UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA ...

Una definición formal de este concepto de limites al infinito o limites en el
infinito es la siguiente:
Sea f(x) una función definida en el intervalo (a,∞) (o en el intervalo (-∞,a)).
Entonces,
lim f(x) = L ( o lim f(x) = L )
x→∞ x→ -∞
significa que los valores de f(x) se pueden aproximar a L tanto como
queramos, eligiendo valores de x suficientemente grandes por valores
positivos (∞) (o por valores negativos (-∞)).
La definición anterior denota que cuando x toma valores muy grandes por
valores positivos (∞) (o por valores negativos (-∞)), la función toma valores que
son muy próximos al valor L, pero no pueden ser iguales a L. Este
comportamiento de f(x) tendiendo a L cuando x tiende a ∞ (o a -∞) muestra
que la recta horizontal y = L es una asíntota horizontal de f(x):
La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y = f(x) si se
cumple al menos una de las siguientes proposiciones:
lim f(x) = L o lim f(x) = L
x→∞ x→ -∞
Los dos ejemplos ilustrativos iniciales de este concepto, las funciones f(x) =
1 / x , y g(x) =1 / x 2 , son una generalización de la siguiente regla:
Regla 13:
Si n es un entero positivo, entonces
Lim 1/x n = 0 o lim 1/x n = 0
x→∞ x→ -∞
Para ilustrar los conceptos anteriores, revise los siguientes ejemplos en los que
se puede observar la grafica de la función, , la(s) asíntota(s) horizontales, y el
limite de las funciones cuando x tiende a la(s) asíntota(s), y se ilustra un
método de transformación algebraica que evita las operaciones con valores ∞
(al aplicar el álgebra de limites a expresiones en las que x→ ∞, como en la
expresión del EJEMPLO 5. 1. siguiente, y en general todas las expresiones de
este ejemplo, al reemplazar x por ∞ se tendría la operación (3 ∞ 2 – ∞ – 2)/( 5
∞ 2 + 4 ∞ + 1) que daría como resultado ∞ / ∞, lo cual es claramente una
indeterminación).