Q ) chứa b thì ( P ) vuông góc với ( ) 

Q. 

C. Qua một đường thẳng, có duy nhất một mặt 

phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. 

D. Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng 

vuông góc với một mặt phẳng cho trước. 

c) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với 

mặt phẳng thứ 3 thì song song với nhau. 

B. Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì 

mọi đường thẳng thuộc mặt này sẽ vuông góc 

với mặt kia. 

C. Hai mặt phẳng () và () vuông góc với 

nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi 

điểm A thuộc () và mỗi điểm B thuộc () thì 

ta có đường thẳng AB vuông góc với d. 

D. Nếu 2 mặt phẳng () và () đều vuông góc 

với () thì giao tuyến d của () và () nếu có sẽ 

vuông góc với (). 

8 

GỢI Ý 

Chọn A vì a, c có thể chéo nhau 

Chọn C (theo tính chất của đường thẳng và mặt phẳng 

vuông góc) 

Chọn D 

(Theo tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc)

d) Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh 

bên và cạnh đáy đều bằng nhau và ABCD là 

hình vuông. Góc giữa đường thẳng SA và mặt 

phẳng đáy là góc giữa cặp đường thẳng nào? 

A. ( SA, 

SC ) 

B. ( SA, 

AC) 

C. ( SA, 

BD) 

D. ( SA, 

AB ) 

Chọn B vì từ giả thiết ta có S.ABCD là hình chóp đều 

nên đường thẳng AC là hính chiếu của đường thẳng SA 

trên (ABCD) 

e) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 

hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng 

(ABCD) . Mặt phẳng nào vuông góc với đường 

thẳng BD ? 

A. (SBD) . B. (SAB). 

C. (SCD) . D. (SAC) . 

Chọn D 

S 

A 

B 

D 

C 

f) Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai 

đường thẳng AB và CD bằng: 

0 

0 

0 

0 

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 

Chọn D (Vì tứ diện đều có các cặp cạnh đối vuông góc) 

g) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam 

giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, 

Chọn B 

(Vì BC ⊥ AM; BC ⊥ SA) 

S 

M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. 

Khẳng định nào sau đây đúng ? 

A. 

C. 

BC ⊥ (SAB) 

B. 

BC ⊥ (SAC) 

D. 

BC ⊥ (SAM) 

BC ⊥ (SAJ) 

A 

C 

B 

J 

M 

h) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là 

tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của 

điểm A’ trên (ABC) là trung điểm của cạch BC, 

cạnh bên hợp với đáy một góc 60 0 . Gọi α là góc 

giữa 2 mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC). Hãy 

chọn đáp án đúng. 

A. tan = 2 3 

B. tan = 1/ 2 3 

C. tan = 3 

D. tan = 2 

Chọn A vì: 

Goi M, I, K lần lượt là trung điểm của BC, BA và BI. 

Khi đó 

' 

= A KM 

A AM = (AA ;( ABC)) = 60 

' ' 0 

' 0 

.tan60 

tan = A M AM 

2 3 

KM 

= 1 

= 

AM 

2 

B ’ A ’ C ’ 

B 

K 

I 

M 

C 

9 

A

+ Thực hiện: 

* Các nhóm được phân công chuẩn bị phần hệ thống kiến thức của chương ở nhà. 

* Học sinh suy nghĩ và làm bài tập 1 vào giấy nháp. 

+ Báo cáo, thảo luận: 

* Mỗi nhóm cử một đại diện lên báo cáo qua việc trình chiếu phần hệ thông kiến thức của 

chương. 

* Chỉ định một học sinh bất kì trình bày đáp án, giải thích lý do chọn đáp án. Các học sinh khác 

thảo luận để hoàn thiện lựa chọn. 


hướng dẫn học sinh tự rút ra kiến thức trọng tâm, cách giải quyết các kiểu bài tương tự. HS tự thu nhận 

kiến thức trình bày vào vở. 

- Sản phẩm: Kiến thức cơ bản của chương; lời giải bài tập 1; 

b) HĐ2: 

- Mục tiêu: Luyện tập tổng hợp phương pháp chứng minh các quan hệ vuông góc trong không gian; 

xác định, tính các loại góc trong không gian và các bài toán liên quan thông qua các bài tập tự luận. 


+ Chuyển giao (Viết bảng hoặc trình chiếu) 

L: Học sinh làm việc nhóm giải quyết bài tập sau. 

Bài tập 2: 

BÀI TẬP 

GỢI Ý 

Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng taâm O. 

SA ⊥ (ABCD). Goïi H, I, K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng 

goùc cuûa A treân SB, SC, SD. 

a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC). 

b) CMR: AH, AK cuøng vuoâng goùc vôùi SC. Töø ñoù suy ra 

3 ñöôøng thaúng AH, AI, AK cuøng naèm trong moät maët 

phaúng. 

c) CMR: HK ⊥ (SAC). Töø ñoù suy ra HK ⊥ AI. 

b)Ta chứng minh được 

( ) 

( ) 

 

AH ⊥ SBC AH ⊥ SC 

 

AH, AI, 

AK 

AK ⊥ SDC AK ⊥ SC 

với () qua A và vuông góc với SC 

c) Từ gt ta chứng minh được 

HK // BD 

 

mà 

BD ⊥ SAC 

HK ⊥ AI 

( ) 

( ) 

( ); 

( ) 

HK ⊥ SAC AI SAC 

10

S 

K 

J 

I 

H 

A 

E 

O 

B 

D 

C 

d) Tính diện tích tứ giác AHIK biết AB = a; SA = a 3 

d) 

SAHIK 

1 

= AI. 

