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valor 0 resultante en el denominador. Por tanto, aplicamos la evaluación de la función en las proximidades de 0, por ambos lados: Tabla No. 3 Tabla No. 4 Tomando valores menores que 0: Tomando valores mayores que 0: x f(x) =(sen x) / x x f(x) = (sen x) / x -1.0 0.84147098 1.0 0.84147098 -0.5 0.95885107 0.5 0.95885107 -0.1 0.99833416 0.1 0.99833416 -0.05 0.99958338 0.05 0.99958338 -0.01 0.99998333 0.01 0.99998333 -0.005 0.99999583 0.005 0.99999583 -0.001 0.99999983 0.001 0.99999983 -0.0005 0.99999995 0.0005 0.99999995 -0.0001 0.99999999 0.0001 0.99999999 . . . . . . . . . . . . 0.0 1.0 0.0 1.0 La tendencia de los valores de f(x) obtenidos señala que lim (sen x) / x = 1.0 x → 0 4) lim (cos x – 1) / x x → 0 Observe que, al igual que en el ejemplo anterior, al aplicar las reglas de limites y al evaluar la función en x = 0, se obtiene una indeterminación del tipo 0 / 0. Sin embargo aquí se puede intentar una transformación algebraica por racionalización. Veamos: (cos x – 1) / x = ((cos x – 1) / x) * ((cos x + 1) / (cos x + 1)) = ((cos 2 x – 1) / ( x (cos x + 1)) = ( - sen 2 x) / ( x (cos x + 1)) = ( - (senx) / x ) * (sen x) / (cos x + 1). Al aplicar el limite tenemos lim ((cos x – 1) / x ) = lim ( - (senx) / x ) * (sen x) / (cos x + 1).) = x → 0 x → 0 - lim ( (senx) / x ) * lim ((sen x) / (cos x + 1).) = - 1 * (0 / (1 + 1)) = 0 x → 0 x → 0
LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO Al explorar el comportamiento de algunas funciones racionales, o que contienen denominadores, se encuentra la circunstancia de que la función no existe en los valores de x donde el denominador se hace 0, y en las proximidades donde esto ocurre, la función podría tomar valores que tienden a infinito ∞ (valores infinitamente grandes), o a menos infinito - ∞ (valores infinitamente grandes, pero negativos). Funciones como f(x) = 1 / x , o g(x) =1 / x 2 exhiben estos comportamientos. Veamos: Para la función f(x) = 1 / x, la grafica muestra que cuando x toma valores que se aproximan a 0 por la izquierda, f(x) toma valores que tienden a - ∞, y cuando x toma valores que se aproximan a 0 por la derecha, f(x) toma valores que tienden a ∞. Este comportamiento de f(x) puede presentarse como Lim f(x) = - ∞ y Lim f(x) = ∞ x→0- x→0+ Para la función g(x) = 1 / x 2 , la grafica muestra que cuando x toma valores que se aproximan a 0 por la izquierda o por la derecha, g(x) toma valores que tienden a ∞. Este comportamiento de g(x) puede presentarse como Lim g(x) = ∞ y Lim g(x) = ∞ x→0- x→0+
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