Untitled - Universidade de Santiago de Compostela

26 SII El teorema de Hedlund. Flujos minimales y curvatura negativa
El flujo geodésico fue bien estudiado en los comienzos de la geometría hiperbólica
y no es minimal aunque se sabe que posee órbitas densas así como órbitas periódicas.
La cuestión sobre el carácter minimal del flujo horocíclico quedó en suspenso hasta
los años 30 del siglo XX, esto es precisamente el resultado de Hedlund.
Teorema 5 ([2], Teorema de Hedlund). Sea Γ un grupo fuchsiano de primera clase
y cocompacto. Entonces el flujo horocíclico inducido en T 1 (H)/Γ = T 1 (H/Γ) es
minimal.
La demostración se sigue usando el lema del encajonamiento en semihorociclos
dados sobre un intervalo del borde del disco de Poincaré y que pasan por un punto
fijo. Esto prueba la existencia de órbitas densas.
La cocompacidad se usa para probar que todos los horociclos cumplen esta
propiedad, la demostración completa es larga y técnica.
Corolario 6. Para p > 1 existen superficies de curvatura negativa, cerradas y orientadas
de género p cuyos fibrados tangentes unitarios (que son 3-variedades) admiten
un flujo minimal.
El teorema de Hedlund también ofrece un contraejemplo en homología a la conjetura
de Gottschalk. Usando este teorema A. Verjovsky obtuvo una 3-variedad
equivalente a S 3 en homología y que admite un flujo minimal.
Bibliografía
[1] A.Fathi, M.R. Herman, Existence de difféomorphismes minimaux, Astérisque
49 (1977), 37–59.
[2] G. A. Hedlund, Fuchsian groups and transitive horocycles, Duke Math. J. 2
(1936), no. 3, 530–542.
[3] H. Kneser, Regulare Kurvensharen auf Ringflächen, Math. Ann. 91 (1924), 135–
154.