HK 

2 

2 

HK SH SA a 

3 6 

= = = HK = 

2 

BD SB SB 2 2 

1 1 1 1 1 a 30 

= + = + AI = 

2 2 2 2 2 

AI SA AC 3a 2a 

5 

e) Tính góc giữa AH và BC; AK và BC; SC và (SAB); 

SB và (SAC); AK và (SAC). 

f) Tính góc giữa (SBC) và (SAB); (SBC) và (SCD); 

(AHIK) và (ABCD); 

S = 

AHIK 

2 

3a 

5 

10 

e)* ( ) 

0 

Vì AH ⊥ BC AH; BC = 90 

* ( AK; BC) = ( AK; 

AD) 

( ; ) ( ; ) 

SC SAB = SC SB = BSC 

* ( ) 

( ; ) ( ; ) 

SB SAC = SB SO = BSO 

* ( ) 

( ; ) ( ;AJ) 

AK SAC = AK = KAJ 

* ( ) 

f)* (SBC) ⊥ (SAB) nên góc giữa chúng bằng 90 0 

* Gọi E là trung điểm của CI 

SC ⊥ OE ( Vì OE / / AI; AI ⊥ SC); 

SC ⊥ OB 

SC 

⊥ BE 

Tương tự 

( ; ) ( ; ) 

SC ⊥ DE SBC SCD = BE DE 

* ( AHIK; 

ABCD ) 

= IAC 

+ Thực hiện: HS làm việc theo nhóm, viết lời giải vào giấy nháp. GV quan sát HS làm việc, 

nhắc nhở các em không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc về nội dung bài tập. 

+ Báo cáo, thảo luận: Mỗi nhóm cử một đại diện lên bảng trình bày lời giải. Các nhóm khác 

quan sát lời giải, cho ý kiến góp ý. Nếu hết thời gian chưa giải quyết xong thì yêu cầu các nhóm chuẩn 

bị tốt để báo cáo vào tiết sau. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV góp ý, sửa sai, rút kinh nghiệm cho các nhóm 

11

( nếu cần). Yêu cầu HS tự trình bày lời giải vào vở. 

- Sản phẩm: Lời giải các bài tập 2. Học sinh tăng được kỹ năng xác định các loại góc trong không 

gian 

c) HĐ3: 

Tiết 2: 

- Mục tiêu: Luyện tập cách xác định và tính các loại khoảng cách trong không gian 



L: Học sinh làm việc cặp đôi giải quyết các bài tập sau. 

BÀI TẬP 

Bài tập 3: 

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình 

vuông cạnh a, tam giác SAB đều, 

( SAB) ⊥ ( ABCD) 

. Gọi I, F lần lượt là trung 

điểm của AB và AD. Tính d( I,( SFC)) 

S 

GỢI Ý 

I 

B 

H 

K 

C 

A 

F 

D 

Ta có 

( SID) 

( ) 

CF 

⊥ DI 

CF ⊥ 

 

⊥ 

CF ⊥ SI CF SCF 

( SCF ) ( SID) 

= SK 

Gọi H là hình chiếu của I trên SK 

( ;( )) 

IH = d I SCF 

( SCF ) ( SID) 

12

Bài tập 4: 

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC 

là tam giác đều cạnh a, 

d( AB, CB ') 

a 2 

AA ' = 

2 

. Tính 

a 3 a 5 

SI = , ID = 

2 2 

1 1 1 5 

= + = 

2 2 2 2 

DK DC DF a 

DK = 

a 5 

5 

3a 

5 

IK = ID − DK = 

10 

A 

I 

B 

H 

C 

A' 

J 

B' 

C' 

+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ 

+ Ta có: 

AB / /( CA' B') d( AB, CB') 

= d( AB,( CA' B')) = d( I,( CA' B')) 

+ Trong mp(CIJ) kẻ IH ⊥CJ 

(1), (H 

CJ) 

Ta có: A' B' ⊥ ( IJ ) (vì ABC. A’B’C’ là hình lăng 

trụ đứng) và IC ⊥ A' B' 

(vì ∆ABC là tam giác đều) 

nên A' B' ⊥ ( CIJ ) IH ⊥ A' B' (2) . 

Từ (1), (2) suy ra: IH ⊥ ( CA' B') 

hay 

d( AB, CB') 

= IH 

+ Xét tam giác vuông CIJ có: 

1 = 1 + 1 = 4 + 2 = 

10 

IH IC IJ 3a a 3a 

13 

2 2 2 2 2 2 

IH = 

a 30 

10

Vậy 

d( AB, CB') 

= IH = 

a 30 

10 

+ Thực hiện: HS làm việc cặp đôi, viết lời giải vào giấy nháp. GV quan sát HS làm việc, nhắc nhở các 

em không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc về nội dung bài tập. 

+ Báo cáo, thảo luận: Giáo viên gọi hai học sinh đại diện lên bảng trình bày lời giải. Các hs khác quan 

sát lời giải, cho ý kiến góp ý. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV góp ý, sửa sai, rút kinh nghiệm cho các em hs ( nếu cần). Yêu cầu 

HS tự trình bày lời giải vào vở. 

- Sản phẩm: Lời giải các bài tập 3,4. Học sinh tăng được kỹ năng xác định các loại khoảng cách trong 

không gian 

2. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG. 

- Mục tiêu: Vận dụng các quan hệ vuông góc trong không gian, cách xác định các loại góc và khoảng 

cách trong không gian trong bài tập tổng hợp. (Không yêu cầu tất cả các học sinh làm đầy đủ hết các ý 

của bài tập. Câu phân loại chỉ dành cho hs khá, giỏi) 



L: Học sinh làm việc cá nhân hoặc cặp đôi giải quyết bài tập sau. 

BÀI TẬP 

Bài tập 5: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 

vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm 

của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, 

SH ⊥ ( ABCD), SH = a 3 . Tính 

d( DM , SC ) 

GỢI Ý 

+ Trong mp(SCH) kẻ HK ⊥SC 

(1), (K SC) . 

SH ( ) 

+ Mặt khác, 

⊥ ABCD SH ⊥ DM (*) 

DM ( ABCD) 

 

Dễ dàng chứng minh được DM ⊥ CN (**) . 

DM ⊥ ( SCH ) DM ⊥ HK (2) . 

Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của 

DM và SC. 

+ Ta có: HCD DCN 

2 2 

CD a 2a 

3 

HC = = = . 

CN 2 2 

CD − DN 3 

14

Xét tam giác vuông SHC ta có: 

1 1 1 5 a 15 

= + = HK = 

2 2 2 2 

HK HC HS 3a 

5 

Vậy 

d( DM , SC) 

= HK = 

a 15 

5 

S 

K 

D 

C 

N 

H 

Bài tập 6: 

Cho hình töù dieän ABCD coù AB = BC = a, AC = 

b, DB = DC = x, AD = y. Tìm heä thöùc lieân heä 

giöõa a, b, x, y ñeå: 

A 

M B 

-HS khá, giỏi tìm tòi, phát hiện cách giải quyết bài 

toán 

a) Maët phaúng (ABC) ⊥ (BCD). 

b) Maët phaúng (ABC) ⊥ (ACD). 

