Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

cepesh76
  • No tags were found...

Небојша Икодиновић

МАТЕМАТИКА

Уџбеник са збирком задатака за први разред гимназијe

1.

Уџбеник

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Небојша Икодиновић

МАТЕМАТИКА

Уџбеник са збирком задатака

за први разред гимназије

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Математика

Уџбеник са збирком задатака

за први разред гимназије

Прво издање

Аутор: др Небојша Икодиновић

Илустрације: Андреј Војковић, Милан Драгојловић, shutterstock

Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу

Милибор Саковић, Прва економска школа у Београду

Невена Василић Лукић, Прва београдска гимназија

Графичко обликовање и обликовање корица: „Total Idea”, Нови Сад

Лектура: Јована Ђокић, Весна Јованкић

Издавач: Издавачка кућа „Кlett” д.о.о.

Маршала Бирјузова 3–5/IV, 11000 Београд

Teл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385

office@klett.rs, www.klett.rs

За издавача: Гордана Кнежевић Орлић

Главни уредник: Александар Рајковић

Уредник: др Бранислав Поповић

Руководилац пројекта: Александар Рајковић

© Klett, 2019.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова

у било ком обиму и поступку, укључујући фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним

јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу са места и у време које он одабере,

без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним

правима.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реч аутора

Уџбеник пред вама је написан према новом наставном плану и програму математике за први разред

гимназија, али је прилагођен и програмима математике у средњим стручним школама. Иако постоје

разлике међу наставним плановима и програмима за поједине типове средњих школа, много је више

поклапања. Сви програми предвиђају исте наставне целине (различитог обима), које се надовезују и

проширују на теме обрађене у основној школи.

Сматрамо да је добро барем у првом разреду, када то програми допуштају, понудити заједничку

књигу за све средњошколце. Пре свега, то је корисно због усвајања заједничких стандарда за средње

образовање и опште тенденције да се продужи период у којем се младим људима пружају подједнаке

шансе када је у питању образовање. Напослетку, верујемо да на тај начин може доћи до подизања

нивоа математичке писмености, а тиме и нивоа образовања уопште.

Узимајући у обзир разлике у садржајима поменутих програма као и три нивоа знања које предвиђају

стандарди за крај средњег образовања, садржаји ове књиге су подељени на три нивоа – А, Б и В.

Дату поделу треба схватити оријентационо и флексибилно, јер постављање јасних граница међу

програмима и нивоима постигнућа нити је могуће нити је добро за образовање.

Сугестије и примедбе читалаца ове књиге увек су добродошле.

Аутор

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

3


У

2

1 57648 9

Како учити из ове књиге

УВОД У ГЕОМЕТРИЈУ

Тачке, праве и равни. Односи припадања (92)

А Односи припадања између тачака, правих и равни (92)

Б Последице аксиоме припадања (96)

Паралелност (98)

А Паралелност правих; аксиома паралелности (98)

Б Последице аксиоме паралелности (99)

Распоред тачака. Дуж, полуправа и полураван (100)

А Распоред тачака; дуж, полуправа, полураван (100)

Б Пашова теорема (103)

Важне геометријске фигуре. Угао и многоугао (104)

А Конвексне и неконвексне фигуре; угао и многоугао (104)

Наставне теме су обрађене у посебним главама.

Наслови лекција у оквиру теме истакнути су масним

словима. Испод наслова лекције наведено је којим

нивоима поједини њени делови припадају. Сваки ниво

прати и опис одговарајућег садржаја. Касније, у оквиру

самих лекција, истакнути су само нивои, док су описи

или изостављени или су на маргинама истакнуте

њихове скраћене верзије.

Према дефиницији, постоји бесконачно много

парова бројева чија је размера иста, тј. чији је

количник исти.

Ако су једнако вредне

сумe од D$ и E€ и

суме од X$ и Y€, онда је

D

E = X Y .

Ако је размера два броја a и b једнака размери бројева c и d, тј. ако је

a : b = c : d, односно, a b = c d ,

кажемо да су ови парови пропорционални. Дату једнакост називамо

пропорцијом.

Пропорционалност

дефиниција

Пример 3.

Ако пар бројева a и b образује пропорцију са паром c и d, и ако су позната

a

=

x

три броја, четврти се једноставно одређује на основу познатих алгебарских b d

законитости.

7

6 : x = 1 7 : 1 a

3

0,12 : 0,4 = x : 0,01

=

c

7

6 : x = 3 0,3 = x : 0,01

b x

7

x = 0,3 . 0,01 = 0,003

x = 7 6 : 3 7 = 49


18 Угао између тангенте и тетиве која садржи тачку додира једнак је

Наредна теорема као и задатак одговарајућем наведен после периферијском ње дају особине углу пропoрција над луком које су одређеним том тетивом.

веома корисне.

Ако су a, b, Ова c и d теорема реални бројеви, нам омогућава сви различити још једну од нуле, важну тада конструкцију.

је

основна особина пропорција

a : b = c : d акко a . d = b . c.

Пример 6.

Доказ. Једнакост a : b = c : d записаћемо у облику a b = c . Ако обе стране ове

Нека је дата дуж AB и угао φ. d Конструишимо скуп свих тачака из којих се дуж AB

једнакости помножимо види са bd, под добијамо углом φ.

a b . (bd) = c d . (bd),

одакле следи (након скраћивања) да је ad = bc.

Такође, ако обе стране једнакости ad = bc поделимо са bd, добијамо ad

bd = bc

db ,

односно, a b = c d . ■

a : b = c : d

спољашњи a

2. Задатак

b = c унутрашњи

чланови d чланови

Нека су a, b, c и d бројеви различити од нуле.

Докажи да је једнакост a : b = c : d еквивалентна свакој од следећих једнакости: ad = bc

1) b : a = d : c;

2) a : c = b : d; (Унутрашњи чланови пропорције могу заменити места.)

3) d : b = c : a; (Спољашњи чланови пропорције могу заменити места.)

4) ak : bk = c : d, за сваки број k различит од нуле;

5) ak : b = ck : d, за сваки број k различит од нуле.

Тражена конструкција је на сликама изнад приказана

„корак по корак”.

8. Задатак

Конструиши ∆ABC ако је дато a, α, h a .

113

Лењиром и шестаром није могуће конструисати угао од 20°

Проблем трисекције угла је древни антички проблем: „Да ли је могуће

употребом само лењира и шестара сваки угао поделити на три подударна угла

конструкцијом две полуправе?”

Много векова су математичари безуспешно покушавали да реше овај проблем.

Тек у XIX веку, два миленијума након формулације проблема, доказано је да

није могуће извршити трисекцију било ког угла. Коришћењем метода алгебре,

показано је да се лењиром и шестаром не може конструисати угао чија је

мера 20°, па је дакле немогуће угао од 60° лењиром и шестаром поделити на

три једнака дела. (Наравно, постоје углови чије трећине веома једноставно

конструишемо; на пример прави углови или опружени углови.)

Постоје „алати” помоћу којих је могуће поделити сваки угао на три једнака

дела.

теорема

Подударност

169

Сваки одељак је обликован у складу са уобичајеном

структуром математичког текста. Дефиниције и

теореме са доказима најважнији су делови текста

и посебно су истакнути. Завршетак сваког доказа

означен је квадратићем ■. Прате их детаљно урађени

примери. Крај примера је означен ромбом. Примере

прате задаци који су бирани тако да њихово решавање

доприноси бољем разумевању садржаја о којима је

реч. Зато предлажемо да решавање ових задатака

буде саставни део упознавања са одговарајућим

садржајима. Решења ових задатака нису дата на крају

књиге јер сматрамо да их свако може решити на основу

објашњења и примера који им претходе.

На маргинама, али и у посебним блоковима дате су

важне напомене које прате основни текст, истакнута су

најважнија тврђења, као и слике које илуструју текст

и олакшавају сналажење у књизи. Знак за опасност

(троугао са узвичником) позива само на појачану

пажњу приликом читања, како би се нагласиле неке

типичне недоумице и нејасноће.

У посебним блоковима дати су необавезни садржаји

који су у директној вези са основним текстом.

Ови кратки текстови доносе неке математичке

занимљивости, а понекада и детаљнија и прецизнија

објашњења појмова и концепата који по садржају

превазилазе оквире програма.

4

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


0

mm

inches

254

А

Ако је c < 0, онда су за

произвољне реалне

бројеве x и y тачне

импликације:

x < y cx > cy,

x > y cx < cy,

x ≤ y cx ≥ cy,

x ≥ y cx ≤ cy.

Линеарне неједначине са једном непознатом

Пример 1.

Подсетимо се решавања и геометријског приказивања скупа решења следећих

једноставних линеарних неједначина.

2x + 3 > x + 2 / – x x ≤ 2x + 1 / – 2x

2x + 3 – x > x + 2 – x

x – 2x ≤ 2x + 1 – 2x

–x ≤ 1 / ∙ (–1)

x + 3 > 2 / – 3

x + 3 – 3 > 2 – 3 x ≥ –1

x > –1

x [–1, +∞)

x (–1, +∞)

(–1, +∞) [–1, +∞)

5 > 2x + 1 / – 1 x – 1 ≤ / ∙ 4

5 – 1 > 2x + 1 – 1 4x – 4 ≤ x – 3 / – x

4 > 2x / : 2 3x – 4 ≤ – 3 / + 4

2 > x 3x ≤ 1 / : 3

Б

Једначине у којима x < 2 се појављују апсолутне вредности x ≤ решaвамо тако што се најпре Једначине са

ослобађамо апсолутне вредности помоћу следеће еквиваленције:

апсолутним

x (–∞, 2) x –∞, 1 вредностима

1. случај 2. случај

3

|A(x)| = B(x) (A(x) ≥ 0A(x) = B(x))(A(x) < 0 – A(x)

–∞, 1 = B(x)).

Апсолутну вредност

Слично поступамо са (–∞, неједначинама.

2)

3

броја смо дефинисали

на страни 74. Запис

Пример 9.

који се при томе

користи

Решимо две једначине са апсолутним вредностима:

Скупови решења датих неједначина су такозвани неограничени интервали које

1) 2 – |x

смо

+ 1|

дефинисали

= – 1 2 x, на страни 69. Према тим

2) 2

дефиницијама

– |x + 1| = – 1 x, x ≥ 0,

4 x + је:

3.

|x| =

– x, x < 0,

x ≥ a x [a, +∞)

читамо и схватамо на

1. случај: x + 1 ≥ 0, тј. x ≥ – 1. Тада је x > a 1. x случај: (a, +∞) x + 1 ≥ 0, тј. x ≥ –1. Тада је

|x + 1| = x + 1, па имамо да је x ≤ a x (–∞, a]

2 – (x + 1) = – 1 2 – (x + 1) = – 1 следећи начин:

x < a x (–∞, a).

2 x,

4 x + 3,

• ако је x ≥ 0, онда је

|x| = x,

одакле је x = – 8

одакле је Пример x = 2. Пошто 2. број 2

3 . Пошто број – 8 3 не

• ако је x < 0, онда је

|x| = – x.

задовољава

Скуп решења

услов x

неке

≥ –1,

неједначине

овај број задовољава услов x ≥ –1, овај број није

може бити и празан. Рецимо, неједначина

јесте решење

x + 2 < x

дате

+ 1 нема

једначине.

решење дате једначине.

решења.

2. случај: Насупрот x + 1 < 0, томе, тј. x сваки < –1. Тада реалан број је решење

2. случај:

неједначине

x + 1 < 0, тј.

x +

x

2

<

>

–1.

x +

Тада

1, тј. скуп

је

|x + 1| = свих –(x + решења 1), па имамо ове

Внеједначине да јесте скуп свих реалних бројева R који понекада

означавамо и као интервал (–∞, +∞).

2 – (–(x + 1)) = – 1 2 x,

2 – (–(x + 1)) = – 1 4 x + 3,

Неједначине

Пример одакле 11. је x = 0. Пошто број 0 не

одакле је x = –2. Пошто са број апсолутним –2

задовољава услов x < –1, ни овај број

задовољава услов x < –1, вредностима

и овај број

Решимо неједначину |x – 1| + |x| + |x + 1| > 5.

није решење дате једначине.

јесте решење дате једначине.

1. случај: x < – 1, тј. x (–∞, –1).

x – 1

Дакле, дата једначина има два решења:

Дата Дакле, неједначина дата једначина се своди на нема неједначину решења.

2 и –2.

–x + 1 – x – x – 1 > 5

која је еквивалентна са x < – 5

Пример 10.

3 , тј. x –∞, – 5 3 .

x

Дакле, сви бројеви из

Решимо једначину |x – 1| + |x| = 1.

(–∞, –1) –∞, – 5

У овом случају треба разматрати истовремено знак два израза, x – 1 и x, па је зато 3 = –∞, – 5 x + 1

су решења дате неједначине.

3

погодно формирати шему налик онима из примера 6, 7 и 8.

2. случај: –1 ≤ x < 0, тј. x [–1,0).

1. случај: x < 0. Тада је |x – 1| = –(x – 1) и |x| = –x, па дата једначина постаје

x – 1

Дата неједначина се своди на неједначину

–x + 1 – x = 1. Решење ове једначине је број 0 који у овом случају одбацујемо –x + јер 1 – не x + x + 1 > 5

задовољава услов x < 0.

која је еквивалентна са x < –3, тј. x (–∞, –3). x

2. случај: 0 ≤ x < 1. Тада је |x – 1| = –(x – 1) Овај и |x| случај = x, па нам дата не једначина даје решења постаје полазне неједначине јер је

–x + 1 + x = 1. Пошто се у овом случају дата једначина своди на тачну једнакост, [–1,0) (–∞, –3) = .

њена решења су сви бројеви x који задовољавају услов 0 ≤ x < 1; дакле сви бројеви

из [0,1).

3. случај: 0 ≤ x < 1, тј. x [0,1).

3 случај: 1 ≤ x. Сада је |x – 1| = x – 1 и |x| = Дата x, па неједначина дата једначина се своди постаје на x неједначину

– 1 + x = 1.

Решење ове једначине је број 1. Пошто број 1 задовољава услов x ≥ 1, он –x је решење + 1 + x + x + 1 > 5

и полазне једначине.

која је еквивалентна са x > 3, тј. x (3, +∞).

Као и у претходном случају и овога пута не добијамо решења полазне неједначине

Дакле, скуп решења дате једначине је [0,1) јер је {1} = [0,1].

[0,1) (3, +∞) = .

4. случај: 1 ≤ x, тј. x (1, +∞).

Дата неједначина се своди на неједначину

x – 1 + x + x + 1 > 5

која је еквивалентна са x > 5 3 , тј. x 5 3 , +∞ .

Сви бројеви из

(1, +∞) 5 3 , +∞ = 5 3 , +∞

су решења дате неједначине.

259

Садржаји књиге су подељени на три нивоа – А, Б и

В. За сваки одељак или део одељка истакнут је ниво

у складу са различитим обимом који предвиђају

поједини програми, односно нивои постигнућа.

Ниво А покрива основна знања. Садржаји који су

означени са А чине целину за себе и могу се читати

независно од делова Б и В.

Делови књиге који су означени са Б настављају се на

делове који су означени са А и са њима представљају

нову целину у оквиру књиге.

Део В се надовезује на делове означене са А и Б и

садржи најсложеније делове градива. Садржаји

овог дела могу се интерпретирати и као садржаји за

напредни ниво постигнућа.

Дакле, скуп решења дате неједначине је –∞, – 5 3

5 3 , +∞ .

260

Неједначине са

параметрима

Пример 12.

Решимо неједначину ax + 1 < x + a 2 , где је a параметар.

Дата неједначина је еквивалентна са

(a – 1)x < (a – 1)(a + 1).

У зависности од тога да ли је a – 1 позитивно, негативно или је једнако нули,

разликујемо следеће случајеве.

1. случај: a < 1. Тада је a – 1 < 0, па је скуп решења дате неједначине (a + 1, +∞).

2. случај: a > 1. Тада је скуп решења дате неједначине (–∞, a + 1).

3. случај: a = 1. У овом случају дата неједначина нема решења.

5

2

57648 19

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6

Збир углова

конвексног

четвороугла једнак

је 360°.

Задаци

Размере и пропорције

1. У табели су дати односи америчких јединица мере за дужину и стандардних

јединица мерe за дужину.

1 inch (in) [инч] 25,4 mm

1 foot (ft) [фут, стопа] 12 in 30,48 сm

1 yard (yd) [јард] 3 ft 0,9144 m

1 mile (mi) [миља] 5 280 ft 1,609 km

1) Дијагонала ТВ екрана дугачка је 37 инча. Колика је њена дужина у

центиметрима?

2) Растојање између Вашингтона и Њујорка, ваздушном линијом износи 204

миље. Колико је то растојање у километрима?

3) Колико приближно инча има један центиметар?

2. Формирај пропорцију, ако је могуће, од бројева 15, 18, 35 и 42.

3. Одреди број x, ако је:

1) x : 1 3 = 2 5 : 3 4 ; 2) 0,3 : x = 0,6 : 0,2 ; 3) x : 1 1 3 = 1 2 5 : 1 3 ; 4) 0,01 : 0,1 = x : 0,01.

4

4. Одреди продужену пропорцију, ако је x : y = 3 : 5, y : z = 2 : 3 и z : u = 4 : 3.

5. Докажи следеће специјалне случајеве теореме са стране 85. Нека су a, b, c и d

реални бројеви, сви различити од нуле, такви да је a : b = c : d. Онда је:

1) (a + c) : (b + d) = a : b, под условом да је b + d ≠ 0;

2) (a – c) : (b – d) = a : b, под условом да је b – d ≠ 0;

3) (2a – 3c) : (2b – 3d) = a : b, под условом да је 2b – 3d ≠ 0;

4) (ax + cy) : (bx + dy) = a : b, за све бројеве x и y такве да је bx + dy ≠ 0 .

6. Нека су a, b, c, d, α, β, γ и δ реални бројеви, сви различити од нуле. Ако је

a : b = c : d, докажи да је (αa + βb) : (γa + δb) = (αc + βd) : (γc + δd).

7. Одреди углoве α, β, γ и δ конвексног четвороугла, ако је α : β : γ : δ = 1 : 2 : 3 : 4.

8. Одреди бројеве x, y и z, ако је x : y : z = 3 : 5 : 7 и x + 2y + 3z = 51.

На крају сваке наставне теме дати су задаци који служе

за вежбање и утврђивање појединих садржаја теме.

Ових задатака има више од 400.

Задаци су подељени у три групе у складу са поделом

садржаја наставних тема на делове А, Б и В.

За један број задатака дата су упутства, а неке задатке

прате напомене у блоковима. Њихов циљ није само

да олакшају решавање задатка већ и да укажу на

повезаност појмова и концепата.

Б

9. Одреди бројеве x, y и z, ако је x : y = 5 : 6, y : z = 2 : 3 и x + y + z = 80.

10. Нека су a, b, c и d бројеви различити од нуле такви да је b – 3a ≠ 0, 2b + d ≠ 0 и

(a – 3c) : (b – 3d) = (2a + c) : (2b + d). Докажи да је a : b = c : d.

11. Нека су a 1 , a 2 , ..., a n и b 1 , b 2 , ..., b n реални бројеви, сви различити од нуле, такви

да је a 1 : a 2 : ... : a n = b 1 : b 2 : ... : b n . Докажи да је

k 1a 1 + k 2a 2 + ... + k na n = l 1a 1 + l 2a 2 + ... + l na n

k 1 b 1 + k 2 b 2 + ... + k n b n l 1 b 1 + l 2 b 2 + ... + l n b n

за било које бројеве k 1 , k 2 , ... ,k n , l 1 , l 2 , ... , l n , такве да су бројеви који образују

пропорцију различити од нуле.

126

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

5


У

2

1 57648 9

Садржај

ЛОГИКА И СКУПОВИ 9

Логички везници. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Исказне формуле. Таутологије. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Таутологије и закони закључивања . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Скупови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Уређени пар. Декартов производ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Бинарне релације. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Елементи комбинаторике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Квантификатори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ 47

Дељивост целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Прости бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Бројевне базе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ 61

Скуп рационалних бројева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

Скуп реалних бројева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

Апсолутна вредност реалног броја. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

Приближне вредности реалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

Степен чији је изложилац цео број. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

УВОД У ГЕОМЕТРИЈУ 91

Тачке, праве и равни. Односи припадања. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

Паралелност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

Распоред тачака. Дуж, полуправа и полураван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Важне геометријске фигуре. Угао и многоугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

6

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ 111

Размере и пропорције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

Директна и обрнута пропорционалност. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

Примене пропорција . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

ПОДУДАРНОСТ 129

Подударност дужи и углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

Ставови подударности троуглова и неке важне последице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

Основне особине троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

Основне особине круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

Основне особине паралелограма и трапеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

Вектори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

Геометријске конструкције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

Изометријске трансформације . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБРАСКИ ИЗРАЗИ 187

Појам израза. Дрво израза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188

Цели алгебарски изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

Полиноми са једном променљивом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197

НЗД и НЗС полинома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

Рационални алгебарски изрази. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

Неке основне неједнакости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

СЛИЧНОСТ 213

Мерење дужи и углова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

Размера дужи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

Талесова теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

Хомотетија . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

Сличност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

Примене ставова сличности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

7


У

2

1 57648 9

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ, НЕЈЕДНАЧИНЕ И СИСТЕМИ 243

Линеарни изрази и једначине правих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244

Линеарне једначине са једном непознатом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

Линеарне неједначине са једном непознатом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

Системи линеарних једначина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

Линеарне функције. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269

ТРИГОНОМЕТРИЈА ПРОВАОУГЛОГ ТРОУГЛА 275

Тригонометријске функције оштрих углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276

Вредности тригонометријских функција оштрих углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280

Основни тригонометријски идентитети. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

Примене тригонометријских функција. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

Задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287

8

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ЛОГИКA И СКУПОВИ

Логички везници (10)

А Појам исказа; дефиниције логичких везника; логичка структура

реченице (10)

Исказне формуле. Таутологије (14)

А Дефиниција исказне формуле; истинитосна таблица формуле;

дефиниција таутологије (14)

Б Метода свођења на апсурд (16)

Таутологије и закони закључивања (17)

А Неке важне таутологије и закони закључивања (17)

Скупови (20)

А Начини задавања скупова; једнакост скупова; подскуп скупа; скуповне

операције: унија, пресек, разлика; комплемент скупа; скуповни

идентитети (20)

Уређени пар. Декартов производ (24)

А Дефиниција уређеног пара; дефиниција Декартовог производа два

скупа (24)

Б Идентитети са Декартовим производом; уређене тројке, четворке итд.,

Декартов производ три и више скупова (25)

Бинарне релације (26)

А Дефиниција бинарне релације неког скупа; особине бинарних

релација; релације поретка; релације еквиваленције и класе

еквиваленције (26)

Функције (30)

А Дефиниција функције и примери функција; композиција функција;

особине и врсте функција (30)

Елементи комбинаторике (34)

А Принцип збира; принцип укључења–искључења; принцип производа

(34)

Квантификатори (39)

В Универзални и егзистенцијални квантификатор; логички закони и

квантификтори (39)

Аристотел (384. пре

н. е. – 322. пре н.е.)

Готфрид Вилхелм

Лајбниц (1646–1716)

Џорџ Бул (1815–1864)

Курт Гедел (1906–1978)

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


A

Логички везници

Међу многобројним законима које проучава математика посебно важно место

заузимају такозвани закони мишљења, односно, закључивања. Математичка

дисциплина која се бави овим законима назива се математичка логика.

Закључивање је у великом броју случајева засновано на тврдњама које могу бити

тачне или нетачне. Такве тврдње називају се искази.

Пример 1.

Реченица „број 6 је мањи од броја 7” пример је тачног исказа.

Реченица „број 5 је збир бројева 3 и 4” пример је исказа који није тачан.

Исказе ћемо означавати малим словима латинице са или без индекса:

a, b, c, ..., p, q, r, ..., p 1

, q 1

...

Све чешће се

у литератури

истиносне вредности

означавају са 1

(тачно) и 0 (нетачно),

уместо са ⊤ и ⊥.

Истинитосну вредност тачно означавамо ⊤ (читамо „те”), а истинитосну

вредност нетачно означавамо ⊥ (читамо „не те”).

Ако је неки исказ p тачан, пишемо τ(p) = ⊤ (читај „тау од пе једнако те”), а ако

је исказ p нетачан, пишемо τ(p) = ⊥. Дакле, са τ означавамо придруживање које

сваком исказу додељује његову истинитосну вредност.

1.

Задатак

Одреди истинитосне вредности исказа p, q и r, тј. τ(p), τ(q) и τ(r), ако је:

p: број 1 је већи од броја 0,33;

3

q: постоји природан број x такав да је x + 2 = 1;

r: за сваки природан број x тачна је неједнакост x + 1 > x.

Као што операцијом

сабирања пару бројева x

и y придружујемо нови

број x + y, тако логичком

операцијом или, на

пример, пару исказа p

и q придружујемо нови

исказ „p или q”.

Од неких полазних исказа градимо нове исказе уз помоћ такозваних логичких

везника, односно, логичких операција. Ове операције су засноване на речима

(везницима): или, и, не (није), ако ... онда, ако и само ако.

2.

Задатак

Нека су дати искази:

p: број 3 је већи од броја 4,

q: број 2 је мањи од броја 5.

Одреди истинитосне вредности исказа p и q, а затим размотри истинитост

следећих реченица:

1) p и q: број 3 је већи од броја 4 и број 2 је мањи од броја 5,

2) p или q: број 3 је већи од броја 4 или број 2 је мањи од броја 5,

3) није p: није број 3 већи од броја 4,

4) није q: није број 2 мањи од броја 5.

10

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Дисјункција два исказа p и q је исказ „p или q” који се означава pq.

Дисјункција pq је тачна ако је бар један од исказа p, q тачан, а нетачна је ако

су оба исказа p, q нетачна.

Пример 2.

τ(2 + 3 = 52 ≤ 3) = ⊤ τ(2 < 33 < 2) = ⊤ τ(3 > 52 < 5) = ⊤ τ(1 < 02 < 0) = ⊥

Конјункција два исказа p и q је исказ „p и q” који се означава pq. Конјункција

pq је тачна ако су оба исказа p, q тачна, а нетачна је ако је бар један од исказа

p, q нетачан.

Пример 3.

τ(2 + 3 = 52 ≤ 3) = ⊤ τ(2 < 33 < 2) = ⊥ τ(3 > 52 < 5) = ⊥ τ(1 < 02 < 0) = ⊥

Негација исказа p је исказ „није p” који се означава ¬p. Негација ¬p је тачна

ако је исказ p нетачан, а нетачна је ако је исказ p тачан.

Пример 4.

τ(¬3 > 5) = ⊤

τ(¬2 < 4) = ⊥

Логичка операција која по значају заузима централно место у математици јесте

импликација. Огроман је број математичких тврђења која су формулисана у

облику ако p, онда q. Исказе овог облика означавамо p q. У говорном језику они

се исказују и на један од следећих начина:

p имплицира q, p повлачи q,

из p следи q, q је последица претпоставке p,

p је довољан услов за q, q је потребан услов за p.

дефиниција

τ(p) τ(q) τ(pq)

⊤ ⊤ ⊤

⊤ ⊥ ⊤

⊥ ⊤ ⊤

⊥ ⊥ ⊥

дефиниција

τ(p) τ(q) τ(pq)

⊤ ⊤ ⊤

⊤ ⊥ ⊥

⊥ ⊤ ⊥

⊥ ⊥ ⊥

дефиниција

τ(p)



τ(¬p)



p је довољан услов за q

p q

q је потребан услов за p

Пример 5.

Претпоставимо да су нечији родитељи изјавили:

Ако ове школске године будеш имао све петице, купићемо ти рачунар.

Ова изјава је облика p q, где је p исказ ти ћеш ове школске године имати све

петице, а q исказ ми ћемо ти купити рачунар. Када сматрамо да родитељи говоре

истину? Ако ученик има све петице и родитељи му купе рачунар, тј. ако су оба

исказа тачна, дата изјава родитеља је, свакако, тачна.

Ако ученик има све петице, а родитељи му не купе рачунар, онда су, најблаже

речено, родитељи лагали. Дакле, ако је p тачно, а q нетачно, онда је p q нетачно.

Ако ученик нема све петице, а родитељи му купе рачунар, онда родитеље сигурно

нећемо сматрати лажовима. Дакле, ако је p нетачно, а q тачно, онда p q сматрамо

тачном изјавом.

Најзад, претпоставимо да ученик нема све петице и родитељи му нису купили

рачунар. Пошто ученик није испунио своју обавезу, обавезе су ослобођени и

родитељи. И у овом случају дату изјаву сматрамо тачном.

⊤ ⊤

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

11


1

2

1 57648 9

дефиниција

τ(p) τ(q) τ(p q)

⊤ ⊤ ⊤

⊤ ⊥ ⊥

⊥ ⊤ ⊤

⊥ ⊥ ⊤

Уместо ако и само

ако често се краће

пише акко. Аналогно

скраћивање је

уобичајено у многим

језицима. На пример, у

енглеском се if and only

if скраћује са iff.

3.

Импликација два исказа p и q је исказ „ако p, онда q” који се означава p q.

Импликација p q је нетачна ако је исказ p тачан и исказ q нетачан, а тачна је

у свим осталим случајевима.

Пример 6.

τ(2 + 3 = 5 2 ≤ 3) = ⊤ τ(2 < 3 3 < 2) = ⊥

τ(3 > 5 2 < 5) = ⊤ τ(1 < 0 2 < 0) = ⊤

Задатак

Која од речи потребно или довољно треба да стоји уместо *** да би следеће

реченице биле тачне?

1) Да би број био већи од 100, *** је да буде већи од 1000.

2) Да четвороугао буде правоугаоник, *** је да буде паралелограм.

3) Да број буде дељив са 5, *** је да његова последња цифра буде 5.

4) Да троугао буде једнакокраки, *** је да буде једнакостраничан.

Импликације p q и q p су једна другој обратне.

Конјункција две обратне импликације

(p q)(q p)

назива се еквиваленција и обележава се p q. Искази овог облика се у говорном

језику изражавају на један од следећих начина:

p ако и само ако q,

p је еквивалентно са q,

ако p, онда q и обратно,

p је потребан и довољан услов за q.

дефиниција

τ(p) τ(q) τ(p q)

⊤ ⊤ ⊤

⊤ ⊥ ⊥

⊥ ⊤ ⊥

⊥ ⊥ ⊤

4.

Еквиваленција два исказа p и q је исказ „p ако и само ако q” који се означава

p q. Еквиваленција p q је тачна ако су исте истинитосне вредности исказа

p, q, а нетачна је ако су истинитосне вредности исказа p, q различите.

Пример 7.

τ(2 + 3 = 5 2 ≤ 3) = ⊤ τ(2 < 3 3 < 2) = ⊥

τ(3 > 5 2 < 5) = ⊥ τ(1 < 0 2 < 0) = ⊤

Задатак

Одреди истинитосну вредност следећих исказа:

1) 2 ∙ 6 > 0,5 ∙ 12 2 3 > 3 2 ; 2) 2 + 3,1 > 5 3,3 – 1,4 < 2;

3) – 6 + 4 < 6 – 4 3 – 7 < 7 – 3; 4) 2 2 + 3 2 < 4 2 3 2 + 4 2 < 5 2 ;

5) 11 ∙ 9 < 10 2 101 ∙ 99 < 100 2 ; 6) 2 ≤ 2 2 < 2;

7) (0,1 > 0,01 –0,1 > –0,01) (3 2 < 3 ∙ 22 ∙ 3 < 2 3 );

8) ¬ 2 3 > 3 2 2 5 < 5 2

¬(¬0,1 ∙ 0,1 = 0,01).

12

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Пример 8.

Одредимо логичку структуру (распоред елементарних исказа и логичких везника)

реченице: Ана ће платити рату за ауто или у супротном неће моћи да га задржи.

Прво уочимо елементарне исказе (тј. исказе у којима се не јављају логички

везници) од којих се ова реченица састоји:

p: Ана ће платити рату за ауто;

q: Ана ће моћи да задржи ауто.

Користећи логичке везнике, полазну реченицу можемо записати на следећи

начин:

Ана ће платити рату за ауто


¬(Ана ће платити рату за ауто)¬(Ана ће моћи да задржи ауто),

односно,

p(¬p¬q).

Логичка структура

реченице

p ∨ (¬p∧¬q) ¬p

p(¬p¬q) ¬p

5.

Задатак

Дати су искази:

p: наспрамне странице четвороугла су паралелне;

q: наспрамне странице четвороугла су подударне;

r: четвороугао је паралелограм.

Одреди логичку структуру реченице: Ако је четвороугао паралелограм, онда су

његове наспрамне странице паралелне и подударне.

Пример 9.

Нека су дати елементарни искази:

p: Милена је наследила 300 000 евра;

q: Милена ће отићи на море;

r: Милена ће купити стан.

Формирајмо од датих елементарних исказа реченицу чија је логичка структура

дата формулом (p¬q) r. Тражена реченица гласи:

Ако Милена наследи 300 000 евра и не оде на море, онда ће она купити стан.

6.

Задатак

Дати су искази:

p: Aцa је добио на лутрији;

q: Аца иде на одмор;

r: Аца ће купити аутомобил.

1) Одреди логичку структуру реченице: Ако Аца добије на лутрији, отићи ће на

одмор или ће купити аутомобил.

2) Напиши реченицу која одговара исказу (p¬q) r.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

13


A

Приметите аналогију

између бројевних

израза и исказних

формула. Сетите се да

бројевне изразе градимо

од променљивих

(слова која означавају

произвољне бројеве),

константи и

алгебарских операција.

Исказне формуле. Таутологије

Исказне формуле су логички изрази којима се описују структуре (облици) исказа.

Исказне формуле градимо од:

• исказних слова a, b, c, ..., p, q, r, ..., p 1

, q 1

...

• логичких константи ⊤ и ⊥

• логичких операција ,,¬, ,

употребом заграда на уобичајени начин.

Исказна слова и логичке константе су најједноставније исказне формуле.

Ако су A и B исказне формуле, онда су и (AB), (AB), ¬A, (A B) и (A B)

такође исказне формуле.

Приликом записивања исказних формула подразумева се следећи договор о

приоритету логичких везника: ¬ је везник највећег приоритета, за њим следе и

, који су подједнаког приоритета, а за њима и , такође једнаког приоритета.

Примери исказних формула су: ⊤¬⊥, p⊤, ¬ (pq ¬r), ¬pq p и тако даље.

⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊤

⊥ ⊤ ⊥

⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥

⊥ ⊥ ⊥

¬⊤ = ⊥,¬⊥ = ⊤

⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥

⊥ ⊤ ⊤

⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥

⊥ ⊥ ⊤

На основу таблица које су дате на странама 11 и 12, једноставно се одређује

истинитосна вредност формула у којима су само логичке константе повезане

логичким операцијама на неки начин. На маргини су дате таблице логичких

операција над логичким константама.

