1 - McGraw-Hill

UN QUADRO
Pablo Palazuelo, Sydus III, 1997. Oli
sobre llenç.
En moltes obres d’aquest pintor, i en especial
en aquesta, podràs observar com busca
composicions en les quals es connecten i
entrecreuen línies. Es formen així xarxes en
què la bellesa es crea a partir de la varietat de
possibilitats que les formes canvien.
UNA WEB
http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/
mem2001/dibujotecnico/index.html
Entra en aquesta pàgina web i busca els
capítols Polígonos II, Tangencias, Óvalos
i Ovoides. Si actives el botó Reproducir
observaràs com els polígons es van construint
en moviment pas a pas.
UN LLIBRE
Bourgoin, J.: Arabic geometrical pattern
&Design. Nueva York, Dòver.
En les pàgines d’aquest llibre veuràs multitud
de bells dissenys àrabs que es basen en els
polígons regulars que, com el triangle equilàter i
l’hexàgon, generen un sistema en què les xarxes
geomètriques es descomponen en unitats
idèntiques que es repeteixen en seqüències
regulars.

ANÀLISI
I REPRESENTACIÓ
DE FORMES
El nostre entorn és una font de formes que es
relacionen entre elles tot creant estructures:
els pètals que formen una flor, els engranatges
que integren una màquina, etc. Entre
els múltiples tipus de formes destaquen les
orgàniques i les geomètriques. El tret més
característic de les primeres és el seu contorn
ondulat; predominen a la natura, tot i
que també es troben entre els objectes artificials.
Les formes geomètriques també abunden
a la natura, però on es poden contemplar
millor és en els elements fabricats pels éssers
humans. No oblidem que les corbes, els
polígons i la resta de formes geomètriques
són abstraccions que utilitzem no només per
construir, sinó també per interpretar la realitat
que ens envolta. Al llarg de la història
les han emprat nombrosos artistes d’estils
molt diversos.
4

90
4 FORMES
CD
1
En l’Activitat 1 del CD afermaràs
els teus coneixements sobre
el tractament de la forma
orgànica.
Vocabulari
A
Hiperrealisme: moviment
artístic contemporani que va
sorgir a mitjans segle XX i que es
caracteritza per representar la
realitat amb el màxim grau de
fidelitat al model.
A1
ORGÀNIQUES
Anomenem formes orgàniques a aquelles en la configuració de les quals
predomina la línia corba sobre la línia recta. Les podem observar sobretot
en elements de la naturalesa: núvols, arbres, aigües en moviment, etc. Per
tant, moltes formes naturals es poden incloure també dins del grup de les
orgàniques.
A TRACTAMENT DE LA FORMA ORGÀNICA
A la forma en general, i en particular a l’orgànica, se li poden donar diversos
tractaments d’expressió. En aquesta ocasió et presentem tres possibilitats de
treballar amb aquest tipus de forma.
Tractament realista
Fig. 4.1 Antonio López, Mans
enguantades per a Marilyn a
Embajadores, 1964.
En aquest cas, les formes tracten d’imitar la realitat que veiem en el nostre
entorn. En ocasions, també contribueixen a aquest propòsit elements com
el color o la textura.
En el dibuix titulat Mans enguantades per a Marilyn a Embajadores (Fig. 4.1),
realitzat pel pintor Antonio López, un dels artistes plàstics més destacats
del moviment hiperrrealista espanyol, es pot observar el realisme amb què
han sigut dibuixades totes les formes que componen la imatge. S’ha registrat
fins el detall per a mostrar de manera inequívoca com eren exactament
els guants i l’acció que expressen. En el mateix sentit, Pedro Martínez Sierra
dibuixa, a la seua obra Nu femení (Fig. 4.2), una representació realista de la
figura humana.
Fig. 4.2
Pedro Martínez Sierra, Nu femení,
1970-1971.

A2
A3
Tractament geomètric
També anomenat geometrització o simplificació de la forma, bàsicament
consisteix a suprimir de les formes els detalls que no són imprescindibles per
a comprendre-les (Fig. 4.3).
Aquesta manera de treballar fa que les formes siguen més comprensibles en
eludir detalls poc significatius. No obstant això, hi ha el perill de simplificar
de tal manera que la forma inicial aparega irrecognoscible als nostres ulls; el
resultat, llavors, seria una imatge abstracta.
Tractament de contorns i siluetes
Recorda que contorn és la línia amb què dibuixem l’exterior de la forma, i
silueta, la forma amb una superfície interior d’un mateix color o d’una mateixa
textura.
El contorn, en estar realitzat per una línia, es pot tractar amb distints gruixos
i intensitats de grisos, en funció de la importància que tinga la forma en el
conjunt. Amb aquest tractament s’aconsegueixen dibuixos d’una gran bellesa
i sensibilitat, com el que va realitzar Pablo Ruiz Picasso sobre La metamorfosi
d’Ovidi (Fig. 4.4).
La utilització de siluetes dóna una major rotunditat a la visió de la forma i,
per tant, al dibuix en la seua totalitat. No obstant això, té una part negativa
respecte al tractament anterior, i és que es perd la sensibilitat del traç en el
contorn. Tot i així, la silueta permet, tota sola, realitzar obres de gran expressivitat,
com el Nu blau, d’Henri Matisse (Fig. 4.5)
Fig. 4.4
Pablo Ruiz Picasso, La metamorfosi d’Ovidi,
1930. Relat de Nèstor sobre la guerra de Troia.
Fig. 4.5
Henri Matisse, Nu blau, 1952.
Juan Gris, Natura morta amb
botella i ganivet, 1912.
Fig. 4.3
91

Fig. 4.6
Fig. 4.7
92
Fig. 4.8
4 DIBUIXAR
B
B1
B2
B3
AMB FORMES ORGÀNIQUES
Abans de dibuixar una forma hem d’establir relacions entre les grandàries
que tenen les seues parts. És a dir, entre unes parts i altres, i entre el tot i les
parts.
El procés d’elaboració d’un dibuix es pot simplificar en tres fases: encaixament,
desenvolupament i detalls.
Encaixament
Consisteix a situar una o diverses formes dins de l’espai limitat pel paper de
dibuix, de manera que totes les parts mantinguen la proporció correcta i
ocupen el lloc adequat (Fig. 4.6).
En aquesta fase no es dibuixen detalls. Es tracen línies generals de situació,
simetria i contorns destacats amb un llapis bla, la qual cosa permet esborrar
amb facilitat els traços no desitjats. Les formes observades de la realitat han
de simplificar-se en figures geomètriques senzilles, com ara cercles, triangles,
rectangles, etc., per a introduir després les configuracions concretes de les
formes reals.
Observa en el dibuix adjunt com aquesta operació facilita el mesurament i
la proporció dels traçats.
Desenvolupament
Una vegada encaixades les formes convé aplicar-hi ombres per a definir-les
millor. D’aquesta manera s’aconsegueix donar una impressió més aproximada
a com són en la realitat (Fig. 4.7).
Quan les ombres presenten un fort contrast i delimiten masses concretes
es dibuixa l’ombra mitjançant línies auxiliars. Anomenem així les línies que
s’utilitzen per a recolzar i aclarir els contorns interiors de formes complexes en
un dibuix. Aquesta operació resulta més difícil en dibuixos en què les ombres
queden difuminades, és a dir, que disminueixen de manera progressiva la
seua nitidesa i no concreten bé els seus contorns.
Detalls
En aquesta fase es tractarà d’acabar el dibuix en
proporcionar-li el major grau possible d’exactitud
i aproximació a la realitat (Fig. 4.8).
Es repassaran i corregiran els contorns de les formes
delimitant-les amb major rigor. El mateix es
farà amb les ombres. Observant-ne el conjunt i,
en funció de la impressió general, es passarà a
enfosquir les zones que així ho requerisquen i a
aclarir amb una goma d’esborrar aquelles altres
que estiguen pujades de to.