+ Thực hiện: HS làm việc cặp đôi, viết lời giải bài tập 5 vào giấy nháp. GV quan sát HS làm việc, nhắc 

nhở các em không tích cực, giải đáp nếu các em có thắc mắc về nội dung bài tập 6. 

+ Báo cáo, thảo luận: Giáo viên một học sinh đại diện đứng tại chỗ trình bày lời giải bài 5. Các hs 

khác quan sát lời giải, cho ý kiến góp ý. Giáo viên gợi mở vấn đề để hs khá, giỏi tìm hường giải quyết 

bài tập 6. 


HS tự trình bày lời giải vào vở. 

- Sản phẩm: Lời giải các bài tập 5, hướng giải quyết bài tập 6. 

3. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG. 

15

- Mục tiêu: Vận dụng linh hoạt các kiến thức về quan hệ vuông góc trong không gian, các loại góc và 

khoảng cách trong không gian trong bài tập tổng hợp. (Không yêu cầu tất cả các học sinh làm phần 

này) 



L: Học sinh làm việc cá nhân hoặc cặp đôi giải quyết bài tập sau. 

BÀI TẬP 

GỢI Ý 

Bài tập 7: 

S 

Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình 

vuoâng caïnh a, SA ⊥ (ABCD) ; M vaø N laø hai 

ñieåm naèm treân caùc caïnh BC, CD. Ñaët BM = 

x, DN = y. 

A 

B 

x 

M 

a) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå 

E 

x 

D 

y 

N 

C 

hai maët phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc 

vôùi nhau laø MN ⊥ (SAM). Töø ñoù suy ra heä 

thöùc lieân heä giöõa x vaø y. 

b) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå 

goùc giöõa hai maët phaúng (SAM) vaø (SAN) coù 

b) 

- Ta thấy goùc giöõa hai maët phaúng (SAM) vaø (SAN) 

chính là góc MAN 

- Sử dụng các CT tính diện tích AMN ta suy ra đẳng 

thức cần chứng minh. 

soá ño baèng 30 0 laø a(x + y) + 3 xy = a 2 3 . 

+ Thực hiện: Nếu còn thời gian thì yêu cầu những HS khá giỏi tìm hướng giải quyết bài này 

+ Báo cáo, thảo luận: Giáo viên gọi một học sinh đại diện đứng tại chỗ trình bày lời giải bài 7 (Nếu 

còn thời gian). Các hs khác quan sát lời giải, cho ý kiến góp ý. Nếu không đủ thời gian thì yêu cầu hs 

về nhà tìm hường giải quyết bài toán. 


HS khá, giỏi tự trình bày lời giải vào vở (Nếu còn thời gian). 

- Sản phẩm: Hướng giải quyết bài tập 7 

16

Chủ đề: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 

I/ KẾ HOẠCH CHUNG: 



gian 

Tiết 1 


Tiết 2 

Tiết 3 

HOẠT ĐỘNG HÌNH 


HOẠT ĐỘNG HÌNH 


HAI ĐƯỜNG THẲNG 

VUÔ NG GÓC 

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG 

GÓC VỚI MẶT PHẲNG 

Tiết 4 

Tiết 5 

Tiết 6 

Tiết 7 




II/KẾ HOẠCH DẠY HỌC: 

1/Mục tiêu bài học: 

a. Về kiến thức: 

- Học sinh nắm được định nghĩa góc của hai đường thẳng, điều kiện hai đường thẳng 

vuông góc 

- Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , điều kiện để đường thẳng vuông 

góc với mặt phẳng ; Các tính chất, mối liên hệ giữa qua hệ song song và qua hệ vuông 

góc , phép chiếu vuông góc , định lí ba đường vuông góc , góc giữa đường thẳng và 


b. Về kỹ năng: 

- Biết cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt 

phẳng . 

- Biết cách xác định mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với 

một đường thẳng cho trước 

- Biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa mặt phẳng và đường thẳng 

- Hình thành kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến tính diện tích, đo đạc 

khoảng cách. 

- Hình thành cho học sinh các kĩ năng khác: 

- Thu thập và xử lý thông tin. 

- Tìm kiếm thông tin và kiến thức thực tế, thông tin trên mạng Internet. 

- Làm việc nhóm trong việc thực hiện dự án dạy học của giáo viên. 

- Viết và trình bày trước đám đông. 

- Học tập và làm việc tích cực chủ động và sáng tạo. 

c. Thái độ: 

+ Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm


+ Bồi dưỡng đạo đức nghề nghiệp, tình yêu thương con người, yêu quê hương, đất 

nước. 

d. Các năng lực chính hướng tới hình thành và phát triển ở học sinh: 


- Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và 

phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống. 

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải 

quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. 

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng máy tính, mang internet, 

các phần mềm hỗ trợ học tập để xử lý các yêu cầu bài học. 

- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng 

thuyết trình. 


*Bảng mô tả các mức độ nhận thức và năng lực được hình thành 

- Bảng mô tả các mức độ nhận thức 

Nội dung Nhận biết Thông hiểu 

Hai đường 

thẳng vuông 

góc 

Học sinh nắm 

được: 

- ĐN Góc giữa 

hai đường 

thẳng bất kì 

trong không 

gian 

- Điều kiện hai 


vuông góc 

Học sinh áp 

dụng được định 

nghĩa xác định 

và tính được 

góc giữa hai 


CM được hai 


vuông góc 

trong không 

gian 

Vận dụng 

thấp 

Vận dụng tính 

được góc của 

hai đường 

thẳng và chứng 

minh hai đường 


góc bằng nhiều 

phương pháp 

Vận dụng cao 

Sử dụng định lý 

trong đo đạc 

các bài toán 

thực tê. 

Đường thẳng 

vuông góc với 

mặt phẳng 

Học sinh nắm 

được: 

- ĐN đường 


góc với mặt 

phẳng 

- ĐK để đường 


góc với mặt 

phẳng 

- Tính chất 

giữa qua hệ 

song song và 

qua hệ vuông 

góc 

Học sinh áp 

dụng: 

- Chứng minh 

đường 

vuông góc 

với mặt 

- Xác định 

và tính được 

góc giữ 

đường 

thẳng và 

mặt phẳng 

Vận dụng: 

- Xác định 

được thiết diện 

theo qua hệ 

song song tính 

được diện tích 

thiết diện 

Sử dụng định lý 

trong đo đạc 

các bài toán 

thực tê. 

