Ejercicios resueltos de Integrales - E.T.S.I.T.G.C.

Integrales
57.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares: r1(α) = 2
sen(2α); r2(α)=1, se pide:
a) Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1≥0 ; r2≥0)
b) Estudiar las simetrías de r1 y r2.
c) Obtener las intersecciones de r1 y r2.
d) Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas.
e) Calcular el valor del área encerrada entre r1 y r2.
Solución:
a.
2 [0, ]
3
r1( ) 0 sen(2
) 0 0, ,
2
[2 ,3 ]
2
2
r ( ) 0 0, 2
2
b.
r( 1 ) 2sen( 2 ) r( 1 )
no hay simetría respecto del eje x
r ( ) 2sen(2( )) r ( )
no hay simetría respecto del eje y
1 1
r( ) 2sen(2( )) r( )
SIMÉTRICA RESPECTO DEL
ORIGEN
1 1
r2 ( )
es una circunferencia por lo que presenta todas las simetrías
c.
Las intersecciones (del primer cuadrante) se obtienen de resolver la ecuación
2
1
6 12
2 sen(2 ) 1 2
arcsen
2 5
2
5
6 6
12
Como ambas funciones son simétricas respecto del origen, las otras dos intersecciones
vendrán dadas por:
5
12
12
Obviamente, en los cuatro puntos, r=1
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 95