APLICACIONS: SIMPLIFICAR FORMES
COMPLEXES
Hem analitzat alguns dels tractaments expressius amb
els quals es pot dibuixar: el realisme d’Antonio López
en la seua obra Mans enguantades per a Marilyn a Embajadores;
la geometrització de la forma que utilitzava
habitualment Juan Gris per a l’elaboració de les seues
pintures cubistes, i que tan magistralment fa servir en el
seu quadre Flascó, botella i ganivet; i, fi nalment, el tractament
de les formes mitjançant contorns i siluetes, fet
servir per molts artistes plàstics per a expressar-se al llarg
de la història.
Pablo Ruiz Picasso va utilitzar per a realitzar la seua obra
El Bou (Fig. 4.9) tots els tractaments expressius exposats
de manera seqüenciada. És a dir, el procés que va seguir
per a desenvolupar aquest dibuix va ser simplifi car les
formes complexes que constitueixen la fi gura que desitjava
plasmar, partint, per tant, de la versió més realista
del bou, per a posteriorment anar reduint, mitjançant
geometritzacions, les formes fi ns a aconseguir la imatge
esquemàtica fi nal.
Fig. 4.9a Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 12 de desembre de 1945.
Fig. 4.9b Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 24 de desembre de 1945.
Fig. 4.9c Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 26 de desembre de 1945.
Fig. 4.9d Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 2 de gener de 1946.
Fig. 4.9e Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 5 de gener de 1946.
Fig. 4.9f
Pablo Ruiz Picasso, El Bou, 17 de gener de 1946.
Ara fes-ho-tu
Prova tu també de simplifi car formes. Realitza un dibuix d’algun animal domèstic, com
ara un gos, un gat, o qualsevol altre que se t’ocórrega, amb el tractament de la forma per
mitjà del contorn, i el procediment de simplifi cació de la forma.
93

Fig. 4.10
94
4 FORMES
2
A
Fig. 4.11
Fig. 4.12
A1
GEOMÈTRIQUES
CONSTRUCCIÓ DE POLÍGONS REGULARS CONEIXENT-NE
EL COSTAT
Els mètodes de representació són de dos tipus: un de caràcter general, és a
dir, que es pot aplicar a qualsevol polígon regular amb el nombre de costats
que desitgem; i un altre de particular, per a cada polígon en concret.
S’utilitzen mètodes particulars, per la senzillesa dels seus traçats, en la
construcció dels següents polígons: triangle equilàter, quadrat, pentàgon,
hexàgon, heptàgon i octògon. L’aplicació del mètode general l’usarem quan
calga dibuixar polígons amb més de huit costats.
Mètodes particulars
– Traçat del triangle equilàter coneixent-ne el costat (Fig. 4.10)
1. Dibuixem un segment AB amb el valor del costat que es dóna.
2. Fent centre de manera successiva en els vèrtexs A i B, amb una obertura
de compàs igual a AB, tracem dos arcs que determinen el punt C, vèrtex
oposat al costat AB.
3. El triangle demanat s’obté en unir C amb A i amb B.
– Traçat del quadrat coneixent-ne el costat (Fig. 4.11)
1. Tracem el costat AB donat.
2. S’alça una recta perpendicular sobre cadascun dels vèrtexs A i B amb
l’escaire i el cartabó. A partir de A es traça una recta obliqua que forme
amb el costat AB un angle de 45 °. Aquesta recta determinarà el punt C en
tallar la perpendicular traçada en B.
3. Simplement traçant una paral·lela a AB per C obtenim el quadrat que volem
determinar.
– Traçat del pentàgon coneixent-ne el costat (Fig. 4.12)
1. Dibuixem el costat AB amb el valor donat i trobem la seua mediatriu,
amb la qual cosa obtenim el punt P.
2. S’alça una recta perpendicular en B, i des d’aquest punt, i amb radi
BA, es traça un arc que determinarà el punt J en tallar la perpendicular
traçada abans.
3. Amb radi PJ i centre en P es dibuixa un arc que tallarà en el punt M
la prolongació de AB.
4. Prenent com a centre A, i una obertura de compàs AM, dibuixem
un arc que determina el punt D sobre la mediatriu.
5. Finalment, tracem arcs amb centre en D, A i B, i radi igual al costat
AB. Aquests arcs, en tallar-se entre si, determinen els punts C i E,
vèrtexs del pentàgon. El pentàgon s’obté unint els punts C, D i E
amb els extrems A i B.

– Traçat de l’hexàgon regular coneixent-ne el costat
(Fig. 4.13)
L’hexàgon regular és l’únic polígon regular en què es
compleix la igualtat del costat i del radi de la circumferència
circumscrita. Açò en facilita la construcció, ja
que, si ens donen el valor del costat o del radi que el
circumscriu, podrem construir-lo sempre de la mateixa
manera.
1. Tracem una circumferència de radi r igual al costat AB
donat i un diàmetre qualsevol, AD.
2. Amb centre en A i radi AO es descriu un arc que talle
la circumferència en els punts B i F. De la mateixa manera,
fent centre en D amb radi DO es traça un arc que
torne a tallar la circumferència en els punts E i C.
3. En unir aquests punts entre si obtenim l’hexàgon.
– Traçat de l’heptàgon regular coneixent-ne el costat
(Fig. 4.14)
1. Dibuixem el costat AB i es traça una perpendicular
per un dels seus extrems, per exemple, el B. Es traça
també la mediatriu d’aquest costat.
2. En l’extrem A, sobre AB construïm un angle de 30 °, i
prolonguem el costat fins que es talle en la perpendicular
traçada des de B en el punt P. Per a fer aquest
angle s’ha transportat el de 30 ° que ofereix el cartabó.
3. Amb centre en A i radi AP descrivim un arc que tallarà
a la mediatriu de AB en el punt O, centre de la
circumferència circumscrita a l’heptàgon, el radi de
la qual serà el segment OA o OB.
4. Sobre la circumferència traslladem la magnitud del
costat AB set vegades, i obtenim els punts C, D, E, F i
G.
5. -L’heptàgon que ens demanen es determina unint els
punts.
Fig. 4.13
Fig. 4.14
95