- Giải được các 

bài toán Max, 

min của diện 

tích thiết diện

- góc giữa 

đường thẳng và 

mặt phẳng 

- Định lí ba 

đường vuông 

góc , phép 

chiếu vuông 

góc 

2/ Phương pháp dạy học tích cực có thể sử dụng: 

+ Nêu vấn đề và giải quyết vấn đề qua tổ chúc hoạt động nhóm 

+ PP khăn trải bàn 

3/ Phương tiện dạy học: 

+ Bảng phụ, bút dạ, máy chiếu, máy tính. 

4/ Tiến trình dạy học: 

I. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG. 

- Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận các kiến thức, vecto chỉ phương của 

hai đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và quan hệ vuông góc 

trong không gian. 

- Nội dung, phương thức tổ chức: 


G: Chia lớp thành 4 nhóm. Nội dung nghiên cứu của các nhóm: 

Nhóm 1: Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ trong mp? Xác định góc giữa 

hai vectơ AB, BC trong hình sau: 

D 

A 

H 

C 

150 0 

120 0 B 

C’ 

B’ 

Nhóm 2: Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mp? Phân tích các 

vectơ AC' và BDtheo 3 véc tơ AA', AB, AD ? 

A’ 

D’ 

B’ C’ 

A 

D 

Nhóm 3: Nêu khái niệm VTCP của đ.thẳng trong mặt phẳng. 

B 

Nhóm 4: Nêu khái niệm góc giữa hai đt cắt nhau? Nhận xét về mối quan hệ giữa 

góc của hai đt và góc giữa hai VTCP? 

C

+ Thực hiện: Các nhóm thảo luận, viết đáp án ra giấy nháp, cử đại diện trình bày. 

+ Báo cáo, thảo luận: Các nhóm trình bày đáp án trước lớp, các nhóm khác phản biện 

và góp ý kiến. Giáo viên đánh giá chung và giải thích các vấn đề học sinh chưa giải 

quyết được. 

- Từ nội dung trình bày của các nhóm, G nhận xét, từ đó đặt vấn đề vào bài mới: 

nghiên cứu các vấn đề đã đặt ra đối với véc tơ và đường thẳng vuông góc trong không 

gian. 

II. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC. 

2.1. HTKT1: TÌM HIỂU TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO. 

- Mục tiêu: Tiếp cận khái niệm góc giữa hai vecto, công thức tính tích vô hướng của 

hai vecto trong không gian. 


+ Chuyển giao: G chia lớp thành 4 nhóm: 

Nhóm 1+2: nêu định nghĩa góc giữa hai vectơ trong không gian. Cho tứ diện 

đều ABCD có H là trung điểm của AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ: 

a) AB vaø BC 

b) CH vaø AC 

Nhóm 3+4: nêu định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ trong không gian. Cho 

hình lập phương ABCD.ABCD. 

a) Hãy phân tích AC' vaø BD theo AB,AD,AA' . 

b) Tính cos( AC',BD ) ? 

+ Thực hiện: Học sinh dựa vào kiến thức liên quan trong mặt phẳng, tìm hiểu 

SGK trả lời câu hỏi và làm ví dụ vào bảng phụ. 

+ Báo cáo, thảo luận: Các nhóm treo bảng phụ, cử đại diện báo cáo kết quả. 

Các nhóm khác nhận xét, phản biện. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học 

sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức. HS viết bài vào vở. 

2.2. HTKT2: TÌM HIỂU KHÁI NIỆM VÉC TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG 

THẲNG 

- Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng trong không 

gian, từ đó rút ra được các nhận xét. 


+ Chuyển giao: nêu định nghĩa VTCP của đường thẳng trong khơng gian. Rút 

ra nhận xét.

+ Thực hiện: HS làm việc độc lập, đưa ra câu trả lời nhanh nhất. GV quan sát, 

nhận xét. 

+ Báo cáo, thảo luận: Sau thời gian tìm hiểu, GV gọi HS đứng dậy trả lời. Các 

HS khác lắng nghe, nhận xét, bổ sung. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV tổng hợp, chuẩn hóa kiến thức.Yêu cầu HS 

ghi bài vào vở. 

2.3. HTKT3: TÌM HIỂU HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 

- Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm góc giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường 

thẳng vuông góc. Vận dụng giải quyết một số bài tập liên quan. 


+ Chuyển giao: G chia lớp thành 4 nhóm: 

Nhóm 1: nêu định nghĩa góc giữa hai đt trong không gian. Cho hình lập phương 

ABCDABCD. Tính góc giữa các cặp đt: 

a) AB và BC 

b) AC và BC 

c) AC và BC 

Nhóm 2: Nhận xét về mối quan hệ giữa góc của hai đt và góc giữa hai VTCP? 

Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 . Tính ( AB, SC ) 

? 

Nhóm 3: Nêu định nghĩa hai đt vuông góc? Lấy ví dụ. Rút ra nhận xét. 

Nhóm 4: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC, AB ⊥ BD. Gọi P, Q là trung điểm 

của AB, CD. CMR: AB ⊥ PQ. 

+ Thực hiện: Học sinh dựa vào kiến thức liên quan trong mặt phẳng, tìm hiểu 

SGK trả lời câu hỏi và làm ví dụ vào bảng phụ. 

+ Báo cáo, thảo luận: Các nhóm treo bảng phụ, cử đại diện báo cáo kết quả. 

Các nhóm khác nhận xét, phản biện. 

+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học 

sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức. HS viết bài vào vở. 

Tiết 2-ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 


*Mục tiêu: Tạo sự chú ý của học sinh để vào bài mới, dự kiến các phương án giải 

quyết được bốn tình huống trong các bức tranh. 

*Nội dung: Đưa ra hai bức tranh kèm theo các câu hỏi đặt vấn đề.

*Kỹ thuật tổ chức: Chia lớp thành bốn nhóm, cho học sinh quan sát hai bức 

tranh, dự kiến các tình huống đặt ra để trả lời câu hỏi. 

*Sản phẩm: Dự kiến các phương án giải quyết được tình huống. 

