Untitled - Universidade de Santiago de Compostela

24 SII El teorema de Hedlund. Flujos minimales y curvatura negativa
Previos en geometría hiperbólica
Definición 2. El disco de Poincaré es la variedad de Riemann definida sobre el
disco abierto de radio 1 del plano complejo con la métrica
ds 2 = 4|dz|
.
(1 − zz) 2
El modelo del semiplano viene dado en el semiplano superior complejo con la métrica
dada por la densidad λ(z) = 1/im(z). El punto del infinito forma parte de este
modelo.
Ambos modelos son isométricos, forman el plano hiperbólico, que denotamos H,
y tienen distintas ventajas e inconvenientes.
Poincaré demostró que el grupo de isometrías del plano hiperbólico que conservan
la orientación coincide con el grupo de Lie
P SL(2, R) = {A ∈ M2 | det(A) = 1}/{I, −I} ,
(las que no conservan orientación son de la forma az+c
cz+a con |a|2 − |c| 2 = 1).
Definición 3 (Transformaciones elementales del plano hiperbólico). Existen transformaciones
sencillas del plano hiperbólico que generan el resto de isometrías orientadas.
(a) Transformaciones parabólicas. Las que fijan un punto del plano hiperbólico.
Son conjugadas a traslaciones horizontales en el modelo del semiplano.
(b) Transformaciones elípticas. Son las conjugadas a rotaciones en el modelo del
disco.
(c) Transformaciones hiperbólicas. Fijan exactamente dos puntos. Son conjugadas
a homotecias en el modelo del semiplano, que fijan 0 y ∞.
Definición 4. Un grupos fuchsiano es un grupo discreto de isometrías del plano
hiperbólico. Diremos que es de primera clase si está constituido por transformaciones
hiperbólicas. Su conjunto límite es el círculo del infinito. Diremos que es cocompacto
si el cociente del plano hiperbólico por la acción del grupo fuchsiano es compacto.
Sea (M, g) una variedad de Riemann y T M =
p∈M TpM el fibrado tangente.
Se define el fibrado tangente unitario de M como
T 1 (M) = {(p, v) ∈ T M | g(v, v) = 1} .