Fig. 4.15
96
4 –
CD
En l’Activitat 2 del CD podràs
repassar els conceptes
relacionats amb el traçat de
polígons regulars.
Fig. 4.16
A2
Traçat de l’octògon regular coneixent-ne el costat (Fig. 4.15)
1. Amb la magnitud AB, costat de l’octògon, construïm un quadrat amb
aquest valor de costat.
2. Es tracen les diagonals per tal de determinar el punt P, centre d’aquest
quadrat. Amb centre en P i radi PA es traça un arc que tallarà en O la mediatriu
de AB.
3. El punt O és el centre de la circumferència circumscrita a l’octògon, el radi
de la qual és el segment OA o OB.
4. Sobre aquesta circumferència es trasllada la magnitud del costat AB huit
vegades, amb la qual cosa resulten els punts C, D, E, F, G i H.
5. En unir aquests punts es determina la figura de l’octògon.
Mètode general coneixent el costat
Per a estudiar els diferents processos d’aquest mètode prendrem com a exemple
la construcció d’un enneàgon regular de costat AB (Fig. 4.16).
1. Trobem la mediatriu del segment AB.
2. Amb centre en A i radi AB es traça un arc que tallarà la mediatriu en el punt
C (observa que el punt C és el centre de l’hexàgon regular de costat AB).
Sobre aquesta recta estaran situats els centres de les circumferències dels
polígons.
3. Amb centre en C i radi AC es traça una circumferència, i, on aquesta talla
la mediatriu, s’obté el punt P.
4. El radi CP es divideix en sis parts iguals, i per a això apliquem el teorema
de Tales. Trobem així els punts 7, 8, 9, 10, 11 i 12. Cadascun d’aquests punts
constitueix el centre de la circumferència circumscrita als polígons regulars
de 7, 8, 9... costats.
5. En el nostre cas, el centre serà el punt 9 i el radi, la magnitud A9. Tracem la
circumferència i, a partir de A, portem el valor de AB amb el compàs sobre
aquesta tantes vegades com costats tinga el polígon proposat.
6. Finalment, unim els vèrtexs determinats anteriorment per a construir el
polígon.

B
B1
TANGÈNCIES
Diem que dues figures són tangents quan tenen un sol punt en comú, denominat
punt de tangència (Fig. 4.17 La unió harmònica entre corbes i rectes o
de corbes entre si s’anomena enllaç (Fig. 4.18) i aquesta unió ha de produir-se
per tangència.
Les tangències poden ser entre circumferències i rectes, entre polígons i rectes,
entre circumferències i polígons, etc. No obstant això, les tangències més
habituals en els dibuixos geomètrics són les que es generen entre rectes i
circumferències, i entre circumferències entre si.
Propietats bàsiques de les tangències
Per a solucionar amb exactitud els traçats de tangències hem de tindre en
compte els teoremes següents:
– Primer teorema: una recta és tangent
a una circumferència quan tenen entre
si només un punt (M) en comú, i la
recta és perpendicular al radi de la circumferència
en el punt (M). (Fig. 4.19)
– Segon teorema: una circumferència és tangent a dues rectes que es tallen
si el seu centre està situat en la bisectriu de l’angle que formen les rectes
(Fig. 4.20).
– Tercer teorema: dues circumferències són tangents si tenen un punt en
comú (N) alineat amb els centres de les circumferències. (Fig. 4.21).
Fig. 4.17
Fig. 4.20
Fig. 4.18
Fig. 4.21
Fig. 4.19
97

Fig. 4.22
Fig. 4.23
Fig. 4.24
98
4 Tangència
B2
entre recta i circumferència
A continuació, et presentem alguns dels traçats de tangències que es fan
servir amb més freqüència en dibuix tècnic.
– Traçat d’una recta tangent a una circumferència
coneguda per un punt P
de la recta (Fig. 4.22)
1. Tracem el radi que uneix els punts O
i P.
2. A continuació, dibuixem pel punt P la
recta perpendicular al radi, que és la
recta tangent r buscada.
– Traçat de rectes tangents a una circumferència
coneguda des d’un punt
P exterior (Fig. 4.23)
1. Unim el punt P amb el centre de la circumferència,
O, i es dibuixa la mediatriu,
per a obtindre així el punt H.
2. Amb centre en H i radi HO, dibuixem un
arc que talla la circumferència donada
en els punts M i M´, que són els punts
de tangència.
3. Les rectes de tangència r i s resulten
d’unir el punt P amb M i M´.
– Traçat d’una circumferència de radi
conegut tangent a dues rectes r i s
convergents (Fig. 4.24)
1. Es dibuixa la bisectriu de l’angle que
determinen les rectes.
2. Es traça una recta t paral·lela a una de les
rectes donades i, separada d’aquesta, la
mesura del radi r conegut. La intersecció
de s amb la bisectriu és el centre de
la circumferència que s’ha de traçar.
3. Els punts de tangència són M i M’, que
es troben en dibuixar els radis perpendiculars
a les rectes r i s.

– Traçat d’una circumferència que passa pel punt
M i és tangent en P a la recta r (Fig. 4.25)
1. Com que M i P han de ser punts de la circumferència
que es desitja traçar, el seu centre ha de trobar-se en
la mediatriu de MP.
2. En ser P el punt de tangència en la recta r, el centre
O de la circumferència se situa on la perpendicular
traçada des de P a r talla la mediatriu MP.
– Traçat de rectes tangents exteriors a dues circumferències
conegudes de diferent radi (Fig. 4.26)
1. Unim els punts O i O´ i trobem el punt mig de OO’, al
qual anomenem H.
2. Tracem una circumferència concèntrica a la de major
radi que siga igual a la diferència entre els radis major
i menor.
3. Amb centre en H i radi HO tracem un arc fins que talle
la circumferància auxiliar en M i M’.
4. Unim O amb M i M´. Resulten els punts U i V.
5. Dibuixem per O´ dos radis paral·lels a OV i OU per a
aconseguir els punts S i T. En unir V amb T i U amb S,
tracem les rectes tangents r i l.
– Traçat de rectes tangents interiors a dues circumferències
conegudes i de diferent radi (Fig. 4.27)
1. Unim els punts O i O´ i determinem el punt mig de
OO’, que és H.
2. Tracem una circumferència de radi igual a r més r´ i
amb centre en O.
3. Trobem una altra circumferència amb radi HO i centre
en H, que tallarà a l’anterior en els punts M i M’.
4. Unim els punts M i M’ amb O i O’, amb la qual cosa
obtenim els punts U i V en les circumferències.
5. Dibuixem per O’ dos radis paral·lels OV i OU, que hem
de traçar en sentit contrari per a aconseguir els punts
S i T.
6. Cal dibuixar les rectes que contenen, respectivament,
U i T, i V i S, per a arribar a les rectes tangents r i l.
Fig. 4.25
Fig. 4.26
Fig. 4.27
99