Để nhà sàn đứng vững chãi không siêu vẹo, đổ sập thiết kế các cột nhà 

cần đặc biệt chú ý đến điều kiện gì ? 

Một ngôi nhà có nền nhà là hình chữ nhật hai bức tường song song với 

nhau có chiều cao 3,5m và 3m, mái nhà nghiêng được lợp tôn , vậy mái 

nhà là hình gì ? Tại sao? 

BÀI TOÁN: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a, biết 

0 

AA 

' D' 

= AA' 

B' 

= D' 

A' 

B' 

= 60 . Tính diện tích tứ giác ABC’D’ theo a

I- HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 

I. HĐHTKT 1 : định nghia 

• Mục tiêu: Hs quan sát và phát biểu được định nghĩa đường thẳng vuông góc với 

mp 

b 

Nội dung 

Phương thức tổ chức thực hiện 

• GV Chuyển giao nhiệm vụ cho học 

sinh: 

- Quan sát hình ảnh của cột cờ, em nhận 

xét gì về vị trí của cột cờ và mặt đất. 

- Cho a,b,c,d là bốn đường thẳng (ống 

nước thẳng) bất kì nằm trên mặt đất phẳng , 

có thể xác định và tính góc của từng đường 

thẳng với cột cờ ko ? so sánh các góc đó với 

nhau 

• Học sinh thực hiện : Thảo luận 

nhóm báo cáo kết quả 

-Cột cột cờ vuông góc với mặ phẳng đất 

-Góc của các đường thẳng đó bằng nhau và 

bằng 900 

-Yêu cầu hs làm việc nhóm 

-Các nhóm thảo luận, Phân công 

nhóm trưởng báo cáo 

-Thống nhất nội dung thảo luận sau 2 

phút 

Hs cử đại diện nhóm lên báo cáo kếtt 

quả trên bảng có trình bày cách xác 

định góc giữa hai đường thảng cột cờ 

và ống nước

• GV nhận xét, Đánh giá: Từ hình ảnh trực quan về cột cờ ta 

thấy hình ảnh một đường thẳng và 

một mặt phẳng có vị trí vuông góc với 

nhau, và khi đó đường thẳng có tính 

chất vuông góc với mọi đường thẳng 

khác nằm trong mặt phẳng 

I. ĐỊNH NGHĨA 

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với 

mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi 

đường thẳng a nằm trong mặt phẳng(α) 

(h.3.17). 

GV tổng quát ghi thành định nghĩa 

Ghi ĐN lên bảng 

Hình 3.17 

Khi d vuông góc với (α) ta còn nói (α) vuông 

góc với d, hoặc d và (α) vuông góc với nhau 

và kí hiệu d ⊥(α). 

GV Hỏi: Tìm trong thực tế nhũng hình ảnh 

của đường thẳng và mạt phẳng vuông góc 

- GV đặt câu hỏi trực tiếp trên 

lớp 

HS :Trong thực tế, hình ảnh của sợi dây dọi 

vuông góc với nền nhà cho ta khái niệm về sự 

vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng. 

Hình ảnh chân bàn… 

Sản phẩm: Hs nắm được đính nghĩa đường 

thẳng vuông góc với mp 

MỤC TIÊU 

- Hs làm việc cá nhân và đứng tại 

chỗ trả lời 

Bài: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (Tiết 3) 

- Nắm được khái niệm phép chiếu vuông góc. 

-

- Hiểu và nắm được định lý ba đường vuông góc. 

- Nắm được cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 

Về nội dung 

GV đưa ra các phần lý thuyết và các ví dụ ở từng mức độ nhận biết, thông hiểu, vận 

dụng để học sinh: 

-Biết cách vận dụng định lý ba đường vuông góc. 

-Biết cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 

Sản phẩm: Học sinh cần nắm được định nghĩa Phép chiếu vuông góc và định lý ba 

đường vuông góc - áp dụng lý thuyết để xác định góc giữa đường thẳng và mặt 

phẳng. 

Kỹ thuật tổ chức: Tích cực cho học sinh hoạt động theo từng nhóm sau đó đại diện 

nhóm lên thuyết trình sản phẩm nhóm mình. Cần chia lớp thành 4 nhóm. 

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1 

(TIẾP CẬN ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC) 

Mục tiêu: Hs biết quan sát và tự phát biểu được phép chiếu vuông góc và định 

lý ba đường vuông góc. 

Nội dung 

- Giáo viên giao nhiệm 

vụ cho HS: 

Định nghĩa phép chiếu 

vuông góc trong SGK. 

-Giáo viên minh hoạ và 

giải thích bằng hình vẽ 

để học sinh hiểu. 

GV trình chiếu hình ảnh 

cột cờ và cho hs nhận 

xét vị trí của cột cờ và 

Phương thức tổ chức 

thực hiện 

Yêu cầu HS thảo luận 

theo đúng nhóm mình 

được phân công: 

- HS hồi tưởng kiến thức 

cũ suy nghĩ trả lời yêu 

cầu của giáo viên. 

- HS suy nghĩ? 

Ghi bảng 

V.PHÉP CHIẾU 

VUÔNG GÓC VÀ 

ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG 

VUÔNG GÓC. 

1.Phép chiếu vuông góc. 

-Cho ⊥ ( ) .Phép chiếu 

song song theo phương 

của lên mặt phẳng 

( ) được gọi là phép 

chiếu vuông góc lên mặt 

phẳng ( ) .

mặt đất. 

A 

B 

 

-Giáo viên đưa ra nhận 

xét. 

- Các nhóm thảo luận và 

đại diện nhóm lên báo 

cáo nội dung. 

A’ 

B’ 

* Nhận xét: 

- HS chú ý lắng nghe và 

ghi chép. 

-Phép chiếu vuông góc 

là trường hợp đặc biệt 

của phép chiếu song 

song nên có đầy đủ các 

tính chất của phép chiếu 

song song. 

-Người ta gọi “ phép 

chiếu lên mặt phẳng 

( ) ” thay cho tên gọi “ 

phép chiếu vuông góc 

lên mặt phẳng ( ) ” và 

dùng tên gọi H’ là hình 

chiếu của H trên mặt 

phẳng ( ) thay cho tên 

gọi H’ là hình chiếu 

vuông góc của H trên 

mặt phẳng ( ) . 

a 

b 

c 

-Giáo viên yêu cầu HS 

xác định hình chiếu của 

một số hình sau? 