Истинитосна вредност формуле у којој се појављују исказна слова зависи од

истинитосних вредности које су додељене тим словима.

Уколико се у некој исказној формули појављују само два исказна слова, онда на

укупно четири начина можемо да доделимо истинитосне вредности тим словима.

Ако се у исказној формули појављују три слова, онда имамо осам могућности, ако

се појављују четири слова, онда имамо 16 могућности, и уопште, ако се у исказној

формули појављује n исказних слова, онда имамо 2 n могућности.

Одређивање вредности неке формуле за свако додељивање истинитосних

вредности исказним словима најједноставније је приказати у облику табеле коју

називамо истинитосна таблица формуле.

Пример 1.

Прву врсту истинитосне таблице формуле ¬(p q)p формирамо у складу са

начином на који израчунавамо вредност ове формуле за конкретне вредности

исказних слова p и q.

p q p q ¬(p q) ¬(p q)p

⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥

⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤

⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥


14

1. Задатак

Формирај истинитосну таблицу формуле p ¬(p¬(qp)).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Приликом формирања истинитосне таблице неке исказне фомуле, колоне у којима

наводимо истинитосне вредности исказних слова попуњавамо систематично

да не бисмо изоставили неку могућност. Општи поступак попуњавања колона

које одговарају исказним словима може се видети у наредном примеру где је

формирана таблица формуле са три исказна слова.

Пример 2.

Одредимо за које је истинитосне вредности исказних слова p, q и r формула

(¬r pq) ⊥ тачна, ако такве вредности уопште постоје.

Да ли постоје тражене истинитосне вредности и које су, открићемо из

истинитосне таблице дате формуле.

p q r ¬r pq ¬r pq (¬r pq) ⊥

⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥

⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥

⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥

⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥

⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥

⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥

⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤

Попуњавање прве

четири колоне

истинитосне таблице

формуле у којој се

појављују четири слова.

p q r s ...

⊤ ⊤ ⊤ ⊤

⊤ ⊤ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥ ⊤

⊤ ⊤ ⊥ ⊥

⊤ ⊥ ⊤ ⊤

⊤ ⊥ ⊤ ⊥

⊤ ⊥ ⊥ ⊤

⊤ ⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊤ ⊤ ⊤

⊥ ⊤ ⊤ ⊥

⊥ ⊤ ⊥ ⊤

⊥ ⊤ ⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊤ ⊤

⊥ ⊥ ⊤ ⊥

⊥ ⊥ ⊥ ⊤

⊥ ⊥ ⊥ ⊥

Из таблице видимо да је τ((¬r pq) ⊥) = ⊤ за τ(p) = τ(q) = τ(r) = ⊥, као и да је то

једино решење постављеног задатка.

Исказна формула је таутологија ако је тачна за било које истинитосне

вредности исказних слова која се у њој појављују.

Пример 3.

Да је формула ¬(pq) ¬p¬q таутологија, закључујемо из њене истинитосне

таблице.

дефиниција

Реч таутологија је

грчког порекла и

образована је од речи

таутос = исто и логос

= разум, закон, разлог.

p q pq ¬(pq) ¬p ¬q ¬p¬q ¬(pq) ¬p¬q

⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤

⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤

⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤

⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤


2. Задатак

Испитај да ли су следеће формуле таутологије:

1) p (pq); 2) p (pq);

3) p (qr); 4) p (p qr).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

15


2 57648

Б

Метода свођења

на апсурд

Апсурд је реч

латинског порекла

и значи бесмислица,

логичка немогућност.

Доказивање да је

формула таутологија

методом свођења

на апсурд састоји

се у томе да се

претпостави да

дата формула није

таутологија, а затим

се из те претпоставке,

ослањањем на

истинитосне

таблице, изводи

немогућа ситуација

– на пример, да једна

иста формула има

две истинитосне

вредности, и ⊤ и ⊥.

Формирање истинитосне таблице је све заморнији посао како се повећава број

исказних слова која се у формули појављују, зато приликом разматрања исказних

формула настојимо да заобиђемо формирање њене таблице када год је то могуће.

У наредном примеру описаћемо још један поступак доказивања да је нека

формула таутологија. Реч је о методи свођења на апсурд.

Пример 4.

Докажимо методом свођења на апсурд да je формула

p(p q) q

таутологија.

Претпоставимо да дата формула није таутологија, тј. да је

τ(p(p q) q) = ⊥.

Узимајући у обзир таблицу импликације, закључујемо да је тада

τ(p(p q)) = ⊤ и τ(q) = ⊥.

На основу таблице за конјункцију даље добијамо да је

τ(p) = ⊤, τ(p q) = ⊤ и τ(q) = ⊥.

Међутим, сада из τ(p) = ⊤ и τ(q) = ⊥, следи да је τ(p q) = ⊥, што није могуће јер

смо раније закључили да је τ(p q) = ⊤.

Дакле, дата формула јесте таутологија.

3.

Пример 5.

Потпуно аналогно претходном примеру доказујемо и следеће општије тврђење.

Ако су A и B било које исказне формуле, онда је A(A B) B таутологија.

Претпоставимо да дата формула није таутологија, тј. да је

τ(A(A B) B) = ⊥.

Узимајући у обзир таблицу импликације и конјункције, закључујемо да је

τ(A) = ⊤, τ(A B) = ⊤ и τ(B) = ⊥.

Међутим, из τ(A) = ⊤ и τ(B) = ⊥, следи да је τ(A B) = ⊥, што није могуће јер је

τ(A B) = ⊤.

Приметимо да смо на овај начин доказали да су све формуле датог облика (којих

има бесконачно много) таутологије. На пример, таутологије су

(pq)(pq ¬r) ¬r [A = pq, B = ¬r]

¬p(¬p (p q)) (p q) [A = ¬p, B = p q]

и тако даље.

4.

Задатак

Методом свођења на апсурд докажи да су следеће формуле таутологије:

1) p (q p); 2) (p q)¬ q ¬p;

3) (p q) (¬q ¬p); 4) (p q)(q p).

Задатак

Ако су A и B неке исказне формуле, докажи да је (¬A ¬B) (B A) таутологија.

16

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Таутологије и закони закључивања

Таутологије су исказне формуле којима се описују важни закони мишљења. На

који начин су таутологије саставни део коректних закључивања, илустроваћемо у

наредним примерима.

Пример 1.

Чињеница да је p¬p таутологија, значи да је сваки сложен исказ овог облика увек

тачан без обзира о ком исказу p je реч. Тачне су све реченице:

Аца има 16 година или Аца нема 16 година;

троугао ABC је правоугли или троугао ABC није правоугли;

1,41 je решење једначине x 2 = 2 или 1,41 није решење једначине x 2 = 2.

Закон искључења

трећег

p¬p

А

p¬p

Пример 2.

Један од најједноставнијих и најчешће коришћених закона закључивања базиран

је на таутологији p(p q) q (види пример 4. на страни 16).

Ова таутологија се на српском језику може исказати на следећи начин:

ако је p и из p следује q, онда је q.

Дакле, из претпоставки p и p q изводимо закључак q.

Сада није тешко открити поменуту таутологију у следећем закључивању.

Претпоставка p: Ана живи у Београду.

Претпоставка p q: Ако Ана живи у Београду, онда Ана живи у Србији.

Закључак q: Ана живи у Србији.

Пример 3.

На основу таутологије (p q)¬q ¬p, добијамо правило закључивања према

коме из претпоставки p q и ¬q изводимо закључак ¬p.

Наводимо и једно конкретно закључивање базирано на овој таутологији.

p q: Ако је четвороугао ABCD квадрат, онда се у њега може уписати круг.

¬q: У четвороугао ABCD се не може уписати круг.

Закључак ¬p: Четвороугао ABCD није квадрат.

Пример 4.

Таутологија (p q)(q r) (p r) стоји иза следећег једноставног

закључивања.

Претпоставка p q: Ако неко живи у Београду, онда он живи у Србији.

Претпоставка q r: Ако неко живи у Србији, онда он живи у Европи.

Закључак p r: Ако неко живи у Београду, онда он живи у Европи.

Modus ponens

p(p q) q

p p q

q

Modus tollens

(p q)¬q ¬p

p q ¬q

¬p

Tранзитивност

импликације

(p q)(q r) (p r)

p q q r

p r

Аналогну примену, нарочито у математичким тврђењима, има таутологија

(p q)(q r) (p r).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

17


1

2

1 57648 9

Закони контрапозиције

(¬q ¬p) (p q)

Пример 5.

Таутологија (¬q ¬p) (p q) се веома често среће у математичким доказима.

Она омогућава да се уместо импликације p q докаже импликација ¬q ¬p.

p q

¬q ¬p

Тако, ако желимо да докажемо импликацију:

Ако је n 2 непаран број, онда је n непаран број,

према овој таутологији уместо ње можемо доказати њој еквивалентну

импликацију:

Ако n није непаран број, онда n 2 није непаран број.

Ова друга импликација је свакако једноставнија за доказивање. Заиста, ако n није

непаран, онда је паран, тј. n = 2k, за неко k, па је n 2 = 4k 2 , одакле следи да је n 2 паран,

што значи да није непаран.

Пример 6.

Најједноставнији доказ да је за сваки реалан број x тачна импликација

1 – 3x ≠ 0 x ≠ 1 3

јесте онај у коме се примењује таутологија (¬q ¬p) (p q). Према њој,

тражена импликација је еквивалентна са

x = 1 1 – 3x = 0,

3

а ову импликацију је једноставно доказати јер треба само проверити да ли је тачна

једнакост

1 – 3 ∙ 1 3 = 0.

Ова једнакост је тачна, чиме је доказ дате импликације завршен.

Свођење на апсурд

(reductio ad absurdum)

(¬p (q¬q) ) p

Пример 7.

Ако из ¬p следи q и ¬q (тј. нека два противречна тврђења), онда изводимо

закључак p. Ово правило закључивања базирано је на таутологији

(¬p (q¬q)) p.

Најстарији пример примене овог закона закључивања је чувени доказ да једначина

x 2 = 2 нема рационална решења. Овај доказ ћемо изложити касније на страни 67.

Овом приликом ћемо приказати доказ једноставнијег тврђења

p: број 1,41 није решење једначине x 2 = 2.

Негација овог тврђења је

¬p: број 1,41 јесте решење једначине x 2 = 2.

Ако претпоставимо ¬p, онда бисмо имали да је

q: 1,41 2 = 2,

а лако се проверава да је

¬q: 1,41 2 ≠ 2.

Дакле, тачно је p.

18

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Пример 8.

Типичан пример примене таутологије

(p r)(q r) (pq r)

представља доказ тврђења да је за сваки природан број n производ n(n + 1) паран

број.

Нека је

p: n je паран број,

q: n је непаран број,

r: n(n + 1) је паран број.

Није тешко доказати импликације p r (ако је n паран број, онда је n(n + 1)

паран број) и q r (ако је n непаран број, онда је n(n + 1) паран број). На основу

наведене таутологије добијамо да

из n је паран број или n је непаран број следи да је n(n + 1) паран број,

односно, да је за сваки природан број n производ n(n + 1) паран број.

Закон набрајања

(p r)(q r)

(pq r)

Пример 9.

За свака два реална броја x и y тачне су еквиваленције

x ∙ y = 0 x = 0y = 0

и

x 2 + y 2 = 0 x = 0y = 0.

На основу таутологија

(p q) (¬p ¬q),

¬(pq) ¬p¬q

и

¬(pq) ¬p¬q

закључујемо да су тачне и следеће еквиваленције

x ∙ y ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0

и

x 2 + y 2 ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0.

Заиста имамо да је

(x ∙ y = 0 x = 0y = 0)

(¬x ∙ y = 0 ¬(x = 0y = 0))

(x ∙ y ≠ 0 ¬x = 0¬y = 0)

(x ∙ y ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0),

и

(x 2 + y 2 = 0 x = 0y = 0)

(¬x 2 + y 2 = 0 ¬(x = 0y = 0))

(x 2 + y 2 ≠ 0 ¬x = 0¬y = 0)

(x 2 + y 2 ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0).

Овакво записивање еквиваленција у низу, односно, формирање такозваног ланца

еквиваленција, дозвољено је на основу таутологије

(p q)(q r) (p r).

Прецизније, према овој таутологији закључујемо да уколико су еквивалентне

сваке две суседне формуле у ланцу еквиваленција, онда су еквивалентне и прва и

последња формула у том ланцу.

Де Морганови закони

¬(pq) ¬p¬q

¬(pq) ¬p¬q

Tранзитивност

еквиваленције

(p q)(q r)

(p r)

p q q r

p r

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

19


A

Скупови

Појмови скуп и скуповна припадност су основни математички појмови. Помоћу

њих се уводе сви други математички објекти попут бројева, релација, функција,

геометријских фигура итд.

Интуитивно, скупови настају окупљањем некаквих ствари у целину. Свака од

ствари које чине ту целину, тј. скуп, назива се елемент тог скупа.

Да је x елемент скупа S записује се формулом x S и чита се „икс је елемент скупа

ес” или „икс припада скупу ес”.

Да x није елемент скупа S записује се формулом x S и чита се „икс није елемент

скупа ес” или „икс не припада скупу ес”.

дефиниција

Венов дијаграм скупа

B = {J,R,P,G}

J B,R B,P B,G B

N = {1,2,3,4,...}

скуп природних бројева

Z = {..., –2, –1,0,1,2,...}

скуп целих бројева

p

Q =

q | p Z, q N

скуп рационалних

бројева

R

скуп реалних бројева

Сваки скуп је потпуно одређен својим елементима. Другим речима, два скупа

су једнака ако и само ако имају исте елементе.

Најједноставнији примери скупова су они који имају „мали” број елемената и које

због тога можемо задати навођењем свих његових елемената између витичастих

заграда { и } (одвајајући елементе зарезима уколико их има више од једног).

Међутим, овакве скупове ћемо наводити само у неким елементарним примерима.

У математици се углавном разматраjу скупови које не можемо задати „елемент

по елемент” (чак и када су они коначни, а имају велики број елемената). Овакве

скупове задајемо навођењем својства помоћу којег издвајамо све објекте који

имају то својство. Ако са означимо својство, а са (x) чињеницу да „x има

својство ”, онда записом

S = {x | (x)}

одређујемо скуп S чији су елементи сви објекти који имају својство .

Пример 1.

Скуп A чији су једини елементи 1, 2 и 3 описујемо са A = {1,2,3}.

Примети да је A = {3,1,2}, као и A = {x | x = 1x = 2x = 3}.

Скуп A првих 1 000 000 000 природних бројева јесте коначан, али је дискутабилно

да ли смо у стању да наведемо све његове елементе. Примера ради, ако бисмо

могли да записујемо по један природан број у секунди, за набрајање свих

елемената скупа A требало би нам скоро 32 године.

Ипак, скуп A једноставно задајемо једнакошћу A = {x | x Nx ≤ 10 9 }.

Празан скуп (скуп који нема елементе) можемо описати једнакошћу = {x | x ≠ x}.

Примети да формула x ≠ x није тачна ни за једно x, па она заиста описује празан

скуп.

20

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Ако су скупови A и B једнаки, тј. ако је A = B, онда je за свако x тачна

еквиваленција:

x A x B.

Ова еквиваленција је конјункција две обратне импликације:

(x A x B)(x B x A).

Прва импликација „каже” да је сваки елемент скупа A такође и елемент скупа B, а

друга да је тачно и обратно, да је сваки елемент скупа B уједно и елемент скупа A.

Скуп A је подскуп скупа B, у ознаци A B, ако и само ако је сваки елемент

скупа A уједно и елемент скупа B, тј. ако и само ако је за свако x тачна

импликација:

x A x B.

Скуп A je прави (строги) подскуп скупа B, у ознаци A B, ако и само ако је

A B и B / A (B није подскуп од A).

дефиниција

Релацију („бити подскуп”) називамо инклузијом, а релацију строгом

инклузијом.

1. Задатак

Испитај инклузијски однос међу скуповима A = {x |x Nx 2 ≤ 9},

B = {x | x = 2x = 3} и C = {2,3,4}.

Узимајући у обзир претходну дефиницију и разматрање испред ње, закључујемо

да је следећа еквиваленција тачна за било које скупове A и B:

A = B A BB A.

У наредном тврђењу наводимо основна (и очигледна) својства инклузије и строге

инклузије.

За било које скупове A, B и C важи:

1. A, 5. A ≠ A,

2. A A, 6. A A,

3. A BB A A = B, 7. A B A B,

4. A BB C A C, 8. A BB C A C.

Примети да су

припадање ()

и инклузија ()

суштински различити

односи.

теорема

a S, {a} S,

{a} S, a / S

Партитивни скуп датог скупа S, у ознаци P(S), јесте скуп свих његових

подскупова. Дакле, P(S) = {X | X S}.

дефиниција

Пример 2.

Одредимо P({1,3,5}).

Једночлани подскупови од {1,3,5} су {1}, {3} и {5}. Двочлани подскупови од {1,3,5}

су {1,3}, {1,5} и {3,5}. Коначно, {1,3,5} и {1,3,5} {1,3,5}, па имамо да је

P({1,3,5}) = {,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}}.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

21


1

2

1 57648 9

ПРЕСЕК

A B

дефиниција

Пресек скупова A и B, у ознаци A B, дефинишемо једнакошћу

A B = {x | x Ax B}.

Унију скупова A и B, у ознаци A B, дефинишемо једнакошћу

A B = {x | x Ax B}.

Разлику скупова A и B, у ознаци A \ B, дефинишемо једнакошћу

A \ B = {x | x Ax B}.

Скупови A и B су дисјунктни ако је A B = .

УНИЈА

A B

Пример 3.

Нека је A = {1,2,3,4,6}, B = {3,4,7,8,9} и C = {4,5,6,8,9,10}.

Одредимо (A B) \ (B C).

A B = {1,2,3,4,6,7,8,9}, B C = {4,8,9}, (A B) \ (B C) = {1,2,3,6,7}

РАЗЛИКА

A \ B

B \ A

2.

Задатак

Користећи скуповне операције, опиши осенчене делове Венових дијаграма.

1) 2) 3) 4) 5) 6)


КОМПЛЕМЕНТ СКУПА

3.

Задатак

Ако је A било који скуп, одреди A , A , A \ , \ A.

A A c = S

A A c =

(A c ) c = A

дефиниција

Ако је A S, онда се разлика S \ A назива комплемент скупа A у односу на

скуп S. Ако је јасно о ком скупу S је реч, онда се комплемент подскупа A (од S)

означава A c .

22

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Директно из дефиниције скуповних операција добијамо:

x A B x Ax B,

x A B x Ax B,

x A \ B x A¬x B.

Применом ових еквиваленција скуповни идентитети се своде на таутологије.

A = B, ако је за свако x

тачна еквиваленција:

x A x B.

Пример 4.

Докажимо да je за све скупове A, B и C тачна једнакост

A \ (B C) = (A \ B) (A \ C).

Да бисмо доказали овај скуповни идентитет, довољно је доказати да је за свако x

тачна еквиваленција

x A \ (B C) x (A \ B) (A \ C).

Према дефиницијама скуповних операција, имамо да je

x A \ (B C) x A¬(x B C)

x A¬ (x Bx C)

као и

x (A \ B) (A \ C) x A \ Bx A \ C

(x A¬x B)(x A¬x C).

Дакле, треба доказати да је за свако x тачна еквиваленција

x A¬(x Bx C) (x A¬x B)(x A¬x C).

Нека је

p: x A, q: x B, r: x C.

Последња еквиваленција, уз уведене ознаке, постаје

p¬(qr) (p¬q)(p¬r).

Остављамо као задатак за вежбу доказ да је ова формула таутологија. Тиме ће

доказ датог идентитета бити завршен.

Пример 5.

Нека су A и B произвољни подскупови од S. Докажимо Де Морганову једнакост

(A B) c = A c B c .

Приметимо да из A, B S следи да је A B S, као и да је реч о комплементима

у односу на скуп S. Имајући на уму дефиницију комплемента, довољно је доказати

да је за свако x из S тачна еквиваленција x (A B) c x A c B c , односно

¬x A B x A c x B c , тј.¬(x Ax B) ¬x A¬x B.

Ако ставимо да је p: x A, q: x B, последња еквиваленција постаје

¬(pq) ¬p¬q. Ова формула јесте таутологија (позната као Де Морганов

закон), одакле следи да је тражена једнакост тачна.

Идентитете који се

односе на нека три

произвољна скупа

можемо проверавати

сенчењем типичног

графичког приказа

нека три скупа.

B C A \ (B C)

A \ B

A \ C

(A \ B) (A \ C)

4. Задатак

Докажи да су за било које скупове A, B и C тачне једнакости:

1) (A \ B) \ C = A \ (B C), [(p¬q)¬ r p¬(qr)]

2) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C). [p¬(q¬ r) (p¬ q)(pr)]

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

23


A

дефиниција

Разликуј двочлани

скуп од уређеног пара.

{1,2} = {2,1}

(1,2) ≠ (2,1)

Уређени пар. Декартов производ

Уређени пар (a,b) је двочлани низ чији је први члан (прва координата) a и

чији је други члан (друга координата) b. За уређене парове важи

(a,b) = (c,d) a = cb = d.

Декартов производ скупова A и B, у ознаци A×B, јесте скуп чији су елементи

уређени парови чија прва координата припада скупу A, a друга координата

скупу B, односно,

A×B = {(a,b) | a Ab B}.

A×B

B×A

Пример 1.

Нека је A = {1,2} и B = {0,1,2}. Одредимо скупове A×B и B×A:

A×B = {(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)};

B×A = {(0,1),(1,1),(2,1),(0,2),(1,2),(2,2)}.

Скупови A×B и B×A су различити и инклузијски неупоредиви, тј.

A×B / B×A и B×A / A×B.

Приметимо и да је

(A×B) (B×A) = {(1,1),(2,2)}.

Будући да празан скуп нема елементе, није могуће формирати уређене парове

са координатама из празног скупа. Одавде следи да су за сваки скуп A тачне

једнакости

×A = A× = .

1. Задатак

Нека је A = {1,2,3} и B = {1,2}. Одреди:

1) (A×A) (B×A); 2) (B×A) \ (A×B); 3) (A \ B)×(A B).

B×B

Декартов производ скупова се уводи по узору

на правоугли координатни систем (који се

назива и Декартов координатни систем).

Ако координатне осе правоуглог

координатног система схватимо као графичке

приказе скупа реалних бројева R, тада се

раван у коју је постављен координатни систем

може схватити као Декартов производ R×R.

Заиста, тачке равни идентификујемо са

уређеним паровима реалних бројева.

24

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б

Докажимо да је за све скупове A, B и C тачна једнакост

A×(B C) = (A×B) (A×C).

Довољно је доказати да за свако x и y важи еквиваленција

(x,y) A×(B C) (x,y) (A×B) (A×C).

Применом дефиниције Декартовог производа и уније имамо

(x,y) A×(B C) x Ay B C

x A(y By C)

и

(x,y) (A×B) (A×C) (x,y) A×B(x,y) A×C

(x Ay B)(x Ay C).

Ако ставимо да је

p: x A, q: y B, r: y C,

према таутологији p(qr) (pq)(pr) (докажите да је ова формула заиста

таутологија) закључујемо да је дата скуповна једнакост тачна.

2.

Пример 2.

Задатак

Докажи да је за све скупове A, B и C тачна једнакост A×(B C) = (A×B) (A×C).

Уређена тројка (a,b,c) је трочлани низ чији је први члан a, други члан b и

трећи члан c. За уређене тројке важи

(a 1

,a 2

,a 3

) = (b 1

,b 2

,b 3

) a 1

= b 1

a 2

= b 2

a 3

= b 3

.

Слично се дефинишу уређене четворке, уређене петорке итд.

Декартов производ скупова A, B и C, у ознаци A×B×C, јесте скуп чији су

елементи уређене тројке чија прва координата припада скупа A, друга

координата скупу B, а трећа координата скупу C, односно,

A×B×C = {(a,b,c) | a Ab Bc C}.

Слично се дефинишe Декартов производ више од три скупа.

Пример 3.

дефиниција

Скупови A×A,

A×A×A, итд. називају

се Декартови степени

скупа A и често се

обележавају редом

A 2 , A 3 итд.

Ако је A = {a,b}, онда је

A×A×A = {(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),(b,a,b),(b,b,a),(b,b,b)}.

3.

4.

Задатак

Ако је A = {a,b,c}, B = {0,1}, C = {1,2}, oдреди:

1) A×B×C; 2) A×B×B; 3) B×B×B;

4) (A×B×C) (A×C×B); 5) (A×B×C) (B×A×C).

Задатак

Ако је A = {1,2,3}, B = {a,b,c,d} и C = {0,1,2,3}, одреди број елемената скупова:

1) A×B×C; 2) A×A×A; 3) B×B×C.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

25


A

Бинарне релације

Релацијама успостављамо везе између објеката (бројева, геометријских фигура итд.)

које проучавамо.

дефиниција

Бинарна релација скупа A је било који подскуп Декартовог производа A×A.

Уобичајено је да се

релације означавају

малим словима грчког

алфабета.

A×A

Пример 1.

Нека је A = {a,b,c} и ρ подскуп од A×A дат са

ρ = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(c,a)}.

Дакле, ρ је једна бинарна релација скупа A. Ову релацију сликовитије можемо

приказати на два начина: графом и таблицом. Верујемо да су наредне слике

довољне да се уочи како се формира таблица, односно граф релације.

ρ a b c

a ⊤ ⊤ ⊤

b ⊥ ⊤ ⊥

c ⊤ ⊥ ⊥

Приликом формирања

графа релације нема потребе

наводити уређене парове. Ми

смо их наводили само да бисмо

објаснили значење стрелица.

Ако је ρ нека бинарна релација скупа A, тј. ако је ρ A×A, уобичајено је да се

уместо (x,y) ρ пише x ρ y и чита „икс је у релацији ро са ипсилон”. Уместо

(x,y) ρ писаћемо x ρ y (ρ је прецртано слово ро).

Такође, у наставку ћемо бинарне релације звати краће релацијама.

Таблице и графове

релација формирамо

само у случају да су те

релације на коначним

скуповима.

Пример 2.

Релације ≤ и < међу реалним бројевима важни су примери релација на

(бесконачном) скупу R. Обојени делови координатних равни, схваћени као

подскупови од R×R, заправо су графички прикази ових релација. Приметите да

на слици доле десно тачке са „испрекидане линије” нису укључене у одговарајућу

област.


26

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Бинарна релација ρ скупа A je:

• рефлексивна ако је x ρ x за свако x из A;

• ирефлексивна ако за све x из A није x ρ x;

• симетрична ако је за све x и y из A тачна импликација x ρ y y ρ x;

• антисиметрична ако је за све x и y из A тачна импликација

x ρ yy ρ x x = y;

• линеарна ако је за све x и y из A тачна дисјункција x ρ yy ρ x;

• транзитивна ако је за све x, y и z из A тачна импликација

x ρ yy ρ z x ρ z.

дефиниција

Пример 3.

Испитајмо које од особина наведених у претходној дефиницији има релација ρ

скупа A = {a,b,c} из примера 1. Испоставиће се да ова релација нема ниједну од

поменутих особина.

Релација ρ није рефлексивна, јер није тачно да су сви елементи скупа A у релацији

са собом: a ρ a, b ρ b и c ρ c.

Релација ρ није ирефлексивна, јер није тачно да сви елементи скупа A нису у

релацији са собом: a ρ a, b ρ b и c ρ c.

Да релација ρ није ни симетрична ни антисиметрична, показују наредне две табеле

у којима су детаљно испитане све могућности.

x y x ρ y y ρ x x ρ y y ρ x

a a ⊤ ⊤ ⊤

a b ⊤ ⊥ ⊥

a c ⊤ ⊤ ⊤

b a ⊥ ⊤ ⊤

b b ⊤ ⊤ ⊤

b c ⊥ ⊥ ⊤

c a ⊤ ⊤ ⊤

c b ⊥ ⊥ ⊤

c c ⊥ ⊥ ⊤

x y x ρ y y ρ x x = y x ρ yy ρ x x = y

a a ⊤ ⊤ ⊤ ⊤

a b ⊤ ⊥ ⊥ ⊤

a c ⊤ ⊤ ⊥ ⊥

b a ⊥ ⊤ ⊥ ⊤

b b ⊤ ⊤ ⊤ ⊤

b c ⊥ ⊥ ⊥ ⊤

c a ⊤ ⊤ ⊥ ⊥

c b ⊥ ⊥ ⊥ ⊤

c c ⊥ ⊥ ⊤ ⊤

Иако су претходне табеле веома информативне, њихово формирање може да

представља заморан посао ако је скуп коначан и има већи број елемената, док у

случајевима бесконачних скупова није ни могуће формирати овакве табеле.

Покушајмо да откријемо без табела да ли је релација ρ линеарна и да ли је

транзитивна.

Ако пажњу усмеримо на дефиницију релације ρ, односно на њен граф, брзо ћемо

уочити да релација ρ није линеарна, јер је, на пример, b ρ c и c ρ b, тј. ¬(b ρ cc ρ b).

Да релација ρ није транзитивна, следи из чињеница: c ρ a, a ρ b и c ρ b, тј. из

чињенице да није тачна импликација c ρ aa ρ b c ρ b.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

27


1

2

1 57648 9

дефиниција

Нека је ρ релација скупа A. Релација ρ је релација поретка (уређење) ако је

рефлексивна, антисиметрична и транзитивна.

Пример 4.

У наредној табели су наведене три важне релације поретка.

Релација ≤ на скупу R

(за све x, y, z из R )

Релација | (дељивости) на

скупу N (за све n, m, k из N )

Инклузија међу скуповима

(за све скупове A, B, C)

Рефлексивност x ≤ x n | n A A

Антисиметричност x ≤ yy ≤ x x = y n | mm | n n = m A BB A A = B

Транзитивност x ≤ yy ≤ z x ≤ z n | mm | k n | k A BB C A C

Приметимо да је релација ≤ на скупу R линеарна, јер је x ≤ y или y ≤ x за било која

два броја x и y.

Релација | (дељивости) на скупу N није линеарна, јер, на пример, 2 |/ 3 и 3 |/ 2.

Инклузија такође није линеарна, јер, на пример,{1,2,3} / {2,3,4} и {2,3,4} / {1,2,3}.

1. Задатак

Да ли је релација скупа A = {a,b,c,d} приказана графом на

слици десно релација поретка?

Да ли је ова релација линеарна?

дефиниција

Релација ≤ на скупу R

је линеарно уређење.

Релација ρ је релација линеарнoг поретка (линеарно уређење) ако је

рефлексивна, антисиметрична, линеарна и транзитивна.

Релација ρ је релација строгог поретка (строго уређење) ако је ирефлексивна

и транзитивна.

Пример 5.

Свакој релацији поретка ρ неког скупа A одговара једна релација строгог поретка

σ (такође на A) таква да су за све x и y из A тачне еквиваленције:

x ρ y x σ yx = y, односно, x σ y x ρ yx ≠ y.

Тако релацији ≤ на скупу R одговара релација


Логика и скупови

Релација ρ је релација еквиваленције ако је рефлексивна,

симетрична и транзитивна.

дефиниција

Пример 6.

На наредној слици приказан је граф једне релације еквиваленције скупа

S = {a,b,c,d,e,f}.

Није тешко уочити да је скуп S овом релацијом издељен

на три подскупа који су међусобно дисјунктни тако да

је сваки елемент било ког подскупа повезан са било

којим елементом из истог подскупа (наравно и са самим

собом). Сваки од ових подскупова назива се класа

еквиваленције.

Прецизније, класе еквиваленције су подскупови: {a,b,c}, {d} и {e,f}.

Испоставља се да свака релација еквиваленције неког скупа дели тај скуп на

међусобно дисјунктне непразне подскупове чија је унија једнака скупу на коме је

релација дефинисана. Сваки од тих подскупова назива се класа еквиваленције

уочене релације.

Пример 7.

Релација ρ скупа целих бројева Z дефинисана је на следећи начин:

x ρ y акко је x – y дељиво са 2.

Докажимо да је ρ релација еквиваленције.

Рефлексивност. Како је за сваки цео број x разлика x – x једнака нули, па је тиме и

дељива са 2, следи да је x ρ x за сваки цео број x.

Симетричност. Претпоставимо да су x и y цели бројеви такви да је x ρ y. Тада је

x – y дељиво са 2. Међутим тада је и y – x дељиво са 2 (јер је y – x = –(x – y)), па је тиме

и y ρ x.

Транзитивност. Претпоставимо да су x, y и z цели бројеви такви да је x ρ y и y ρ z.

Тада су x – y и y – z дељиви са 2. Како је x – z = (x – y) + (y – z), закључујемо да је x – z

дељиво са 2, тј. x ρ z.

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

Једнакост ( = )

је типичан

пример релације

еквиваленције.

Приказ релације

једнакости међу

реалним бројевима

Граф једнакости скупа

A = {a,b,c,d}

–5

–4

–3

–1

1

3

5

7

9

Скуп Z је овом релацијом подељен на два дисјунктна подскупа: скуп непарних

целих бројева {..., –5, –3, –1,1,3,5,...} и скуп парних целих бројева {... –4, –2,0,2,4,6 ...}.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

29


A

Функције

Функције су једна од најважнијих веза између математике и света око нас.

Помоћу њих моделирамо и пратимо рад механичких, биолошких и разних других

система.

Интуитивно, функцијама се успостављају везе између елемената два скупа тако

што се сваком елементу једног скупа придружује тачно један елемент другог скупа.

Пример 1.

На наредним сликама приказано је једно придруживање које сваком елементу

скупа A = {a,b,c,d} додељује тачно један елемент скупа B = {1,2,3}. Другим речима,

дефинисана је једна функција из A у B.

Уочену функцију схватамо као скуп

f = {(a,1),(b,2),(c,2),(d,3)}.

дефиниција

Скуп f је функција из A у B, у ознаци f: A B, ако важе следећи услови:

1. f A×B и

2. за свако x из A постоји тачно један елемент y из B такав да (x,y) f.

Ако f: A B, скуп A се назива домен или област дефинисаности, а скуп B

кодомен или област вредности функције f.

g

h

Пример 2.

Нека је A = {a,b,c,d} и B = {1,2,3} (као у претходном примеру).

Скуп g = {(a,1),(b,2),(d,2)} није функција из A у B, јер елемент c из A није прва

координата ниједног пара из g, тј. елементу c није придружен ниједан елемент из

B.

Скуп h = {(a,1),(b,2),(c,1),(c,2),(d,3)} није функција из A у B, јер два различита

пара из h имају исту прву координату c, тј. елементу c није придружен само један

елемент из B.

Скупови l = {(a,1),(b,1),(c,1),(d,2)} и s = {(a,3),(b,2),(c,1),(d,2)} јесу функције

из A у B.

30

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Ако f: A B, уместо (x,y) f пишемо f(x) = y, а понекада и x y.

Пример 3.

Ако је f: {a,b,c,d} {1,2,3} функција из примера 1, онда је

f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 2, f(d) = 3,

при чему су ове једнакости другачије записани односи

(a,1) f, (b,2) f, (c,2) f, (d,3) f.