Fig. 4.28
Fig. 4.29
Fig. 4.30
100
4 Tangència
B3
entre circumferències
Les circumferències tangents poden ser de dos tipus: interiors i exteriors. En
les primeres, la distància dels seus centres és igual a la diferència dels seus
radis; i en la segones, la distància dels centres és igual a la suma dels radis.
– Traçat d’una circumferència de radi
r tangent exterior a una altra circumferència
coneguda de centre O
en el punt P (Fig. 4.28).
1. Prolonguem un radi de O que continga
el punt P.
2. Sumem el radi r a partir de P i obtenim
O’.
3. Finalment, tracem la circumferència que
buscàvem amb centre en O´ i radi O’P.
– Traçat d’una circumferència tangent
a una altra coneguda en un punt M i
que passe per un altre punt interior
N (Fig. 4.29)
1. En ser M i N punts de la mateixa circumferència,
el seu centre estarà en la
mediatriu de MN.
2. Unim O amb M i, on talle la mediatriu,
obtenim el centre O’ de la circumferència,
que dibuixarem amb radi O’N.
– Traçat d’una circumferència de radi
r conegut, tangent a una altra circumferència
i a una recta donada
(Fig. 4.30)
1. Tracem un arc amb centre en O que
tinga com a radi la suma del radi de la
circumferència donada més el radi conegut.
2. Dibuixem una recta paral·lela a la recta
donada que diste d’aquesta la mesura
del radi que coneixem. La intersecció
d’aquesta paral·lela amb l’arc és el
centre O de la circumferència buscada,
i els punts M i N són els punts de
tangència.

C
C1
ENLLAÇOS
Oval i ovoide
Els ovals i els ovoides són corbes planes, tancades i simètriques. Les primeres
són simètriques respecte als seus dos eixos perpendiculars, mentre que
les segones ho són només en relació amb el seu eix major. En els dos casos,
aquestes figures estan formades per quatre arcs de circumferència.
– Traçat d’un oval del qual coneixem els dos eixos (Fig. 4.31)
1. Tracem un arc de centre en O amb radi OA que talla la prolongació de CD
en el punt P. Unim A amb C.
2. Dibuixem un arc de radi CP amb centre en C fins a tallar el segment AC en
V.
3. Dibuixem la mediatriu de AV, que talla la prolongació de OD en el punt M
o dins del segment, i al semieix major en el punt N.
4. Dibuixem els punts simètrics de M i N respecte als eixos de l’oval, M’ i N’.
5. Unim els punts M i M’ amb N i N’, respectivament, i tracem els arcs de centre
M’ i M amb radi M’D i MC, amb la qual cosa obtenim els punts Q i Q’ i P i
P.
6. Finalment, dibuixem els arcs de centre N i N’ amb radi NA i N’B fins als
punts de tangència anteriorment traçats: Q i Q’ i P i P’; d’aquesta manera
aconseguim construir l’oval.
– Traçat d’un ovoide del qual coneixem l’eix menor (Fig. 4.32)
1. Dibuixem la mediatriu de l’eix conegut AB i obtenim el punt O.
2. Amb centre en O i radi OA, tracem una circumferència que tallarà la mediatriu
en el punt P.
3. Unim els punts A i B amb P, amb la qual cosa s’arriba a les rectes r i s.
4. Se Dibuixem dos arcs amb radi AB i centre en els punts A i B, i obtenim els
punts M i M’.
5. Amb centre en P i radi PM o PM’, tracem l’últim arc que configura l’ovoide
que se’ns demana.
Fig. 4.32
Fig. 4.31
101

Fig. 4.33
102
4 C2 Espirals
Les espirals són corbes planes, obertes i contínues que es configuren en
expansió al voltant d’un nucli central, lineal o poligonal, mitjançant arcs de
circumferència.
CD
En l’Activitat 3 del CD
descobriràs que l’espiral està
present en molts objectes
quotidians.
En una espiral, el pas és la distància longitudinal que es desplaça un punt
d’aquesta en una volta completa.
– Traçat d’una espiral de dos centres (Fig. 4.33)
1. Dibuixem una recta sobre la qual definim dos punts, 1 y 2.
2. Fem centre en el punt 1 i, amb radi igual al segment 1-2, tracem una semicircumferència.
En tallar la recta obtenim el punt A.
3. Prenent com a centre el punt 2 i com a radi 2A, dibuixem una altra semicircumferència
fins a determinar el punt B sobre la recta.
4. Prenem 1 com a centre i amb radi 1B tornem a dibuixar una altra semicircumferència,
de manera que resulta el punt C. Així, alterant successivament
els centres 1 i 2, i traçant semicircumferències, es va configurant l’espiral.
– Traçat d’una espiral de tres centres situats en els vèrtexs d’un triangle
equilàter (Fig. 4.34)
1. Dibuixem un triangle equilàter al qual prolonguem els costats i numerem
els vèrtexs: 1, 2 i 3.
2. Amb centre en el punt 1 i amb radi 1-3, realitzem un arc de circumferència
fins a determinar el punt A sobre el costat prolongat 2-1 del triangle.
3. De la mateixa manera, fent centre en el punt 2 i amb radi 2A, dibuixem un
altre arc fins a obtindre el punt B sobre el costat 3-2, també prolongat.
4. Alterant aquest procediment successivament (centre en 3 amb radi 3B que
determina el punt C, etc.) es va construint l’espiral.
Fig. 4.34

APLICACIONS: POLÍGONS REGULARS
EN ELS OBJECTES
Des dels orígens, l’ésser humà, en observar la naturalesa,
va advertir els múltiples avantatges que oferien les formes
poligonals i, més concretament, les de confi guració
regular.
Si ens fi xem en el nostre entorn, ens adonarem que
en molts dels objectes que ens envolten estan presents
els polígons regulars: des de la forma del quadrat
d’algunes fi nestres dels edifi cis fi ns al paviment
que xafem en les voreres estan constituïts per aquest
L’espiral en el disseny gràfi c
Observa la Figura 4.36. . És un grafi sme que es construeix fent arrancar successives
espirals de huit centres a partir d’un octògon regular. Observa com
s’ha realitzat el dibuix. Veuràs que és molt senzill i que es presta per a fer
interpretacions variades lliures sobre la idea d’espiral.
Basant-te en aquests coneixements sobre l’espiral i en el que has aprés en
aquesta unitat, dibuixa un grafi sme similar al que et presentem. Per aconseguir
major expressivitat en els teus treballs, aplica-hi color una vegada que
estiguen fets amb llapis. Utilitza retoladors.
Ara fes-ho-tu
Elegeix dos objectes que tingues a casa la forma dels quals estiga confi gurada per algun
polígon regular. Dibuixa’ls sobre un paper format A-4 i comenta per què penses que el
dissenyador ha fet servir en la seua obra aquell polígon.
i d’altres polígons regulars (triangles, pentàgons,
hexàgons, etcètera).
En l’actualitat, una bona part dels objectes que es fabriquen
estan realitzats amb alguns tipus d’estructura
poligonal regular. Una de les més senzilles és l’estructura
espacial mitjançant retícules triangulars regulars o
quadrades. Alguns exemples els podem veure en els dissenys
d’estructures d’edifi cis, mobles, peces industrials,
etcètera (Fig. 4.35).
Fig. 4.35
Fig. 4.36
103