 

- HS suy nghĩ lên bảng 

thực hiện ví dụ


(TIẾP CẬN ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC) 

Mục tiêu: Hs hiểu được nội dung định lý 3 đường vuông góc và biết áp dụng 

vào làm bài tập 

Nội dung 



Ghi bảng 

- GV chuyên giao 

nhiệm vụ cho HS 


đọc định lí ba đường 

vuông góc. 

-Giáo viên tóm tăt định 

lí và vẽ hình. 

- HS suy nghĩ. 

- HS đọc định lí ba 

đường vuông góc. 

-HS chú ý quan sát. 

2. Định lí ba đường 

vuông góc: 

Cho a ( ) và b ( ) 

đồng thời không vuông 

góc với ( ) . Gọi b’ là 

hình chiếu vuông góc 

của b trên ( ) . Khi đó 

a ⊥ b a ⊥ b' . 

CM: 

b 

A 

B 

 

b’ 

A’ H a B’ 

Trên b lấy hai điểm 

A,B ( ) phân biệt. Gọi 

A’,B’ lần lượt là hình 

chiếu của A và B trên 

( ) . Khi đó b’ là đường 

thẳng qua A’ và B’.

- Nhận xét gì về vị trí 

của a và AA’? 

- Nếu a⊥ b thì ta có 

được điều gì? 

- Nếu a⊥ b' 

thì ta có 

được điều gì? 

Ta có a ( ) nên 

a ⊥ AA' 

- Vậy nếu a⊥ b thì 

a ⊥ ( b, b' ) a ⊥ b' 

- Vậy nếu a⊥ b' 

thì 

a ⊥ ( b, b' 

) a ⊥ b 

- Em nào cho biết ba 

đường vuông góc trong 

định lí là 3 đường nào? 

- Để chứng minh hai 

đường thẳng vuông goc 

ta phải làm gì? 

-Giáo viên cho HS nhắc 

lại cách xác định góc 

giữa hai đường a và b 

thẳng trong không gian? 

- Giáo viên đặt vấn đề: 

Nếu a góc giữa b và 

a có phải góc giữa b và 

( ) ? 


nêu định nghĩa góc giữa 

đường thẳng và mặt 

phẳng. 

-HS chú ý lắng nghe, 

hiểu nhiệm vụ để chứng 

minh. 

- a ⊥ AA' 

- ( ) 

a ⊥ b, b' a ⊥ b' 

- ( , ') 

a ⊥ b b a ⊥ b 

- HS: đó là đường a,b,b’ 

* Chú ý: để chứng minh 

a⊥ b ta chứng minh 

a⊥ b' với b’ là hình 

chiếu của b lên mặt 

phẳng ( )

- HS: để chứng minh 

a⊥ b ta chứng minh 

a⊥ b' với b’ là hình 

chiếu của b lên mặt 

phẳng ( ) 

- Đại diện nhóm đứng 

tại chỗ trả lời. 


(TIẾP CẬN GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG) 

Mục tiêu: HS biết xác định và tính được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 

Nội dung 



Ghi bảng 

-GV chuyển giao nhiệm 

vụ cho HS: 

-Giáo viên hướng dẫn 

học sinh xác định góc 

giữa đường thẳng d và 

( ) , trong trường hợp d 

không vuông góc với 

( ) và cắt ( ) tại O, 

bằng hình vẽ. 

- Yêu cầu hs làm việc 

theo nhóm và cùng 

nhau thảo luận. 

- HS chú ý ,quan sát 

hình vẽ 

- HS chú ý quan sát vẽ 

hình suy nghĩ lời giải. 

3. Góc giữa đường 

thẳng và mặt phẳng 

*Đ/N: Cho đường thẳng 

d và mặt phẳng ( ) . 

- Trường hợp d ⊥ ( ) thì 

ta nói rằng góc giữa 

đường thẳng d và mặt 

phẳng ( ) bằng 90 0 

- Trường hợp đường 

thẳng d không vuông 

góc và mặt phẳng ( ) 

thì góc giữa d và hình 

chiếu d’ của nó trên ( ) 

gọi là góc giữa đường 

thẳng d và mặt phẳng

( ) . 

d 

A 

-Giaó viên hướng dẫn 

HS thực hiện ví dụ 2 

-HS thống nhất thảo 

luận và cử đại diện 

nhóm lên trình bày cách 

xác định góc giữa 

đường thẳng và mp cần 

làm ntn? 

 

d’ H 

 

O 

*Chú ý: Nếu là góc 

giữa đường thẳng d và 

mặt phẳng ( ) thì ta 

0 0 

luôn có 0 90 

. 

* Cách xác định góc: 

- Để xác định góc giữa 

d và ( ) ta xác định góc 

giữa d và d’ với d’ là 

hình chiếu của d lên ( )


Mục tiêu: Hs biết vận dụng lý thuyết vào làm bài tập 

Nội dung 

-GV: hướng dẫn HS 

a) Tính góc giữa SC và 

(AMN) 

+ Em có nhận xét gì về 

mối quan hệ giữa 

AM,AN với SC. 

+ Từ đó suy ra được 

điều gì? 

b) Tính góc giữa đường 

thẳng SC và (ABCD). 

+ Yêu cầu HS xác định 

hình chiếu của SC lên 

(ABCD). 

+ Yêu cầu HS xác định 

SCA là góc giữa SC và 

(ABCD) 



Các thành viên trong 

nhóm vẽ hình và cùng 

nhau đưa ra cách chứng 

minh 

+HS: AM ⊥ SC, 

AN ⊥ SC 

+HS: SC ⊥ (AMN). 

Ghi bảng 

*Ví dụ 2: Cho hình 

chop S.ABCD, đáy 

ABCD là hình vuông 

cạnh a, cạnh SA= a 2 

và SA ⊥ ( ABCD) 

a)Gọi M và N lần lượt 

là hình chiêu củ A lên 

SB và SD. Góc giữa SC 

và (AMN)là: 

A. 30 0 B.45 0 C.60 0 

D.90 0 

b) Góc giữa đường 

thẳng SC và (ABCD) 

là: 

A. 90 0 B.45 0 C.60 0 

D.30 0 

M 

B 

S 

Giải: 

A 

a) Ta có BC ⊥ AB, 

BC ⊥ SA 

BC 

⊥ 

N 

( SAB) 

C 

D

BC 

⊥ AM mà 

SB ⊥ AM nên 

AM ⊥ SBC do đó 

( ) 

AM ⊥ SC. 