Ради боље прегледности користимо и следећи запис:

f = a b c d

1 2 2 3 .

Овакав запис је погодан за дефинисање функција између два коначна скупа са

малим бројем елемената.

Пример 4.

Када су у питању функције између коначних скупова са „великим” бројем

елемената или бесконачних скупова, не можемо их дефинисати као у претходним

примерима. У оваквим случајевима функције се најчешће задају навођењем

правила по коме се елементима једног скупа додељују елементи другог скупа.

Веома важне функције међу скуповима бројева представљају оне које су

дефинисане неким изразом са једном променљивом. На пример, изразом 2x + 1

дефинисана је функција f: R R која сваком реалном броју x придружује

одговарајућу вредност 2x + 1:

3 7; 2,5 6; 0 1; – 1 – 1, ...

Једноставно, кажемо да је функција f: R R дефинисана са

f(x) = 2x + 1.

Сасвим је природно да ову функцију графички прикажемо у правоуглом

координатном систему.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

31


1

2

1 57648 9

Композиција функција

Композиција

две функције је

дефинисана само ако је

домен једне функције

једнак кодомену друге

функције.

Приметите да се

композиција f g

функција из примера 1.

не може дефинисати.

Пример 5.

Посматрајмо две функције, f: {a,b,c,d} {1,2,3} и g: {1,2,3} {t,u,v,w}, дате са

f = a b c d

1 1 2 2 и g = 1 2 3

t v w .

Приметимо да је домен функције g исти као кодомен функције f.

Дефинишимо нову функцију h: {a,b,c,d} {t,u,v,w} са

h(x) = g(f(x)), x {a,b,c,d}.

Тада је

h(a) = g(f(a)) = g(1) = t, h(b) = g(f(b)) = g(1) = t,

h(c) = g(f(c)) = g(2) = v, h(d) = g(f(d)) = g(2) = v.

Дакле,

h = a b c d

t t v v .

Функција h назива се композиција функција f и g.

дефиниција

Композиција функција f: A B и g: B C је функција h: A C, дефинисана са

h(x) = g(f(x)).

Функција h се означава са g f. Дакле, (g f)(x) = g(f(x)).

Пример 6.

Експлицитно (лат.

explicitus) значи јасно,

недвосмислено,

отворено.

Функције f: R R и g: R R дефинисане су са

f(x) = –2x – 1 и g(x) = 3x + 1.

Од ових функција могу се дефинисати разне композиције, као на пример, f g: R R,

g f: R R, f f: R R, g g: R R. Одредимо изразе које експлицитно одређују

ове функције.

(f g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 1) = –2(3x + 1) – 1 = –6x – 3

(g f)(x) = g(f(x)) = g(–2x – 1) = 3(–2x – 1) + 1 = –6x – 2

(f f)(x) = f(f(x)) = f(–2x – 1) = –2(–2x – 1) – 1 = 4x + 1

(g g)(x) = g(g(x)) = g(3x + 1) = 3(3x + 1) + 1 = 9x + 4

32

1. Задатак

Функције f: R R и g: R R дефинисане су са f(x) = x – 1 и g(x) = 1 – x.

Одреди: f g, g f, f f, g g, (f f) f.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Функција f: A B је:

• 1-1 функција (читај „један један функција”), ако је за свако x 1

, x 2

из A тачна

импликација

x 1

≠ x 2

f(x 1

) ≠ f(x 2

),

односно, импликација (која је по закону контрапозиције еквивалентна

претходној)

f(x 1

) = f(x 2

) x 1

= x 2

;

• на-функција, ако за свако y из B постоји x из A тако да је f(x) = y;

• бијекција, ако је 1-1 функција и на-функција.

дефиниција

Закон контрапозиције

(¬q ¬p) (p q)

Ако је f: A B 1-1 функција, пишемо f: A

f: A B, а ако је бијекција, пишемо f: A B.

B, ако је на-функција пишемо

Пример 7.

Докажимо да је функција f: R R дефинисана са

f(x) = –2x + 1

бијекција.

Докажимо прво да је f 1-1 функција. Нека су x 1

и x 2

реални бројеви такви да је

f(x 1

) = f(x 2

). Тада је, према дефиницији функције f,

–2x 1

+ 1 = –2x 2

+ 1,

одакле применом познатих својстава сабирања и множења реалних бројева

закључујемо да је x 1

= x 2

.

Докажимо да је f на-функција. Нека је y произвољан реалан број. Треба пронаћи

број x такав да је f(x) = y. Поново према дефиницији функције f имамо да је

–2x + 1 = y, одакле следи да је

x = y – 1

–2 .

Тада је f(x) = –2x + 1 = – 2 y – 1 + 1 = y.

–2

Ако f: A B, онда постоји бијекција g: B А таква да је

f(g(y)) = y, за свако y из B

и

g(f(x)) = x, за свако x из A.

Функција g из претходне теореме назива се инверзна функција функције f и

обележава се f –1 .

Пример 8.

У претходном примеру смо показали да је функција f: R R дата са

f(x) = –2x + 1 бијекција. У доказу да је f на-функција одредили смо, заправо,

инверзну функцију f –1 : R R. Ова функција је дефинисана са f –1 (x) = – x – 1

2 .

Проверите да ли су за свако x из R тачне једнакости

f(f –1 (x)) = x и f –1 (f(x)) = x.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

33


A

Елементи комбинаторике

Природни бројеви 1, 2, 3, 4, 5, ... вероватно представљају најстарије математичке

појмове. Још у раном детињству природне бројеве усвајамо као резултате бројања.

Сваки скуп чије елементе можемо пребројати и резултате тог бројања изразити

природним бројем називамо коначним скупом. Број елемената коначног скупа A

означавамо |A|. И празан скуп сматрамо коначним, при чему је || = 0.

Одређивање броја елемената коначних скупова без набрајања свих елемената,

одн. непосредног пребројавања спада у основне проблеме математичке области

која се назива комбинаторика. Постоји велики број идеја и метода за решавање

разноврсних типова проблема пребројавања. Овом приликом наводимо само

неколико једноставних тврђења која су позната као елементарни комбинаторни

принципи. Разноврсни примери и задаци показаће широку примену ових

очигледних принципа.

Принцип збира

Ако су A и B дисјунктни коначни скупови, онда је |A B| = |A| + |B|.

Аналогно тврђење важи и за више скупова. Ако су A, B и C међусобно

дисјунктни коначни скупови (A B = , B C = и C A = ), онда је

|A B C| = |A| + |B| + |C|.

Принцип

укључења-искључења

(за два, одн. три скупа)

1) Ако су A и B коначни скупови, онда је |A B| = |A| + |B| – |A B|.

2) Ако су A, B и C коначни скупови, онда је

|A B C| = |A| + |B| + |C| – |A B| – |B C| – |C A| + |A B C|.

A

A \ B

A

A \ B

A B

B

B

Доказ. 1) Једнакост је последица принципа збира и скуповних идентитета:

A B = (A \ B) B и A = (A \ B) (A B).

Како је (A \ B) B = и (A \ B) (A B) = имамо да је

|A B| = |A \ B| + |B| и |A| = |A \ B| + |A B|.

Дакле, |A \ B| = |A| – |A B|, па је |A B| = |A| – |A B| + |B|.

2) Применићемо једнакост доказану под 1) и познате скуповне идентитете:

(A B) C = (A C) (B C) и (A C) (B C) = A B C.

|A B C| = |(A B) C| = |A B| + |C| – |(A B) C|

= |A| + |B| – |A B| + |C| – |(A C) (B C)|

= |A| + |B| – |A B| + |C| – (|A C| + |B C| – |A B C|)

= |A| + |B| + |C| – |A B| – |A C| – |B C| + |A B C| ■

Пример 1.

У једном одељењу сваки ученик иде на музичку или ликовну секцију. Њих 17 иде

на ликовну секцију, њих 15 иде на музичку секцију, а троје ученика иде на обе

секције. Колико ученика има у том одељењу?

34

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Из датих података закључујемо (види слику десно):

• 14 ученика иде само на ликовну секцију, 17 – 3 = 14;

• 12 ученика иде само на музичку секцију, 15 – 3 = 12.

У одељењу има 14 + 12 + 3 = 29 ученика.

Пример 2.

17 ученика иде на

ликовну секцију.

У једној туристичкој агенцији раде водичи који знају

енглески, француски или руски језик. Енглески зна 15

водича, француски 11 и руски 13. Енглески и француски

зна 5 водича, француски и руски 4 водича, а руски и 14 ученика иде само

енглески 6 водича. Сва три језика знају 3 водича.

на ликовну секцију.

Колико водича ради у тој агенцији?

Нека E, F и R означавају скупове водича који редом знају енглески, француски

и руски језик. Знамо да је |E| = 15, |F| = 11, |R| = 13, |E F| = 5, |F R| = 4,

|R E| = 6, |E F R| = 3.

Применом формуле укључења-искључења рачунамо укупан број водича:

|E F R| = |E| + |F| + |R| – |E F| – |F R| – |R E| + |E F R|

= 15 + 11 + 13 – 5 – 4 – 6 + 3 = 27.

L

15 ученика иде на

музичку секцију.

M

3 ученика иде

и на ликовну и на музичку

секцију.

12 ученика иде само

на музичку секцију.

1. Задатак

У летњи камп дошло је 73 ученика, од којих 38 говори немачки језик, 25 ученика

говори француски језик, а 12 ученика говори оба језика. Колико ученика не

говори ниједан од ова два језика?

Ако су A и B коначни скупови, онда је |A×B| = |A| ∙ |B|.

Ако су A, B и C коначни скупови, онда је |A×B×C| = |A| ∙ |B| ∙ |C|.

Принцип производа

Пример 3.

Након изласка из авиона путник треба да се спусти два спрата ниже да би преузео

пртљаг. На један спрат ниже воде три (једносмерна) покретна степеништа, а

одатле на спрат испод два (такође једносмерна) покретна степеништа. На колико

начина путник може стићи до места за преузимање пртљага?

Након изласка из авиона, путник прво треба да изабере

једно од три степеништа која воде на међуспрат, а затим

на међуспрату да изабере једно до два степеништа до циља.

излаз из авиона

A B C

међуспрат

пртљаг D E

Могући избори степеништа заправо су уређени парови чија је прва координата

једно од степеништа које води од излаза на међуспрат, а друга координата је

степениште које води са међуспрата до пртљага. Дакле, постоји укупно 3 ∙ 2 = 6

могућности.

A

B

C

A

D

B

D

C

D

D

A

E

B

E

C

E

E

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

35


1

2

1 57648 9

2.

Задатак

Фигура се са једног кружног поља може померити само на поља у која воде

стрелице из полазног поља (слика испод). На колико различитих начина се фигура

може преместити са поља S на поље Z?

S

Z

9

7

5

3

1

(1,9)(3,9)(5,9)(7,9)(9,9)

(1,7)(3,7)(5,7)(7,7)(9,7)

(1,5)(3,5)(5,5)(7,5)(9,5)

(1,3)(3,3)(5,3)(7,3)(9,3)

(1,1)(3,1)(5,1)(7,1)(9,1)

1 3 5 7 9

3.

Пример 4.

Колико има двоцифрених бројева записаних помоћу непарних цифара: 1, 3, 5,

7, 9?

Сваки двоцифрен број је одређен уређеним паром цифара, што значи да

двоцифрених бројева записаних непарним цифрама има исто колико и

уређених парова у {1,3,5,7,9}×{1,3,5,7,9}, тј. 5 ∙ 5 = 25.

Примену принципа производа можемо објаснити и на следећи начин.

Замисли да двоцифрен број чије су цифре непарне добијамо уписивањем

непарне цифре на сваку од две празне цртице.

• Постоји пет могућности да се на прво место упише непарна цифра.

• За сваки избор непарне цифре за прво место, постоји по пет могућности да

се на друго место упише непарна цифра.

Дакле, постоји 5 ∙ 5 = 25 двоцифрених бројева записаних непарним цифрама.

Задатак

Колико има троцифрених бројева записаних помоћу непарних цифара: 1, 3, 5, 7, 9?

Коначни низови

аа ае аи ао ау

еа ее еи ео еу

иа ие ии ио иу

оа ое ои оо оу

уа уе уи уо уу

Објашњење којим је завршен претходни пример једноставно се уопштава на

случајеве када треба формирати коначне низове чији се чланови бирају из датих

коначних скупова.

Пример 5.

Посматрајмо низове одређене дужине који се могу формирати од самогласника

српског језика: а, е, и, о, у.

• Сваки самогласник можемо сматрати коначним низом дужине 1. Дакле,

једночланих низова самогласника има укупно 5.

• Сваки уређен пар самогласника можемо посматрати као коначан низ дужине 2.

Двочланих низова самогласника има укупно 25.

• Свака уређена тројка одређује коначан низ дужине 3. Трочланих низова

самогласника има 5 3 = 125.

• Четворочланих низова самогласника има 5 4 = 625 итд.

36

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Пример 6.

Колико има четвороцифрених парних бројева записаних цифрама 0, 1, 2, 3, 4?

• Постоје четири могућности да се на прво место упише цифра: 1, 2, 3 или 4 (јер

цифра 0 не може бити прва цифра).

• За сваки избор цифре за прво место, постоји по пет могућности да се на друго

место упише цифра: 0, 1, 2, 3 или 4.

• За сваки избор цифарa за прва два места, постоји по пет могућности да се на

треће место упише цифра: 0, 1, 2, 3 или 4.

• За сваки избор цифре за прва три места, постоји по три могућности да се на

четврто место упише цифра: 0, 2 или 4 (јер добијени број мора бити паран).

Дакле, постоји 4 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 3 = 300 четвороцифрених парних бројева записаних

цифрама 0, 1, 2, 3, 4.

4.

5.

Задатак

Колико има петоцифрених непарних бројева записаних цифрама 0, 1, 2, 3, 4?

Пример 7.

Колико има четвороцифрених бројева записаних цифрама 0, 1, 2, 3, 4 у којима се

цифре не понављају?

• Постоје четири могућности да се на прво место упише цифра: 1, 2, 3 или 4 (јер

цифра 0 не може бити прва цифра).

• Након избора цифре за прво место, преостају четири могућности да се на друго

место упише цифра, јер сада 0 може бити уписана, али не може се поновити

цифра уписана на првом месту.

• Након избора цифарa за прва два места, преостају три могућности да се на треће

место упише цифра, јер се не смеју поновити две претходно уписане цифре.

• Након избора цифарa за прва три места, преостају две могућности да се на

четврто место упише цифра, јер се не смеју поновити три претходно уписане

цифре.

Дакле, постоји 4 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 = 96 четвороцифрених бројева записаних цифрама 0, 1, 2,

3, 4 у којима се цифре не понављају.

Задатак

а) Колико има петоцифрених парних бројева записаних цифрама 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

б) Колико има петоцифрених бројева записаних цифрама 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 у којима

се цифре не понављају?

в) Колико има петоцифрених парних бројева записаних цифрама 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 у

којима се цифре не понављају?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

37


1

2

1 57648 9

Пример 8.

Према правилнику о регистарским таблицама који се у Србији примењује од

2017. године, иза ознаке града, одн. општине стоје три или четири цифре и два

латинична слова изабрана од укупно 23 слова (користе се латинична слова српског

језика, осим слова Č, Ć, DŽ, Đ, LJ, NJ, Š, Ž, као и латинично слово X). Колико

укупно регистарских ознака наведеног облика може бити издато у једном граду,

одн. општини?

10 10 10 23 23

могућности

10 10 10 10 23 23

могућности

Одредимо најпре број троцифрених регистарских ознака, тј. оних које

се састоје од три цифре и два латинична слова. На сваком од прва три

места може да стоји било која од десет цифара, што значи да постоји

укупно 10 3 могућности. На сваком од два места предвиђена за слова

може да стоји било које од 23 слова, што значи да постоји укупно

23 2 = 529 могућности. Према принципу производа, број троцифрених

регистарских ознака једнак је 529 000.

Слично рачунамо да је број четвороцифрених регистарских ознака,

које се састоје од четири цифре и два латинична слова, једнак 5 290 000.

Према принципу збира, укупан број могућности једнак је

529 000 + 5 290 000 = 5 819 000.

Двочлани и трочлани

подскупови

A j

A i

A j

A i

Пример 9.

Одредимо колико дужи образује n датих тачака.

Свака тачка образује по једну дуж са преосталих n – 1 тачака. Самим тим, свака

дата тачка је крајња тачка n – 1 дужи. Када помножимо број тачака са бројем дужи

чији је један крај једна дата тачка, добијамо производ n(n – 1). Овај производ је

два пута већи од укупног броја свих дијагонала, јер је свака дијагонала убројана

n(n – 1)

два пута будући да садржи два темена. Дакле, n датих тачака образује

2

дужи.

6.

7.

Задатак

На шаховском турниру је учествовало пет шахиста, Пера, Мика,

Лаза, Сима и Аца. Колико партија је укупно одиграно ако се

играло по систему „свако са сваким”?

Задатак

1) Колико дужи образује датих седам тачака?

2) На колико начина се од 20 ученика једног одељења може изабрати двочлана

делегација?

3) Колико има двочланих подскупова скупа који има 100 елемената?

P

M

A

L

S

38

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Квантификатори

В

Квантификатори, поред логичких везника, играју важну улогу приликом

формулације тврђења која се односе на скупове, посебно када је реч о

бесконачним скуповима.

Универзалном квантификатору одговара реч „сваки” (било који,

произвољан). Универзални квантификатор се обележава симболом ∀

(обрнуто А).

Егзистенцијалном квантификатору одговара реч „постоји” (неки, бар један).

Егзистенцијални квантификатор се обележава симболом ∃ (обрнуто Е).

Употребу квантификатора најпре ћемо илустровати разматрајући реченице које

нису математичке природе.

Пример 1.

Посматрајмо бинарну релацију „волети” на скупу свих људи – означимо је са V.

Ако су x и y неке особе, онда V(x,y) значи „x воли y”.

Запишимо реченицу: Ако Мика воли Мају, онда и Маја воли Мику, употребом

логичких операција

V(Мика, Маја) V(Маја, Мика).

Реченицу којом се тврди да свака особа узвраћа љубав особи која је воли можемо

изразити једноставно помоћу универзалног квантификатора

(∀x)(∀y)(V(x,y) V(y,x)).

У реченици „Маја воли некога” крије се егзистенцијални квантификатор: „постоји

неко кога Маја воли”, односно

(∃x) V(Маја,x).

Наводимо још неколико примера:

Свако воли некога – (∀x)(∃y) V(x,y);

Неко воли свакога – (∃x)(∀y) V(x,y);

Некo не воли никога – (∃x)(∀y)¬V(x,y);

Свако не воли некога – (∀x)(∃y)¬V(x,y).

(∀y)¬V(JA,y)

1. Задатак

Поред релације V из претходног примера посматрајмо још две особине људи:

„бити мушког пола” и „бити женског пола”. Нека M(x) значи „x je мушког пола”, а

Ž(x) значи „x je женског пола”. Преведите на српски језик записе:

1) (∀x)(M(x) (∃y)(Ž(y)V(x,y)));

2) (∃x)(Ž(x)(∀y)(M(y) V(y,x)));

3) (∃x)(Ž(x)(∀y)(M(y) ¬V(x,y)));

4) (∃x)(M(x)(∀y)(Ž(y) V(x,y))).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

39


1

2

1 57648 9

Иза квантификатора обавезно следи променљива која узима вредности из неког,

углавном, унапред задатог скупа. Често се у формулама истиче и тај скуп, тј.

користе се такозвани ограничени квантификатори:

∀x A – „за сваки елемент x скупа A”

и

∃x A – „постоји елемент x скупа A”.

Пример 2.

Преведимо неколико математичких тврдњи на језик формула применом

квантификатора.

Збир било ког природног броја и нуле једнак је том броју:

(∀x N)(x + 0 = x).

Квадрат сваког реалног броја је ненегативан:

(∀x R)(x 2 ≥ 0).

Једначина x 2 – 6x + 5 = 0 има решења у скупу целих бројева:

(∃x Z)(x 2 – 6x + 5 = 0).

Једначина x 2 = 2 нема решења у скупу рационалних бројева:

¬(∃x Q)(x 2 = 2).

Не постоји реалан број који је већи од свих осталих реалних бројева:

¬(∃x R)(∀y R)(y < x).

Приметимо да се ограничени квантификатори могу елиминисати следећим

еквиваленцијама:

(∀x A)F ∀x(x A F) и (∃x A)F ∃x(x AF),

при чему је F нека произвољна формула.

Везе међу квантификаторима дају такозвани Де Морганови закони:

¬(∀x)F (∃x)¬ F и ¬(∃x)F (∀x)¬ F.

Пример 3.

Према Де Моргановим законима за квантификаторе, негација реченице „Свако

воли некога” је „Некo не воли никога”:

¬(∀x)(∃y)V(x,y) (∃x)(∀y)¬V(x,y).

Такође, према истим законима, реченица „Једначина x 2 = 2 нема решења у скупу

рационалних бројева” јесте еквивалетна реченици „За сваки рационалан број x je

x 2 ≠ 2”:

¬(∃x Q)(x 2 = 2) (∀x Q)x 2 ≠ 2.

40

Реченица „Не постоји реалан број који је већи од свих осталих реалних бројева”

исто тврди што и реченица „Од сваког релног броја постоји већи број”:

¬(∃x R)(∀y R)(y < x) (∀x R)(∃y R)(x ≤ y),

при чему смо уместо ¬y < x писали x ≤ y

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Илуструјмо, на крају, веома блиску везу између основних особина скупова и

логичких закона.

Пример 4.

Пођимо од претпоставки:

1. Неки професори су математичари.

2. Сви математичари су добри људи.

Која од следећих реченица је исправан закључак ове две претпоставке?

А) Сви професори су добри људи.

Б) Неки професори су добри људи.

В) Неки професори нису добри људи.

Приметимо најпре да се дате претпоставке односе на три врсте људи:

• професоре – означимо са P скуп професора,

• математичаре – означимо са M скуп математичара,

• добре људе – означимо са D скуп добрих људи,

и да, уз ове ознаке, претпоставке кажу да је P M ≠ и да је M D.

Постоје само два могућа односа скупова P, M и D и они су приказани следећим

Веновим дијаграмима.

Преформулишимо реченице А), Б) и В) на језик скупова:

А) P D (Сви професори су добри људи.)

Б) P D ≠ (Неки професори су добри људи.)

В) P \ D ≠ (Неки професори нису добри људи.)

Узимајући у обзир претходне слике, закључујемо да једино P D ≠ мора бити

испуњено.

Дакле, исправан закључак датих претпоставки је реченица Б).

Неко ће можда протествовати због уведених претпоставки тврдећи да оне нису

тачне. Међутим, ми овом приликом не дискутујемо о истинитости претпоставки,

већ о исправности закључивања.

Наводимо још два примера закључивања по истим принципима.

Претпоставка: Неки паралелограми су квадрати.

Претпоставка: Сви квадрати имају једнаке дијагонале.

Закључак: Неки паралелограми имају једнаке дијагонале.

Претпоставка: Неки слонови су пингвини.

Претпоставка: Сви пингвини лете.

Закључак: Неки слонови лете.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

41


1

2

1 57648 9

А

Задаци

Логички везници

1. Одреди за које су једноцифрене природне бројеве x тачне следеће формуле:

1) x ≤ 7x > 3; 2) x = 1x ≥ 7; 3) ¬x 2 = 4 ¬x = 2;

4) x ≥ 3 x > 3; 5) x = 1x = 2 (x – 1)(x – 2) = 0.

2. Дати су искази:

p: Тело је здраво; q: Дух је здрав.

1) Напиши реченицу која одговара исказу p q.

2) Одреди логичку структуру реченице Да би дух био здрав, довољно је да тело

буде здраво.

p q r F

⊤ ⊤ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥ ⊤

⊤ ⊥ ⊤ ⊥

⊤ ⊥ ⊥ ⊥

⊥ ⊤ ⊤ ⊥

⊥ ⊤ ⊥ ⊥

⊥ ⊥ ⊤ ⊥

⊥ ⊥ ⊥ ⊤

Б

Исказне формуле. Таутологије

3. Формирај истинитосне таблице формула и одреди које су таутологије.

1) pq p; 2) q pq; 3) pq (p q); 4) p¬q ¬(pq);

5) (p q)(r q) q¬(pr); 6) p¬q ¬(p¬r).

4. Одреди бар једну формулу F чија je истинитосна таблица дата на маргини.

5. Методом свођења на апсурд докажи да су следеће формуле таутологије.

1) (p¬q ¬r) (pr q); 2) ((p q)(r s))(pr) qs.

6. Ако су A, B и C произвољне исказне формуле, докажи да су следеће формуле

таутологије.

1) ¬(AB) ¬A¬B ; 2) (A B)(B C) (A C).

42

А

Исказне формуле

A и B су логички

еквивалентне ако

је формула A B

таутологија.

Б

Таутологије и закони закључивања

7. Дата је формула (p q)r. Која је од следећих формула логички еквивалентна

датој формули:

1) (p¬q) r; 2) p (¬q r); 3) p (¬r q)?

8. Који су од следећих исказа логички еквивалентни исказу „ти ниси у праву или

сам ја луд”?

А) Ако си ти у праву, онда сам ја луд;

Б) Ако сам ја луд, онда ти ниси у праву;

В) Ти ниси у праву и ја нисам луд;

Г) Ако ја нисам луд, онда си ти у праву;

Д) Ако ја нисам луд, онда ти ниси у праву.

9. Разговарају три друга.

Пера: „Лазо, ако добијеш пет из математике, добићеш и пет из физике.”

Мика: „Лазо, ако добијеш пет из физике, добићеш и пет из математике.”

Лаза: „Свакако ће бити тачна изјава бар једног од вас двојице.”

Да ли је Лазина изјава тачна?

10. Докажи да је за сваки природан број n тачна импликација:

aко је n 2 паран број, онда је n паран број.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Скупови. Основне операције са скуповима

11. Докажи да су за било које скупове A, B и C тачне једнакости:

1) A B = B A; 2) A B = B A; 3) A (B C) = (A B) C;

4) A (B C) = (A B) C; 5) A (B C) = (A B) (A C);

6) A (B C) = (A B) (A C); 7) A (A B) = A;

8) A (A B) = A 9) (A \ B) B = A B;

10) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C); 11) A \ (A \ B) = A B.

12. Нека су A и B произвољни подскупови од S. Докажи Де Морганову једнакост

(A B) c = A c B c .

Упутство. Погледај пример 5. на страни 23.

13. Које су од следећих формула тачне за било које скупове A и B?

1) A B A B = A; 2) A B = B A B;

3) A B A \ B = ; 4) A B B \ A = ;

5) A B = A \ B = A; 6) A = A A = ;

7) A \ = A = ; 8) A B = A = B = .

A

Уређени пар. Декартов производ

14. Докажи да је за било које скупове A, B и C тачнa једнакост

(A \ B)×C = (A×C) \ (B×C).

15. Које су од следећих формула тачне за било које скупове A и B?

1) A B A×A B×B;

2) A B A×A A×B;

3) A B = (A×A) (B×B) = .

Б

Бинарне релације

16. Релацију ≤ скупа R често посматрамо и на неким подскуповима од R.

1) Нацртај граф и формирај таблицу релације ≤ на скупу A = {1,2,3}.

2) Нацртај граф и формирај таблицу релације < на скупу A = {1,2,3}.

17. На скупу S = {a,b,c,d,e} дефинисана је бинарна релација α графом који је

приказан на маргини.

1) Релацију α представи као подскуп од S×S навођењем њених елемената.

2) Да ли је релација α рефлексивна, ирефлексивна, симетрична,

антисиметрична, линеарна, транзитивна?

18. Прикажи у координатном систему релације ≥ и > скупа R.

Упутство. Види пример 2. на страни 26.

19. Наведи бар један пример скупа и бинарне релације на њему која је

транзитивна, али није рефлексивна нити је симетрична.

A

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

43


1

2

1 57648 9

Б

20. На партитивном скупу скупа природних бројева P(N) дефинисана је бинарна

релација ρ на следећи начин:

A ρ B акко A B = .

Да ли је релација ρ рефлексивна, ирефлексивна, симетрична, антисиметрична,

линеарна, транзитивна?

21. Одреди бар један петочлан подскуп од N на коме је релација дељивости

линеарно уређење.

22. Најмањим бројем стрелица допунити граф приказан на слици десно тако да он

буде граф релације еквиваленције на скупу {a,b,c,d,e}, а затим одреди класе те

релације.

23. На скупу природних бројева N дефинисана је бинарна релација ρ на следећи

начин:

m ρ n акко m + n је паран број.

Докажи да је ρ релација еквиваленције.

24. На скупу целих бројева Z дефинисана је бинарна релација ρ на следећи начин:

m ρ n акко |m| = |n|.

Докажи да је ρ релација еквиваленције и одреди класе еквиваленције.

Функције

А

25. Одреди све функције из скупа {1,2} у скуп {1,2,3} и све функције из {1,2,3} у

{1,2}.

26. Функција f: R R дефинисана је са f(x) = 0,5x – 2. Одреди:

1) f(0); 2) f(–1); 3) f(0,5); 4) f(–0,5); 5) f(f(1)); 6) f(f(3)).

27. Функције f: {1,2,3,4} {1,2,3} и g: {1,2,3} {1,2,3} су дате са

f = 1 2 3 4

2 2 1 2 и g = 1 2 3 . Одреди композиције g f, g g.

3 2 1

Б

B

28. Наведи нека два скупа A и B и функцију из A у B или из B у A која је:

1) 1-1 функција и није на-функција; 2) није 1-1 функција, а јесте на-функција.

29. Функција f: {1,2,3,4} {a,b,c,d} дата је са f = 1 2 3 4

b c a d .

Да ли је ова функција бијекција? Ако јесте, одреди f –1 .

30. Функције f: R R и g: R R су дефинисане са

f(x) = 2x – 1 и g(x) = –3x + 1.

1) Докажи да су f и g бијекције и одреди f –1 и g –1 .

2) Одреди f g, докажи да је ова композиција бијекција и одреди (f g) –1 .

3) Докажи једнакост (f g) –1 = g –1 f –1 .

44

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Логика и скупови

Елементи комбинаторике

31. Ако је |A| = 378, |B| = 253 и |A B| = 457, одреди |A B|, |A \ B| и |B \ A|.

32. Ако је |A| = 14, |B| = 18, |C| = 19, |A B| = 8, |B C| = 10, |C A| = 7 и

|A B C| = 3. Одреди |(A B) C|, |(A B) \ C|, |C \ (A B)|, |(A \ B) \ C| и

|A \ (B \ C)|.

A

33. Од сто учесника једног међународног такмичења, њих 27 не зна ни немачки

ни руски језик. Ако 38 учесника зна немачки, а 45 зна руски, одреди колико

учесника зна и немачки и руски језик.

34. Сви ученици једног одељења чланови су бар једне од секција: шаховске,

информатичке, математичке. Дванаесторо ученика посећује више од једне

секције, при чему све три секције посећује троје ученика. Шесторо ученика

су чланови информатичке и математичке секције, а седморо ученика су

чланови шаховске и математичке секције. Колико ученика посећује шаховску и

информатичку секцију, али не и математичку секцију?

35. Фигура се са једног кружног поља може померити само на пољe у која воде

стрелице из полазног поља (слика испод). На колико различитих начина се

фигура може преместити са поља S на поље Z?

S

Z

36. Колико има шестоцифрених бројева формираних од цифара 0, 1, 2,3, 4, 5

1) тако да су све цифре различите; 2) ако се цифре могу понављати?

37. Колико има петоцифрених бројева формираних од цифара 0, 1, 2, 3, 4, 6 таквих

да се нула не налази ни на првом ни на последњем месту и да се ниједна од

цифара не понавља?

38. Колико има троцифрених бројева који не садрже цифру 2?

39. Колико има четвороцифрених бројева који не садрже ни цифру 1 ни цифру 2?

40. Колико има четвороцифрених бројева који садрже бар једном цифру 1?

41. 1) На колико начина се може изабрати шифра (password) од пет знакова коју

чине само мала слова енглеске абецеде (њих 26) и цифре декадног система

(њих 10)? При томе шифре се могу састојати и само од слова или само од

бројева, а знаци унутар шифре се могу понављати.

2) На колико начина се може изабрати шифра од пет знакова тако да сви знаци

буду међусобно различити?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

45


1

2

1 57648 9

42. На слици лево је приказано шест полуправих са заједничким почетком.

Колико конвексних углова одређују ове полуправе?

43. У групи од 10 особа налазе се Нина и Аца. На колико начина се могу изабрати

четири особе, под условом да ако је изабрана Нина мора бити изабран и Аца?

Квантификатори

В

44. Које су од следећих формула тачне?

1) (∀x N)(∃y N)(x ≤ y); 2) (∃x Z)(3 · x = –2);

3) (∀x Q)(∃y Q)(x · y = 1); 4) (∀x R)(x > 0 –x < 0);

5) (∃x Q)(x < 0x 2 = 9); 6) (∃x R)(x > 33x – 1 = 0).

45. Дата је формула ¬(∃x R)(x < 1x > 2). Која је од следећих формула

еквивалентна датој формули?

1) (∀x R)(x > 1x < 2); 2) (∃x R)(x ≥ 1x ≤ 2);

3) (∀x R)(x ≥ 1x ≤ 2); 4) (∃x R)(x < 1x > 2).

46

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ЦЕЛИ БРОЈЕВИ

Дељивост целих бројева (48)

А Теорема о дељењу са остатком; основне особине дељивости целих

бројева; Еуклидов алгоритам (48)

Прости бројеви (52)

А Прости и сложени бројеви; Ератостеново сито; основна теорема

аритметике (52)

Бројевне базе (57)

А Теорема о бројевној бази; репрезентација природних бројева у

датој бројевној бази (57)

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


A

Дељивост целих бројева

Скуп природних бројева означавамо N. Сви природни бројеви заједно са нулом

образују скуп који обележавамо N 0

.

N 0

= N {0} = {0, 1, 2, 3, ...}

Познато је да једноставне једначине a + x = b, са непознатом x при чему су a и

b неки задати природни бројеви, немају увек решења у скупу N. На пример, не

постоји природан број x такав да је 2 + x = 1, 7 + x = 3 итд. Зато уводимо тзв.

негативне бројеве –1, –2, –3... Природни бројеви, нула и негативни цели бројеви

образују скуп целих бројева.

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Елементе скупа N 0

често називамо ненегативним целим бројевима. Све једначине

облика a + x = b, са непознатом x при чему су a и b дати цели бројеви, имају

решења у скупу Z.

Централно место у овом поглављу заузима наредна важна теорема.

Теорема о дељењу са

остатком

За свака два цела броја a и b, при чему је b ≠ 0, постоје јединствени цели

бројеви q и r такви да је a = q · b + r и 0 ≤ r < |b|.