Fig. 4.37
104
4 3
ESTRUCTURES
Recorda
Podem definir una estructura
bidimensional com una
organització lineal que compon
i ordena una superfície.
Si observem aquestes imatges (Fig. 4.37) en principi no apreciem que tinguen
res en comú. Les formes i els colors són totalment diferents, a més, unes són
formes creades per la naturalesa, mentre que altres han sigut realitzades per
l’ésser humà. No obstant això, si ens hi fixem detingudament, descobrim que
el que tenen en comú és la idea d’estructura. És a dir, les línies interiors que
distribueixen i ordenen les formes que componen la imatge: situació concreta
d’espais interiors i exteriors, formes que es repeteixen de manera seqüenciada
i harmònica, etcètera.
Per molt irregulars que siguen les formes, hi ha un ordre intern que estructura
i condiciona la seua aparença externa. L’ordre i la proporció que tenen les
formes en moltes ocasions estan determinats per la seua funció. Les formes
procedents de la naturalesa responen a estructures concretes basades en
relacions matemàtiques, com ara la cristal·lització dels minerals o els nervis
que formen part d’una fulla.
Estructures bidimensionals
Estructures regulars Es distingeixen perquè tots els elements que les componen són iguals i perquè segueixen un
ordenament regular. Les més característiques són les simètriques amb un eix, les radials, les unidireccionals,
les bàsiques i les complexes
Estructures irregulars Es caracteritzen perquè els elements que les componen són desiguals i no posseeixen un ordenament
regular. Són bàsicament tres: radials, unidireccionals i complexes.

A
B
ESTRUCTURES REGULARS
Ja hem comentat que les estructures regulars es caracteritzen perquè els
elements que les componen són iguals i mantenen una distribució regular.
Les estructures regulars poden ser:
• Simètriques respecte a un eix (Fig. 4.38): els elements de l’estructura
regular estan repetits, de manera invertida, a l’un i a l’altre costat d’un eix
de simetria.
• Radials (Fig. 4.39): són les estructures regulars que estan formades per
elements que parteixen d’un centre i es distribueixen en l’espai, repetits
de manera regular.
• Unidireccionals (Fig. 4.40): es denomina així a una estructura regular quan
hi ha un conjunt de línies paral·leles que organitza i ordena els elements de
la composició.
• Bàsiques (Fig. 4.41): Aquest tipus d’estructures també es coneixen com a
xarxes planes bàsiques i ja les has estudiat en cursos anteriors. Recorda que
són aquelles que s’estructuren mitjançant triangles equilàters i quadrats. La
suma de xarxes bàsiques genera xarxes complexes (Fig. 4.42).
ESTRUCTURES IRREGULARS
Les estructures irregulars poden ser:
• Radials (Fig. 4.43): es caracteritzen perquè tenen una forma circular i, per
tant, els elements lineals que la formen tenen el seu origen en el centre.
• Unidireccionals (Fig. 4.44): són aquelles en què tots els elements s’orienten
cap a una mateixa direcció.
• Complexes (Fig. 4.45): es distingeixen perquè els elements lineals estructurals
no tenen una ordenació regular.
Fig. 4.43
Fig. 4.40
Fig. 4.44
Fig. 4.41
Fig. 4.45
CD
En l’Activitat 4 del CD
aprendràs a apreciar
estructures regulars en l’entorn.
CD
En l’Activitat 5 del CD posaràs
a prova els teus coneixements
sobre estructures irregulars.
Fig. 4.38
Fig. 4.39
Fig. 4.42
105

106
4 C MÒDUL
El mòdul és una forma que pot ser regular o irregular, que es repeteix un
nombre concret de vegades i en un determinat ordre. Amb un mòdul es poden
crear estructures regulars o irregulars, tant en el pla com en l’espai. Per
exemple, són mòduls bàsics els triangles equilàters i els quadrats que fermen
les xarxes planes bàsiques.
De moment, ens interessa analitzar els mòduls bidimensionals; per això, els
exemples que et presentem giren entorn d’aquesta idea.
Hi ha la possibilitat de crear altres tipus de mòduls, que es formen mitjançant
la unió de dos, tres o més mòduls. A aquests mòduls se’ls denomina mòduls
compostos (Fig. 4.47).
Fig. 4.46
Les xarxes bàsiques també solen utilitzar-se com a base per a realitzar composicions
més complexes; per exemple, en la xarxa triangular poden dibuixar-se
hexàgons (Fig. 4.48), i en la xarxa quadrada, octògons (Fig. 4.49).
Fig. 4.48
Fig. 4.49
A més, ambdues xarxes serveixen de base per a realitzar composicions encara
molt més complexes utilitzant línies diagonals, semicirculars, circulars,
etcètera (Fig. 4.50).
Fig. 4.50
Fig. 4.47

D
SUBMÒDUL
Un submòdul és una part d’un mòdul, d’igual forma que aquest, i que es troba
contingut un nombre exacte de vegades en el mòdul. Fixa’t en les imatges
que et mostrem. Si dibuixem, per exemple, un quadrat de 40 mm de costat i
el prenem com a mòdul podrem observar que els setze quadrats de 10 mm
de costat que es poden dibuixar dins del quadrat són, per definició, submòduls
d’aquest (Fig. 4.51). Per tant, mòduls i submòduls d’igual forma poden
compondre’s de múltiples maneres entre si, i constituir estructures que poden
ser des de molt senzilles a molt complexes.
Una de les possibilitats plàstiques que brinda el submòdul és la capacitat
de crear una nova estructura o xarxa modular de dimensions menors, i fins i
tot de combinar diferents grandàries de submòduls. Aquesta possibilitat de
manipulació permet realitzar composicions d’una gran bellesa compositiva
i plàstica (Fig. 4.52).
Els dibuixos que hi ha a continuació han sigut realitzats per persones de la
teua edat. Com pots veure, s’ha partit per a la seua realització de xarxes submodulars,
basades en quadrats i triangles equilàters (Figs. 4.53 i 4.54).
Fig. 4.53
Fig. 4.52
Fig. 4.51
Fig. 4.54
107