Tương tự: AN ⊥ SC 

+ AC là hình chiếu của 

SC lên (ABCD). 

Vậy SC ⊥ (AMN). Do 

đó góc giữa SC và 

(AMN) bằng 90 0 


- GV chuyển giao nhiệm vụ cho HS 

- GV phát đề trắc nghiệm hoặc trình chiếu câu hỏi trắc nghiệm yêu cầu Hs tư duy, sáng 

tạo nhanh tìm câu trả lời đúng. 

Ví dụ: 

Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? 

A. Nếu đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng nằm trong mp (P) thì d vuông 

góc với mp (P) 

B. Nếu đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng song song với mp (P) thì d 

vuông góc với (P) 

C. Nếu đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng chéo nhau cùng song song với 

mp (P) thì d vuông góc với (P) 

D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai 

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết góc giữa 

đường thẳng SC và mp (ABCD) là 45 0 và SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường 

thẳng SC và mp(SAD) là: 

A. 30 0 

B. 45 0 

C. 60 0 

D. 90 0 

Đáp án 1C 2A

TIẾT 4 

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP –phần 1 

1. Mục tiêu: 

- Củng cố kiến thức về định nghĩa góc giữa hai véc tơ, góc giữa hai đường thẳng, hai 

đường thẳng vuông góc; vị trí tương đối giữa hai đường thẳng vuông góc. 

- Rèn luyện kỹ năng tính góc giữa hai đường thẳng; chứng minh hai đường thẳng 

vuông góc. 

2. Nội dung, phương thức tổ chức: 

a. Chuyển giao: 

L1. Lớp chia thành bốn nhóm (mỗi nhóm có đủ các đối tượng học sinh) 

L2: Học sinh quan sát hình ảnh (máy chiếu) và nghiên cứu bài toán sau: 

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP I 

BÀI TẬP TỰ LUẬN 

Bài1.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. 

a) tính góc giữa cặp véc tơ AB và AC ' ' 

; AB và 

' ' 

AC 

b) Chứng minh BD ⊥ 

' 

AC . 

' 

CC . Từ đó suy ra góc giữa đt AB và 

Bài 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=SB=SC và có các góc ASB, 

BSC, CSA bằng nhau. Chứng minh: SA ⊥ BC, SB ⊥ AC , SC ⊥ AB 

 

Bài3. Cho hìnhchóp S.ABD có SA=SB=SC=AB=AC=a và BC=a 2 tính góc giữa hai 

đường thẳng AB và SC. 

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP II 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: 

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây là đúng ? 

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. 

B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau 

thì song song với đường thẳng còn lại. 

D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông 

góc với đường thẳng còn lại. 

Câu 2: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. 

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? 

A. AC ⊥ SA B. SD ⊥ AC C. SA ⊥ BD D. AC ⊥ BD 

Câu 3: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. 

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? 

A. AC ⊥ SA B. SD ⊥ AC C. SA ⊥ BD D. AC ⊥ BD 

Câu 4: Cho hình lập phương ABCDEFGH, góc giữa hai đường thẳng AB và GH là: 

0 

0 

0 

0 

A. 0 B. 45 C. 180 D. 90 

b. Thực hiện 

+ Với từng câu hỏi 

- Học sinh suy nghĩ độc lập, làm ví dụ ra giấy nháp. 

- Làm việc nhóm: Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho câu hỏi 

.Viết kết quả vào bảng phụ. 

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không 

hiểu nội dung các câu hỏ. 


- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. 

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn. 

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời. 


d. Đánh giá, nhận xét, tổng hợp, chốt kiến thức:

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên 

dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng 

hơn trong các hoạt động học tiếp theo. 

Mục tiêu: 

e. Dự kiến các câu trả lời: 

TIẾT 5 

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP –phần 2 

- Củng cố kiến thức về định nghĩa đường vuông góc vớí mặt phẳng; dấu hiệu nhận biết 

đường thẳng vuông góc vớí mặt phẳng 

- Rèn luyện kỹ năng chứng minh đường thẳng vuông góc vớí mặt phẳng, tính góc giữa 

đường thẳng và mặt phẳng. 

HĐLT 1: Bài tập 1(Tự luận) 

Bài toán 

[1]. Cho töù dieän ABCD coù hai 

maët ABC vaø BCD laø hai tam 

giaùc caân coù chung caïnh ñaùy BC. 

Goïi I laø trung ñieåm cuûa caïnh BC. 

a) CMR: BC ⊥ (ADI). 

b) Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa 

ADI. CMR: AH ⊥ (BCD) 

HĐ GV và HS 

GV:Yêu cầu HS làm bài tập 

HS: Làm việc cá nhân 

GV có thể nêu các câu hỏi gợi ý: 

H1: Nêu cách chứng minh đường 

thẳng vuông góc với mặt phẳng 

H2: Nêu các tính chất về đường thẳng 

vuông góc với mặt phẳng. 

[2]. Cho töù dieän SABC coù tam 

giaùc ABC vuoâng taïi B; SA ⊥ 

(ABC). 

a) Chöùng minh: BC ⊥ (SAB). 

b) Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa 

HS: Làm việc cá nhân 

GV: Qua bài tập này, yêu cầu HS nêu 

thêm cách thứ 2 để chứng minh hai 

đường thẳng vuông góc là dựa vào 

tính chất đường thẳng vuông góc với

SAB. Chöùng minh: AH ⊥ SC. 

mp. 

[3]. Cho hình choùp SABCD coù 

ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. 

SA ⊥ (ABCD) vaø SA = a 6 . Tính 

goùc giöõa: 

a) SC vaø (ABCD) 

b) SC vaø (SAB) 

GV: Gợi ý nêu câu hỏi: Cách tính góc 

giữa đường thẳng và mặt phẳng là gì? 

HS: Làm bài tập 

c) AC vaø (SBC 

HĐLT 1: Bài tập 2 (Trắc nghiệm) 

- Chia lớp thành 4 nhóm, mỗi nhóm ứng với 1 tổ trong lớp. 