Детаљан доказ изостављамо и уместо њега наводимо поједностављено објашњење

у случају када су a и b природни бројеви. Користећи бројевну праву, једноставно

уочавамо да постоји највећи број q из N 0

такав да је qb ≤ a < (q + 1)b. Ова

тврдња може се и сликовито описати: надовезивањем дужи чија је дужина b

јединица мере, полазећи од почетне тачке бројевне полуправе, после q корака

„престижемо” тачку која одговара броју a. Из неједнакости qb ≤ a < (q + 1)b следи

0 ≤ a – qb < b.

остатак

r

0

b 2b 3b qb a

...

(q + 1)b

За целе бројеве a и b, b ≠ 0, највећи број q такав да је qb ≤ a назива се количник

при дељењу a са b. Разлика a – qb назива се остатак при дељењу a са b. Остатак

при дељењу a са b често се означава a (mod b). Другим речима, a (mod b) је

најмањи ненегативан број облика a + qb, q Z, тј. најмањи ненегативан број међу

бројевима:

... a – 3b, a – 2b, a – b, 0, a + b, a + 2b, a + 3b ...

1. Задатак

На основу слике испод, одреди количник и остатак при дељењу са –6 броја:

а) –17; б) –2; в) 16; г) 28.

48

–17 –12

–10

–6 –2 0

6

10

12 16 18

20

24 28 30

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Цели бројеви

Ако је b > 1, остаци при дељењу целих бројева са b припадају скупу {0,1,2,...,b – 1}.

Дакле, за сваки цео број a важи 0 ≤ a (mod b) < b.

Посебно, остатак при дељењу неког броја са 2 може бити 2q –8 –6 –4 –2

једнак 0 или 1. У зависности од тога, цели бројеви се деле

2q + 1

на парне и непарне.

–5 –4 –3 –1

• Парни су они који при дељењу са 2 дају остатак 0, тј. који се могу записати у

облику 2q, за неки q из Z.

• Непарни су они који при дељењу са 2 дају остатак 1, тј. који се могу записати у

облику 2q + 1, за неки q из Z.

Приликом дељења целих бројева са 3, могући остаци су

0, 1 и 2. На тај начин су сви цели бројеви подељени у три

међусобно дисјунктна скупа.

Сваки природан број a је облика 3q, 3q + 1 или 3q + 2, за неко q из Z.

Пример 1.

Колико има бројева у првој стотини који при дељењу са 5 дају

остатак 2?

Највећи број прве стотине који при дељењу са 5 даје остатак 2

јесте 97, 97 = 19 · 5 + 2.

Сви бројеви прве стотине који при дељењу са 5 дају

остатак 2 јесу облика 5q + 2, када је 0 ≤ q ≤ 19:

5 · 0 + 2, 5 · 1 + 2, 5 · 2 + 2, 5 · 3 + 2, ..., 5 · 19 + 2.

Дакле, постоји 20 бројева прве стотине који при дељењу са 5 дају остатак 2.

2.

3.

Задатак

Колико има бројева прве хиљаде који при дељењу са 4 дају остатак 3?

Задатак

3q

3q + 1

3q + 2

–6 –3 0

–5 –2

–4 –1

5q 0 5

5q + 1 1 6

5q + 2 2 7

5q + 3 3 8

5q + 4 4 9

Колико има природних бројева мањих од 700 који при дељењу са 9 дају остатак 7?

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

8

7

95 100

96

97

98

99

9

8

Ако је остатак при дељењу броја a са b (b ≠ 0) једнак нули, кажемо да се a може

поделити са b без остатка.

Цео број a је дељив целим бројем b, b ≠ 0, ако постоји q из Z такав да је a = q · b.

Кажемо и да n дели број a, односно a је дељиво са b, и пишемо b | a.

дефиниција

Ако b | a, онда је b делилац броја a, а број a садржалац броја b. Очигледно, сваки

цео број дељив је бројевима 1 и –1. Такође, a | a ако је a ≠ 0.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

49


2

2

1 57648 9

Основне особине

релације дељивости

Основне особине релације дељивости

• Ако a | b, онда a | bc, за свако c из Z (a ≠ 0).

• Ако a | b и b | c, онда a | c (a, b ≠ 0).

• Ако a | b и a | c, онда a | xb + yc, за све x и y из Z (a ≠ 0).

• Ако a | b и b | a, онда a = b или a = –b (a, b ≠ 0).

• Ако је a, b ≥ 1 и a | b, онда је a ≤ b.

Доказ.

1) Ако је a | b, онда је b = aq, за неко q из Z. За било које c из Z, важи bc = aqc,

одакле следи да a | bc.

2) Из a | b и b | c следи да је b = aq 1

и c = bq 2

, за неке q 1

и q 2

из Z. Из једнакости

c = bq 2

= aq 1

q 2

закључујемо a | c.

3) Из a | b и a | c следи да је b = aq 1

и c = aq 2

, за неке q 1

и q 2

из Z. Из једнакости

xb + yc = xaq 1

+ yaq 2

= a(xq 1

+ yq 2

) закључујемо a | xb + yc.

4) Из a | b и b | a следи да је b = aq 1

и a = bq 2

, за неке q 1

и q 2

из Z. Из једнакости

ab = abq 1

q 2

закључујемо да је q 1

q 2

= 1. Како су q 1

и q 2

цели бројеви, постоје две

могућности: или је q 1

= 1 и q 2

= 1 или је q 1

= –1 и q 2

= –1.

У првом случају је a = b, а у другом a = –b.

5) Ако је a, b ≥ 1 и a | b, онда је b = aq, при чему мора бити q ≥ 1.

Дакле, b = aq ≥ a · 1 = a. ■

Последица

Ако a | b и a | c, онда број a | b + c и a | b – c.

Пример 2.

Да ли постоје цели бројеви m и n такви да је 4m + 6n = 2019?

Одговор је одричан. За било које бројеве m и n вредност израза 4m + 6n је паран

број. Насупрот томе, број 2019 је непаран.

Еуклидов алгоритам

Дефиниција

4. Задатак

Да ли постоје цели бројеви m и n такви да је 6m + 9n = 10 000?

Највећи заједнички делилац бројева a и b јесте највећи природан број који

дели и број a и број b. Највећи заједнички делилац бројева a и b означавамо

НЗД(a, b).

50

Да бисмо поједноставили излагање, ограничићемо се на дељивост природних

бројева. Један од најстаријих и најпознатијих поступака за одређивање највећег

заједничког делиоца два природан броја назива се Еуклидов алгоритам. Еуклид

је старогрчки математичар који је на прелазу из 4. у 3. век пре н. е. написао дело

под називом Елементи. Елементи се састоје из 13 књига у којима су изложена

целокупна математичка знања тог времена. У седмој књизи Елемената описан је и

поступак одређивања највећег заједничког делиоца који се данас назива Еуклидов

алгоритам.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Цели бројеви

Еуклидов алгоритам је заснован на следећој теореми.

За све природне бројеве a и b,

1) ако b | a, онда је НЗД(a, b) = b;

2) НЗД(a, b) = НЗД(b, a (mod b)).

Доказ.

1) Познато је да b | b, и штавише, b је највећи делилац броја b. Из ових чињеница и

претпоставке b | a следи да је b највећи заједнички делилац бројева a и b.

2) Нека су q и r редом количник и остатак при дељењу a са b, a = qb + r, 0 ≤ r < b.

Треба да докажемо да је НЗД(a, b) = НЗД(b, r).

Ако d | a и d | b, онда d | a – qb, тј. d | r. Дакле, сваки делилац d бројева a и b,

такође је делилац и броја r.

Ако d | b и d | r, онда d | qb + r, тј. d | a. Дакле, сваки делилац d бројева b и r,

такође је делилац и броја a.

Према претходним запажањима, скуп свих делилаца бројева a и b једнак је

скупу свих делилаца бројева b и r. Самим тим, највећи заједнички делилац

бројева a и b једнак је највећем заједничком делиоцу бројева b и r. ■

Еуклидов алгоритам

Реч алгоритам се

први пут појављује

почетком 12.

века у преводу на

латински језик једне

књиге арапског

математичара Ал

Хорезмија. Књига

је преведена под

насловом Algoritmi de

numero indorum, што

у слободном преводу

на српски значи Ал

Хорезми о индијској

вештини рачунања.

Пример 3.

Одредимо НЗД(300, 252).

300 = 1 · 252 + 48,

НЗД(300, 252) = НЗД(252, 48)

252 = 5 · 48 + 12,

НЗД(252, 48) = НЗД(48, 12)

48 = 4 · 12 + 0,

НЗД(48, 12) = 12

Дакле, НЗД(300, 252) = 12.

300

252

300 = 1 · 252 + 48

48

252 = 5 · 48 + 12

12

48 = 4 · 12

5.

Задатак

Применом Еуклидовог алгоритма одреди:

а) НЗД(360, 255); б) НЗД(288, 126);

в) НЗД (550, 198); г) НЗД(444, 942).

6.

Задатак

Две жице дужине 42 m и 60 m треба исећи на што веће једнаке делове. Колика је

дужина сваког дела и колико таквих делова има у сваком комаду жице?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

51


2 57648

A

Прости бројеви

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20

D 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 5 2 7 2 3 2 11 2 13 2 3 2 17 2 19 2

D 2

D 3

4 D 5

3 D 7

4 9 5 D 3 7 5 4 3 4

11

D 13

D D

17 19

D 4

6 8 D 9

10 4 14 15 8 6 5

D 6

D 8

D 10 6 D 14

D 15

16 9 10

12

D 12

D 16

18

D 18

20

D 20

Ако је n > 1, онда број n

има бар два делиоца: 1 | n

и n | n. Неки бројеви имају

само ова два делиоца.

Такви су, на пример, 2, 3, 5,

7, 11, 13, 17, 19.

прави делиоци

броја 12

1

2

3

4

6

12

теорема

Природни бројеви већи од 1 који имају тачно два делиоца, број 1 и сам тај

број, јесу прости бројеви. Природни бројеви већи од 1 који имају више од два

делиоца јесу сложени бројеви.

Ако је n сложен број, тада се сви његови делиоци различити од 1 и n, називају

прави делиоци броја n. Ако је d било који прави делилац сложеног броја n, онда

је 1 < d < n. Одавде закључујемо да је сваки сложен број производ нека своја два

права делиоца.

Сваки природан број већи од 1 има делиоца који је прост број.

Уместо детаљног доказа наводимо поједностављено објашњење претходног

тврђења. Нека је n произвољан природан број.

• Ако је број n прост, онда је он сам свој прост делилац.

• Ако је n сложен број, онда n има праве делиоце. У случају да је неки прави

делилац a броја n сложен, онда a такође има правог делиоца b, који је

истовремено и прави делилац полазног броја n. Даље, ако је b сложен, онда

је прави делилац c броја b такође прави делилац броја n. Поступак издвајања

правих делилаца (a, b, c итд.) броја n некада се мора завршити. То значи да ћемо

у неком кораку доћи до простог делиоца броја n.

теорема

Простих бројева има бесконачно много.

Доказ.

Претпоставим супротно да постоји само коначно много простих бројева. Нека

су то бројеви p 1

, p 2

, ..., p k

. Из наведене претпоставке следи да су сложени сви

природни бројеви, осим 1 и наведених простих бројева. Посебно,

број n = p 1

p 2

... p k

+ 1 је сложен па мора бити дељив неким простим бројем.

Међутим, то није могуће, јер при дељењу броја n било којим од простих бројева

p 1

, p 2

, ..., p k

добија се остатак 1.

Дакле, постоји бесконачно много простих бројева. ■

52

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Цели бројеви

Ако је p најмањи прост делилац сложеног броја n, онда је p · p ≤ n.

Ератостеново сито

Доказ.

Ако је број n сложен, онда бар један његов прави делилац мора бити прост

број. Нека је p најмањи прост делилац сложеног броја n. Тада је n = p · q, за неки

природан број q. Број q је такође делилац броја n.

• Ако је број q прост број, онда је p ≤ q, јер је p најмањи прост делилац броја n.

• Ако је број q сложен, он има своје просте делиоце, који су истовремено и прости

делиоци броја n, па нису мањи од p. Дакле, и у овом случају важи p ≤ q.

Из p ≤ q и n = p · q следи да је p 2 = p · p ≤ p · q = n. ■

Пример 1.

Претходно тврђење је веома значајно и корисно. Применићемо га да на

једноставан начин одредимо све просте бројеве прве стотине.

Како је 11 · 11 = 121, према претходној теореми закључујемо да је најмањи прост

делилац сложених бројева прве стотине неки од бројева 2, 3, 5 или 7. То значи, да

ако неки двоцифрен број није дељив бројевима 2, 3, 5 или 7, онда он није сложен,

па је самим тим прост.

Лево су записани сви природни бројеви прве стотине.

Поступно ћемо прецртавати све бројеве који нису прости.

Број 1 није прост, и прво њега прецртавамо. Број 2 је прост.

Њега заокружујемо, а прецртавамо све садржаоце броја 2.

После броја 2, први непрецртани број јесте прост број 3.

Њега заокружујемо и прецртавамо све садржаоце броја 3.

Затим заокружујемо прост број 5 и прецртавамо све

његове садржаоце. Заокружујемо и број 7 и прецртавамо

све његове садржаоце.

На овај начин, прецртали смо све бројеве прве стотине

који су дељиви неким од бројева 2, 3, 5 или 7, тј. све

сложене бројеве.

Заокруживањем свих непрецртаних бројева издвајамо све

просте бројеве прве стотине.

1

11

21

31

41

51

61

71

81

2

12

22

32

42

52

62

72

82

3

13

23

33

43

53

63

73

83

4

14

24

34

44

54

64

74

84

5

15

25

35

45

55

65

75

85

6

16

26

36

46

56

66

76

86

7

17

27

37

47

57

67

77

87

8

18

28

38

48

58

68

78

88

9

19

29

39

49

59

69

79

89

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Заокруживањем свих непрецртаних бројева издвајамо све

просте бројеве прве стотине: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,

37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Поступак описан у претходном примеру се може применити за одређивање свих

простих бројева који су мањи од неког унапред задатог броја. Поступак се назива

Ератостеново сито по старогрчком математичару Ератостену, који је живео у III

веку пре нове ере. Ератостен је први издвајао („просејавао”) просте бројеве међу

природним бројевима.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

53


2

2

1 57648 9

Да ли je неки број n сложен или прост испитујемо на следећи начин:

1) прво одредимо све просте бројеве p за које важи p 2 ≤ n;

2) затим за сваки прост број, одређен у кораку 1), проверавамо да ли он дели n.

Ако у кораку 2) нађемо прост број који дели n, онда је n сложен. У супротном, n је

прост.

У примеру користимо

табелу квадрата првих

петнаест простих

бројева.

p p 2

2 4

3 9

5 25

7 49

11 121

13 169

17 289

19 361

23 529

29 841

31 961

37 1 369

41 1 681

43 1 849

47 2 209

Пример 2.

Да ли је 457 прост или сложен број?

Користећи претходну табелу, уочавамо да је 23 2 = 529 > 457. Зато испитујемо да ли

је 457 дељив неким од простих бројева 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19:

2 |/ 457, 3 |/ 457,

5 |/ 457, 7 |/ 457 (457 = 7 · 65 + 2),

11 |/ 457 (457 = 11 · 41 + 6), 13 |/ 457 (457 = 13 · 35 + 2),

17 |/ 457 (457 = 17 · 26 + 15), 19 |/ 457 (457 = 19 · 24 + 1).

Дакле, 457 је прост број.

Да ли је 299 прост или сложен број?

Како је 19 2 = 361 > 299, довољно је испитати да ли је 299 дељив неким од простих

бројева 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17:

2 |/ 299, 3 |/ 299,

5 |/ 299, 7 |/ 299 (299 = 7 · 42 + 5),

11 |/ 299 (299 = 11 · 27 + 2), 13 | 299 (299 = 13 · 23 + 0).

Дакле, 13 | 299, одакле следи да је 299 сложен број (299 = 13 · 23).

1. Задатак

Испитај да ли је број прост или сложен:

а) 257; б) 287; в) 341; г) 373; д) 673; ђ) 1 729.

најмањи прост

делилац броја 588

најмањи прост

делилац броја 294

најмањи прост

делилац броја 147

најмањи прост

делилац броја 49

најмањи прост

делилац броја 7

2

2

3

7

7

588

294

147

49

7

1

588

294

147

49

7

1

2

2

3

7

7

Ератостеново сито је заправо поступак трагања за најмањим

простим делиоцем датог броја. Када неки сложен број

поделимо његовим најмањим простим делиоцем, добијени

количник такође има најмањи прост делилац. Настављајући

овај поступак, тј. делећи сваки добијени количник његовим

најмањим простим делиоцем, напослетку ћемо добити

количник 1. Производ свих простих бројева, којима смо

делили количнике, једнак је полазном броју. Поступак којим

дати број представљамо као производ простих бројева назива

се растављање на просте чиниоце.

54

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Цели бројеви

Сваки природан број већи од 1 може се представити

као производ простих бројева.

Основна теорема

аритметике

Основну теорему аритметике можемо формулисати и на следећи начин: за сваки

природан број n постоје јединствени прости бројеви p 1

, p 2

, ..., p k

, p 1

< p 2

< ... < p k

,

и јединствени природни бројеви α 1

, α 2

, ... α k

такви да је n = p 1

α 1p 1

α 1 ... p k

α k. Производ

p 1

α 1p 1

α 1 ... p k

α k назива се канонска факторизација броја n. На пример, растављањем

броја 588 на просте чиниоце долазимо до канонске факторизације овог броја:

588 = 2 2 · 3 · 7 2 .

Помоћу канонских факторизација датих природних бројева једноставно се

одређује њихов највећи заједнички делилац и најмањи заједнички садржалац.

Највећи заједнички делилац смо дефинисали у претходној лекцији.

Најмањи заједнички садржалац бројева a и b јесте најмањи природан број који

је дељив и бројем a и бројем b. Најмањи заједнички садржалац бројева a и b

означавамо НЗС(a, b).

Дефиниција

Пример 3.

Један од начина да се одреде НЗД(a, b) и НЗС(a, b), природних бројева a и b, јесте

да се сваки од њих растави на просте чиниоце.

Највећи заједнички делилац је производ простих чинилаца који се јављају у

растављањима оба броја, при чему се сваки од тих чинилаца узима онолико пута

колико се највише садржи у оба броја.

Најмањи заједнички садржалац је производ простих чинилаца који се јављају у

растављању бар једног од тих бројева, при чему се сваки чинилац узима онолико

пута колико се највише садржи у једном од тих бројева.

126

63

21

7

1

2

3

3

7

315

105

35

7

1

3

3

5

7

126 = 2 · 3 · 3 · 7

315 = 3 · 3 · 5 · 7

НЗД (126, 315) = 3 · 3 · 7 = 63

126 = 2 · 3 · 3 · 7

315 = 3 · 3 · 5 · 7

НЗС (126, 315) = 3 · 3 · 7 · 2 · 5 = 630


2. Задатак

Растављањем бројева на просте чиниоце одреди:

а) НЗД(100, 45) и НЗС(100, 45); б) НЗД(24, 30) и НЗС(24, 30);

в) НЗД(70, 154) и НЗС(70, 154); г) НЗД(182, 260) и НЗС(182, 260).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

55


2

2

1 57648 9

p 0 = 1, p N

Основне идеје из претходног примера можемо уопштено приказати. Нека су a

и b било који природни бројеви. Издвојимо просте бројеве који се појављују у

канонској факторизацији бар једног од бројева a или b: нека су то прости бројеви

p 1

, p 2

, ..., p m

. Међу издвојеним простим бројевима налазе се сви прости чиниоци

броја a, али могуће и они прости бројеви који не деле a, већ само деле b. Узимајући

у обзир једнакост p 0 = 1, за било који природан број p, закључујуемо да за неке

α

ненегативне целе бројеве α 1

, α 2

, ..., α m

важи a = p 1 1pα 1

α

2

... p m m. Наравно, ако неки

прост број p i

не дели a, онда је α i

= 0. На исти начин закључујемо да постоје

b

ненегативни цели бројеви β 1

, β 2

, ..., β m

важи b = p 1 1pb 1

b

2

... p m m. Нека је max {α, β}

једнако α ако је α > β, односно β ако је α ≤ β:

α, α > β,

max {α, β} =

β, α ≤ β.

Слично уводимо min {α, β}:

β, α > β,

min {α, β} =

α, α ≤ β.

Користећи уведене ознаке, имамо:

min {α

НЗД(a,b) = p 1

, β 1}

min {α

1

p 2

, β 2

} min {α

2

... p m

, β m

} max {α

m

и НЗС(a, b) = p 1

, β 1}

max {α

1

p 2

, β 2

} max {α

2

... p m

, β m} m

.

Пример 4.

Ако једнакости 126 = 2 · 3 2 · 7 и 315 = 3 2 · 5 · 7 запишемо у облику 126 = 2 1 · 3 2 · 5 0 · 7 1

и 315 = 2 0 · 3 2 · 5 1 · 7 1 , имамо

НЗД(126,315) = 2 min {1, 0} · 3 min {2, 2} · 5 min {0, 1} min {1, 1}

· 7

= 2 0 · 3 2 · 5 0 · 7 1 = 63

НЗС(126,315) = 2 max {1, 0} · 3 max {2, 2} · 5 max {0, 1} max {1, 1}

· 7

= 2 1 · 3 2 · 5 1 · 7 1 = 630

теорема

За свака два природна броја a и b важи НЗД(a, b) · НЗС(a, b) = a · b.

Подсећамо на

једнакост, познату из

основне школе:

p α · p β = p α + β , при

чему је p > 0, α, β ≥ 0.

Доказ.

Нека су p 1

, p 2

, ..., p m

прости бројеви који се појављују у канонској факторизацији

бар једног од бројева a или b. Постоје ненегативни цели бројеви α 1

, α 2

, ..., α m

и

β 1

, β 2

, ..., β m

такви да је a = p 1

α 1p 2

α 1 ... p m

α m и b = p 1

b 1p 2

b 1 ... p m

b m. Користећи очигледну

једнакост

max {α, β} + min {α, β} = α + β

добијамо:

НЗД(a, b) · НЗС(a, b)

= p 1

min {α 1

, β 1

}

... p m

min {α m

, β m

}

· p 1

max {α 1

, β 1

}

... p m

max {α m

, β m

}

= p 1

min {α 1

, β 1

}+max {α 1

, β 1

}

... p m

min {α m

, β m

}+max {α m

, β m

}

= p 1

α 1

+ β 1 ... p m

α m

+ β m

= (p 1

α 1 p 2

α 1 ... p m

α m) · (p 1

b 1 p 2

b 1 ... p m

b m) = a · b ■

56

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Бројевне базе

Могућност да представимо бројеве у позиционом систему дугујемо

теореми о остатку. Декадни бројевни систем заснован је на јединственом

приказивању бројева збиром производа цифара и степена броја 10 који у

овом случају представља базу (или основу) система. На пример,

7 203 = 7 ∙ 10 3 + 2 ∙ 10 2 + 0 ∙ 10 1 + 3 ∙ 10 0 .

Уместо броја 10, за базу бројевног система се може изабрати било који

други природан број већи од 1.

А

Једноставности ради

посматраћемо само

записе природних

бројева, иако се и остале

врсте бројева могу

записати у систему са

било којом базом.

Број:

База

b

b 2 b 1 b 0

Запис броја у датом

систему

b = 10 27 = 2 ∙ 10 1 + 7 ∙ 10 0

b = 9 30 = 3 ∙ 9 1 + 0 ∙ 9 0

b = 7 36 = 3 ∙ 7 1 + 6 ∙ 7 0

b = 5 102 = 1 ∙ 5 2 + 0 ∙ 5 1 + 2 ∙ 5 0

b = 4 123 = 1 ∙ 4 2 + 2 ∙ 4 1 + 3 ∙ 4 0

Репрезентацију природног броја n у бази b добијамо тако што прво одредимо

количник при дељењу броја n са b, а затим сваки добијени количник поново

делимо са b све док не добијемо количник једнак нули. До нуле морамо стићи, јер

у сваком кораку добијамо количник мањи од претходног.

n = q 0

b + r 0

, 0 ≤ r 0

< b,

q 0

= q 1

b + r 1

, 0 ≤ r 1

< b, q 1

< q 2

n = (q 1

b + r 1

)b + r 0

= q 1

b 2 + r 1

b + r 0

q 1

= q 2

b + r 2

, 0 ≤ r 2

< b, q 2

< q 1

n = (q 2

b + r 2

)b 2 + r 1

b + r 0

= q 2

b 3 + r 2

b 2 + r 1

b + r 0

q k – 1

= 0 · b + r k

, 1 ≤ r k

< b, 0 < q k – 1

n = r k

b k + ... + r 2

b 2 + r 1

b + r 0

Увођењем симбола за могуће остатке при дељењу са b, репрезентација броја n у

бази b јесте запис (r k

... r 2

r 1

r 0

) b

.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

57


2

2

1 57648 9

теорема о

бројевној бази

База Цифре

9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

6 0, 1, 2, 3, 4, 5

5 0, 1, 2, 3, 4

4 0, 1, 2, 3

3 0, 1, 2

2 0, 1

Нека је b > 1. Тада за сваки природан број a постоје јединствени природни

бројеви n, c 0

, c 1

, c 2

, ..., c n

такви да је

a = c n

b n + ... + c 2

b 2 + c 1

b + c 0

при чему је 0 ≤ c 0

, c 1

, c 2

, ..., c n – 1

< b и 1 ≤ c n

< b.

Уколико је 2 ≤ b ≤ 9 за записивање бројева у систему са основом b користимо

арапске цифре – наравно, само оне које означавају бројеве мање од b. Ако је

b > 10, онда се за цифре најчешће узимају почетна слова (колико треба) абецеде.

Тако, слова A, B, C, D, E, F као цифре редом одговарају бројевима 10, 11, 12, 13,

14, 15 декадног система.

Пример 1.

Записом (2 305) 7

представљен је број у систему са базом 7. Приказ овог броја у

декадном систему једноставно одређујемо рачуном који произлази из значења

самог записа: (2 305) 7

= 2 · 7 3 + 3 · 7 2 + 0 · 7 + 5 = 838.

Пример 2.

Прикажимо број 876 (записан у декадном систему) у системима за различит избор

базе b.

База

Поступак

превођења

b = 7 876 = 125 · 7 + 1

125 = 17 · 7 + 6

17 = 2 · 7 + 3

2 = 0 · 7 + 2

b = 8 876 = 109 · 8 + 4

109 = 13 · 8 + 5

13 = 1 · 8 + 5

1 = 0 · 8 + 1

b = 2 876 = 438 · 2 + 0

438 = 219 · 2 + 0

219 = 109 · 2 + 1

109 = 54 · 2 + 1

54 = 27 · 2 + 0

27 = 13 · 2 + 1

13 = 6 · 2 + 1

6 = 3 · 2 + 0

3 = 1 · 2 + 1

1 = 0 · 2 + 1

b = 16 876 = 54 · 16 + 12

54 = 3 · 16 + 6

3 = 0 · 16 + 3

Превод

876 = (2361) 7

Провера:

876 = 2 · 7 3 + 3 · 7 2 + 6 · 7 + 1

876 = (1554) 8

876 = (1101101100) 2

876 = (36C) 16


58

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Цели бројеви

Пример 3.

Показаћемо како се један стари задатак, забележен у 13. веку,

може једноставно решити погодним избором бројевне базе.

Треба изабрати 5 тегова тако да се помоћу њих може измерити

било који терет до 30 kg, под условом да се тегови постављају

само на један тас ваге. Одредимо масе тегова.

Да бисмо измерили неки терет, постављајући тегове само на један тас ваге, масу

терета треба представити у облику збира маса тегова које имамо, при чему се

сваки тег може узети највише једном. Ако су масе тегова које смо изабрали редом

једнаке m 1

, m 2

, m 3

, m 4

, m 5

, тада се терет масе M ≤ 30 може представити у облику

M = a 1

m 1

+ a 2

m 2

+ a 3

m 3

+ a 4

m 4

+ a 5

m 5

,

при чему су бројеви a 1

, a 2

, a 3

, a 4

, a 5

једнаки јединици или нули, у зависности од

тога да ли је одговарајући тег стављен на тас или није.

Очигледна је сличност са представљањем броја M у бројевном систему са

основом 2. Изаберимо зато тегове чије су масе:

m 1

= 1 kg, m 2

= 2 kg, m 3

= 4 kg, m 4

= 8 kg, m 5

= 16 kg.

Укупна маса свих тегова 1 kg + 2 kg + 4 kg + 8 kg + 16 kg = 31 kg, већа је од 30 kg.

Осим тога, сваки број M ≤ 31, може се представити у облику:

M = b 4

· 2 4 + b 3

· 2 3 + b 2

· 2 2 + b 1

· 2 + b 0

,

где је сваки од коефицијената b 4

, b 3

, b 2

, b 1

, b 0

јединица или нула.

На пример, којим теговима се може измерити терет од 22 kg? Напишимо број 22 у

систему са основом 2:

22 = 1 · 2 4 + 1 · 2 2 + 1 · 2 1 = (10110) 2

.

Дакле, терет масе 22 kg измерићемо користећи тегове од 16 kg, 4 kg и 2 kg.

1. Задатак

Познати музичар из удаљене галаксије гостовао је у једној телевизијској емисији

на Земљи. Описујући своје почетке музичар је рекао:

„Моје детињство и младост се не нису разликовали много од одрастања вас

земљана. У школу сам пошао у 20. години. Гитару сам почео да свирам у

101. години. Први пут сам јавно наступао убрзо након завршетка средње школе,

у 200. години.”

Очигледно је овај ванземаљски гост одлично научио говорни језик, али није

стигао да се упозна са земаљским бројевним системом. Зашто је његова прича

земљанима звучала чудно? Да ли се његово одрастање заиста може сматрати

сличним одрастању земљана?

Упутство. Постер ванземаљске музичке звезде приказан је на слици десно.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

59


2

2

1 57648 9

Задаци

Дељивост целих бројева

А

1. При дељењу неког броја са 52 добије се остатак 47. Колики ће бити остатак при

дељењу истог броја са 13?

2. Применом Еуклидовог алгоритма одреди највећи заједнички делилац бројева:

1) 528 и 468; 2) 4752 и 624; 3) 6787 и 7194.

3. Две жице дужине 288 m и 126 m треба исећи на што веће једнаке делове. Колика

је дужина сваког дела и колико таквих делова има у сваком комаду жице?

4. Да ли постоје цели бројеви m и n такви да је 119m – 91n = 911?

5. Одреди највећи природан број d такав да се при дељењу бројева 205 и 457 са d

добија остатак 1.

Прости бројеви

А

6. Растављањем на чиниоце одреди највећи заједнички делилац бројева:

1) 588 и 378; 2) 42, 56 и 72; 3) 8100 и 6750.

7. Одреди најмањи заједнички садржалац бројева:

1) 840 и 2 646; 2) 24, 42 и 15.

8. Одреди укупан број природних делилаца броја 6552.

Бројеви a и b су

узајамно прости ако је

НЗД(a, b) = 1.

9. Ако су a и b произвољни природни бројеви и ако је d = НЗД(a, b), докажи да су

бројеви a : d и b : d узајамно прости.

10. Одреди најмањи природан број који при дељењу са 3 даје остатак 2, при

дељењу са 4 даје остатак 3, а при дељењу са 6 даје остатак 5.

11. Одреди НЗС(x, y) ако је xy = 1 350, НЗД(x, y) = 15.

12. Одреди НЗД(x, y) ако је xy = 896, НЗС(x, y) = 128.

13. Одреди број a такав да је НЗС(a, 15) = 105 и НЗД(a, 15) = 5.

14. Одреди све парове бројева x и y такве да је НЗД(x, y) = 6, НЗС(x, y) = 36.

Бројевне базе

А

15. Преведи дате записе у декадне:

1) (10010) 2

; 2) (2101) 3

; 3) (2101) 5

; 4) (76) 8

; 5) (A0B) 16

.

16. Декадни запис 56 преведи у систем са базом:

1) 12; 2) 6; 3) 5; 4) 2.

17. Бројеве 365 и 2 019, записане у декадном систему, преведи у систем са базом:

1) 14; 2) 16; 3) 9.

60

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Скуп рационалних бројева (62)

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

А Разломци и периодични децимални записи; основне рачунске

операције са рационалним бројевима и особине; основне особине

поретка рационалних бројева (62)

Скуп реалних бројева (66)

А Ирационални бројеви; бројевна права; основне особине операција и

поретка на скупу реалних бројева (66)

Б Важне последице основних особина операција и поретка на скупу

реалних бројева (71)

Апсолутна вредност реалног броја (74)

А Појам апсолутне вредности (74)

Б Основне особине апсолутне вредности (75)

Приближне вредности реалних бројева (76)

А Правила заокругљивања; апсолутна и релативна грешка; операције са

приближним вредностима (76)

Степен чији је изложилац цео број (81)

А Степеновање целим бројевима; основне особине степеновања целим

бројем; децимални запис броја у стандардном облику (81)

2 = 1.41421356237

30950488016887242

09698078569671875

37694807317667973

79907324784621070

38850387534327641

57273501384623091

22970249248360558

50737212644121497

09993583141322266

59275055927557999

5050115278206057

14701095599716059

70274534596862014

72851741864088919

86095523292304843

08714321450839762

60362799525140798

9687253396546331

8088296406206152

5835239505474575

02877599617298355

75220337531857011

35437460340849884

71603868999706990

04815030544027790

31645424782306849

2936918621580578

4631115966687130

1301561856898723

7235288509264861

2494977154218334

2042856860601468

2472077143585487

4155657069677653

7202264854470158

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


јединица мере

A

десети део јединице мере

Скуп рационалних бројева

У скупу природних бројева N = {1, 2, 3, ...} немају увек решења једначине облика

a + x = b, са непознатом x при чему a,b N.

Увођењем нуле и негативних бројева –1, –2, –3... добијемо скуп целих бројева

Z = {...,–3,–2,–1,0,1,2,3,...}. Будући да је N Z, рачунске операције са целим

бројевима се уводе тако да природно проширују операције са природним

бројевима. У скупу целих бројева све једначине облика a + x = b, где су a и b било

који дати цели бројеви, имају решења по x. Међутим, једначине 2 · x = 1, 3 · x = –5,

–4 · x = 7 итд. немају решења у скупу Z. Овакве једначине имају решења у скупу

који добијамо проширењем скупа Z разломцима. То проширење се назива скуп

рационалних бројева и обележава се Q.

Q = {

p

q | p Z, q N }

Рачунске операције са рационалним бројевима се уводе тако да природно

проширују операције са целим бројевима.

Познато је да разломачка црта у одређеном смислу представља дељење и да се

сваки разломак може представити и у тзв. децималном запису.

стоти део јединице мере

319 : 44 = 7,25

–308

110

–88

220

–220

2,47

јединица мере

322 : 44 = 7,31818...

–308

140

–132

80

–44

360

–352

80

–44

360

–352

8

...

Децимални записи су посебно

погодни за изражавање

резултата мерења. У складу

са декадним бројевним

системом, приликом мерења

узимају се у обзир и

десети, стоти, хиљадити итд.