Fig. 4.57
Units).
108
4 SUPERPOSICIÓ
Disseny del Carpenter Centre for
Visual Arts (Cambridge, Estats
E
D’ESTRUCTURES BÀSIQUES
Si superposem dues estructures o xarxes bàsiques, una quadrada i una altra
triangular, i fem coincidir els centres dels quadrats o triangles equilàters amb
els vèrtexs on concorren les xarxes, obtenim una nova estructura que possibilita
la realització de formes planes o volumètriques.
Observa com la superposició d’una xarxa de quadrats sobre una altra amb
quadrats més xicotets, i situats en sentit diagonal, genera triangles rectangles
isòsceles (Fig. 4.55). D’altra banda, la superposició d’una xarxa de triangles
equilàters amb una altra del mateix tipus de triangles, però amb costats que
mesuren 2/3 de l’altura dels primers, dóna lloc a una xarxa de triangles rectangles
amb angles de 60 ° i 30 ° (Fig. 4.56).
Fig. 4.55
El pintor espanyol José María Yturralde, o institucions
com ara el Carpenter Center For Visual
Arts de Cambridge (Estats Units), apliquen
aquesta estratègia constructiva
per a realitzar obres plàstiques
(Figs. 4.57 i 4.58). Observa
els exemples que et mostrem.
Comprovaràs que,
aplicant el concepte de
superposició d’estructures
bàsiques, es poden crear
infinitat de composicions,
totes amb un gran sentit
de l’estètica.
Fig. 4.58
Disseny de José María Yturralde.
Fig. 4.56

4
A
B
B1
RELACIONS MÈTRIQUES
PROPORCIÓ
En geometria es diu que la proporció és la relació que
existeix entre dues figures que tenen la mateixa forma
però diferent mida. (Fig. 4.59).
SEMBLANÇA
Ara recordarem i aprofundirem alguns aspectes de
la semblança lligats a la proporció en el seu vessant
geomètric.
Dues figures són semblants quan tenen tots els seus
angles iguals i els costats proporcionals i disposats en
el mateix ordre. Els elements que es corresponen en
una semblança, és a dir, els angles i els costats, es denominen
homòlegs (Fig. 4.60).
Una de les propietats més notables de la semblança
consisteix que, perquè dues figures planes siguen semblants,
la relació o proporció entre les àrees ha de ser
igual a la proporció entre els quadrats de dues aristes
homòlogues.
Construcció de figures geomètriques
semblants
Per a construir polígons semblants, hi ha diversos procediments;
els més habituals són els que es basen en
el paral·lelisme dels seus costats. En aquesta ocasió,
et presentem un mètode molt senzill d’aplicar (Fig.
4.61):
– Partim sempre d’un punt O qualsevol fora del polígon
en què s’uniran les línies que contenen els vèrtexs
dels polígons, tant de l’inicial com del semblant
que s’ha de construir.
– -Des de O tracem rectes que continguen els vèrtexs
del polígon i les prolonguem. Se situa un punt qualsevol
sobre una de les rectes, per exemple, A.
– D’aquesta manera, traçant els costats paral·lels al polígon
donat, construirem un polígon proporcional al
polígon de partida.
Observa que amb aquest procediment es poden realitzar
figures semblants de format major o menor que
l’original.
A
B
A'B' = ZAB
A' B'
Fig. 4.59
Fig. 4.60
Fig. 4.61
109

Fig. 4.62
110
4 SECCIÓ
Recorda
M
r
AO
C
Es denomina secció àuria a la
proporció que es considera més
harmònica i estètica entre dues
dimensions.
C1
ÀURIA
En el Renaixement italià, període que comprén els segles XV i XVI, per a compondre
dibuixos, pintures, escultures i edificis es van utilitzar els principis
sobre la proporció que havia deixat escrits l’arquitecte romà Vitruvi 1500 anys
abans. Aquests treballs desenvolupen en algun dels seus apartats el que es
coneix com la secció àuria.
La definició pot expressar-se d’aquesta manera: perquè un segment dividit en
dues parts desiguals resulte harmònic, ha d’existir entre la part menor (AC) i la
major (CB) la mateixa relació que entre la part major i el tot, és a dir, AB.
A C B
AC CB
=
CB AB
Divisió àuria d’un segment donat AB (Fig. 4.62)
• Es traça la mediatriu del segment AB que ens donen per a determinar el
punt O. Per un dels extrems del segment, per exemple A, es dibuixa una
recta r perpendicular a AB.
• A continuació, tracem un arc amb centre en A i radi AO fins a tallar en el
punt M la recta r. Després s’uneix M amb B.
• Amb centre en M i amb radi MA, es traça un arc que tallarà el segment MB
en el punt N.
• Amb centre en B i radi BN es traça un arc que talla el segment AB en el punt
C i el divideix en dues parts desiguals, AC i CB, les quals tenen entre si la
proporció àuria.
A O B A C O B
M
r MA
N
NB

D
D1
D2
ESCALES
De vegades, quan s’ha de representar un objecte, sorgeixen dificultats derivades
de la seua grandària, bé perquè és molt gran per a dibuixar-lo en els
límits del paper de dibuix, o bé perquè és molt xicotet i no es poden precisar
detalls de la seua forma. Les escales sorgeixen per a donar solució a aquests
problemes que es plantegen en la representació gràfica dels objectes.
Tipus d’escales
Hi ha tres tipus d’escales:
• Escala natural (Fig. 4.63): és la que té la relació 1:1. En aquesta, les mesures
del dibuix són iguals que les de la realitat.
• Escala de reducció (Fig. 4.64): les mesures del dibuix són menors que les
reals; per exemple, 1/2.
• Escala d’ampliació (Fig. 4.65 aquest cas les mesures del dibuix són majors
que les reals; per exemple, 3/2.
Construcció d’escales gràfiques
És possible expressar les escales de manera gràfica i de forma proporcional
sobre un segment graduat. Aquest procediment permet llegir i transportar
directament les mesures que necessitem per a comprendre o executar un
dibuix amb rapidesa i exactitud.
El mètode amb què es realitza una escala gràfica (també anomenada volant)
es basa a determinar el valor de la unitat en l’escala. Perquè aquesta escala
gràfica tinga a més una grandària de treball adequada, és convenient elegir
bé la unitat en què es va a desenvolupar. Es mesuren les dècimes d’una unitat
d’escala, i es construeix la contraescala, per a la qual cosa es divideix aquesta
unitat en deu parts iguals.
Posarem ara un exemple d’aquest procediment (Fig. 4.66):
Suposem que l’escala és d’1/8. Podríem expressar-la també en forma decimal:
0,125, la qual cosa ens indica que, per cada unitat en la realitat, utilitzem 0,125
unitats en el dibuix.
Recorda
L’escala és una relació entre
les dimensions d’un dibuix i les
corresponents mesures en la
realitat.
Escala = mesura del dibuix /
mesura de la realitat
Si elegim el centímetre com a unitat, 100 cm reals tindrien una representació
en el dibuix de 12,5 cm; és a dir, 1m és igual a 12, 5 cm. En aquest cas,
col·locarem sobre la vora
d’un paper o cartolina una
mesura de 12,5 cm i la divi-
direm en deu parts iguals,
Fig. 4.66
amb la qual cosa obtindrem
el valor de cada decímetre
en l’escala gràfica.
111
Fig. 4.63
Fig. 4.64
Fig. 4.65

