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numerador y el denominador entre la mayor potencia de x que haya en el denominador, transforme y simplifique algebraicamente. Para este caso, dividimos el numerador y el denominador entre x 2 , la mayor potencia de x en el denominador, transformamos, simplificamos y aplicamos de nuevo el álgebra de limites. lim (3x 2 – x – 2) / ( 5x 2 + 4x + 1) = lim ((3x 2 – x – 2)/ x 2 ) / (( 5x 2 + 4x + 1)/ x 2 ) x→∞ x→∞ = lim (3x 2 / x 2 – x / x 2 – 2/ x 2 ) / ( 5x 2 / x 2 + 4x / x 2 + 1 / x 2 ) x→∞ = lim (3 – 1 / x – 2 / x 2 ) / ( 5 + 4 / x + 1 / x 2 ) x→∞ = (lim 3 – lim 1 / x – 2 lim 1/ x 2 ) / (lim 5 + 4 lim1 / x + lim 1 / x 2 ) x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ = (3 – 0 – 2*0) / (5 + 4*0 + 0) = 3 / 5 = 0.6 Como puede verse, acá se hizo uso de la Regla 13: 2. Calcule lim (√(x 2 + 1) – x) x→∞ Si n es un entero positivo, entonces Lim 1/x n = 0 o lim 1/x n = 0 x→∞ x→ -∞ La grafica de la función nos permite ver que la recta y = 0 es una asíntota horizontal, lo que sugiere que lim (√(x 2 + 1) – x) = 0 x→∞
Al aplicar el álgebra de limites, y al reemplazar x por ∞, se tiene, como en el caso anterior, operaciones con ∞, lo cual es indeterminado. Como la expresión algebraica de la función no es racional (cociente de dos expresiones), no puede aplicarse al estrategia del ejercicio anterior. Sin embargo la expresión puede convertirse en racional aplicando un proceso de racionalización. Veamos: lim (√(x 2 + 1) – x) = lim (√(x 2 + 1) – x) * (√(x 2 + 1) + x) / (√(x 2 + 1) + x) x→∞ x→∞ = lim (x2 + 1 – x2 ) / (√(x2 + 1) + x) = lim 1 / (√(x2 + 1) + x) x→∞ x→∞ = lim (1 / x 2 ) / (√(x 2 + 1) + x) / x 2 ) x→∞ = lim (1 / x 2 ) / (√(x 2 / x 2 + 1 / x 2 ) + x / x 2 ) = lim (1 / x 2 ) / (√( 1 + 1 / x 2 ) + 1 / x) x→∞ x→∞ = lim (1 / x 2 ) / (√(lim 1 + lim 1 / x 2 ) + lim 1 / x) = 0 / (√( 1 + 0) + 0) = 0 x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ 3. Determine lim 4 / (3-x) x→∞ La grafica nos sugiere una asíntota horizontal en y = 0 cuando x→∞ o x→ - ∞, por lo que el limite a calcular determina tal asíntota. Veamos: Como se trata de una expresión racional, aplicamos la estrategia ilustrada en los ejemplos anteriores, dividiendo numerador y denominador por x:
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