делови јединице мере.

милиона

сто хиљада

десет хиљада

хиљада

стотина

Анализирајмо познат поступак превођења разломка

p

, p Z, q N, у децимални запис.

q

При дељењу целих бројева са q могу се појавити остаци

0, 1, 2, ..., q – 1.

• Ако се у неком кораку поменутог поступка појави

остатак 0, онда се поступак дељења завршава и

добијамо коначан децимални запис.

• Ако се при дељењу никада не појави остатак 0,

онда се након извесног броја корака, и то највише

након q корака, мора поновити остатак који је

већ био добијен. Самим тим, у резултату дељења

доћи ће до понављања одређене групе цифара иза

децималне запете и добијамо бесконачан периодичан

децимални запис.

десетица

јединица

десетих

стотих

хиљадитих

цео део децимална запета децимале

319 : 44 = 7

–308

11

319

44 = 7 11

44 = 7,25

322 : 44 = 7

–308

14

322

44 = 7 14

44

= 7,3181818...

62

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реални бројеви

Бесконачан периодичан децимални запис иза децималне запете садржи

бесконачно много цифара, које нису све једнаке нули, и постоји цифра или

група цифара која се понавља почев од неког места. Уколико то место није

прво иза запете, цифра или група цифара која претходи првом појављивању

цифара периода назива се претпериод.

претпериод

7,318181818... = 7,3(18)

период

1.

Задатак

Одреди периодичан децимални запис количника:

а) 70 : 13; б) 1 : 7; в) 23 : 11.

Сваки периодичан децимални запис може се записати у облику разломка. У

наредном примеру описујемо поступак претварања периодичног децималног

записа у облик p q .

Пример 1.

Одредимо разломак чији је децимални запис 12,154545454...

Први корак. Дати број најпре множимо декадном јединицом која има онолико

нула колика је дужина претпериода. Ако запис нема претпериод онда одмах идемо

на наредни корак.

Други корак. Број добијен у претходном кораку или дати број, у случају да је

претходни корак прескочен, множимо декадном јединицом која има онолико нула

колика је дужина периода.

Када од броја добијеног у другом кораку одузмемо број из првог корака, односно

дати број ако првог корака није било, разлика је природан број. Користећи ову

чињеницу једноставно налазимо жељени разломак.

Бесконачне периодичне децималне записе негативних бројева преводимо у

облик p , p Z, q N, тако што запис без предзнака претворимо у разломак, а

q

затим испред тог разломка допишемо знак „–“. Према претходном примеру, важи

–12,154545454... = – 1 337

110 .

Треба имати на уму да се бесконачни децимални записи код којих се почев од

неког места иза запете појављује само цифра 9 могу представити и коначним

децималним записом. Једноставно се показује да је, на пример:

0,34999... = 0,34(9) = 0,35, 12,999... = 12,(9) = 13, итд.

x = 12,154545454...

Први корак.

10x = 121,545454...

Други корак.

100 · 10x = 1000x

= 12154,545454...

1000x – 10x = 12 033

x =

12 033

990

= 1 337

110

x = 0,99999999...

10x = 9,99999999...

10x – x = 9

9x = 9

x = 1

2.

Задатак

Периодичне децималне записе преведи у разломак:

a) 1,0(9); б) –1,(09); в) –0,1(2); г) –0,(12); д) –0,(12).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

63


3

2

1 57648 9

Операције са

рационалним

бројевима

Познавање поступака

израчунавања збира,

разлике, производа

и количника два

рационална броја

спада у елементарну

писменост.

Сабирање и множење су комутативне операције:

x + y = y + x и x · y = y · x, x, y Q.

Сабирање и множење су асоцијативне операције:

(x + y) + z = x + (y + z) и (x · y) · z = x · (y · z), x, y, z Q.

Неутрални елемент за сабирање је 0, а за множење 1:

x + 0 = x и x · 1 = x, x Q.

Инверзни елемент у односу на сабирање назива се и супротан број, а у односу

на множење реципрочан број:

x + (–x) = 0, x Q и x · 1 = 1, x Q \ {0}.

x

Множење је дистрибутивно према сабирању:

(x + y) · z = x · z + y · z, x, y, z Q.

4 7 ÷ 0 =

ERROR

На неким

калкулаторима након

покушаја дељења

нулом појављује

се само слово Е

(почето слово речи

ERROR – грешка) или

упозорење DIV BY

ZERO.

1 3 ÷ 6 =

2,1666666666667

3.

4.

5.

Задатак

Израчунај:

a) –2,75 – ( – 3 4 ) · 4 2 3 ; б) ( –7 + 1,2 · ( 2 1 3 – 1 1 2 )) : 0,75;

в)

6 : 3 4 – 1 1 6 · 6 7

4 1 5 · 10

11 + 5 2 ; г)

11

Задатак

3 + 0,42 : 0,1

( 1 : 0,3 – 2 1 3 ) · 0,25 .

Напомена. Подсећамо на договор да је множење приоритетније од сабирања.

Познавање особина рачунских операција може да олакша рачунање. Израчунај

напамет:

а) 0,01 · 1000; б) 0,01 : 0,001; в) 0,2 : 0,01;

г) 1,2 : 100; д) 1,2 · 0,01 ђ) 8,2 · 45 + 1,8 · 45;

е) (–10) · 2,6 · 0,1; ж) –10 – 0,1 : 0,01; з) 10,02 · 54 – 0,02 · 50.

За сложенија израчунавања користи се такозвани џепни рачунар, калкулатор или,

популарно, дигитрон. Данас постоји велики број различитих врста калулатора:

од најједноставнијих којима се изводе само поменуте четири операције, до

веома сложених са великим бројем операција. Важно је имати на уму да сваки

калкулатор може приказати само одређен (наравно, коначан) број децимала. При

томе, поједини калкулатори последњу цифру коју приказују мењају по правилима

заокругљивања бројева о којим ће бити речи на страни 77.

Задатак

Израчунај помоћу калкулатора:

а) 0,0012 · 3,06 + 12,57; б) 89,12 · 12 – 0,854;

в) 100,02 : 0,3 + 12,567; г) 3 · (71,7 – 32,06).

64

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реални бројеви

Пример 2.

Израчунајмо производ и количник бројева x = 0,121212... = 0,(12) и

y = 0,080808... = 0,(08).

Бесконачни децимални записи нису погодни за рачунање, па зато дате бројеве

преводимо у облик разломка:

x = 0,121212... = 0,(12)

100x = 12,121212...

99x = 12, x = 12

99

y = 0,080808... = 0,(08)

100y = 8,080808...

99y = 8, y = 8

99

Дакле,

x · y = 96

99 2 = 0,009794918885827976737067646... и x : y = 12 8 = 1,5.

Знамо да је децимални запис производа x · y периодичан, али је период

дугачак, па га зато не истичемо.

6. Задатак

Ако је x = 0,011111... = 0,0(1) и y = 0,010101... = 0,(01) одреди x : y.

Поредак рационалних бројева најочигледније се истиче на бројевној правој.

–2 –1 1 –1 – 2 – 1 0 1 2 1 1 1 2

2

2

3 3 3 3

Поредак рационалних бројева сагласан је са операцијама сабирања и множења у

смислу који одређују наредна два тврђења.

За свака три рационална броја x, y, z, из x ≤ y, следи x + z ≤ y + z. Због ове

особине, каже се да сабирање чува поредак.

Множење позитивним бројевима „чува“ поредак, тј. за свака три

рационална броја x, y, z, из x ≤ y и 0 ≤ z, следи да је x · z ≤ y · z. Због ове особине,

каже се да множење позитивним бројевима чува поредак.

Посебно издвајамо особину поретка међу рационалним бројевима, коју нема

поредак целих ни поредак природних бројева.

Поредак рационалних

бројева

За све x, y, z из Q:

x ≤ x,

из x ≤ y и y ≤ x следи

x = y,

из x ≤ y и y ≤ z следи

x ≤ z,

x ≤ y или y ≤ x.

y<

.( 1)

x

0

x < y

За свака два рационална броја x и y таква да је x < y постоји рационалан број

z, такав да је x < z < y. Штавише, између свака два различита рационална броја

постоји бесконачно много рационалних бројева.

b – a

2

b – a

2

Претходно тврђење је једноставна последица чињенице да се аритметичка

средина два различита броја налази између тих бројева: ако је x < y, онда је

x < x + y < y.

2

a a + b b

2

a ≤ a + b ≤ b

2

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

65


А

Скуп реалних бројева

Потребу за проширивањем скупа рационалних бројева новим бројевима

условљава поступак мерења. Наиме, рационални бројеви нису довољни да би

се њима могла изразити дужина сваке дужи. О томе ће више речи бити касније.

Овом приликом ћемо се задржати само на неким конкретним примерима који

потичу из геометрије, али ћемо их ми разматрати са алгебарског становишта.

Применом

Питагорине теореме

једноставно се

закључује да

позитивно решење

једначине x 2 = 2

представља дужину

дијагонале квадрата

странице 1.

Пример 1.

Покушајмо да одредимо (или, прецизније, да проценимо) позитиван децимални

број x такав да је x 2 = 2.

Није тешко закључити да решење дате једначине не може бити цео број и да је

1 < x < 2. Одредимо и неколико децимала броја x.

x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

x 2 1 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61 4

На основу табеле имамо да је 1,4 < x < 1,5. Да нисмо још увек успели да одредимо

x, тј. да x има још неодређених децимала, закључујемо из тога што квадрати оба

броја којима смо проценили x нису једнаки 2.

Наредну цифру (стотих делова) децималног развоја броја x можемо одредити

налажењем квадрата бројева: 1,41; 1,42; 1,43; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,48; 1,49; 1,5.

Следећа табела нам показује да је 1,41 < x < 1,42.

x 1,4 1,41 1,42 ...

x 2 1,96 1,9881 2,0164 ...

Настављајући овај поступак, добијаћемо све приближније вредности за x.

Поступак који је

спроведен у примеру 1.

илуструје суштину

поступка мерења

дужине (дијагонале

јединичног квадрата).

1,414 < x < 1,415 1,999396 < x 2 < 2,002225

1,4142 < x < 1,4143 1,99996164 < x 2 < 2,00024449

1,41421 < x < 1,41422 1,9999899241 < x 2 < 2,0000182084

1,414213 < x < 1,414214 1,999998409369 < x 2 < 2,000001237796

1,4142135 < x < 1,4142136 1,99999982358225 < x 2 < 2,00000010642496

Испоставља се да колико год да смо упорни, овај поступак не можемо довести до

краја. Ипак можемо одредити произвољно много децимала броја x.

Применом наведеног поступка не можемо утврдити да ли је децимални развој

броја x из претходног примера периодичан, јер чак и ако одредимо милионе

децимала, не знамо да ли ће цифре почети да се понављају касније. Наредна

теорема даје одговор на ове недоумице и каже да понављања цифара нема, тј. да

број x није периодичан децималан број, односно није рационалан број.

66

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реални бројеви

Не постоји рационалан број x такав да је x 2 = 2.

теорема

Доказ. Претпоставимо супротно од онога што теорема тврди, да постоји

рационалан број x такав да је x 2 = 2. Тада се x може приказати у облику x = m n , где

су m и n неки узајамно прости природни бројеви. Тада је

m

n

= m2

n = 2, односно, 2 m2 = 2n 2 .

Из последње једнакости следи да је m 2 паран број, а отуда и да је m паран број.

Дакле, m = 2k, за неки природан број k. Сада имамо да је

(2k) 2 = 4k 2 = 2n 2 , односно, n 2 = 2k 2 .

Из последње једнакости следи да је n 2 паран број што значи да је и n паран број.

Како су и m и n парни природни бројеви, они не могу бити узајамно прости што

је супротно нашој претпоставци. Добијена контрадикција обара претпоставку да

постоји рационалан број x такав да је x 2 = 2. ■

Пример 1. и претходна теорема указују на потребу да се скуп рационалних бројева

прошири бројевима који се могу представити бесконачним непериодичним

децималним записима. Овакве бројеве (и позитивне и негативне) називамо

ирационалним бројевима. Скуп свих ирационалних бројева обележавамо .

Пример 2.

Није тешко замислити децималне записе који нису периодични. На пример, запис

0,101001000100001000001000000100000001000000001 ...

у којем се дати низ децимала наставља тако што се након сваке јединице упише

једна нула више од броја нула испред ње, а иза јединице која јој претходи. Овакав

запис очигледно није периодичан те представља запис једног ирационалног броја.

Примети да је неопходно да запис прати текст којим се описује наставак низа

децимала.

Ако прост број p дели

a 2 (a ),

онда p дели и a.

1,41

4213

56237

309504

8801688

72420969

80785696718

7537694807317

6679737990732478462

.......................................

........................................

Пошто се децимални запис неког ирационалног броја не може никада „до краја”

приказати, прибегава се другима начинима означавања ових бројева.

Пример 3.

Ирационалан број x такав да је x 2 = 2 означавамо √2. Супротан број овом броју

је такође ирационалан и означавамо га –√2. Уопште, ако је m природан број

који није потпун квадрат, може се доказати да су решења једначине x 2 = m

ирационални бројеви. Oве бројеве означавамо √m и –√m.

Велики је број

једначина (са којима

ћемо се детаљније

упознати у наредним

разредима) које имају

само ирационална

решења. Примери

таквих једначина су:

x 3 = 2, x 5 = 4, x 17 = 11

итд.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

67


3

2

1 57648 9

Пример 4.

Наведимо још један важан пример ирационалног броја са

посебном ознаком.

Старогрчки математичар Архимед доказао је да је однос

обима и пречника било ког круга константан. Та константа је

чувени број π. У XVIII веку, швајцарски математичар Ламберт

је доказао да је π ирационалан број, те да је његов децимални

запис бесконачан и непериодичан. То даље значи да се

вредност броја π не може прецизно одредити. Иако је данас

познато преко милијарду децимала броја π

π = 3,1415926535 8979323846264338327950288 ...

бесконачно много децимала остаје непознато (и заувек ће

бити тако). Наравно, за практичне сврхе довољно је узети

само неколико децимала изa запете.

3,14

1592

65358

979323

8462643

3832795

02884197

16939937

510582097

49445923078

164062862089

986280348253421

170679821480865132

823066470938446095505822317

2535940812848111745028410270193852

=

=

Скуп свих рационалних и свих ирационалних бројева назива се скуп реалних

бројева и обележава се .


N Z Q R

Сваки реални број може се изразити децималним записом који је одређен целим

бројем и низом децимала који може бити коначан или бесконачан. Познато

је да рационалним бројевима одговарају периодични децимални записи.

Ирационалним бројевима одговарају бесконачни непериодични децимални

записи.

Децимални запис реалног броја може бити:

коначан

бесконачан

периодичан

непериодичан

Рационални бројеви

Ирационални бројеви

68

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реални бројеви

Све реалне бројеве можемо приказати на бројевној правој и тако да свака тачка

праве буде означена неким реалним бројем. Ова чињеница је од великог значајна

и за алгебру (посебно за разумевање појма реалног броја), али и за геометрију

(посебно за разумевање појма праве).

Бројевна права

Ако је p нека права на којој су изабране тачке O и J којима су придружени редом

бројеви 0 и 1, онда је свакој тачки ове праве придружен јединствен реалан број

који се назива координата те тачке. Координата тачке се записује у загради поред

слова којим је означена сама тачка.

p

C(–1,9) A(–√2) O(0) E(1/2) J(1) B(√2) D(2)

Сваком реалном броју

одговара тачно једна

тачка бројевне праве

(са изабраним тачкама

O(0) и J(1)) и обрнуто,

свакој тачки бројевне

праве одговара тачно

један реалан број.

О вези између скупа реалних бројева и скупа тачака праве говорићемо и касније

на почетку поглавља Сличност, пре свега у геометријском контексту.

Бројевна права може бити од велике користи за разумевање и интерпретацију

многих чињеница у вези са реалним бројевима, те ћемо је ми често у разним

контекстима користити.

Помоћу бројевне праве једноставно се стиче представа о поретку реалних бројева:

број a је мањи од броја b (a < b) уколико је тачка A(a) лево од тачке B(b).

Бројевну праву често користимо и за приказивање подскупова од R, посебно када

је реч о интервалима.

Ако је a < b, онда је

(a, b) = {x R | a < x < b},

[a, b] = {x R | a ≤ x ≤ b},

[a, b) = {x R | a ≤ x < b},

(a, b] = {x R | a < x ≤ b}.

Поред наведених ограничених интервала, значајни су и следећи

неограничени интервали. Ако је a произвољан реалан број, онда је

(a, + ∞) = {x R | a < x},

[a, + ∞) = {x R | a ≤ x},

(–∞, a) = {x R | x < a},

(–∞, a] = {x R | x ≤ a}.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

69


3

2

1 57648 9

Oсобине операција

са реалним

бројевима и поретка

међу њима

У овој књизи не можемо говорити о томе како се дефинишу основне операције са

реалним бројевима (које схватамо као бесконачне, периодичне и непериодичне,

децималне бројеве). За сада ћемо прихватити као чињеницу да се поменуте

операције могу коректно дефинисати тако да важе сва важна својства операција

која смо до сада користили.

Инверз броја у

односу на сабирање

је број супротан том

броју. Инверз броја

различитог од нуле у

односу на множење је

реципрочна вредност

тог броја. Уопште,

применом операције

на неки број и

његов инверз

добијамо неутрални

елемент те операције.

Ако је x ≠ 0,

инверзни елемент

елемента x у

односу на множење,

означава се и x –1 .

За произвољне реалне бројеве x, y, z важе следеће особине:

(К +) x + y = y + x [комутативност сабирања]

(А +) (x + y) + z = x + (y + z) [асоцијативност сабирања]

(Н +) x + 0 = x [0 је неутрал за сабирање]

(И +) x + (–x) = 0 [сваки број има инверз у односу на

сабирање]

(К ∙ ) x ∙ y = y ∙ x [комутативност множења]

(А ∙ ) (x ∙ y) ∙ z = x ∙ (y ∙ z) [асоцијативност множења]

(Н ∙ ) x ∙ 1 = x [1 је неутрал за множење]

(И ∙ ) ако је x ≠ 0, онда је x ∙ 1 x

= 1 [сваки број различит од нуле има

инверз у односу на множење]

(Д) x ∙ (y + z) = x ∙ y + x ∙ z [дистрибутивност множења према

сабирању]

(Р) x ≤ x [рефлексивност поретка]

(АС) ако је x ≤ y и y ≤ x, онда је x = y

[антисиметричност поретка]

(Т) ако је x ≤ y и y ≤ z, онда је x ≤ z [транзитивност поретка]

(Л) x ≤ y или y ≤ x [линеарност поретка]

(П +) ако је x ≤ y, онда је x + z ≤ y + z [сагласност поретка са сабирањем]

(П ∙ ) ако је x ≤ y и 0 ≤ z, онда је x ∙ z ≤ y ∙ z [сагласност поретка са множењем]

Поред наведених својстава, скуп реалних бројева карактерише и следећа особина

(позната као аксиома комплетности) коју ћемо овом приликом само навести, док

ћемо јој у наредним разредима посветити посебну пажњу.

аксиома комплетности

Ако је S непразан подскуп скупа реалних бројева такав да постоји реалан број

од кога су мањи сви елементи скупа S, онда постоји и најмањи реалан број s

такав да је x ≤ s за свако x S.

70

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б

Из наведеног списка својстава изводимо све важне особине реалних бројева које

се односе на основне операције и поредак. Као илустрацију, доказаћемо неколико

важних особина ослањајући се само на дати списак својстава.

Нека су x, y, z произвољни реални бројеви. Тада

1. x + z = y + z x = y,

2. –(–x) = x,

3. –(x + y) = (–x) + (–y).

Доказ.

(1) Претпоставимо да је x + z = y + z.

Треба да докажемо (ослањајући се само на дати списак својстава) да је x = y.

Из претпостављене једнакости следи и једнакост

(x + z) + (–z) = (y + z) + (–z).

Применом својства (А +), (И +) и (Н +) добијамо тражену једнакост.

(x + z) + (–z) = (y + z) + (–z)

x + (z + (–z)) = y + (z + (–z)) [применом (А +)]

x + 0 = y + 0 [применом (И +)]

x = y [применом (Н +)]

теорема

Тврђење под (1) је

познато под именом

закон канцелације

(скраћивања) за

сабирање.

Примети да због

(К + ) важи и

z + x = z + y x = y.

(2) Позивајући се на (И +), закључујемо да важе једнакости

x + (–x) = 0 и (–x) + (–(–x)) = 0.

На основу (К +) из друге једнакости добијамо да је (–(–x)) + (–x) = 0, што заједно са

x + (–x) = 0 даје

Бојом истичемо

(–(–x)) + (–x) = x + (–x).

примену закона

Применом тврђења доказаног под (1) добијамо да је –(–x) = x.

канцелације.

(3) Према (И +) имамо да је (x + y) + (–(x + y)) = 0. Применом (К +) и (А +)

добијамо и да је

(x + y) + ((–x) + (–y)) = (x + (–x)) + (y + (–y)) = 0 + 0 = 0.

Одавде и из претходне једнакости закључујемо да је

(x + y) + (–(x + y)) = (x + y) + ((–x) + (–y)),

па применом тврђења (К +) и тврђења под (1) добијамо да је –(x + y) = (–x) + (–y). ■

Приметимо да смо у доказу претходне теореме поред наведених својстава

користили и познате особине једнакости:

• ако је a = b, онда је и b = a;

• ако је a = b и b = c, онда је и a = c;

• ако је a = b и c = d, онда је и a + c = b + d.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

71


3

2

1 57648 9

теорема

Тврђење под (4) је

познато под именом

закон канцелације

(скраћивања) за

множење.

Због (К ∙ ) важи и

z ∙ x = z ∙ y x = y.

Нека су x, y, z произвољни реални бројеви и нека је z ≠ 0. Тада

4. x ∙ z = y ∙ z x = y,

5. 0 ∙ x = 0,

6. (–1) ∙ x = –x,

7. (–x) ∙ (–y) = x ∙ y.

Доказ.

(4) Ако је x ∙ z = y ∙ z, онда је и (x ∙ z) ∙ z –1 = (y ∙ z) ∙ z –1 . Из последње једнакости

применом (А ∙ ), (И ∙ ) и (Н ∙ ) добијамо тражену једнакост.

(5) Према (Н +) и (К +) имамо да је 0 + 0 ∙ x = 0 ∙ x. Применом (Д) и (Н +) добијамо

и 0 ∙ x + 0 ∙ x = (0 + 0) ∙ x = 0 ∙ x, па је

0 ∙ x + 0 ∙ x = 0 + 0 ∙ x,

одакле применом тврђења под (1) следи да је 0 ∙ x = 0.

(6) Из (И +) следи да је x + (–x) = 0, а како су према (Н ∙ ), (Д), (И +) и (5) тачне и

једнакости

x + (–1) ∙ x = 1 ∙ x + (–1) ∙ x = (1 + (–1)) ∙ x = 0 ∙ x = 0,

добијамо да је

x + (–1) ∙ x = x + (–x),

одакле применом тврђења (1) добијамо тражену једнакост.

(7) (–x) ∙ (–y) = ((–1) ∙ x) ∙ ((–1) ∙ y) [према (6)]

= ((–1) ∙ (–1)) ∙ (x ∙ y) [применом (А ∙ ) и (К ∙ ) више пута]

= (–(–1)) ∙ (x ∙ y) [према (6)]

= 1 ∙ (x ∙ y) [према (2)]

= x ∙ y [према (Н ∙ )] ■

теорема

Важна последица

тврђења (10) је да за

сваки реалан број x

важи неједнакост

x 2 ≥ 0.

Нека су x и y произвољни реални бројеви. Тада

8. x ≤ 0 0 ≤ –x,

9. x ≤ y –y ≤ –x,

10. x ≤ 0y ≤ 0 0 ≤ x ∙ y.

Доказ.

(8) Из x ≤ 0 применом (П +) имамо да је x + (–x) ≤ 0 + (–x), одакле применом

(И +) и (Н +) добијамо тражену неједнакост.

(9) Из x ≤ y применом (П +) следи да је

x + ((–x) + (–y)) ≤ y + ((–x) + (–y)),

одакле применом (А +), (К +), (И +) и (Н +) добијамо тражену неједнакост.

72

(10) Из x ≤ 0 и y ≤ 0 према (8) имамо да је 0 ≤ – x и 0 ≤ – y. Из последње две

неједнакости применом (П ∙ ) следи да је

0 ∙ (–y) ≤ (–x) ∙ (–y).

Из ове неједнакости применом тврђења (5) и (7) добијамо тражену неједнакост. ■

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реални бројеви

Скуп рационалних бројева је затворен за сабирање, одузимање, множење и

дељење, уз изузетак да дељење нулом није дефинисано:

• збир два рационална броја је рационалан број, тј. ако a, b Q, онда a + b Q,

• разлика два рационална броја је рационалан број, тј. ако a, b Q, онда a – b Q,

• производ два рационална броја је рационалан број, тј. ако a, b Q, онда

a ∙ b Q,

• количник два рационална броја је рационалан број, под условом да је делилац

различит од нуле, тј. ако a, b Q и b ≠ 0, онда a : b Q.

Скуп ирационалних бројева није затворен ни за једну од основних операција.

На пример, нека је d позитиван ирационалан број такав да је d 2 = 2. Тада је и –d

такође ирационалан број и следеће једнакости потврђују претходну тврдњу:

d + (–d) = 0, d – d = 0, d ∙ d = 2, d : d = 1.

Пример 5.

Докажимо да збир рационалног и ирационалног броја мора бити ирационалан

број.

Нека r Q и x I. Нека је r + x = y. Ако би број y био рационалан број, онда би

рационалан био и број x, као разлика два рационална броја, x = y – r. Дакле, y мора

бити ирационалан број.

1.

2.

3.

Задатак

Нека је r рационалан број различит од нуле, а x је ирационалан број. Докажи

ирационалност броја:

а) r – x; б) rx; в) r : x; г) x : r.

Задатак

Докажи да је a ирационалан број, ако је:

а) a = √3 + 5; б) a = 1 – √2; в) a = 2√3; г) a =

Задатак

1

√3 – 2 .

Докажи да је број

1 + √2 ирационалан.

4.

Задатак

Ако су a и b ирационални бројеви, а a + b рационалан, докажи да су бројеви a – b

и a + 2b ирационални.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

73


2 57648

А

Често се среће и

следећи запис:

x, ако је 0 < x,

|x| = 0, ако је x = 0,

–x, ако је x < 0.

Апсолутна вредност реалног броја

Апсолутна вредност реалног броја x означава се |x| и притом је

|x| =

x, ако је x ≥ 0,

–x, ако је x < 0.

Овај запис схватамо на следећи начин: ако је x ≥ 0, онда је |x| = x, а ако је x < 0,

онда је |x| = –x. Издвајамо две непосредне последице дефиниције апсолутне

вредности.

теорема

За сваки реалан број x важи:

1. |x| ≥ 0,

2. |–x| = |x|.

Пример 1.

Одредимо скуп свих реалних бројева x таквих да је

|x – 1,4| ≤ 0,6.

Није тешко приметити да се дата неједнакост „раздваја” на две неједнакости у

којима се апсолутна вредност не појављује:

–0,6 ≤ x – 1,4 и x – 1,4 ≤ 0,6.

Познатим трансформацијама ових неједнакости добијамо да је

1,4 – 0,6 ≤ x и x ≤ 1,4 + 0,6,

односно

0,8 ≤ x ≤ 2.

Прикажимо на бројевној правој добијени резултат.

Слово грчког

алфабета ε назива се

епсилон.

На датој бројевној правој једноставно се уочава геометријска интерпретација

решења дате неједначине.

Уопштимо запажања до којих смо дошли у претходном примеру.

Нека је a произвољан реалан број и ε произвољан позитиван број.

1. Скуп свих реалних бројева x таквих да је |x – a| ≤ ε представља затворени

интервал [a – ε, a + ε].

2. Скуп свих реалних бројева x таквих да је |x – a| < ε представља отворени

интервал (a – ε, a + ε).

74

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б

За све реалне бројеве x и y важи:

1. x ≤ |x| и –x ≤ |x|,

2. x ≤ y –x ≤ y |x| ≤ y

3. |x ∙ y| = |x| ∙ |y|,

4. x y = |x| , под условом да је y ≠ 0,

|y|

5. |x + y| ≤ |x| + |y|,

6. ||x|– |y|| ≤ |x – y| ≤ |x| + |y|.

Доказ.

(1) Докажимо најпре да је x ≤ |x|.

1. случај. Претпоставимо да је x ≥ 0. Тада је |x| = x, па је x ≤ |x|.

2. случај. Нека је x < 0. Тада је |x| = –x > 0, па је x < |x|.

теорема

При раду са

апсолутним

вредностима

углавном је неопходно

разликовати

случајеве у складу са

дефиницијом.

Неједнакост –x ≤ |x| следи из управо доказане неједнакости и једнакости из

теореме са претходне стране: –x ≤ |–x| = |x|.

(2) следи из дефиниције апсолутне вредности.

Доказе тврђења под (3) и (4) остављамо као задатак.

(5)

1. случај. Ако је x + y ≥ 0, тада је |x + y| = x + y. Према првој неједнакости под (1)

имамо да је x ≤ |x| и y ≤ |y|, одакле следи и да је x + y ≤ |x| + |y|, па је и |x + y| ≤ |x| +

|y|.

2. случај. Ако је x + y < 0, тада је |x + y| = –(x + y) = (–x) + (–y). Применом друге

неједнакости под (1), слично као у претходном случају, доказујемо тражену

неједнакост.

(6) Докажимо најпре неједнакост ||x| – |y|| ≤ |x – y|. Према неједнакости под (5)

имамо да је

|x| = |(x – y) + y| ≤ |x – y| + |y|,

као и

|y| = |(y – x) + x| ≤ |y – x| + |x|.

Из прве неједнакости добијамо да је |x| – |y| ≤ |x – y|, а из друге |y| – |x| ≤ |y – x|. Како

је |x – y| = |y – x|, према теореми са претходне стране закључујемо да је

||x| – |y|| ≤ |x – y|.

Доказ неједнакости |x – y| ≤ |x| + |y| се добија једноставном применом тврђења под

(5):

|x – y| = |x + (–y)| ≤ |x| + |–y| = |x| + |y|. ■

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

75


А

Приближне вредности реалних бројева

Пример 1.

Ако је потребно да 1 килограм брашна поделимо на три дела, или да премеримо

дијагоналу екрана квадратног облика странице 0,5 m, свакако нећемо узимати у

обзир све децимале које нам једноставан рачун даје: трећина килограма je једнака

0,3333333333333333333333 ... kg,

док је дијагонала поменутог екрана једнака

√2

m = 0,7071067811865475244 ... m.

2

Какве год да су наше потребе, узећемо у обзир само првих неколико децимала

иза запете, док ћемо остале занемарити. У пракси се често задржавају само оне

децимале на које је осетљив мерни инструмент којим располажемо. На пример,

ако поседујемо вагу такву да је 1 грам најмања маса коју она може да измери,

онда ћемо за трећину килограма узети број 0,333. Слично томе, ако је наш метар

подељен на милиметре, сматраћемо да је дужина дијагонале екрана 0,707 m.

Замена тачних вредности приближним вредностима уобичајен је поступак

приликом практичних израчунавања.

Пример 2.

Дати су бројеви 1,21; 1,28; 1,425; 1,555; 1,65.

За сваки од датих бројева x одредимо најближи број x' такав да су све његове

цифре десно од запете, почев од цифре стотих, једнаке нули. Тражене бројеве

„читамо” директно са бројевне праве.

x 1,21 1,28 1,425 1,555 1,65

x' 1,2 1,3 1,4 1,6 1,6 и 1,7

Поступак који смо управо спровели назива се и заокругљивање бројева на једну

децималу. Примећујете да није реч о простом одбацивању „нежељених” цифара.

Приликом заокругљивања бројева настојимо да тачну вредност броја x заменимо

траженом приближном вредношћу x' тако да се ове вредности што мање

разликују.

1. Задатак

Дати су бројеви 1,234; 1,456; 4,009; 3,677 и 4,885.

За сваки од датих бројева одреди најближи број такав да су све његове цифре

десно од запете, почев од цифре хиљадитих, једнаке нули.

76

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реални бројеви

На идеји коју смо изложили у претходном примеру базирана су општа правила

заокругљивања бројева на дати број децимала. Примети да, за разлику од прва

три правила која су директне последице принципа по коме бирамо „најближи

број са жељеним бројем децимала”, четврто правило је ствар договора, будући да

у случајевима када се ово правило примењује можемо изабрати две приближне

вредности које су у складу са поменутим принципом.

ПРАВИЛА

1. Ако је прва цифра коју одбацујемо 0, 1, 2, 3 или 4, цифре

испред ње остају непромењене.

2. Ако је прва цифра коју одбацујемо 6, 7, 8 или 9,

последња цифра коју задржавамо повећава се за 1

(уз напомену да у случају да је последња цифра

коју задржавамо 9, онда се уместо ње пише 0, а

претпоследња остављена цифра се повећава за 1 итд.).

3. Ако је прва цифра коју одбацујемо 5 и иза ње има још

цифара, онда се последња цифра коју задржавамо

увећава за 1 уз исту напомену као у претходном

правилу.

4. Ако је прва цифра коју одбацујемо 5 и иза ње нема

других цифара, онда:

• последња цифра коју задржавамо остаје непромењена

уколико је парна, односно

• последњу цифру коју задржавамо увећавамо за 1

уколико је она непарна.

ПРИМЕРИ

заокругљивања на

две децимале

3,6731 ≈ 3,67

296,01279 ≈ 296,01

1,98499 ≈ 1,98

2,1666 ≈ 2,17

72,358 ≈ 72,36

12,498 ≈ 12,50

8,815001 ≈ 8,82

13,59567 ≈ 13,60

5,5555 ≈ 5,56

14,625 ≈ 14,62

14,635 ≈ 14,64

Замена броја x

неком приближном

вредношћу x' означава

се x ≈ x'.

Пример 3.

Нека су дати бројеви a = 10,456 и b = 54,346. Производ ова два броја је

a ∙ b = 568,199952 ≈ 568,20 (заокругљено на две децимале). Ако бројеве a и b

најпре заокруглимо на две децимале, a ≈ a' = 10,46 и b ≈ b' = 54,35 па их након тога

помножимо, добијамо

a' ∙ b' = 568,501 ≈ 568,50 (заокругљено на две децимале).

Овај једноставни рачун показује да грешка приликом рачунања са приближним

бројевима може да се повећава. Читава област математике бави се проблемима

на које наилазимо приликом рачунања са приближним вредностима. Ми ћемо у

наставку приказати само неке основне појмове и методе.

2. Задатак

Број 8,48251 заокругли на:

а) четири децимале; б) три децимале; в) две децимале; г) једну децималу.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

77


3

2

1 57648 9

дефиниција

Апсолутна вредност разлике између броја x и његове приближне вредности x',

тј. број |x – x'| назива се апсолутна грешка приближног броја x'.