Fig. 4.67
Fig. 4.68
112
1.435
4 Elecció
A-4
210
360
D3
297
d’escales
És molt important determinar l’escala més adequada a cada dibuix. El
millor procediment per a elegir-la consisteix a relacionar les mesures
màximes de longitud i amplària de la superfície en què es va a realitzar
el dibuix amb les màximes de les mateixes magnituds de l’objecte real.
D’aquesta manera tindrem enunciades dues escales. Quan es tracte de
reduir, s’ha d’elegir l’escala que reduïsca més i, en cas d’ampliació, l’escala
que amplie menys, ja que així sempre tindrà cabuda l’altra dimensió.
Posarem ara un cas pràctic:
El paper de format A-4 té com a mesura màxima de longitud 297 mm, i
d’amplària, 210 mm. La mesura major de l’objecte que volem representar
en longitud és de 1435 mm, i la referent a l’amplària, 360 mm (Fig.
4.68). Les escales que podem realitzar amb aquestes mesures són les
següents:
• Dividir la longitud del format A-4 per la longitud del dibuix, tenint en
compte que la zona útil del paper ve determinada per uns marges que
cal respectar per raons d’estètica, i que normalment són de 5 mm per
als marges superior i inferior, i 25 mm per a l’esquerre.
297/1 435 = 0,20
• Dividir l’amplària del full de paper A-4 entre
l’amplària del dibuix.
180/360 = 0,50
En aquest cas, l’escala apropiada és 0,20, ja que
és la que redueix i garanteix que el dibuix càpia
en el full. Si multipliquem 0,20 per 100, podrem
expressar aquesta escala així: 20:100, que és
igual que 1/5.

E
EL TEOREMA DE TALES I LA PROPORCIÓ
Tales de Milet va demostrar que si dues rectes concurrents es tallen amb una
sèrie de rectes paral·leles, els segments que obtenim són proporcionals (Fig.
4.69).
Basant-nos en aquest teorema, podem construir una figura semblant a una
altra donada amb la proporció que desitgem. Observa aquest exemple.
Tracem rectes paral·leles horitzontals i verticals per tots els vèrtexs de la figura
donada. Aquestes rectes tallaran dos eixos de coordenades, r i s, en els punts
1, 2, 3 i 4, i a, b, c i d, respectivament. D’aquesta manera queda constància de
les diferents altures i amplàries que tenen els diversos vèrtexs de què consta
la figura (Fig. 4.70).
Ara, suposem que desitgem ampliar la figura 1/3. Traçarem dues rectes perpendiculars
r’ i s’. Sobre r’ situarem l’altura h + 1/3 de h, obtenint així el punt
4’; en s’ portarem la longitud m + 1/3 de m i trobarem d’.
Per últim, tracem dues rectes convergents a les rectes r’ i s’, sobre les quals
situem els punts 1, 2, 3 i 4; i els punts a, b, c i d. S’uneixen els punts 4 amb 4’
i d amb d’. Apliquem el teorema de Tales i obtenim en r’ els punts 3’ i 2’, i en
s’, c’ i b’ (Fig. 4.71)
3
3
2
1
2
3'
2'
1 1'
+1/3
'
1/3
+ 1/3
1/3
Fig. 4.70
Fig. 4.71
Fig. 4.69
113

Fig. 4.72
114
4 CONSTRUCCIÓ
Fig. 4.73
F
D’IMATGES PLANES SEMBLANTS
Sobre la imatge de què partim (dibuix, fotografia, etc.), es dibuixa un quadrat
o un rectangle que la continga. Tracem ací una quadrícula amb rectes paralleles
als seus costats, amb la qual cosa es formen mòduls quadrangulars o
rectangulars.
En el suport on dibuixarem la nova imatge, tracem una altra quadrícula
amb les mesures dels costats dels mòduls diferents de l’original, és a dir,
les longituds dels costats dels mòduls seran menors o majors si volem que
la imatge siga més xicoteta o més gran que la de partida.
Es molt important que ambdues quadrícules siguen semblants i, per això,
guarden la mateixa proporció. Observa el procés en les Figures 4.72
i 4.73.

APLICACIONS: CONSTRUCCIÓ DEL
TRIANGLE UNIVERSAL D’ESCALES
Partint d’un triangle podem crear qualsevol tipus d’escala
gràfi ca, tant de reducció com d’ampliació, sempre que
no siga molt més gran o molt més menut que la natural,
és a dir, 1:1. Podem fer-ho de dues maneres distintes:
mitjançant el traçat d’un triangle equilàter de 10 cm de
costat o dibuixant un isòsceles on els catets mesuren
també 10 cm.
En el primer cas dividirem la base, que representarà
l’escala 1:1, en deu parts iguals; cadascuna tindrà una longitud
d’1 cm. Farem el mateix amb un altre dels costats
del triangle i traçarem paral·leles a la base, de forma que
aquest costat quede defi nit per deu unitats diferents.
Després, unirem el vèrtex oposat a la base amb cadascun
dels punts que hem assenyalat abans, equivalents
a 1 cm, 2 cm, 3 cm..., d’aquesta base. D’aquesta forma
haurem creat nou escales de reducció.
Si prenem la divisió 5 d’un dels costats, podem comprovar
que la paral·lela a la base que tracem ha quedat
dividida en deu parts iguals. Per tal de determinar a quina
escala correspon, hem de fi xar-nos en el costat; en
aquest cas podríem afi rmar que hem agafat 5 unitats de
10, o siga, 5/10 = 1/2 = 0,5, amb la qual cosa deduïm que
la nova escala és 1:2. El mateix ocorreria si, per exemple,
prenguérem la divisió 1 del costat. Hauríem pres 1 unitat
de 10, és a dir, 1/10 = 0,1. Per tant l’escala seria 1:10.
Fins ara, només hem reduït l’escala natural de què partíem.
Per a augmentar-la és necessari prolongar els costats
del triangle i seguir dividint-ne un progressivament
en unitats d’1 cm. Com hem fet abans, traçarem des
d’aquests punts paral·leles a la base; així aconseguirem
noves escales: 11:10, 12:10 (igual 6:5) seguint el mateix
procediment que hem explicat.
En el segon cas es parteix d’un triangle isòsceles i es
procedeix de la mateixa manera que s’ha fet amb el
triangle equilàter. No obstant això, ara seran únicament
els catets que estaran dividits en 10 parts iguals; com ja
hem comentat, en aquest cas els dos costats faran 10
cm (Fig. 4.75).
Ara fes-ho-tu
Anima’t i realitza un triangle universal d’escales.
Fig. 4.74
Fig. 4.75
115