Phát phiếu học tập gồm các câu hỏi trắc nghiệm khách quan đủ các mức độ 

- HS: Làm việc theo nhóm 

Các nhóm thảo luận, báo cáo kết quả và có thể trả lời chất vấn của các nhóm còn 

lại hoặc đưa ra các nhận xét ( nếu có) 

- GV: Nhận xét đánh giá chung cho các nhóm. 

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây sai ? 

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. 

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. 

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song 

song. 

D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng 

vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. 

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB 

= SD. Khẳng định nào sau đây sai ? 

A. SO ⊥ (ABCD) B. CD ⊥ (SBD) C. AB ⊥ (SAC) D. CD⊥ AC

Câu 3: Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O 

vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) có số đo bằng 45 0 . 

Tính độ dài SO. 

A. SO = a 3 B. SO= a 2 C. SO = 

a 3 

2 

Câu 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Có đáy là hình thoi 

D. SO= 

0 

A = 60 

a 2 

2 

A’A = A’B = A’D . Gọi O giao điểm của AC và BD . 

Hình chiếu của A’ trên (ABCD) là : 

A. trung điểm của AO. B. trọng tâm tam giác ABD . 

C. giao của hai đoạn AC và BD . D. trọng tâm tam giác BCD . 

ĐÁP ÁN: 1C-2A-3B-4B 

Tiết 6. 


* Mục tiêu: 

+ Giúp học sinh vận dụng kiến thức kĩ năng vừa học để phát hiện và giải quyết 

bài toán thực tiễn. 

+ Tạo hứng thú cho học sinh khi học tập bộ môn Toán 

* Nội dung, phương thức tổ chức: 

a. Chuyển giao: 

L1. Lớp chia thành bốn nhóm (mỗi nhóm có đủ các đối tượng học sinh) 

L2: Học sinh quan sát hình ảnh (máy chiếu) và nghiên cứu bài toán sau: 

và

Bài toán: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng là hình chóp tứ giác đều có 

cạnh đáy dài 262 mét, cạnh bên dài 230 mét. 

H1.Hãy tính chiều cao của kim tự tháp đó. 

H2. Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp. 

H3. Biết kho báu được đặt ở tâm của đáy kim tự tháp. Hãy xác định vị trí để 

đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất 

b. Thực hiện 

+ Với câu hỏi H1 ( tương tự với các câu hỏi H2, H3) 

- Học sinh suy nghĩ độc lập, làm ví dụ ra giấy nháp. 

- Làm việc nhóm: Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho câu hỏi 

H1.Viết kết quả vào bảng phụ. 

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không 

hiểu nội dung các câu hỏi, đặc biệt câu hỏi H3. 


- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. 

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn. 

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời. 


d. Đánh giá, nhận xét, tổng hợp, chốt kiến thức: 

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên 

dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng 

hơn trong các hoạt động học tiếp theo. 

e. Dự kiến các câu trả lời:

S 

230m 

J 

D 

C 

A 

262m 

H 

B 

I 

262m 

TL1. Ta giả sử các cạnh và đỉnh của kim tự tháp như hình vẽ. Vì S.ABCDhình 

chóp tứ giác đều nên SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) ( H = AC BD ) 

2 2 2 2 

Xét ΔABC vuông tại A, ta có: AC AB BC 

AC 

HC = = 131 2 (m) 

2 

Xét ΔSHC vuông tại H, ta có: 

SH SC HC 

= + = 262 + 262 = 262 2 (m) 

2 2 2 2 

= − = 230 − (131 2) = 18578 136 (m). Vậy chiều cao của kim 

tự tháp là khoảng 136 mét. 

TL2. Gọi I là trung điểm BC. Suy ra : SI 

⊥ BC và HI ⊥ BC 

Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là SIH 

AB 

HI = = (m) 

2 

Ta có: 131 

SH 

HI 

18578 

131 

0 

Xét ΔSHI vuông tại H ta có: tan SIH = = SIH 46 

0 

Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp là khoảng 46 .

TL3. Kẻ HJ vuông góc với SI, suy ra H là đoạn đường ngắn nhất. 

Trong tam giác SHI vuông tại H, HJ là đường cao, ta có: 

1 1 1 1 1 35739 

= + = + = 

2 2 2 

HJ SH SI 18578 17161 18578.17161 

2 18578.17161 

HJ = HJ 94 (m) 

35739 

2 2 2 2 

IJ = HI − HJ = 131 −94 91 (m) 

Vậy vị trí để đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất là tại 

điểm J nằm trên trung tuyến của mặt bên, cách cạnh kim tự tháp khoảng 91 

mét. 

Tiết 7 

Hoạt động 5: Hoạt động tìm tòi, mở rộng. 

1. Mục tiêu 

Giúp học sinh hứng thú hơn với môn hình học. 

2. Nội dung, phương pháp tổ chức. 

+ Chuyển giao: Giáo viên chia lớp thành 2 nhóm từ các tiết học trước. Giao nhiệm vụ 

cho các nhóm về chuẩn bị như sau: 

Nhóm 1: Tìm hiểu về các hình ảnh thực tế về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. 

Nhóm 2: Tìm hiểu cách sử dụng dây rọi. Sử dụng dây rọi để cắm một số cán cờ trang 

trí trong dịp lễ 30/4 trên một số tuyến phố. 

+ Thực hiện: Giáo viên cho các nhóm lên thuyết trình về sản phẩm của nhóm mình. 

3. Sản phẩm. 

Nhóm 1: 

Hai thanh trụ giữ xà vuông góc với mặt 

sân. 

Cột đèn giao thông vuông góc với mặt 

đường.

Các chân của tubin gió vuông góc với mặt 

đất 

Các chân bàn vuông góc mới mặt phẳng bàn. 

Tàu vũ trụ trước khi phóng có giá là một đường thẳng vuông góc với mặt đất 

Nhóm 2:

Dây rọi: Gồm một quả nặng nhỏ gắn 

vào một cuộn dây mền, mỏng. 

Tác dụng: Để xác định phương thẳng 

đứng. 

Giải thích: Khi giữ dây rọi cố định, 

trọng lực và lực căng dây cân bằng 

nhau. Vì trọng lực có phương thẳng 

đứng nên dây rọi cũng có phương 

thẳng đứng.

GIÁO ÁN PP MỚI THEO CHỦ ĐỀ MÔN TOÁN LỚP 11

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?