Означавамо је Δ(x') (читај: „делта од икс прим”).

Пример 4.

Одредимо апсолутне грешке приближних бројева из примера 2.

x 1,21 1,28 1,425 1,555 1,65

x' 1,2 1,3 1,4 1,6 1,6 и 1,7

Δ(x') 0,01 0,02 0,025 0,045 0,05

Приметите да апсолутна грешка приближног броја добијеног заокругљивањем на

једну децималу никад није већа од 0,05 = 1 2 ∙ 1 10 .

теорема

Апсолутна грешка приближног броја добијеног заокругљивањем на n

децимала није већа од 1 2 ∙ 1 = 0, 0 ... 0 5.

n

10

n пута

Пример 5.

Претходним тврђењем одређен је број од кога не могу бити веће апсолутне грешке

приликом закругљивања бројева на n децимала. Међутим, заокругљивање бројева

је само један од поступака којим добијамо приближне вредности.

78

Приликом било каквог мерења одговарајући мерни инструмент нам показује само

приближне вредности мера (при чему нам тачне вредности остају непознате).

Ипак, за сваки инструмент је позната такозвана граница апсолутне грешке,

односно, број од кога сигурно нису веће апсолутне грешке добијених приближних

вредности. На пример, ако су на лењиру најситнији подеоци дужине 1 mm,

приликом мерења оваквим лењиром нећемо направити грешку већу од једног

милиметра, што је уједно и граница апсолутне грешке мерења. Тако, ако смо

овим лењиром измерили да је дужина неке дужи 72 mm и желимо да саопштимо

резултат што прецизније, рећи ћемо да је дужина дужи „72 mm плус минус 1 mm”

и писаћемо 72 ± 1 mm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реални бројеви

Број од кога нису веће апсолутне грешке приближних бројева добијених

одређеним поступком назива се граница апсолутне грешке за такве

приближне бројеве.

дефиниција

У претходном примеру смо истакли да нам мерни инструменти дају само

приближне вредности x' стварних мера x које су нам непознате, при чему нам је

позната (или се може одредити) горња граница апсолутне грешке мерења –

означимо је Δ. Примећујете да је у оваквим околностима непозната и сама

апсолутна грешка и да је једино што знамо о броју x неједнакост

|x – x'| ≤ Δ,

односно да је (види страну 74) x' – Δ ≤ x ≤ x' + Δ.

Последње две неједнакости често се записују и у следећем облику

x = x' ± Δ,

при чему се каже да је број x апроксимиран бројем x' са тачношћу Δ.

Апроксимација

је реч латинског

порекла и значи

приближна вредност.

Апроксимирати значи

приближно одредити.

Пример 6.

Особа А је мерила висину зграде и саопштила следећи резултат мерења:

20 ± 0,5 m.

Особа Б је мерила висину собе и дала следећи резултат:

2,5 ± 0,5 m.

Испоставило се да су обе изјаве тачне. Ипак, прво мерење сматрамо прецизнијим

без обзира на то што су границе апсолутне грешке у оба случаја исте. Наиме, у

првом случају измерена је већа дужина са истом тачношћу као у другом случају

када је мерена мања дужина. Зато је корисно, као показатељ тачности мерења,

посматрати такозвану границу релативне грешке приближног броја. Границa

релативнe грешке првог мерења је 0,5

20

грешке другог мерења која износи 0,5

2,5 = 0,2.

= 0,025, што је мање од границе релативне

Ако је приближан број x' добијен са тачношћу Δ (која представља заправо

границу апсолутне грешке одговарајућег мерења), онда је релативна грешка

приближног броја x' једнака

δ x'

= Δ x' .

дефиниција

3. Задатак

Резултати мерења масе два предмета су: 240 ± 12 kg и 250 ± 5 kg. Које мерење је

прецизније? Одреди релативне грешке оба мерења.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

79


3

2

1 57648 9

На крају, укратко ћемо описати један једноставан поступак за рачунање са

приближним бројевима при чему су познате границе апсолутних грешака.

Ако је x = x' ± Δ 1

, тада знамо да је x' – Δ 1

≤ x ≤ x' + Δ 1

, односно знамо најмању могућу

и највећу могућу вредност за x. Нека је

m x

= x' – Δ 1

и M x

= x' + Δ 1

.

Слично, ако је y = y' ± Δ 2

, нека је m y

= y' – Δ 2

и M y

= y' + Δ 2

. У наредној табели дата је

најмања и највећа могућа вредност збира, разлике, производа и количника бројева

x и y.

Пример 7.

Израчунајмо приближну вредност израза I = xy + 2y – x ако је x = 2,1 ± 0,01,

y = 3,4 ± 0,02 и z = 0,5 ± 0,01.

z + 1

Израчунавање обављамо помоћу табеле која је налик претходној.

најмања могућа вредност највећа могућа вредност

x 2,09 2,11

y 3,38 3,42

z 0,49 0,51

xy 7,0642 7,2162

2y 6,76 6,84

2y – x 4,65 4,75

z + 1 1,49 1,51

2y – x

z + 1

3,07947 3,18792

I 10,14367 10,40412

Дакле, I апроксимирамо бројем

10,40412 – 10,14367

2

I најмања могућа вредност највећа могућа вредност

x + y m x + y

= m x

+ m y

M x + y

= M x

+ M y

x – y m x – y

= m x

– M y

M x – y

= M x

– m y

x ∙ y m x ∙ y

= m x

∙ m y

M x ∙ y

= M x

∙ M y

x/y m x/y

= m x

/M y

M x/y

= M x

/m y

У било ком од наведених случајева, вредност I апроксимирамо аритметичком

средином најмање могуће и највеће могуће вредности са тачношћу која је једнака

половини дужине интервала одређеног овим крајњим вредностима.

I = m I

+ M I

2

± M I

– m I

.

2

10,14367 + 10,40412

= 10,273895, са тачношћу

2

= 0,130225 < 0,14.

80

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Степен чији је изложилац цео број

А

Степен реалног броја a природним бројем n (тј. n-ти степен броја a) јесте

производ n чинилаца који су сви једнаки броју a.

a n = a · a · ... · a

n пута

Ако су a и b неки реални бројеви, а n неки природан број, онда је:

1) (ab) n = a n · b n ,

n n

⎛a

a

2) ⎜ ⎞ n

⎝b

⎠ ⎟ = , уколико је b ≠ 0.

b

Прва од ове две једнакости јесте директна последица комутативности и

асоцијативности множења.

(ab) n = ab · ab · ... · ab = a · a · ... · a · b · b · ... · b = a n · b n

n пута n пута n пута

Друга једнакост такође се једноставно проверава.

n

⎛a

a a a a a a a

⎜ ⎞ ⎝b

⎠ ⎟ = ⋅ ⋅

b b

... ⋅ = ⋅⋅ ... ⋅

b bb ⋅⋅...

⋅ b

= b

n пута

теорема

n пута

n

n

n пута

теорема

m пута m пута m · n пута

n пута

теорема

n

1

=

m m − n .

Ако је a реалан број, а m и n природни бројеви, онда је

a m · a n = a m + n и (a m ) n = a m · n .

Претходне две једнакости познате су још из основне школе.

a m · a n = a · ... · a · a · ... · a = a · ... · a = a m + n (a m ) n = a · ... · a · ... · a · ... · a = a · ... · a = a m · n

m пута n пута m + n пута

Ако је a реалан број различит од нуле, а m и n природни бројеви такви да је

m > n, онда је

m

a m n

= a

− и a n

a

a a

Ово једноставно доказујемо применом прве једнакости из претходне теореме.

m n+ ( m−n)

n m n

a a a a

m n

= = ⋅ −

n

n

n

− a a a 1

= a = = =

n

n

n

m n+ ( m−n)

n m n m n

a a a

a a a ⋅

− −

a a

Специјално, степен

a 2 назива се квадрат

броја a, a степен a 3 куб

броја a. Ови називи

потичу од добро

познатих формула

за израчунавање

површине квадрата,

односно запремине

коцке.

1. Задатак

Дате изразе прикажи као степене броја a неким природним бројем.

а) a 12

3

a

; б) a 5 a 11


; в) ( a 3 ) 4

; г) (a 2 ) 3 · (a 3 ) 4 .

12

3 4

a a a

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

81


3

2

1 57648 9

Степеновање

негативним бројем

Наредну дефиницију оправдавају једнакости из последње теореме, као и чињеница

да је a a

m

m

1, за сваки реалан број a различит од нуле и сваки природан број m.

дефиниција

За сваки реaлан број a различит од нуле, a 0 = 1.

Сличним разлозима оправдано је и степеновање негативним бројевима.

Размишљамо на следећи начин: ако је a ≠ 0 и m N, онда би требало да буде

0 0

a –m = a 0-m = a 0

1

.

m m

a a

дефиниција

1

За сваки реaлан број a различит од нуле и сваки природан број m, a –m =

a . m

Претходним дефиницијама увели смо степен броја a (a ≠ 0) било којим целим

бројем.

0 –1 ... a 3 = a · a · a, a 2 = a · a, a 1 = a, a 0 −1 1 −2

1 −3

1

= 1, a = , a = , a = , ...

2

3

a a a

теорема

За сваки број a ≠ 0 и сваки цео број m важе једнакости: a m =

1

a и - m a–m =

1

a m .

Aко је a реалан број

различит од нуле, онда

је његова реципрочнa

вредност (тј. његов

инверзни елемент у

односу на множење)

jeднак a –1 .

82

Реципрочна вредност

степена a m (a ≠ 0,

m Z) jeсте

степен a –m .

2. Задатак

3

⎛1

Израчунај 3 –2 , 1 –4 , ⎜ ⎞ −

⎝2⎠ ⎟ , (0,1) –4 , 10 –4 , (–2) –2 , (–3) –3 , (–1) –4 , (–1) –5 .

Пример 1.

Нека је a ≠ 0. Проверимо на конкретним примерима да ли особине степеновања

природним бројевима, наведене у другој теореми на претходној страни, важе и за

степеновање целим бројевима.

Прво проверавамо једнакост a m · a n = a m + n , за неке целе бројеве m и n.

a –3 · a 2 = 1 2

1

3

2

1 3 2

3

3

a a a

⋅ = = = a

− (

= a

− ) + , a 3 · a –2 3 1 a 1 3 2

= a ⋅ = = a = a

+− ( )

a a

a

2 2

a

a –3 · a –2 = 1 1 1 1 1 −5 ( − 3) +− ( 2)

⋅ = = = = a = a

3 2 3 2 3 2 5

a a a ⋅

+

a a a

Уочавамо да једнакост важи у свим размотреним случајевима.

Проверимо и једнакост (a m ) n = a m · n , за неке целе бројеве m и n.

2

− 3 2

− 6 ( − 3)

⋅ 2

( a )

= ⎛ a a

⎝ ⎜ 1 ⎞ a ⎠ ⎟ 1 1

= = = =

3

3 2 6

( a ) a

−2

, ( a )

− −

( a ) = ⎛ a a

⎝ ⎜ ⎞ 3 2 1

a ⎠ ⎟ 1 1 1

=


⎝ ⎜ ⎞ = = = =

3

2

1 1 1

3

a ⎠ ⎟ 3 2 6

( a ) a

Видимо да одговарајуће једнакости важе.

1 1

= = = a = a

3 2 6

( a ) a

3 −2

−6 3⋅−

( 2)

6 ( −3) ⋅− ( 2)

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реални бројеви

Претходни пример нас наводи на помисао да основна својства степеновања

природним бројевима, наведена у другој теореми на страни 30, важе и за

степеновање целим бројевима. То потврђујe доказ нареднe теореме.

Ако је a реалан број различит од нуле, а m и n цели бројеви, онда је:

1) a m · a n = a m + n ;

2) (a m ) n = a m · n .

теорема

Доказ. Обе једнакости доказујемо разликујући случајеве према томе да ли су m и

n оба негативни бројеви, један позитиван а један негативан, или је један од ових

бројева нула. При томе, степене са негативним изложиоцима сводимо на степене

са позитивним изложиоцима и користимо одговарајуће једнакости са стране 81.

Наводимо прво доказ једнакости под 1).

1. случај: m < 0, n < 0. Тада је –m > 0 и –n > 0, па је

m n 1 1 1 1 1 m+

n

a ⋅ a = ⋅ = = = = a .

−m −n −m n m n m n

a a a ⋅

− − +− ( ) − ( + )

a a a

2. случај: m < 0, n > 0 или m > 0, n < 0. Претпоставимо да је m < 0, n > 0. Тада је

–m > 0, па је

n

m n 1 n a

a ⋅ a = ⋅ a = .

−m

−m

a a

Ако је n > –m, онда је према трећој теореми са стране 81

n

a n−− ( m)

n+

m

= a = a .

−m

a

Ако је n < –m, онда је према истој теореми

n

a 1 1 m+

n

= = = a .

−m −m−n − ( m+

n) a a a

Ако је n = –m, онда је

m

a m · a n = a m · a –m = a m

a

= 1 = a0 = a m-m = a m + (–m) = a m + n .

Потпуно аналогно изводи се доказ под претпоставком да је m > 0, n < 0.

3. случај: m = 0 или n = 0. Претпоставимо да је m = 0. Тада је

a 0 · a n = 1 · a n = a n . Такође, имамо да је a 0 + n = a n , па је тражена једнакост у овом

случају доказана.

Потпуно аналогно изводи се доказ под претпоставком да је n = 0.

Доказ једнакости под 2) наводимо само у случају да је m < 0, n < 0. Остале

случајеве остављамо за вежбу.

Ако је m < 0 и n < 0, онда је –m > 0 и –n > 0, па је

n

m n

( a ) = ⎛ m

n

⎝ ⎜ 1 ⎞ 1 1 1 1

⎟ = = = =



a ⎠ ⎛

m n ( m) ( n)

m

⎝ ⎜

1 ⎞ 1 1 1

− ⎟ − − − ⋅− ⋅

a ⎠ ( a ) a a

m n

m⋅n

= a . ■

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

83


3

2

1 57648 9

Истичемо да се количници степена исте основе (са целобројним изложиоцима)

m

своде на производе степена: a n

a

= am · a –n , па тиме једнакости из треће теореме са

стране 81 постају специјални случајеви једнакости a m · a n = a m + n :

m

a

n

a

= am · a –n = a m + (–n) = a m-n .

3. Задатак

Ако је a ≠ 0, израз прикажи као степен броја a неким целим бројем:

а) a 2

3 a

; б) a ♥2 a

♥1

♥1

⋅ ⎛ 2

a ⎞

; в)

2


−2

⎟ ; г) (a –2 ) 2 · (a 3 ) –3 .

a ⎝a


теорема

Ако су a и b реални бројеви различити од нуле и n било који цео број, онда је:

1) (ab) n = a n · b n ,

n n

⎛a

a

2) ⎜ ⎞ n

⎝b

⎠ ⎟ = .

b

Доказ. Једнакости под 1) и 2) тачне су ако је n природан број. Такође, једнакости

очигледно важе ако је n = 0. Остаје да проверимо да ли оне важе ако је n негативан

цео број. У том случају је –n > 0, па се докази своде на примену дефиниције

степена негативним бројем и одговарајућих особина степеновања природним

бројем.

n 1 1 1 1 n n

1) ( ab)

= = = ⋅ = a ⋅b

.

−n −n −n −n −n

( ab)

a b a b

1

n n n

a b b n

n


2)

b a

⎜ ⎞ n

n

⎝b

⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ − −

a ⎠ ⎟ = = = . ■


a 1 b

n

a

Записивање великих и

малих бројева

4. Задатак

Ако је a ≠ 0 и b ≠ 0, трансформиши следећи израз у облик a p b q , p, q Z:

♥1

⎛ ♥3

a ⎞

ab

a) ⎜

♥2

⎟ ; б)

⎝b

⎠ ( a 2 4 3 b )

; в) ( ab 3 1 ) 2

.

3 2

ab

При описивању реалности често се сусрећемо са веома великим бројевима или

пак веома малим. Приликом записивања оваквих бројева погодно је користити

степене броја 10 (основе бројевног система који користимо).

Пример 2.

Много је прегледније масу Сунца изразити у облику 1,9891 · 10 30 kg, него у облику

1989100000000000000000000000000kg.

Претварање једног записа у други илустровано је у наредној једнакости.

84

1989100000000000000000000000000 = 1,9891 ·

30 29 28 2726252423222120191817161514131211 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

30


Реални бројеви

Слично томе, масу електрона нећемо изразити у облику

0,000000000000000000000000000000910938 kg,

већ у облику 9,10938 · 10 –31 kg.

31

0,000000000000000000000000000000910938 = 9,10938 ·

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141516171819 2021222324 25 2627 28 29 30 31

У оба случаја масе смо изразили у облику a · 10 n , при чему је 1a < 10 и n Z.

Записи облика

a · 10 n , 1a < 10 и

n Z, називају се

стандардни записи

(али и научни записи)

бројева.

Сваки позитиван реалан број може да се запише у облику a · 10 n , где је

1a < 10 и n Z.

5. Задатак

Запиши следеће важне константе у облику a · 10 n , 1a < 10 и n Z.

а) Aвогадров број 602214000000000000000000 1

mol ;

б) гравитациона константа γ = 0,00000000006673 Nm 2

.

2

kg

Напомена.

а) Мол (симбол: mol) је једна од седам СИ основних јединица. Мол је количина

супстанце која садржи онолико честица (атома, молекула, јона итд.) колико има

атома у тачно 12 грама угљениковог изотопа C12. Број ових атома назива се

Авогадров број.

б) Гравитациона константа је једна од природних константи која се појављује

у Њутновом закону гравитације. Њутнов закон гравитације тврди да се два

масивна тела привлаче силом која је сразмерна њиховим масама, а обрнуто

сразмерна квадрату њиховог међусобног растојања. Коефицијент сразмерности

је гравитациона константа.

На нивоу опште

културе, познавање

важних константи

које се односе на

реални свет и које су

дате у облику a · 10 n

подразумева да се зна

вредност изложиоца

n (такозвани ред

величине константе)

и приближна

вредност броја a.

Пример 3.

Поред тога што је стандардни запис краћи, једноставније је и рачунати са овако

записаним бројевима.

Нека је a = 0,00000000238 и b = 112000000000. Одредимо производ a · b и количник

ab. Ако најпре приметимо да је

0,00000000238

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2,38 10 9 и 112000000000

једноставно добијамо

a · b = 2,38 · 10 –9 · 1,12 · 10 11 = 2,38 · 1,12 · 10 11-9

= 2,6656 · 10 2 = 266,56

и

♥9

a

b = 23810 , ⋅ 238 , ♥9−11 ♥20

= ⋅ 10 = 2,

125⋅10

.

11

11210 , ⋅ 112 ,

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

11

1,12 10 ,

6. Задатак

Израчунај: а) 0,00010,001; б) 0,00001 · 10 000.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

85


3

2

1 57648 9

7

7 8 9 +

4 5 6 −

1 2 3 ×

0 , ± ÷

7

=

7 8 9 +

4 5 6 −

1 2 3 ×

0 , ± ÷

7

=

7 8 9 +

4 5 6 −

1 2 3 ×

0 , ± ÷

7

±

, 8 X y 4 =

3701,5056

7 8 9 +

4 5 6 −

1 2 3 ×

0 , ± ÷

X y

C

=

, 8 X y 4 ±

0,00027016

X y

C

=

, 8 X y 5 6

9,063537807 49

X y

C

=

, 8 X y 1 1

=

1,538010748 –10

X y

C

=

7. Задатак

а) Маса Сунца је 1,9891 · 10 30 kg, а маса Земље 5,9736 · 10 24 kg. Колико пута је маса

Сунца већа од масе Земље?

б) Маса електрона је 9,10938 · 10 –31 kg, а маса протона 1,67262 · 10 –27 kg.

Колико пута је маса протона већа од масе електрона?

Пример 4.

На калкулатору тастер x y нам омогућава да израчунамо вредности степена

чији су изложиоци цели бројеви. Ако желимо да израчунамо 7,8 4 , најпре уносимо

основу 7,8, а након тога притиснемо тастер x y и уносимо изложилац 4.

Притиском на знак једнакости на екрану ће бити приказана вредност датог

степена 3701,5056.

На исти начин рачунамо вредност степена чији је изложилац негативан број (види

другу слику на маргини).

Сваки калкулатор на екрану може приказати само одређени (фиксиран) број

цифара (најчешће десет цифара, мада има и оних који приказују више). Ако

желимо да израчунамо 7,8 56 , морамо имати на уму да ће запис резултата имати

велики број цифара и да највероватније калкулатор на свом екрану неће моћи да

испише све цифре.

На захтев да израчунају 7,8 56 неки калкулатори ће одговорити словом E (error),

што значи да не могу да обаве задато израчунавање. Бољи калкулатори ће

дати резултат у облику a · 10 n , 1a < 10, n Z. При томе, овакав запис се

на различитим калкулаторима приказује на различите начине. Резултат

израчунавања 7,8 56 може бити приказан на један од следећих начина:

7,8 56 9,0635378068513013947874255450474e + 49,

7,8 56 9,063537807 + 49,

7,8 56 9,063537807 49 .

Сви ови записи одговарају запису a · 10 49 , при чему је дат различит број децимала

броја a (1a < 10). На пример, последњи запис значи да је 7,8 56 9,063537807 · 10 49 .

Подсећамо да поједини калкулатори заокругљују последњу цифру по познатим

правилима.

У табели испод наводимо резултате израчунавања вредности 7,8 –11 заједно са

њиховим значењем.

7,8 –11 1,5380107478983791856795562676068e-10 1,5380107478983791856795562676068 · 10 –10

Приказ на екрану Значење приказа са екрана

1,538010748-10

1,538010748 · 10 –10

1,538010748 –10

86

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задаци

Скуп рационалних бројева

1. Одреди децималне записе разломака 7 8 , – 13

6 , 67

11 .

2. Запиши у облику разломака бројеве 0,12; 0,105; 0,2002.

А

Реални бројеви

3. Број 0,3121212 ... = 0,3(12) запиши у облику p , где су p и q узајамно прости

природни бројеви.

q

4. Изрaчунај без употребе калкулатора:

1) 3465,1 + 145,56 + 12,671; 2) 101010 – 90909;

3) 166,89 – 89,9; 4) 51,4 ∙ 2,8; 5) 26,524 : 3,8;

6) 12 000 000 000 000 ∙ 0,000 000 012;

7) 12 000 000 000 000 : 1 200 000 000;

8) 6 ∙ 2 3 – 6 2 3 ; 9) – 1 6 – – 1 3 – 7 9 – 1 + 2;

10) 7 – 1,2 ∙ 2 1 3 – 1 1 2

3+

4, 2: 01 ,

: 0,75; 11)


1 0 3−2 1 ; 12)


⎜ : , ⎟⋅

⎝ 3⎠

0 , 3125

2 1 3 1 3

3 1 : 3

2 1 .

2 2

5. Нека је a = 0,011111 ... = 0,0(1) и b = 0,099999 ... = 0,0(9). Која од датих једнакости

је тачна?

(А) a + b = 0,1; (Б) a + b = 0,010101 ... = 0,(01);

(В) a + b = 0,111111 ... = 0,(1); (Г) a + b = 0,101010 ... = 0,(10).

6. Ако је a = 1,1363636 ... = 1,1(36) и b = 0,909090 ... = 0,(90), одреди a + b, a – b, a ∙ b и

a : b.

7. Наведи два броја чији су децимални записи бесконачно периодични тако да

њихов

1) збир, 2) разлика, 3) производ, 4) количник

има коначан децимални запис.

1 1

1

8. Упореди бројеве a =

1

1 , b = , c =

.

1

1

1

2

1

1 1

1

1

2

1

1 2

Скуп реалних бројева

9. 1) Речима опиши неколико бесконачних непериодичних децималних записа.

2) Одреди неколико децимала броја x таквог да је x 2 = 3, а затим докажи да x није

рационалан број.

А

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

87


3

2

1 57648 9

10. Докажи да су бројеви √5 и √7 (тј. позитивна решења једначина x 2 = 5, односно

x 2 = 7) ирационални и одреди неколико децимала ових бројева.

Упутство. Применити поступак описан у примеру 1. на страни 67 или у

решењу претходног задатка.

Aко прост број p

дели a 2 (a ),

онда p дели и a.

11. Наведи примере бројева a и b који потврђују тачност датих исказа.

1) Постоје рационални бројеви a и b такви да је a + b природан број.

2) Постоје ирационални бројеви a и b такви да је a ∙ b негативан цео број.

3) Постојe рационалан број a и ирационалан број b такви да је a ∙ b рационалан

број.

12. Докажи да су бројеви √6 и √10 ирационални.

13. Докажи да је за сваки прост број p, број √p ирационалан.

14. Докажи да су бројеви

1) 2 – √2; 2) 3 ∙ √7; 3) √2 + √3

ирационални.

15. Да ли постоје бројеви a, b, c, d такви да је:

a + b > 0, b + c > 0, c + d > 0, a + b + c < 0, b + c + d < 0?

Образложи одговор.

(4) Често се каже да је

неједнакост x + y ≤ a + b

добијена „сабирањем”

неједнакости

x ≤ a и y ≤ b.

Из еквиваленција (6),

(7) и (8) изводимо

једноставне и важне

последице:

а) x ∙ y ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0;

б) x ≠ 0 x 2 > 0;

в) x 2 + y 2 ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0.

16. Нађи примере бројева a, b, c за које је:

1) (a + b) 2 ≠ a 2 + b 2 ; 2) a + c

b + c ≠ a b .

17. Које су од следећих импликација, односно еквиваленција, тачне за све бројеве

x, y, a, b?

1) x ≤ ay ≤ b x + y ≤ a + b; 2) x > ay ≥ b x + y > a + b;

3) x > ay > b x ∙ y > a ∙ b; 4) x < yy ≤ b x < b;

5) x > y x 2 > y 2 ; 6) x ∙ a < y ∙ a x < y;

7) x > 0 x 2 > 0; 8) x < ay < b x – y < a – b.

За формуле које нису тачне, наведи одговарајуће примере бројева.

18. Применом својстава датих на страни 70 и њихових последица које су доказане

на странама 71 – 72, докажи тврђења:

1) x ≤ y 0 ≤ y – x; 2) x ≤ y x – y ≤ 0.

3) x < y x + z < y + z; 4) x ≤ ay ≤ b x + y ≤ a + b;

5) x < ay ≤ b x + y < a + b; 6) x ∙ y = 0 x = 0y = 0 ;

7) x 2 = 0 x = 0; 8) x 2 + y 2 = 0 x = 0y = 0 .

19. Ако је y ≠ 0 и y' ≠ 0, докажи једнакости:

1) 1 y ∙ 1 y' = 1

y ∙ y' (или y –1 ∙ y' –1 = (y ∙ y') –1 );

2) x y ∙ x'

y' = x ∙ x'

y ∙ y' ;

3) x y + x'

y'

x ∙ y' + x' ∙ y

= .

yy'

88

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реални бројеви

Апсолутна вредност реалног броја

20. Реши неједначине: 1) |x – 2,5| < 0,1; 2) |x + 1,6| ≤ 0,04.

21. Реши неједначине: 1) |x| ≥ 2; 2) |x – 1| > 2.

22. Да ли је за све реалне бројеве a и b тачнa неједнакост

1) |a – b| ≤ |a| – |b|; 2) |a – b| ≥ |a| – |b|?

Ако неједнакост није тачна за све бројеве, нађи бројеве за које она не важи.

У супротном, докажи да је тачна за све реалне бројеве.

Апсолутна вредност броја

се понекада дефинише

и са |x| = max {x, –x}, при

чему је

a, ако је a ≥ b

max {a, b} =

b, ако је a < b.

Приближне вредности реалних бројева

23. Заокругли број a = 12,0854743 на

1) једну; 2) две; 3) три

децимале и одреди апсолутне грешке.

24. Израчунај приближну вредност израза

1) I = (x + y) ∙ z ако је x = 10,71 ± 0,25, y = 13 ± 0,01 и z = 2,5 ± 0,1;

2) I = x ∙ y – 2z ако је x = 24,6 ± 0,2, y = 10,3 ± 0,1 и z = 2,87 ± 0,01;

3) I = x – y ако је x = 41,23 ± 0,02, y = 32,14 ± 0,04 и z = 2 ± 0,01.

z – 0,2

У сваком од случајева процени начињену грешку.

А

У практичним израчунавањима често се користе и формуле за приближно

израчунавање вредности неких величина. Овакве формуле углавном се употребљавају

као замене за тачне формуле које су компликоване, а понекада и у недостатку тачних

формула. Тако, на пример, Архимед је предлагао да се површина круга полупречника r

рачуна по формули P ≈ 22 7 ∙ r2 (сматрајући да је апроксимација броја π бројем

22

= 3,(142857) = 3,142857142857... сасвим задовољавајућа у практичним применама).

7

Иако би уз сваку формулу за приближно израчунавање морала да буде наведена

граница грешке, то се често не чини, али се подразумева да је грешка мала за контекст

у коме се предлаже примена формуле.

25. Чувени средњовековни научник Кеплер дао је (око 1600. године) формулу за

приближно израчунавање запремине бурета (уобичајеног облика) на основу

димензија датих на слици. Формула je:

V ≈ πh

12 (2D2 + d 2 ).

Одреди приближну целобројну вредност запремине бурета у дециметрима

кубним ако је h = 80 cm, D = 65 cm и d = 50 cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

89


3

2

1 57648 9

Б

Неједнакостима у задатку

26. заправо је процењена

грешка приликом

приближних израчунавања

по формулама

x + y ≈ x' + y',

x – y ≈ x' – y',

x ∙ y ≈ x' ∙ y' и x y ≈ x'

y' , при

чему је x = x' ± Δ 1

и y = y' ± Δ 2

.

26. Ако је x = x' ± Δ 1

и y = y' ± Δ 2

, докажи да је

1) |(x + y) – (x' + y')| ≤ Δ 1

+ Δ 2

;

2) |(x – y) – (x' – y')| ≤ Δ 1

+ Δ 2

;

3) |xy – x'y'| ≤ |x'| Δ 2

+ |y'| Δ 1

+ Δ 1

Δ 2

;

4) x y – x' ≤ |x'| Δ 2

+ |y'| Δ 1

y' |y'| ∙ ||y'| – Δ 2

| под условима да је y' ≠ 0 и Δ < |y'|.

2

Упутство. Примени неједнакости (5) и (6) доказане на страни 75.

27. Ако је x = 4,105 ± 0,001 и y = 0,624 ± 0,001, израчунај збир, разлику, производ

и количник користећи формуле из претходног задатка и процени

одговарајуће грешке.

Степен чији је изложилац цео број

А

28. Израчунај без употребе калкулатора:

5 4

14 10

1) ; 2) ( ♥0, 8)

6 1 3

3

⋅ ⎛ 4 6

35 2

⎝ ⎜



4 ⎠

; 3) ( ♥3) ⋅ ( ♥2) − ( ♥2)

5

4 ⋅10

13 12

.

3

29. Поређај бројеве ⎛ 3⎞

⎜−

⎟ , ⎛ 2⎞

⎜−

⎟ , 0,8 3 , (0,2) 2 у растући низ.

⎝ 5⎠

⎝ 5⎠

2

30. Шта је веће:

1) 2 300 или 3 200 ; 2) 54 4 или 3 16 ; 3) 0,4 4 или 0,8 3 ?

31. Поређај бројеве

1) 7 3 , 7 3 , (7) 3 , (7) 3 ; 2) 0,7 3 , 0,7 3 , (0,7) 3 , (0,7) 3

у растући низ.

32. Запиши у облику a10 n , 1a10, n Z, број:

1) 7302000; 2) 17000000; 3) 0,00012; 4) 0,00000002.

33. Запиши у децималном запису:

1) 2,1310 5 ; 2) 5,110 4 ; 3) 2,0110 3 ; 4) 2,0110 3 .

34. Израчунај и резултат прикажи у облику a10 n , 1a10, n Z:

1) 0,000210,0003; 2) 1020001700000; 3) 832000000,00005;

4) 0,000011000000; 5) 111000015000; 6) 1110000,00015;

7) 0,00011115000; 8) 0,0001110,0015.

90

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


УВОД У ГЕОМЕТРИЈУ

Тачке, праве и равни. Односи припадања (92)

А Односи припадања између тачака, правих и равни (92)

Б Последице аксиоме припадања (96)

Паралелност (98)

А Паралелност правих; аксиома паралелности (98)

Б Последице аксиоме паралелности (99)

Распоред тачака. Дуж, полуправа и полураван (100)

А Распоред тачака; дуж, полуправа, полураван (100)

Б Пашова теорема (103)

Важне геометријске фигуре. Угао и многоугао (104)

А Конвексне и неконвексне фигуре; угао и многоугао (104)

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


A

Тачке, праве и равни. Односи припадања

Простор замишљамо као скуп. Његове елементе називамо тачкама. Основне

врсте подскупова (делова) простора су праве и равни. Наравно, и праве и равни

су скупови тачака.

Тачке, праве и равни називамо основним геометријским објектима.

ГРЧКИ АЛФАБЕТ

α (алфа)

β (бета)

γ (гама)

δ (делта)

ε (епсилон)

ζ (зета)

η (ета)

θ (тета)

ι (јота)

κ (капа)

λ (ламбда)

μ (ми)

ν (ни)

ξ (кси)

ο (омикрон)

π (пи)

ρ (ро)

σ (сигма)

τ (тау)

υ (ипсилон)

φ (фи)

χ (хи)

ψ (пси)

ω (омега)

Тачке означавамо великим словима латинице са или без индекса

A, B, C, D, ..., A 1

, B 1

, ..., A 2

, B 2

, ...

Праве означавамо малим словима латинице a, b, c, d, ..., a 1

, b 1

, ...,

а равни малим грчким словима α, β, γ, δ, ...

Будући да су и праве и равни

скупови, основне концепте

теорије скупова преносимо и

у геометрију. Тако, на слици

десно уочавамо да важе следеће

формуле:

A b,

A α,

c γ,

a γ = {T},

α γ = p,

S β,

b α,

...

1.

На основу слике горе утврди које су формуле тачне:

1) P α γ; 2) a b = {S}, 3) a β = {B}; 4) β γ = {Q};

5) c α ≠ c β ≠ ; 6) C cC γ; 7) P pp γ P γ;

8) C cc γ C γ; 9) B 1

a β B a β; 10) a c = a γ = .

2.

Задатак

Задатак

На основу слике горе наведи још неке формуле које су тачне.

Постоје и неке специфичности када је реч о скуповима у

геометрији. На пример, за праву c која је подскуп равни γ,

c γ, кажемо да припада равни, иако је, строго говорећи,

употреба речи „припада” у овом случају погрешна. Такође,

каже се и да γ садржи c, као и да права c лежи у равни γ.

92

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Увод у геометрију

Нису праве и равни једини подскупови

простора. На слици десно приказани су

неки подскупови који нису ни праве ни

равни.

Како из мноштва подскупова простора

прецизно описати праве и равни?

