Ejercicios resueltos de Integrales - E.T.S.I.T.G.C.

Integrales
97.-
a) Hallar el área limitada por las regiones
2 2
x y 2x;
2 2
x y 4x;
y x ; y 0.
b) Hallar el área limitada por las curvas
x 1 cost
;
y sent
x 2 2cost
;
y 2sent
x t
;
y t
x t
y 0
c) Hallar el área limitada por las curvas
r 2cos;
r 4cos
; tg 1 ; sen 0
Solución:
a) Buscamos los puntos de intersección entre las circunferencias y la recta:
2 2
2 2
x y 2x
x y 4x
A(1,1)
B(2, 2)
yx
yx
2 4 2 2 4
2 2 2 2
1 2 1 1 2
A x 2x x dx 4x x dx x dx 2x x dx 4x x dx *
Calculamos cada integral por separado:
2
2
2
x 3
I1 x dx
1
2 2
1
2 2
2 2 2 2 2 2 1cos2t 2
I2 2x x dx 1 (x 1) dx 1 sen t cos tdt cos tdt dt
1
1
0 0 0
2
2
1 sen2t
t
2
2
4
0
4 4
2 2 2 2 2 2 1cos2t 2
I3 4x x dx 4 (x 2) dx 4 4sen t 2cos tdt 4 cos tdt 4 dt
2
2
0 0 0
2
2
1 sen2t
4 t
2
2
0
3 3 3
Quedando, A=(*)= I1I2 I3
2 4 2 4
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
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