UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA ...

lim ((x 2 -4)/(x-2)) = lim ((x – 2)(x + 2) / (x – 2)) = lim (x + 2)
x →2 x →2 x →2
= lim x + lim 2 = 2 + 2 = 4
x →2 x →2
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Observe en el desarrollo de los numerales 1. y 2. del Ejemplo 2 que la
aplicación sucesiva y ordenada de las reglas de limites conducen básicamente
a la evaluación de la función f(x) en el valor a. Este hecho es la aplicación de
una regla adicional que prácticamente globaliza las anteriores reglas:
Regla 12. Si f(x) es un polinomio o una función racional, y a esta en el
dominio de f(x), entonces
x → a
lim f(x) = f(a)
En resumen, para calcular el limite de una función f(x) cuando x tiende al valor
a, se sigue la siguiente rutina:
1. Aplique en primera instancia las reglas del álgebra de limites.
2. Si eventualmente la aplicación del álgebra de limites conduce a una
forma indeterminada, generalmente del tipo a/0, o 0/0, intente buscar alguna
transformación algebraica, generalmente aplicando técnicas de factorización o
de racionalización, que permita una simplificación y, posiblemente, la
eliminación de la expresión del denominador que conduce al valor 0 en él.
Logrado esto, vuelva a aplicar el álgebra de limites a la expresión resultante.
3. Si no es posible encontrar una transformación algebraica que permita
eliminar el valor 0 en el denominador al aplicar el limite en el valor a dado (el
hecho de no encontrar tal transformación algebraica no significa que no exista),
aplique la estrategia ilustrada en el Ejemplo 1, dando valores a la izquierda y a
la derecha del valor a dado, y observando el comportamiento de la función en
las proximidades de a para obtener una conclusión al respecto.
EJEMPLO 3. Obtenga el limite de las siguientes funciones:
1. lim ((5 + t) 2 - 25) / t
t → 0
2. lim (√(x 2 + 16) – 4) / x 2
x → 0
3. lim (sen x) / x
x → 0
4. lim (cos x – 1) / x