Покушајте речима да опишете по чему се

разликују праве и равни од приказаних

подскупова и видећете да то није

једноставно, и поред тога што нам се

чини да имамо јасну представу о томе

какав скуп тачака је права, a какав скуп

тачака је раван.

У наставку ћемо строго прецизирати особине основних геометријских објеката

на које ћемо се даље ослањати. Те особине називамо аксиомама – полазним

претпоставкама. Пре него што почнемо навођење аксиома, истичемо да се

аксиоме углавном не односе само на једну врсту објекта независно од осталих, већ

на њихове међусобне односе. На тај начин се поред основних објеката разматрају

и основни односи међу њима.

Аксиома је реч грчког

порекла и значи

основно начело,

очигледна истина.

Пошто простор замишљамо као скуп, природно је да „бити елемент”, а тиме и

„бити подскуп”, спадају у основне односе међу уведеним основним објектима.

Навешћемо шест аксиома које се односе на припадање.

Прва аксиома (полазна претпоставка) подржава уверење да свака права садржи

бесконачно много тачака, али јој и не припада бесконачно много тачака. Друга то

исто тврди за било коју раван.

На свакој правој можемо изабрати произвољно много међусобно различитих

тачака. За сваку праву можемо изабрати произвољно много тачака које јој не

припадају.

аксиома (П)

У свакој равни можемо изабрати произвољно много међусобно различитих

тачака. Такође, за сваку раван можемо изабрати произвољно много тачака које

јој не припадају.

аксиома (Р)

На наредним странама систематизоване су основне дефиниције и преостале

аксиоме које се односе на припадање.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

93


4

2

1 57648 9

колинеарне тачке

тачке и праве

неколинеарне тачке

аксиома (ТП)

За сваке две различите тачке

постоји тачно једна права

која их садржи.

Праву одређену тачкама

A и B означавамо p(A, B).

За три и више тачака каже се да су:

• колинеарне, ако припадају једној

правој, односно

• неколинеарне, ако не постоји права

која их садржи.

компланарне тачке

тачке и равни

некомпланарне тачке

аксиома (ТР)

Три неколинеарне тачке одређују

тачно једну раван.

Раван одређену

неколинеарним тачкама

A, B, C означавамо

ρ(A, B, C).

За четири и више тачака кажемо да су:

• компланарне, ако припадају једној

равни, односно

• некомпланарне, ако не постоји раван

која их садржи.

праве и равни

аксиома (ПР)

Ако права и раван имају

више од једне заједничке

тачке, тада се права

налази у тој равни.

Ако права и раван

имају једну заједничку

тачку, кажемо да права

продире раван.

Ако права и раван немају

заједничких тачака,

кажемо да су паралелне.

94

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Увод у геометрију

две равни

Ако две равни немају заједничких

тачака, онда кажемо да су те две

равни паралелне.

Ако две различите равни имају

заједничких тачака, онда је пресек

те две равни права.

аксиома (РР)

две праве

Ако две праве немају

заједничких тачака и

припадају истој равни,

кажемо да су паралелне.

Ако две праве немају

заједничких тачака и не

припадају истој равни,

кажемо да су мимоилазне.

Две различите праве

могу имати највише

једну заједничку тачку.

теорема (последица ТП)

одређеност равни

Аксиома (ТР).

Три неколинеарне

тачке одређују

тачно једну раван.

Права и тачка која јој

не припада одређују

тачно једну раван.

Две различите праве

које се секу одређују

тачно једну раван.

Две паралелне праве

одређују тачно једну

раван.

три важне теореме

Приметите да смо аксиоме именовали почетним словима објеката о којима

говоре.

Поред аксиома, навели смо и дефиниције неколико важних појмова (истакнутих

масним словима).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

95


Б

Последице аксиоме

припадања

У доказима се поред

уведених претпоставки

смемо једино ослањати на

логичке законе, аксиоме и

већ доказане теореме.

Наслов наставка могао би да буде и геометрија

и логика, зато што је логичко закључивање, то

јест доказивање једино исправно утврђивање

својстава геометријских објеката.

Докажимо најпре теореме наведене на страни 95.

теорема

Две различите праве или немају заједничких тачака или

имају само једну заједничку тачку.

Теорему можемо

формулисати и овако:

ако две различите тачке P

и Q припадају правој a и

правој b, онда је a = b.

Доказ. Ако преформулишемо теорему, биће јасније зашто је она тачна. Наиме,

теорема тврди да две различите праве не могу имати две различите заједничке

тачке.

Заиста, ако претпоставимо супротно од онога што теорема тврди, то јест да

неке две различите праве a и b имају две заједничке тачке, рецимо P и Q, при

чему је P ≠ Q, према аксиоми (ТП) закључујемо да је a = b, што је супротно

претпоставци да су праве различите. ■

3.

Задатак

1) Које од следећих тврђења је тачно? Образложи одговоре.

а) Ако све три неколинеарне тачке A, B, C припадају равни α и равни β, онда је

α = β.

б) За сваке три међусобно различите тачке постоје бар две различите равни које

их садрже.

2) По угледу на доказ претходне теореме, од претходна два тврђења докажи оно

које је тачно.

Упутство: искористи аксиому (ТР).

4.

Задатак

1) Зашто је следеће тврђење тачно: „Ако права a не припада равни α, онда или

а и α немају заједничких тачака или a и α имају само једну заједничку тачку”?

Образложи одговор детаљно.

2) По угледу на доказ претходне теореме докажи теорему формулисану под 1).

Упутство: искористи аксиому (ПР).

96

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Увод у геометрију

Ако тачка A не припада правој a,

онда постоји јединствена раван која садржи тачку A и праву a.

теорема

Идеја доказа. Приметимо најпре да је теорема формулисана у облику

импликације „ако ~~~, онда – – – ”. Дакле, под претпоставком да тачка A не

припада правој a, треба доказати:

1) да постоји раван која садржи тачку A и праву a, као и

2) да је таква раван јединствена, то јест да не постоје две равни са овом особином.

Како доказати тврдњу под 1?

Позваћемо се на аксиому (ТР) јер је то једина аксиома која тврди да постоји

некаква раван под одговарајућим претпоставкама. Да бисмо ову аксиому

искористили, неопходно је одредити три неколинеарне тачке које ће нам

дефинисати жељену раван. Једну тачку имамо – то је тачка A. Друге две ћемо

произвољно изабрати са праве a.

Како доказати тврдњу под 2?

Претпоставићемо да постоји још једна раван која задовољава полазне

претпоставке.

Доказ. Нека је дата тачка A и права a која не садржи A.

1) Докажимо најпре да постоји раван која садржи тачку A и

праву a.

Према аксиоми (П), на правој a бирамо две различите тачке

P и Q. Тада су тачке A, P и Q неколинеарне јер A a.

Према аксиоми (ТР), ове три тачке одређују јединствену

раван. Означимо ову раван са α.

Очигледно, A α. Такође, a α, јер α садржи P и Q, то јест две

различите тачке праве a, па према аксиоми (ПР) α садржи и

праву a. Дакле, постоји раван која садржи тачку A и праву a.

Теорема.

Ако ~~~, онда – – – .

Директан доказ.

Претпоставимо ~~~.

...

Дакле, тачно је – – – .

Индиректан доказ.

Претпоставимо ~~~.

Претпоставимо и

да није тачно – – – .

...

Контрадикција.

2) Претпоставимо да је и β раван која садржи тачку A и праву a. Из a β

закључујемо да β садржи све тачке праве a, па специјално и тачке P и Q. Како је и

A β, следи да је β раван која садржи неколинеарне тачке A, P и Q. Позивањем на

аксиому (ТР) закључујемо да је α = β. ■

5. Задатак

Докажи да за сваке две праве које се секу постоји јединствена раван која их

садржи.

Упутство. Изабери две различите праве које се секу и на свакој од њих по једну

тачку различиту од тачке пресека.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

97


A

Паралелност

Паралелност је однос између две равни, праве и равни, и две праве.

дефиниција

Равни су паралелне уколико немају заједничких

тачака. Права и раван су паралелне уколико немају

ниједну заједничку тачку. Ако две праве у простору

немају заједничких тачака, онда су оне

• паралелне уколико постоји раван којој обе

припадају,

• мимоилазне уколико не постоји раван којој обе

припадају.

Ослањајући се на интуицију, знамо да за неку тачку A ван

праве p постоји бесконачно много правих које садрже A

и секу p. Такође, постоји бесконачно много правих које

садрже A и мимоилазне су са p. Колико има правих које

садрже A и паралелне су са p?

аксиома паралелности

За сваку праву p и тачку A која јој не припада постоји јединствена

права q која је садржи и паралелна је са правом p.

p

a

Ако A p, није тешко закључити да права која садржи A и паралелна је са p

припада равни α коју одређују A и p.

Све друге праве равни α које садрже A секу праву p. Све друге праве које нису у

равни α и садрже тачку A мимоилазне су са p.

теорема о

симетричности и

транзитивности

паралелности

Нека су p, q и r различите праве. Ако је p || q, онда је и q || p.

Ако је p || q и q || r, онда је и p || r.

Нека су α, β и γ различите равни. Ако је α || β, онда је и β || α.

Ако је α || β и β || γ, онда је α || γ.

Релација паралелности међу правама је:

• симетрична (јер из p || q следи q || p ако су p и q различите праве), и

• транзитивна (из p || q и q || r следи p || r ако су p, q и r различите праве).

Ипак, није релација еквиваленције јер није рефлексивна. Да би се надоместио овај

недостатак, дефиниција паралелности правих често се модификује и додаје се

„свака права је паралелна са самом собом”, то јест за сваку праву a важи a || a.

98

Аналогно се проширује дефиниција паралелности између праве и равни додатком:

• свака права која припада некој равни паралелна је тој равни,

односно између две равни додатком:

• свака раван је паралелна са самом собом.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б

Нека су a, b и t три међусобно различите праве једне равни.

Ако је a || b и t сече праву a, онда t сече и праву b.

Последице аксиоме

паралелности

теорема

Доказ.

Претпоставке:

праве a, b и t припадају истој равни;

a || b и t сече праву a.

Нека је t a = {A}.

Треба доказати: t сече праву b.

Приметимо најпре да A b, јер праве a и b немају заједничких тачака.

Према теореми коју смо доказали на страни 96 (и поновили је на маргини) праве t

и b се секу или су паралелне.

Ако би било t || b, онда би праве a и t биле две различите праве које садрже тачку

A (A b) и које су паралелне са b, што није могуће према аксиоми паралелности.

Дакле, праве t и b се секу. ■

Нека су a, b и c три међусобно различите праве једне равни.

Ако је a || b и b || c, онда је a || c.

Теорема.

Две различите праве

или немају заједничких

тачака или имају само

једну заједничку тачку.

теорема

Оптичка варка

Доказ.

Претпоставке:

праве a, b и c су три међусобно различите праве једне равни;

a || b и b || c.

Треба доказати: a || c.

Позивајући се на исту теорему као у доказу претходне теореме, закључујемо да се

праве a и c секу или су паралелне.

Праве a и c не могу да се секу, јер би то било у супротности са аксиомом

паралелности. Наиме, ако би било a c = {P}, најпре бисмо имали да P b

(Зашто?) и постојале би две различите праве које садрже P (P a, P c) и које су

паралелне са b (a || b, b || c).

Дакле, a || c. ■

1. Задатак Теорема (страна 95).

Нека су дате различите праве a и b које се секу. Докажи да свака права c која За сваке две праве које се

припада равни одређеној правама a и b сече бар једну од ове две праве.

секу постоји јединствена

Упутство. Претпостави да права c не сече ни a ни b.

раван која их

садржи.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

99


A

Распоред тачака. Дуж, полуправа и полураван

Поред односа припадања, који је важан за све скупове, па специјално и за ове

које управо разматрамо, постоје и односи специфични само за геометрију.

Један од њих је однос „између”, који говори о распореду тачака на једној правој.

Прецизније, реч је о односу у коме се могу наћи три међусобно различите

колинеарне тачке.

Ако је тачка B између тачака A и C,

пишемо A – B – C или C – B – A.

аксиома (и1)

За три међусобно различите колинеарне тачке A, B и C, само једна од ових

тачака је између преостале две, то јест или је A – B – C, или је B – C – A или је

C – A – B, и не могу истовремено да важе сва три нити нека два од ових односа.

Ако је A – B – C, онда су

A, B, C три међусобно

различите тачке.

Наредна аксиома подржава нашу интуицију и тврди

да се између било које две различите тачке неке праве

може пронаћи нова тачка те праве, то јест да је права

„густо попуњена” тачкама, као и да се, грубо речено,

права неограничено пружа са обе стране.

аксиома (и2)

За сваке две различите тачке A и B постоји тачка S која је између њих, A – S – B,

затим постоји тачка D таква да је A – B – D, као и тачка L таква да је L – A – B.

Релација „између” омогућава да се дефинишу важне врсте геометријских објеката

као што су дуж и полуправа.

дефиниција

Две различите тачке A и B заједно са свим тачкама које се налазе између

њих (то јест са свим тачкама X таквим да је A – X – B) образују скуп тачака

који се назива дуж и који се обележава AB или BA.

Тачке A и B називају се крајеви дужи AB.

Директно из дефиниције дужи закључујемо да је тачно следеће тврђење.

теорема

Ако различите тачке A и B припадају правој p, онда је AB p.

1. Задатак

Нека су A, B, C три колинеарне тачке такве да је A – B – C. Одреди:

1) AC BC; 2) AC BC; 3) AB BC; 4) AB BC.

100

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Увод у геометрију

Нека је a произвољна права и A тачка која јој припада.

Полуправа

Две тачке B и C праве a су са исте стране тачке A

ако A није између тачака B и C, то јест ако је

A – C – B или A – B – C.

са различитих

страна тачке A

Тачке P и Q праве a су са различитих страна

тачке A ако је A између њих, то јест ако је

P – A – Q.

За већи број тачака праве a кажемо да су са исте

стране тачке A уколико су било које две од њих

са исте стране тачке A.

са исте стране

тачке A

са исте стране

тачке A

Нека је a произвољна права и A тачка која јој припада. Скуп тачака који

чине тачка A, као и све тачке праве a које су са исте стране тачке A назива се

полуправа. Тачка A се назива почетак или теме те полуправе.

дефиниција

Свака права a је неком својом тачком A подељена на две полуправе којима је

заједничка тачка само тачка A. Било које две тачке праве a које су различите

од A и које припадају истој полуправој са исте су стране тачке A. Било које две

тачке праве a које су различите од A и које не припадају истој полуправој са

различитих су страна тачке A.

аксиома о полуправама

полуправа Ap

полуправа Ac

Полуправа је потпуно одређена неком

правом, тачком на њој и избором

једног од делова на које је уочена права

подељена тачком.

Ако је права a својом

тачком A подељена на

полуправе Aa 1

и Aa 2

, онда

је:

Aa 1

a, Aa 2

a,

Aa 1

Aa 2

= {A},

Aa 1

Aa 2

= a.

Јединствену полуправу одређују и две различите тачке, при чему је једна од њих

узета за почетак. Ако су A и B две различите тачке, онда постоји јединствена

полуправа чији је почетак тачка A и која садржи тачку B. Ову полуправу

означаваћемо AB или само са AB, при чему је у другом случају неопходно

нагласити да је реч о полуправој да не би долазило до забуне.

полуправа AB

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

101


4

2

1 57648 9

Полураван

Нека је α нека раван и a права која јој припада.

Две различите тачке A и B равни α које не

припадају правој a са исте су стране праве a ако

она не сече дуж AB.

Ако права a сече дуж AB, кажемо да су A и B са

различитих страна праве a.

За већи број тачака равни α које не припадају a

кажемо да су са исте стране праве a уколико су

било које две од њих са исте стране праве a.

дефиниција

Нека је α произвољна раван и a права која јој припада.

Скуп тачака који чине све тачке праве a, као и све тачке равни α

које су са исте стране праве a назива се полураван.

аксиома о полуравнима

Свака права a неке равни α дели ту раван на две полуравни. Ако крајеви неке

дужи не припадају правој a, а припадају истој полуравни, онда та дуж не сече

праву a. Ако крајеви неке дужи не припадају правој a и не припадају истој

полуравни, онда та дуж сече праву a.

Ако права a равни α

одређује полуравни

aα 1

и aα 2

, тада је

aα 1

α, aα 2

α

aα 1

aα 2

= a,

aα 1

aα 2

= α.

Полураван је потпуно одређена неком равни,

правом која припада тој равни и избором једног

од делова на које је уочена раван подељена

изабраном правом. Праву називамо граничном

правом сваке од полуравни.

2. Задатак

По аналогији са дефиницијама полуправе и полуравни дефиниши полупростор.

102

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б

У истој равни дате су три неколинеарне тачке A, B и C и права p

која не садржи ниједну од њих. Ако права сече дуж BC,

онда она сече или дуж AB или дуж AC и не сече обе.

Пашова теорема

Пре него што прочитате доказ теореме, покушајте

да објасните зашто је она тачна.

Доказ. Доказ ћемо спровести позивајући се на аксиому о полуравнима. Нека су pα

и pβ полуравни на које права p дели дату раван.

Тачке B и C не припадају правој p (по

претпоставци). Такође, ове две тачке не припадају

истој полуравни, јер ако би припадале, онда, према

аксиоми о полуравнима, права p не би секла дуж

BC. Претпоставимо да B pα и C pβ. Тачка A

не припада правој p, али мора припадати једној од

полуравни одређених овом правом.

Разликујемо два случаја.

1. случај. Ако A pα, онда A и B припадају истој полуравни, па права p не сече

дуж AB. С друге стране, A и C припадају различитим полуравнима, па

права p сече дуж AC.

2. случај. Ако A pβ, онда A и B припадају различитим полуравнима, па права p

сече дуж AB. Међутим, тада A и C припадају истој полуравни, па права p

не сече дуж AC. ■

3. Задатак

У равни су дате четири тачке A, B, C и D и права p која не садржи ниједну од

уочених тачака. При том, дужи AB и CD секу праву p, а дуж BC не сече ову праву.

1) Да ли дуж AD сече праву p?

2) Образложи одговор на претходно питање што прецизније.

3) Претвори своје образложење у коректан математички доказ.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

103


A

Важне геометријске фигуре. Угао и многоугао

Под (геометријском) фигуром подразумевамо било који скуп тачака. Фигуре

ћемо означавати великим грчким словима: Φ (фи), Ψ (пси), Σ (сигма), ...

дефиниција

Фигура Φ је конвексна ако све тачке дужи чији крајеви припадају фигури Φ

такође припадају фигури Φ. У супротном, фигура је неконвексна.

НЕКЕ

ВАЖНЕ ФИГУРЕ

Праве и равни су

основне фигуре.

Другим речима, фигура Φ је:

• конвексна, уколико за сваке две тачке A и B, ако A, B Φ, онда AB Φ,

• неконвексна, уколико постоје две тачке A и B такве да A, B Φ и AB / Φ.

Све фигуре које смо до сада разматрали су равне и конвексне: права, раван, дуж,

полуправа, полураван.

Фигура је равна уколико је подскуп неке равни. Ове школске године ћемо се

бавити углавном равним и конвексним фигурама.

Докажимо да је пресек било које две конвексне фигуре конвексна фигура.

Нека су Φ и Ψ две конвексне фигуре. Да бисмо доказали да је Φ Ψ такође

конвексна, изаберимо две произвољне тачке A и B из Φ Ψ. Тада A, B Φ, па

пошто је Φ конвексна, следи да је AB Φ. Такође, из A, B Ψ следи да је AB Ψ.

Дакле, AB Φ Ψ, што је и требало доказати.

1.

2.

Пример 1.

Задатак

Примерима покажи да унија и разлика две конвексне фигуре не мора бити

конвексна фигура.

Задатак

1) Под којим условима је унија две дужи AB и CD, тј. AB CD конвексан скуп

тачака?

2) Под којим условима је унија две полуправе Aa и Bb, тј. Aa Bb конвексан скуп

тачака?

104

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Увод у геометрију

Унија две различите полуправе са заједничким почетком назива се угаона

линија. Заједнички почетак назива се теме угаоне линије, док су полуправе њени

краци. Угаону линију одређену полуправама Op и Oq означавамо са pOq.

Угао

дефиниција

pOq = Op Oq

Пар дужи OP и OQ, којима је заједничка једна крајња тачка, одређује јединствену

угаону линију pOq, при чему P Op и Q Oq. Угаону линију одређену паром

дужи OP и OQ означавамо POQ.

Права је специјалан случај угаоне линије јер је унија полуправих које одређује

нека тачка O те праве.

Интуитивно је јасно да свака угаона линија

дели раван у којој се налази на два скупа тачака.

При томе, ако угаона линија није права, онда је

један од тих скупова тачака конвексан а други

неконвексан. Наравно, ако је угаона линија

права, раван је подељена на две полуравни.

Две полуправе са

заједничким почетком

које не припадају једној

правој одређују тачно

једну раван.

Угао је унија угаоне линије и једног од скупова тачака на које је подељена

раван одређена угаоном линијом. Теме и краци угаоне линије сада постају и

теме и краци одговарајућег угла.

дефиниција

Ако полуправе Op и Oq не леже на истој правој, онда оне одређују два угла, од

којих је један конвексан, а други неконвексан. Ми ћемо у наставку углавном

посматрати конвексне углове, осим у неким случајевима када ћемо посебно

нагласити да посматрамо неконвексан угао. Изабрани угао одређен са pOq

означаваћемо pOq.

Ако различите полуправе Op и Oq леже на истој правој, онда оне одређују два угла,

који су, заправо, две полуравни одређене правом на којој леже дате полуправе. У

овом контексту, сваку од уочених полуравни називамо опруженим углом.

3.

4.

Задатак

Шта све може бити пресек две полуравни које припадају истој равни?

Задатак

1) Да ли пресек две полуравни једне равни чије се граничне праве секу у једној

тачки може бити неконвексан угао? Образложи одговор.

2) Да ли унија две полуравни једне равни чије се граничне праве секу у једној

тачки може бити конвексан угао? Образложи одговор.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

105


4

2

1 57648 9

Многоугао

Нека су дате компланарне тачке A 1

, A 2

, ..., A n – 1

, A n

, n > 2, такве да су сваке три

узастопне тачке неколинеарне. Унија n дужи A 1

A 2

, A 2

A 3

, ..., A n – 1

A n

, A n

A 1

назива

се затворена изломљена линија и обележава се A 1

A 2

... A n – 1

A n

. Уколико сваке

две несуседне странице немају заједничких тачака, затворену изломљену линију

називамо многоугаона линија. Дате тачке називамо теменима, а поменуте дужи

страницама те линије. Крајње тачке било које странице називају се и суседна

темена. Две странице са заједничком крајњом тачком називају се суседне

странице.

троугао ABC

четвороугао ABCD

петоугао ABCDE

Многоугаона линија у равни у којој

се налази одређује два скупа тачака:

унутрашњост (унутрашњу област) и

спољашњост (спољашњу област). Наводимо

једноставан услов којим се одређује

унутрашња област многоугаоне линије.

Тачка O одговарајуће равни која не припада многоугаоној линији налази се у

унутрашњој области, уколико свака полуправа те равни са почетком O, која не

садржи ниједно теме многоугаоне линије, има непаран број заједничких тачака са

многоугоном линијом. У супротном, тачка O се налази у спољашњој области.

шестоугао ABCDEF

Многоугао је унија многоугаоне линије и унутрашње области коју она

ограничава. Темена и странице многоугаоне линије представљају темена и

странице одговарајућег многоугла.

Ако многоугао има три, четири, пет ... темена (и исто толико страница), зовемо га

редом троугао, четвороугао, петоугао ...

Уопште, многоугао који има n темена и исто толико страница називамо n-тоуглом.

5. Задатак

Нацртај троугао и четвороугао тако да њихов пресек буде:

1) тачка; 2) дуж; 3) троугао; 4) четвороугао; 5) петоугао.

106

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Увод у геометрију

Унутрашњи углови неког многоугла одређују критеријумом који је сличан оном за

одређивање унутрашњости многоугла.

Угаона линија коју одређује неко теме T многоугла са себи суседним теменима

дели раван у којој се налази многоугао на два угла α и α’. Од ова два угла,

унутрашњи угао многоугла је онај за који важи: свака полуправа са почетком T

која припада том углу и не садржи ниједно друго теме са многоуглом има непаран

број тачака пресека, не рачунајући теме T.

Унутрашње углове многоугла краће зовемо

угловима многоугла.

Такође, приликом означавања углова неког

многоугла, често ћемо наводити само теме;

на пример B.

Дуж која спаја несуседна темена многоугла

назива се дијагонала.

На слици десно, приказане су дијагонале

многоугла које полазе из темена A.

Ако је D n

укупан број свих дијагонала n-тоугла, онда је D n

=

n(n – 3)

.

2

теорема о броју дијагонала

Доказ. Ако неки многоугао има n темена, тада је његовом сваком темену

несуседно тачно n – 3 темена. Дакле, из сваког темена полазе n – 3 дијагонале.

Производ n(n – 3) је два пута већи од укупног броја свих дијагонала, јер је свака

дијагонала убројана два пута будући да садржи два темена. ■

6.

7.

8.

Задатак

Одреди број дијагонала седмоугла и седамнаестоугла.

Задатак

Из сваког темена многоугла може се конструисати седам дијагонала. Колико

темена, односно страница, има овакав многоугао? Одреди укупан број његових

дијагонала.

Задатак

Број дијагонала многоугла је четири пута већи од броја његових страница. Колико

темена има овај многоугао?

3 ∙ (3 – 3)

D 3

= = 0

2

4 ∙ (4 – 3)

D 4

= = 2

2

5 ∙ (5 – 3)

D 5

= = 5

2

6 ∙ (6 – 3)

D 6

= = 9

2

...

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

107


4

2

1 57648 9

A

Б

В

Задаци

Тачке, праве и равни. Односи припадања

1. Дате су две равни α и β чији је пресек права c. Права q продире равни α и β у

различитим тачкама A и B. C je произвољна тачка праве c.

1) На основу датог текста нацртај слику.

2) Које од следећих реченица, односно формула су последице датих

претпоставки?

• ρ(A, B, C) α = p(A, C)

• Праве c и q су мимоилазне.

• C q

• Права q не припада ни равни α ни равни β.

2. Која од следећих тврђења су увек тачна?

1) Три различите тачке одређују само једну раван.

2) Ако права продире две равни које се секу, онда она сече и заједничку праву те

две равни.

3) Уколико се сваке две од три дате равни секу, онда је непразан пресек све три

равни.

4) Ако три равни имају заједничку тачку, онда постоји права која припада

свакој од те три равни.

3. Колико правих одређује скуп од n ≥ 3 тачака међу којима не постоје три

колинеарне?

4. Дат је скуп од шест тачака. Колико правих одређују ове тачке ако међу датим

тачкама

1) не постоје три колинеарне;

2) постоји само један трочлани подскуп који чине колинеарне тачке;

3) постоје тачно два дисјунктна трочлана подскупа које чине колинеарне тачке?

5. Дат је скуп од n тачака, међу којима не постоји ниједна тројка колинеарних

тачака. Колико тачака садржи тај скуп ако је број правих одређених тим тачкама

пет пута већи од броја тачака?

6. Дат је скуп од n тачака, међу којима не постоји тројка колинеарних тачака нити

постоје четири тачке које су компланарне. Колико тачака има овај скуп ако је

број равни одређених овим тачкама m пута већи од броја правих које одређују

ове тачке?

7. Дата је права a и тачка A која јој не припада. Докажи да све праве које садрже

тачку A и секу праву a припадају равни одређеној тачком A и правом a.

8. Нека су p, q и r три различите праве такве да се сваке две секу, али не постоји

тачка која припада свим правама. Докажи да постоји јединствена раван која

садржи ове три праве.

108

9. Нека су a и b мимоилазне праве и P тачка која им не припада. Ако је α раван

одређена правом a и тачком P, a β раван одређена правом b и тачком P,

докажи да је свака права која садржи P, а не припада ни равни α нити равни β,

мимоилазна и са a и b.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Увод у геометрију

Паралелност

10. Нека је a π, b π и a b = {P}.

Који од следећих исказа су тачни? Образложи одговоре.

1) Постоји права c таква да је c π, c || a и c || b.

2) Свака права равни π сече праву a или праву b.

3) Свака права равни π сече праву a и праву b.

A

11. Који од следећих исказа су тачни? Образложи одговоре.

1) За сваке две праве a и b постоји права p таква да је a || p и b || p.

2) За сваке две праве a и b постоји права p таква да је a p = и b p = .

12. Који од следећих исказа су тачни? Образложи одговоре.

1) Сваке две равни које су паралелне трећој равни паралелне су и међу собом.

2) Сваке две равни које су паралелне некој правој паралелне су и међу собом.

13. Докажи да не постоји права која је паралелна са две мимоилазне праве.

14. Нека су дате различите праве a и b које се секу. Докажи да свака права c која

припада равни одређеној правама a и b сече бар једну од ове две праве.

15. Нека су a и b праве које не припадају равни α и нека је a b = {P}. Ако је a || α и

b || α, докажи да је и раван β одређена правама a и b паралелна са α.

16. Нека су a и b различите праве које не припадају равни α и нека је a || b. Ако

је a || α и b || α, да ли је и раван β одређена правама a и b паралелна са α?

Образложи одговор.

17. Нека су a и b мимоилазне праве и P тачка која не припада ниједној од њих.

Докажи да постоји раван π која садржи P и паралелна је са правама a и b.

Упутство. Уочи праве a’ и b’ кроз P такве да је a || a’, b || b’, као и раван

одређену овим правама.

Распоред тачака. Дуж, полуправа и полураван

18. 1) Шта све може бити пресек две различите дужи?

2) Када је унија две дужи дуж?

19. Ако су A, B и C три тачке праве a такве да је A – B – C, који од следећих исказа је

тачан?

1) C AB; 2) C AB; 3) C BA; 4) AC = AB; 5) AB = AC;

6) B BA CA; 7) BC CA; 8) AB AC CA.

20. Ако су A, B и C три тачке праве a такве да је A – B – C, одреди:

1) AB BC; 2) AC CA; 3) BC BA;

4) AB BC; 5) AC CA; 6) CA AB.

В

A

Са PQ означавамо

полуправу чији је

почетак тачка P и која

садржи тачку Q.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

109


4

2

1 57648 9

21. Који од наведених исказа су тачни? Образложи одговоре.

1) Ако две полуправе једне равни немају заједничке тачке, онда се оне налазе

на паралелним правама.

2) Ако се две полуправе налазе на различитим паралелним правама, онда оне

немају заједничке тачке.

22. 1) Шта све може бити пресек две различите полуправе?

2) Да ли за две полуправе увек постоји једна раван која их садржи?

23. Шта све може бити пресек две полуравни које не припадају истој равни?

В

24. Нека су Aa и Bb две полуправе са различитим почетним тачкама (A ≠ B) и нека

је p права одређена тачкама A и B. Докажи да је Aa Bb = p акко A Bb и

B Aa. (Другим речима, докажи да је унија две полуправе са различитим

почетним тачкама права ако и само ако свака од полуправих садржи почетак

оне друге.)

25. У истој равни су дате права p и полуправа Aa. Ако права p садржи почетну

тачку A полуправе Aa и не садржи ниједну другу тачку ове полуправе, докажи

да полуправа Aa припада једној од полуравни које одређује права p.

26. У истој равни дате су дуж AB и права p. Ако A p и B p, докажи да дуж AB

припада једној од полуравни које одређује права p.

A

Б

Важне геометријске фигуре. Угао и многоугао

27. Нацртај два угла тако да њихов пресек буде:

1) конвексан четвороугао; 2) троугао; 3) конвексан угао;

4) полуправа; 5) дуж; 6) ниједна од наведених фигура.

28. Када је унија два угла такође угао? Да ли унија два конвексна угла може бити

неконвексан угао?

29. Нацртај два троугла тако да њихов пресек буде:

1) троугао; 2) четвороугао; 3) петоугао; 4) шестоугао.

30. Колико троуглова одређује скуп n тачака међу којима не постоје три које су

колинеарне?

31. Колико темена има многоугао који има 4 850 дијагонала? Да ли постоји

многоугао који има 100 дијагонала?

110

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Размере и пропорције (112)

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ

А Појам размере и пропорције; основна особина пропорција; продужена

пропорција (112)

Б Основне особине продужених пропорција (115)

Директна и обрнута пропорционалност (116)

А Директно и обрнуто пропорционалне величине; примери и

график (116)

Примене пропорција (119)

А Прост сразмерни рачун; сложен сразмерни рачун; проценти и

промили; рачун мешања; каматни рачун (проста и сложена каматна

формула) (119)

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


A

Размере и пропорције

Пример 1.

дефиниција

Цене различитих паковања воде једног истог произвођача дате су у следећој

табели.

Количина 0,5 l 1,5 l 5 l

Цена 24 дин 35 дин 86 дин

За које се паковање треба определити ако нам је потребно 10 l воде?

Најповољнију куповину одређује однос количине и цене:

0,5 1,5

≈ 0,021,

24 35 ≈ 0,043, 5

86 ≈ 0,058.

Наравно, већи однос (количине воде за 1 динар) је повољнији за купца.

Размера два броја различита од нуле јесте количник та два броја.

Ако је и a ≠ 0 и b ≠ 0, онда размеру бројева a и b означавамо a : b или a b .

Пример 2.

Размером се изражава однос међу валутама различитих земаља.

Тако, крајем новембра 2010. године, однос USD : EUR ($/€) је био 1,35. То значи да

смо за 1 евро добијали 1 долар и 35 центи, али и да смо за 100 евра, добијали 135

долара. Уопште, сумe новца од D $ и E € вреде подједнако ако су бројеви D и E у

размери 1,35, тј. ако је D : E = 1,35.

Примењујући једноставне алгебарске законитости, лако претварамо новац из

једне валуте у другу.

Колико долара

вреди 10 €?

D : 10 = 1,35

D = 10 . 1,35

D = 13,5

Колико евра

вреди 200 $?

200 : E = 1,35

E = 200 : 1,35

E ≈ 148,15

Колико евра

вреди 1 $?

1 : E = 1,35

1

E =

1,35

E ≈ 0,74

1. Задатак

У истом периоду као у претходном примеру, односи евра са осталим

водећим светским валутама (британска фунта, јапански јен, швајцарски

франак и аустралијски долар) били су:


112

GBP : EUR (£/€) 0,85

JPY : EUR (¥/€) 111,26

CHF : EUR 1,33

EUR : AUD 1,37

1) Колико евра вреди као 100¥?

3) Колико британских фунти вреди као 100¥?

2) Колики је однос GBP : JPY?

4) Колико је однос CHF : AUD?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пропорционалност

Према дефиницији, постоји бесконачно много

парова бројева чија је размера иста, тј. чији је

количник исти.

Ако су једнако вредне

сумe од D$ и E€ и

суме од X$ и Y€, онда је

D

E = X Y .

