Untitled - Universidade de Santiago de Compostela

32 SII Métodos Geométricos de Teorías Clásicas de Campos
Ejemplos típicos son sistemas mecánicos (clásicos o relativistas) con un número
finito de partículas.
Las principales características de las teorías clásicas de campos son las siguientes:
Involucran un número infinito de grados de libertad,
Los diferentes estados de los sistemas están descritos por funciones de varias
variables (coordenadas espacio-tiempo), y su comportamiento se describe mediante
ecuaciones en derivadas parciales: las ecuaciones de campo.
Ejemplos típicos son: electromagnetismo clásico, (descrito mediante las ecuaciones
de Maxwell), gravitación (ecuaciones de Einstein), mecánica de fluidos
(ecuaciones de Navier-Stokes), mecánica de ondas (ecuación de onda),...
Ejemplo 1. La transmisión de ondas en un medio material, por ejemplo la vibración
de una membrana de dimensión 2.
El campo es una función
Φ: R 3 → R
(t, x, y) ↦→ φ(t, x, y)
que mide el desplazamiento de cada punto (x, y) de la membrana en el instante de
tiempo t.
Figura 1: Membrana vibrante
La ecuación que describre este movimiento es una ecuación en derivadas parciales
de tipo hiperbólico
1
v2 ∂2φ ∂t2 = ∂2φ ∂x2 + ∂2φ ∂y2 donde v denota la velocidad de propagación de la onda. (Cada uno de los infinitos
grados de libertad se corresponde con los desplazamientos de cada punto.)
Formalismo lagrangiano k-simpléctico
Como se ha comentado al inicio del resumen existen varios modelos alternativos
que permiten describir geométricamente las teorías clásicas de campos. Desde el
punto de vista conceptual, el más simple de ellos es el formalismo k-simpléctico. Este
formalismo nos permite describir aquellos tipos de teorías cuyos campos son solución
de las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas a lagrangianos que sólo dependen del
campo y de las derivadas parciales del campo. A continuación vamos a dar una breve
descripción de este formalismo.