116
4 PROCEDIMIENTS
I TÈCNIQUES:
TREBALLAR AMB ESTRUCTURES
Hauràs observat que és possible realitzar una gran varietat
d’imatges amb estructures, tant regulars com irregulars,
i totes de gran bellesa.
Et proposem que formes un grup de treball amb dos
companys. Entre tots, doneu curs a la vostra imaginació
en l’elaboració de les següents propostes:
Proposta 1
Busqueu fotografies en revistes, catàlegs i llibres on
apareguen formes, tant naturals com artificials: fulles
d’arbres, fruites, portades de llibres, paviments,
etc. Retalleu-les o fotocopieu-les, i comenteu entre
els membres del grup les estructures que hi heu descobert
(Fig. 4.76).
Fig. 4.76
Proposta 2
Dibuixeu dos components diferents de cada tipus
d’estructura sobre un full de paper blanc format A-4.
Si no se us ocorren idees, comenceu realitzant alguna
de les exposades abans. Podeu variar algun dels seus
elements i veureu com a poc a poc trobeu noves solucions.
Comenceu traçant cadascuna de les estructures amb
llapis de grafi t; d’aquesta manera, si cometeu algun error,
serà fàcil esborrar-lo. No es tracta d’omplir-ho tot de línies
o de color, els espais blancs també són importants
en el dibuix. Quan tingueu acabada la composició, acoloriu-la
amb llapis de color o gouaches.
Finalment, elegiu les que més us agraden i munteu un
mural amb aquestes. És important que l’elecció la feu
amb criteris estètics que hàgeu comentat prèviament
(Fig. 4.77).
Fig. 4.77
Proposta 3
Construïu dues xarxes bàsiques, una triangular i una
altra quadrada. Sobre cadascuna, realitzeu una composició
amb mòduls obtinguts per la unió de dues o tres
mòduls bàsics. Una vegada acabada, acoloriu-la amb
colors càlids
També podeu realitzar dues composicions més: la primera
sobre una xarxa triangular, que utilitzareu de base per
a realitzar hexàgons. Una vegada elaborada, decoreu-la
amb colors freds.
La segona composició la podeu desenvolupar sobre
una xarxa quadrada, on traçareu les diagonals com a
elements de suport. Useu cercles i semicercles en la
realització. Una vegada acabada, acoloriu la composició
amb colors freds per a unes superfícies i càlids per a
les restants. L’exemple següent pot donar-vos idees per
a crear el vostre propi disseny (Fig. 4.78).
Fig. 4.78

ACTIVITATS
Dibuixar amb formes orgàniques
1 Tria dues o tres peces de fruita, per exemple,
una poma, una pera i un plàtan. Situa’ls sobre
una taula i compon-los al teu gust. A continuació,
dibuixa’ls sobre un paper blanc de format A-4 amb
un llapis bla.
Polígons en l’entorn
2 Et proposem que observes de manera minuciosa
tots els objectes que hi ha al teu voltant amb
forma de polígon regular i que hagen sigut realitzats
per l’ésser humà.
Fig. 4.79
Elabora una llista on aparega el nom de l’objecte i el polígon
o polígons que té. Pots fotografi ar-los o dibuixar-los
perquè es vegen clarament els polígons regulars utilitzats.
Traça polígons regulars
3 Dibuixa en fulls de paper blanc, format A-4,
els següents polígons regulars:
• Un triangle equilàter, un quadrat i un pentàgon, sabent
que el valor dels seus costats és de 40 mm.
• Un hexàgon, un heptàgon i un octògon de 35 mm de
costat.
• Un enneàgon regular de 30 mm de costat.
En els dos primers apartats, utilitza per a cada polígon els
diferents mètodes particulars de construcció i realitza’n
només dos en cada full. Deixa dibuixades totes les operacions
i repassa el resultat fi nal amb un retolador gruixut
de color negre.
Per a la construcció de l’enneàgon fes servir el mètode
general.
Treballa les tangències
4 Donada una circumferència de 35 mm de
radi i un punt P exterior a 75 mm del seu centre, traça
les rectes tangents a la circumferència des d’aquest
punt.
5 Donades dues circumferències, una de 30
mm i una altra de 40 mm de radi, els centres de les
quals estan separats una distància de 90 mm; dibuixa
les rectes tangents exteriors i interiors a aquestes
circumferències.
6 Dibuixa un oval sabent que l’eix major té
una longitud de 90 mm i l’eix menor, de 50 mm.
7 A continuació, dibuixa un ovoide sabent
que el valor del seu eix menor és 40 mm.
L’espiral
8 Dibuixa una espiral de dos centres sabent
que la distància entre aquests és de 15 mm.
Xarxa modular
9 Observa aquesta imatge (Fig. 4.79) i analitza
la seua xarxa modular. Quin tipus de xarxa s’ha
utilitzat per a la seua construcció? Quins són els seus
mòduls? Reprodueix el model donat en una làmina
de dibuix.
Fig. 4.80
117

118
4 ALTRES PROPOSTES
Superposició de xarxes bàsiques
Observa les característiques de les següents estructures
realitzades mitjançant la superposició
de xarxes bàsiques (Fig. 4.80). Realitza, amb un
altre company, dues composicions semblants,
aplicant en cadascuna un tipus de superposició
de xarxes bàsiques; per exemple, la superposició
de dues xarxes quadrades en la primera composició;
i, en la segona, dues xarxes de triangles
equilàters.
Fig. 4.82
Secció àuria
Escales gràfi ques
Fig. 4.81
Defi neix per escrit què és la secció àuria. Tot seguit,
troba la secció àuria d’un segment de 8 cm
de longitud.
Escala
Representa sobre diferents tires de paper les
següents escales gràfi ques o volants: 7:5, 2:3,
1:25, i 1:150.
Composició amb mòduls
compostos
Realitza una composició amb mòduls compostos
sobre una estructura bàsica quadrada. Quan
la tingues acabada, acoloreix-la al teu gust amb
la tècnica que preferisques.
Sobre el dibuix d’un edifi ci es prengué una mida
de 7 cm. Se sap que el pla d’aquest edifi ci està
realitzat a escala 1:150. Quina és en realitat la
mida del segment pres?

QUÈ HAS APRÉS?
Les fases d’encaixament, desenvolupament i
detalls, que a grans trets tenen lloc en el procés
d’elaboració d’un dibuix, consisteixen a…
Una forma poligonal és...
Menciona alguns exemples.
Defi nim estructura com…
Menciona algun exemple.
Les escales es fonamenten en…
Els tipus d’escales són…
Indica com es determina l’escala més adequada
per a realitzar un dibuix.
Completa a la teua llibreta
Diem que un dibuix està realitzat mitjançant
siluetes quan…
Dues fi gures són tangents quan…
Explica el que cal fer per a trobar el punt exacte
de tangència entre dues circumferències.
Les xarxes bàsiques que has estudiat són…
Indica de quina forma poligonal està composta
cadascuna
119