Ако је размера два броја a и b једнака размери бројева c и d, тј. ако је

a : b = c : d, односно, a b = c d ,

кажемо да су ови парови пропорционални. Дату једнакост називамо

пропорцијом.

дефиниција

Пример 3.

Ако пар бројева a и b образује пропорцију са паром c и d, и ако су позната

три броја, четврти се једноставно одређује на основу познатих алгебарских

законитости.

7

6 : x = 1 7 : 1 3

7

6 : x = 3 7

x = 7 6 : 3 7 = 49

18

0,12 : 0,4 = x : 0,01

0,3 = x : 0,01

x = 0,3 . 0,01 = 0,003

Наредна теорема као и задатак наведен после ње дају особине пропoрција које су

веома корисне.


a

b

a

b

=

x

d

=

c

x

Ако су a, b, c и d реални бројеви, сви различити од нуле, тада је

a : b = c : d акко a . d = b . c.

основна особина пропорција

Доказ. Једнакост a : b = c : d записаћемо у облику a b = c . Ако обе стране ове

d

једнакости помножимо са bd, добијамо a b . (bd) = c d . (bd),

одакле следи (након скраћивања) да је ad = bc.

Такође, ако обе стране једнакости ad = bc поделимо са bd, добијамо ad

bd = bc

db ,

односно, a b = c d . ■

спољашњи

2.

чланови

Задатак

Нека су a, b, c и d бројеви различити од нуле.

Докажи да је једнакост a : b = c : d еквивалентна свакој од следећих једнакости:

1) b : a = d : c;

2) a : c = b : d; (Унутрашњи чланови пропорције могу заменити места.)

3) d : b = c : a; (Спољашњи чланови пропорције могу заменити места.)

4) ak : bk = c : d, за сваки број k различит од нуле;

5) ak : b = ck : d, за сваки број k различит од нуле.

a : b = c : d

a

b = c d

ad = bc

унутрашњи

чланови

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

113


5

2

1 57648 9

дефиниција

Једнакости три и више размера називамо продуженом пропорцијом. Ако су

размере a : b, c : d и e : f међусобно једнаке, онда једнакости a : b = c : d = e : f,

односно, a b = c d = e , представљају продужену пропорцију три дате размере.

f

За продужену пропорцију a : b = c : d = e : f користи се и следећи запис

a : c : e = b : d : f, при чему две тачке у последњем запису не представљају знак

за дељење већ се користе само да би раздвојиле „прве” („горње”) од „других”

(„доњих”) чланова размера које образују дату продужену пропорцију.

Формирање

продужене пропорције

од обичних

пропорција

Пример 4.

Образујмо продужену пропорцију од: a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5 и c : d = 6 : 7.

Прецизније, одредимо чему је једнако a : b : c : d.

Из прве две пропорције добијамо једнакости a 2 = b 3 и b 4 = c 5 .

Да бисмо ове једнакости „повезали”, потребно је изједначити одговарајуће стране

једнакости у којима се појављује иста променљива.

Множењем именилаца обе стране прве једнакости са 4 и множењем именилаца

обе стране друге једнакости са 3, добијамо a 8 = b 12 и b 12 = c

15 .

Дакле, a : b : c = 8 : 12 : 15. Сада је потребно ову продужену пропорцију усагласити

са c : d = 6 : 7, тј. са c 6 = d 7 .

a

Из

8 ∙ 2 = b

12 ∙ 2 = c

15 ∙ 2 и c

6 ∙ 5 = d

добијамо да је a : b : c : d = 16 : 24 : 30 : 35.

7 ∙ 5

3. Задатак

Одреди a : b : c : d ако је a : b = 7 : 2, b : c = 3 : 4 и d : a = 4 : 3.

Збир углова у

троуглу једнак је

180°.

Пример 5.

Одредимо углoве α, β и γ неког троугла

ако је α : β : γ = 2 : 3 : 4. На основу дате

продужене пропорције закључујемо да је

α

2 = β 3 = γ 4 = k,

за неко k, па је α = 2k, β = 3k, γ = 4k. Како је

α + β + γ = 180°, добијамо да је

2k + 3k + 4k = 180°, тј. 9k = 180°. Дакле, k = 20°,

па је α = 2k = 40°, β = 3k = 60° и γ = 4k = 80°.

При раду са продуженим

пропорцијама корисно је

увести ознаку за број

коме су једнаке све размере

које образују ту продужену

пропорцију.

4. Задатак

Одреди бројеве x, y и z ако је x : y : z = 3 : 2 : 5 и 2x + 5y + 3z = 124.

114

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б

5. Задатак

Ако је a : b = k : l и c : d = m : n, да ли је онда a : b : c : d = k : l : m : n? Образложи

одговор.

Уопште, ако је n неки природан број, а a 1

и b 1

, a 2

и b 2

, ..., a n

и b n

парови бројева чије

су размере међусобно једнаке a 1

: b 1

= a 2

: b 2

= ... = a n

: b n

, онда пишемо

a 1

: a 2

: ... : a n

= b 1

: b 2

: ... : b n

.

Нека су a 1

, a 2

, ..., a n

и b 1

, b 2

, ..., b n

реални бројеви, сви различити од нуле, такви да је

a 1

: a 2

: ... : a n

= b 1

: b 2

: ... : b n

. Тада је

k 1

a 1

+ k 2

a 2

+ ... + k n

a n

= a 1

= a 2

= ... = a n

k 1

b 1

+ k 2

b 2

+ ... + k n

b n

b 1

b 2

b n

за било које бројеве k 1

, k 2

, ..., k n

такве да су оба члана прве размере

различита од нуле.

теорема

Доказ.

Нека је k број такав да је a 1

b 1

= a 2

b 2

= ... = a n

b n

= k.

Тада је a 1

= kb 1

, a 2

= kb 2

, ..., a n

= kb n

, па је

k 1

a 1

+ k 2

a 2

+ ... + k n

a n

= k 1kb 1

+ k 2

kb 2

+ ... + k n

kb n

= k(k 1b 1

+ k 2

b 2

+ ... + k n

b n

)

= k,

k 1

b 1

+ k 2

b 2

+ ... + k n

b n

k 1

b 1

+ k 2

b 2

+ ... + k n

b n

k 1

b 1

+ k 2

b 2

+ ... + k n

b n

Збир облика

k 1

a 1

+ k 2

a 2

+ ... + k n

a n

назива се линеарна

комбинација

бројева a 1

, a 2

, ..., a n

.

чиме је тврђење доказано. ■

Ова теорема има бројне последице. На пример, ако је a : b = c : d, онда је

(a + c) : (b + d) = a : b, под условом да је b + d ≠ 0;

(a – c) : (b – d) = a : b, под условом да је b – d ≠ 0;

(2a – 3c) : (2b – 3d) = a : b, под условом да је 2b – 3d ≠ 0; итд.

6. Задатак

Нека су a 1

, a 2

, ..., a n

и b 1

, b 2

, ..., b n

реални бројеви, сви различити од нуле, такви

да је a 1

: a 2

: ... : a n

= b 1

: b 2

: ... : b n

. Докажи да је

k 1

a 1

+ k 2

a 2

+ ... + k n

a n

= l 1a 1

+ l 2

a 2

+ ... + l n

a n

k 1

b 1

+ k 2

b 2

+ ... + k n

b n

l 1

b 1

+ l 2

b 2

+ ... + l n

b n

за било које бројеве k 1

, k 2

, ...,k n

, l 1

, l 2

, ..., l n

такве да су бројеви који образују

пропорцију различити од нуле.

Пропорције су заузимале централно место у старогрчкој математици. Између

осталог, древни математичари (Платон, Еудокс, Питагора итд.) проучавали су

и пропорције облика

c – a

c – b = b a .

1. Одреди неколико тројки бројева (a, b, c) које задовољавају дату пропорцију.

2. Занимљиво је да свака три узастопна члана a, b, c низа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

задовољавају дату пропорцију. Зашто?

Низ бројева чији

је сваки члан,

почев од трећег,

збир претходна

два члана назива

се Фибоначијев

низ: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, 21, 34, 55, 89,…

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

115


A

Директно

пропорционалне

величине

X x 1

x 2

x 3

...

Y y 1

y 2

y 3

...

x 1

= x 2

= x 3

= k

y 1

y 2

y 3

x

y = x ∙ a

y ∙ a = x : a

y : a

Директна и обрнута пропорционалност

Директна и обрнута пропорционалност представљају најједноставније врсте

зависности међу променљивим величинама. У овом одељку посматраћемо

искључиво величине чије су вредности увек позитивне.

Две зависне величине су директно пропорционалне ако је количник

одговарајућих вредности сталан, тј. константан. Ова константа се назива

коефицијент директне пропорционалности.

Није тешко закључити да уколико су две променљиве величине директно

пропорционалне, онда се истовремено обе повећавају, односно смањују исти број

пута.

Пример 1.

Следеће зависне величине су директно пропорционалне:

• сума новца и количина робе (исте врсте) – константна размера ове две величине

је цена;

• пређени пут и протекло време при равномерном кретању – константна размера

ове две величине назива се брзина;

• маса и запремина тела сачињених од истог материјала – константна размера ове

две величине је густина материјала.

Размотримо детаљније последњи пример.

V 1

= 1 dm 3 V 2

= 0,125 dm 3 V 3

= 8 dm 3

1 dm

0,5 dm

2 dm

116

Ако за неколико коцки направљених

од истог материјала у првом квадранту

координатног система (јер су масе и

запремине позитивне) нацртамо тачке

чије су прве координате запремине, а

друге координате одговарајуће масе,

уочићемо да све оне припадају једној

правој.

Спајање добијених тачака одговара

закону физике: за сва тела направљена

од истог материјала размера масе и

запремине је константна.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пропорционалност

1. Задатак

У координатном систему прикажи график зависности пређеног пута од протеклог

времена при равномерном кретању брзином од 2 m/s.

Упутство. Осе именовати са s (у метрима) и t (у секундама).

Уколико две директно пропорционалне величине меримо различитим јединицама

мере, онда се коефицијент пропорционалности именује одговарајућом изведеном

јединицом мере која представља количник јединица мере којима су мерене

полазне величине.

Изведене јединице мере

X Y k = Y/X

V – запремина у m 3

(кубним метрима)

V – запремина у cm 3

(кубним центиметрима)

s – пређени пут у m

(метрима)

s – пређени пут у km

(километрима)

K – количина робе у kg

(килограмима)

K – количина робе у l

(литрима)

m – маса у kg

(килограмима)

ρ = m/V – густина у kg/m 3

m – маса у g (грамима) ρ = m/V – густина у g/cm 3

t – време у s (секундама)

t – време у h (сатима)

P – вредност робе у дин.

(динарима)

P – вредност робе у $

(доларима)

v = s/t – равномерна

брзина у m/s

v = s/t – равномерна

брзина у km/h

c = P/K – цена у дин./kg

c = P/K – цена у $/l

1 kg

m = 1000 g

3 1000000 cm 3

g

= 0,001

cm 3

1 km h = 1000 m

3600 s

1 m s =

0,28 m s

= 3,6 km h

Пример 2.

Брзина аутомобила је 90 km/h. Одредимо његову брзину у метрима у минуту

(m/min).

90 km h

= 90 ∙

1000 m

60 min = 1500 m

min

Две зависне величине су обрнуто пропорционалне ако је производ одговарајућих

вредности сталан, тј. константан. Ова константа се назива коефицијент обрнуте

пропорционалности.

Дакле, ако су две променљиве величине обрнуто пропорционалне, при повећању

једне од њих одређен број пута, друга величина се толико пута смањује.

Обрнуто

пропорционалне

величине

X x 1

x 2

x 3

...

Y y 1

y 2

y 3

...

2

3 ∙ 2 = 6

3

1

6 ∙ 1 = 6

6

4

1,5 ∙ 4 = 6

1,5

x 1

∙ y 1

= x 2

∙ y 2

= x 3

∙ y 3

= k

x ∙ y = (x ∙ a) ∙ (y : a)

= (x : a) ∙ (y ∙ a)

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

117


5

2

1 57648 9

Пример 3.

Време потребно да се обави неки посао и број радника који су ангажовани на

том послу представљају најједноставнији пример две обрнуто пропорционалне

величине (наравно, под претпоставком да сви радници раде истом брзином).

Ако 2 радника обаве неки посао за 4 сата, онда ће 1 радник тај исти посао обавити

за 8 сати, док ће 4 радника посао завршити за 2 сата.

Број радника n 2 1 4 8

Време t 4h 8h 2h 1h

Зависност између n и t изражавамо формулом: n ∙ t = 8.

За које време ће 3 радника обавити посао?

Ако у претходној формули n заменимо са 3, добијамо 3 ∙ t = 8, одакле следи да је

t = 2,666… = 2 2 , односно, да ће посао бити обављен за 2 сата и 40 минута.

3

Колико радника треба ангажовати да би посао био обављен за 3 сата?

Сада t треба заменити са 3, што нас доводи до једначине n ∙ 3 = 8, чије је решење n

= 2,666… = 2,(6). Овога пута морамо пажљиво тумачити добијени резултат будући

да решење проблема треба да буде природан број. Одговор на постављено питање

гласи: да би посао био обављен за 3 сата, потребно је ангaжовати најмање 3

радника и посао ће бити обављен пре захтеваног рока.

Пример 4.

Зависност облика

y = k , x R \ {0}, где

x

је k неки фиксиран

реалан број различит

од нуле, представља

уопштење обрнуте

пропорционалности.

График ове зависности

је хипербола коју чине

две гране.

Запремине тела чијe су масe 1 kg обрнуто су пропорционалне густини материјала

од којих су направљена, јер је производ запремине тела и густине материјала

константан и износи 1 kg.

Једноставно је формирати табелу од неколико парова одговарајућих вредности.

V у m 3 V 1

= 0,5 V 2

= 1 V 3

= 0,4

ρ у kg/m 3 ρ 1

= 2 ρ 2

= 1 ρ 3

= 2,5

Како изгледа график зависности наслућујемо цртањем неколико тачака у

координатном систему, чије су координате парови одговарајућих вредности.

y = k x

Крива зависности две обрнуто пропорционалне величине које узимају само

позитивне вредности представља једну грану хиперболе.

118

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Примене пропорција

А

Задаци у којима се појављују две (директно или обрнуто) пропорционалне

величине углавном се решавају применом пропорција. Специјално, ако је дат

један пар одговарајућих вредности (x 1

,y 1

) неке две пропорционалне величине и

нека друга вредност само једне од посматраних величина, на пример x 2

, онда се

једноставно одређује и одговарајућа вредност y 2

друге величине. Дати подаци

се приказују у табели, при чему се директна пропорционалност означава паром

стрелица истог смера, док се обрнута пропорционалност означава паром

супротно усмерених стрелица. Поштујући постављене стрелице, једноставно се

формира одговарајућа пропорција из које се одређује непознати члан.

Пример 1.

Прост сразмерни

рачун

(x 1

∙ y 1

= x 2

∙ y 2

)

70

50 = 14 ; x = 10 kg.

x

2

3 = x

12 ; x = 8 дана.

Ако се сушењем 70 kg свежег грожђа добија 14 kg сувог, колико ће се килограма

сувог грожђа добити сушењем 50 kg свежег?

Пример 2.

x 1

x 2

= y 1

y 2

x 1

x 2

= y 2

y 1

x 1

y 1

= x 2

y 2

Ако је неко, читајући два сата дневно, прочитао једну књигу за 12 дана, за колико

би дана прочитао књигу да је читао три сата дневно?

1.

2.

Задатак

За 15 сати непрекидног рада четири славине (из којих вода истиче истом брзином)

напуне базен. За колико сати ће бити напуњен базен ако га пуни шест славина (из

сваке истом брзином истиче вода као у претходном случају)?

Задатак

За 12 палачинки потребно је 200 грама брашна. Колико брашна је потребно за 30

палачинки?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

119


5

2

1 57648 9

Пример 3.

Три машине за 10 дана, радећи 6 сати дневно, запакују 9 000 пакета неког

производа. За колико дана ће 4 машине запаковати 11 200 пакета радећи 8 сати

дневно?

Размишљамо као у претходном примеру :

3 машине за 10 дана, радећи 6 сати дневно, запакују 9 000 пакета,

1 машина за 10 дана, радећи 6 сати дневно, запакује 3 000 пакета,

1 машина за 1 дан, радећи 6 сати дневно, запакује 300 пакета,

1 машинa за 1 дан, радећи 1 сат дневно, запакује 50 пакета,

– – – – – – – – – – – – – – – – – –

1 машина за 1 дан, радећи 8 сати дневно, запакује 400 пакета,

4 машине за 1 дан, радећи 8 сати дневно, запакују 1 600 пакета.

Како је 11 200 : 1 600 = 7, закључујемо да:

4 машине за 7 дана, радећи 8 сати дневно, запакују 11 200 пакета.

Постављени задатак можемо решавати и на основу следеће шеме.

Повећавањем броја дана за

неки посао, смањује се број

радних сати по дану.

Повећавањем броја дана за

неки посао, повећава се и

број запакованих пакета.

Повећавањем броја дана за

неки посао, смањује се број

машина које треба да раде.

x

d = a 2

a 1

∙ b 2

b 1

∙ c 1

c 2

∙ e 1

e 2

Слично као у примеру 3, добијамо да је

x = 10 ∙ 3 4 ∙ 6 11 200


8 9 000 = 7.

Други начин решавања задатка из претходног примера је уобичајен и чине га два

основна корака:

1. прво треба утврдити да ли је величина чија је једна вредност непозната

директно или обрнуто пропорционална са сваком другом величином

појединачно,

2. а затим формирати одговарајућу пропорцију и наћи непознати члан.

120

3. Задатак

Три машине за 10 дана, радећи 6 сати дневно, запакују 9 000 пакета неког

производа.

1) Колико пакета ће бити запаковано ако 3 машине раде 7 дана по 4 сата дневно?

2) Колико сати дневно треба да раде 2 машине да би за 10 дана запаковале 10 000

пакета?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пропорционалност

Проценти и промили су записи бројева

који су посебно погодни у разним

практичним ситуацијама. Процентима

се броје стоти делови неке величине, док

се промилима броје хиљадити делови.

p

p% =

100 , p‰ = p

1000 .

У суштини, рачун са процентима или

промилима представља уобичајен рачун

са разломцима записаним у посебном

облику.

1

1% =

100

2

2% =

100 = 1 50

20

20% =

100 = 1 5

50

50% =

100 = 1 2

100% = 100

1000

= 1 1000‰ =

100

1

Проценти

1‰ =

и

1000 промили

2

2‰ =

1000 = 1

500

20

20‰ =

1000 = 1 50

500

500‰ =

1000 = 1 2

1000 = 1

лат. per centum = од

(кроз) сто

лат. pro mille = од

(кроз) хиљаду

Пример 4.

Приметимо да су формулације наредна два задатка исте.

Цена једног производа је

снижена за 20% и сада износи

2 450 динара. Колика је била

цена робе пре појефтињења?

Ако са x означимо цену пре појефтињења, добијамо да је

или еквивалентно

Цена једног производа је

снижена за петину и сада износи

2 450 динара. Колика је била

цена робе пре појефтињења?

x – 20%x = 2 450, односно, x – 1 5 x = 2 450,

80%x = 2 450, односно, 4 5 x = 2 450.

Ако је размера целине

G и дела P једнака p%,

онда је

G : P = 100 : p

или

G : 100 = P : p .

Ако је размера целине

G и дела P једнака p‰,

онда је

G : P = 1000 : p.

Из последње једнакости имамо да је x = 3 062,5 динара.

Пример 5.

Најпознатија употреба промила је приликом изражавања количине алкохола у

крви. Наиме, количина алкохола у грамима по кубном центиметру крви изражава

се промилима. На пример, ако неко има 0,3‰ алкохола у крви, то значи да има 0,3

грама на 1000 кубних центиметара крви. Горња граница издржљивости људског

организма је између 4‰ и 5‰. При овим кoличинама алкохола у крви наступа

кома па чак и смрт.

Промилима се изражава и салинитет мора, тј. количина соли у грамима по

килограму морске воде; салинитет од 1‰ значи да један килограм (хиљаду грама)

морске воде садржи један грам соли.

Салинитет Средозменог мора је 38‰. Најсланије море је Мртво море чији

салинитет прелази 30%, тј. 300‰, што је око десет пута више од просечног

салинитета мора. Због овако велике концентрације соли, живот у Мртвом мору не

постоји.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

121


5

2

1 57648 9

Заступљеност АБО крвних група у Србији је следећа:

• А – 41,8%,

• О – 34,9%,

• Б – 16,2%,

• АБ – 7,1%.

Да бисмо заступљеност крвних група у Србији сликовитије приказали, користимо

такозване кружне дијаграме (слика лево). Ове дијаграме добијамо тако што круг

изделимо на кружне исечке тако да размера површине исечка и површине круга

буде иста као размера одговарајуће групе људи и целе популације. Да бисмо

то постигли, довољно је пун угао поделити на централне углове одговарајуће

величине:

41,8% ∙ 360° = 150,48°

34,9% ∙ 360° = 125,64°

16,2% ∙ 360° = 58,32°

7,1% ∙ 360° = 25,56°.

4.

Пример 6.

Задатак

Поред поделе АБО крвних група, узима се у обзир и такозвани резус-фактор (Rh-

-фактор). Сви људи се деле на Rh+ (РХ-позитивне) и Rh– (РХ-негативне), па свака

AБO крвна група има две подгрупе: A– , A+ , O– , O+ , Б– , Б+ , AБ– , AБ+ . Крвна

група O– је универзални давалац крви и у Србији има приближно 5,5% људи ову

крвну групу. Узимајући у обзир податке из претходног примера, процени колико

процената људи у Србији, који имају О крвну групу, има негативан Rh-фактор, а

колико позитиван.

Пример 7.

Цена једног производа је у две продавнице била иста, 520 динара. Онда је у једној

продавници цена најпре снижена за 15%, a затим за 10%, а у другој продавници

је само једанпут снижена за 25%. У којој продавници је сада овај производ

јефтинији?

Нова цена после

повећавања, односно,

снижавања цене x за

p% једнака је

x ± p% ∙ x = (100 ± p)% ∙ x

Прва продавница

Снижење 15%

15% ∙ 520 = 78

520 – 78 = 442

Снижење 10%

10% ∙ 442 = 44,2

442 – 44,2 = 397,8

Друга продавница

Снижење 25%

25% ∙ 520 = 130

520 – 130 = 390

Дакле, производ је јефтинији у продавници у којој је цена само једанпут снижена

за 25%.

122

5.

Задатак

Ако је неки производ поскупео 25%, колико процената нову цену треба снизити

да би се добила првобитна цена?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пропорционалност

Пример 8.

У ком односу треба помешати растворе алкохола од 60% и 85% да би се добио

раствор од 70%?

Ако је x kg количина раствора алкохола од 60%, онда у њој има 60% ∙ x = 0,6x

алкохола.

Ако је y kg количина раствора алкохола од 85%, онда у њој има 85% ∙ y = 0,85y

алкохола.

Када ове количине помешамо и добијемо (x + y) kg новог раствора, у њему има

0,6x + 0,85y алкохола. Да би ова смеша представљала раствор алкохола од 70%,

потребно је да важи једнакост:

0,6x + 0,85y = 0,7(x + y).

Из ове једнакости даље добијамо да је (0,7 – 0,6)x = (0,85 – 0,7)y, тј. 0,1x = 0,15y,

одакле следи да је

x : y = 0,15 : 0,1 = 3 : 2.

Рачун мешања

Укупна количина: 750 ml

Алкохола:

40% ∙ 750 ml = 300 ml

6. Задатак

Које количине раствора алкохола од 60% и раствора алкохола од 85% треба

помешати да би се добило 50 l раствора алкохола од 70%?

Пример 9.

Три породице су закупиле на недељу дана кућу на мору за 75 000 динара.

Трошкове су поделили сразмерно броју чланова. Ако једна породица има три

члана, друга четири а трећа пет, одредимо суму коју за закуп треба да издвоји

свака породица.

Ако са x, y, z означимо суме које треба редом да издвоје трочлана, четворочлана и

петочлана породица, онда добијамо да је

x + y + z = 75 000 и x : y : z = 3 : 4 : 5.

Из друге једнакости добијамо да је x = 3k, y = 4k, z = 5k, за неко k, а затим, узимајући

у обзир и прву једнакост, имамо да је

3k + 4k + 5k = 12k = 75 000.

Дакле, k = 75 000 : 12 = 6 250, што значи да трочлана пoродица треба да плати

x = 3 ∙ 6 250 = 18 750 динара, четворочлана y = 4 ∙ 6 250 = 25 000 динара, а петочлана

z = 5 ∙ 6 250 = 31 250 динара.

Рачун поделе

Пример 10.

Три породице треба да поделе трошкове копања бунара који су износили 140 000

динара. Договор је да поделу изврше обрнуто сразмерно удаљености бунара од

својих кућа, при чему је једна кућа од бунара удаљена 300 метара, друга 600 метара

и трећа 1200 метара.

Ако са x, y, z означимо одговарајуће суме, онда добијамо да је

1

x + y + z = 140 000 и x : y : z =

300 : 1

600 : 1

1200 .

Одавде, као у претходном примеру, рачунамо да је: x = 80 000 динара, y = 40 000

динара и z = 20 000 динара.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

123


5

2

1 57648 9

Каматни рачун

Позајмљивање и улагање новца представљају део свакодневног пословања. При

томе, једна страна даје новац другој, очекујући да јој се новац за неко време врати

увећан за одређену суму.

На пример, чување новца у банци је улагање за особу чији је новац, док је то за

банку позајмљивање новца: улагач даје новац банци, а банка позајмљени новац

користи за сопствено пословање. С друге стране, позајмљивање новца (узимање

кредита) од банке за банку представља улагање. У сваком случају, онај ко улаже

очекује да се уложени новац врати увећан за одређену суму због коришћења

позајмљеног новца.

Уложена сума новца назива се главница, док се очекивана добит након одређеног

времена назива камата или интерес. Колика ће камата (добит) бити зависи од

договорене каматне стопе која се изражава у процентима и представља добит коју

би донело инвестирање суме од 100 динара (евра или неке друге валуте која се

користи) за годину дана и временског периода израженог у годинама.

Имајући у виду значење каматне стопе p%, једноставно рачунамо добит K за

главницу G и период од t година:

K

p = t 1 ∙ G

100 ,

тј.

p

K = G ∙ ∙ t = G ∙ p% ∙ t.

100

Последња фомула се назива проста каматна формула.

У пракси се проста каматна формула углавном користи за периоде који нису дужи

од годину дана. Тако, ако је новац уложен на m месеци, при чему је 1 ≤ m ≤ 12,

камата износи:

K = G ∙ p% ∙ m 12 ,

а ако је уложен на d дана, 1 ≤ d ≤ 360, онда је камата:

d

K = G ∙ p% ∙

360 ,

под претпоставком (због једноставнијег рачуна) да сваки месец има 30 дана, а

година 360 дана.

124

Пример 11.

Неко је узео кредит од 150 000 динара на годину дана, са каматном стопом од 5,1%.

Колику добит ће остварити банка?

Банкa је уложила G = 150 000 динара, каматна стопа је p = 5,1% = 0,051 и временски

период t = 1. Дакле,

K = G ∙ p ∙ t = 150 000 ∙ 0,051 ∙ 1 = 7 650.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пропорционалност

Пример 12.

Неко је орочио 320 000 динара на три месеца, са годишњом каматном стопом од

7%. Колико ће новца подићи по истеку договореног периода?

G = 320 000, p = 7% = 0,07, t = 0,25;

K = 320 000 ∙ 0,07 ∙ 0,25 = 5 600.

Дакле, улагач ће подићи 320 000 + 5 600 = 325 600 динара.

За временске периоде дуже од годину дана, након истека сваке године главница се

увећава за камату, па се даље рачуна са новом главницом. На тај начин добијамо

такозвану сложену каматну формулу.

Ако је неко орочио суму G са каматном стопом p% и подиже новац тек по истеку n

година, онда је укупна сума након:

• 1 године једнака G(1 + p%),

• 2 године једнака G(1 + p%)(1 + p%),

• 3 године једнака G(1 + p%)(1 + p%)(1 + p%),

• n годинa једнака G(1 + p%) n .

Није тешко закључити да, уколико би иста особа после сваке године подизала

камату, после n година би укупно подигла:

G(1 + np%).

Пример 13.

Неко је орочио 100 000 динара на 3 године са каматном стопом 4,2%. Колико

новца ће подићи након истека овог периода:

1) ако после сваке истекле године подиже камату;

2) ако подиже новац након три године?

У првом случају користимо просту каматну формулу, а у другом сложену каматну

формулу.

1) 100 000 ∙ (1 + 3 ∙ 0,042) = 112 600.

2) 100 000 ∙ (1 + 0,042) 3 = 113 136,6088.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

125


5

2

1 57648 9

0

mm

inches

A

Задаци

Размере и пропорције

1. У табели су дати односи америчких јединица мере за дужину и стандардних

јединица мерe за дужину.

1 inch (in) [инч] 25,4 mm

1 foot (ft) [фут, стопа] 12 in 30,48 сm

1 yard (yd) [јард] 3 ft 0,9144 m

1 mile (mi) [миља] 5 280 ft 1,609 km

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6

1) Дијагонала ТВ екрана дугачка је 37 инча. Колика је њена дужина у

центиметрима?

2) Растојање између Вашингтона и Њујорка, ваздушном линијом износи 204

миље. Колико је то растојање у километрима?

3) Колико приближно инча има један центиметар?

2. Формирај пропорцију, ако је могуће, од бројева 15, 18, 35 и 42.

3. Одреди број x, ако је:

1) x : 1 3 = 2 5 : 3 4 ; 2) 0,3 : x = 0,6 : 0,2 ; 3) x : 1 1 3 = 1 2 5 : 1 3 ; 4) 0,01 : 0,1 = x : 0,01.

4

4. Одреди продужену пропорцију, ако је x : y = 3 : 5, y : z = 2 : 3 и z : u = 4 : 3.

5. Докажи следеће специјалне случајеве теореме са стране 85. Нека су a, b, c и d

реални бројеви, сви различити од нуле, такви да је a : b = c : d. Онда је:

1) (a + c) : (b + d) = a : b, под условом да је b + d ≠ 0;

2) (a – c) : (b – d) = a : b, под условом да је b – d ≠ 0;

3) (2a – 3c) : (2b – 3d) = a : b, под условом да је 2b – 3d ≠ 0;

4) (ax + cy) : (bx + dy) = a : b, за све бројеве x и y такве да је bx + dy ≠ 0 .

Збир углова

конвексног

четвороугла једнак

је 360°.

6. Нека су a, b, c, d, α, β, γ и δ реални бројеви, сви различити од нуле. Ако је

a : b = c : d, докажи да је (αa + βb) : (γa + δb) = (αc + βd) : (γc + δd).

7. Одреди углoве α, β, γ и δ конвексног четвороугла, ако је α : β : γ : δ = 1 : 2 : 3 : 4.

8. Одреди бројеве x, y и z, ако је x : y : z = 3 : 5 : 7 и x + 2y + 3z = 51.

9. Одреди бројеве x, y и z, ако је x : y = 5 : 6, y : z = 2 : 3 и x + y + z = 80.

Б

10. Нека су a, b, c и d бројеви различити од нуле такви да је b – 3a ≠ 0, 2b + d ≠ 0 и

(a – 3c) : (b – 3d) = (2a + c) : (2b + d). Докажи да је a : b = c : d.

11. Нека су a 1

, a 2

, ..., a n

и b 1

, b 2

, ..., b n

реални бројеви, сви различити од нуле, такви

да је a 1

: a 2

: ... : a n

= b 1

: b 2

: ... : b n

. Докажи да је

k 1

a 1

+ k 2

a 2

+ ... + k n

a n

k 1

b 1

+ k 2

b 2

+ ... + k n

b n

= l 1a 1

+ l 2

a 2

+ ... + l n

a n

l 1

b 1

+ l 2

b 2

+ ... + l n

b n

за било које бројеве k 1

, k 2

, ... ,k n

, l 1

, l 2

, ... , l n

, такве да су бројеви који образују

пропорцију различити од нуле.

126

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пропорционалност

12. Одреди неколико тројки бројева (a, b, c) које задовољавају пропорцију

b – a

c – b = c a .

Директна и обрнута пропорционалност

13. Шта је повољније купити, боцу са 0,5 l сока по цени од 64 динара или боцу са

1,25 l истог сока по цени од 134 динара?

А

14. Нацртај график зависности између пређеног пута (у метрима) и протеклог

времена (у секундама) при равномерном кретању брзином од 0,5 m/s.

15. Брзина гусенице A je 10 dm/h, брзина гусенице B је 10 cm/min, а брзина

гусенице C је 10 mm/s. Која гусеница је најбржа, а која је најспорија?

16. Нацртај график зависности између протеклог времена (у сатима) и

просечне брзине кретања (у километрима на сат) приликом преласка пута

дугачког 2 km.

Примене пропорција

17. За палачинке је потребно: 200 g брашна, 200 ml млека, 200 ml воде, 2 јајета и

30 g уља. Да бисмо направили смесу за палачинке од 5 јаја, колико је потребно

осталих састојака?

А

18. За транспорт грађевинског материјала потребно је 15 камиона носивости од

3 тоне. Колико камиона носивости од 5 тона је потребно за транспорт исте

количине материјала?

19. Колико сијалица од 100 W даје исто осветљење као 24 сијалица од 75 W?

20. Од 5 kg брашна испече се 10 хлебова од по 750 g. Колико хлебова од по 1 kg се

може добити од 6 kg брашна?

21. Три кројача за 5 дана, радећи по 4 сата дневно, сашију 10 капута.

1) За колико дана ће 6 кројача сашити 25 капута ако раде 5 сати дневно?

2) Колико капута ће сашити 4 кројача за 3 дана ако раде 8 сати дневно?

3) Колико сати дневно треба да раде два кројача да би за 6 дана сашили 10

капута?

4) Колико кројача ће за 9 дана, радећи по 5 сати дневно, сашити 30 капута?

22. Салинитет Средоземног мора је 38‰. Колико има соли у 2 t воде из овог мора?

23. Један производ је два пута појефтинио за исти проценат. Први пут је цена

снижена за 250 динара, а други пут за 200 динара. За колико процената је цена

снижена сваки пут и колика је била цена производа пре првог снижења?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

127


5

2

1 57648 9

24. Према подацима из 2010. године, за приступ интернету највише се користи

Firefox са уделом од чак 42,2%. На другом месту је Internet Explorer са уделом

на тржишту од 25,8%, док је на трећем месту Google Chrome који држи 25%

тржишта.

1) У ком проценту су заступљени остали претраживачи?

2) Одреди приближне вредности централних углова кружних исечака кружног

дијаграма заступљености интернет претраживача на тржишту.

25. Каратима се изражава финоћа легура злата које поред злата углавном садрже

бакар јер он не квари боју злата, а повећава му чврстоћу. Број карата X се

одређује формулом X = 24 M z, где је M

M z

маса чистог злата у легури, а M u

је