Tablas de frecuencias con datos agrupados

LICEO CARMELA CARVAJAL DE PRAT
PROVIDENCIA
DPTO DE MATEMATICA
Tablas de frecuencias con datos agrupados
Cuando los valores de la variable son muchos, conviene agrupar los datos en intervalos para
así realizar un mejor análisis e interpretación de ellos.
Ejemplo: En la siguiente tabla de frecuencias con datos agrupados, se han organizado 175
datos.
Variable
Edad
xi
Frecuencia
absoluta
fi
GUÍA DE APRENDIZAJE N°8
Estadística N°_3__
SECTOR: Matemática NIVEL/CURSO:4º Medio
PROFESOR(ES): Marina Díaz - Yolanda Godoy
MAIL DE PROFESORES:
profem.maulen@gmail.com marinadiazcastro@gmail.com
UNIDAD TEMÁTICA o DE APRENDIZAJE: Estadística
CONTENIDO: Tablas de frecuencias, gráficos y medidas de tendencia central con datos
agrupados
APRENDIZAJE ESPERADO: 1) Construyen tablas de frecuencias a partir de los datos
2) Interpretan y analizan gráficos.
3) Calculan medidas de tendencia central de datos agrupados
PLAZO DE ENTREGA: No se entrega, se desarrolla en el cuaderno
Frecuencia
Acumulada
Fi
Frecuencia
Relativa
hi
Frecuencia rela-
tiva porcentual
%
11 - 15 5 5 0,03 3%
16 – 20 12 17 0,07 7%
21 – 25 20 37 0,12 12%
26 – 30 30 67 0,17 17%
31 – 35 35 102 0,20 20%
36 – 40 32 134 0,19 19%
41 – 45 26 160 0,15 15%
46 - 50 15 175 0,09 9%
Total n = 175 0,99 ≈ 1 99% ≈ 100%
Las edades que están
consideradas en este intervalo son
26 – 27 – 28 – 29 – 30 años
Hay 30 personas
que tienen entre
26 y 30 años
El 3% de las personas tiene
entre 11 y 15 años

Conceptos básicos:
Cada intervalo (o clase) tiene un extremo inferior, extremo superior y una determinada
amplitud.
En el ejemplo anterior:
El intervalo 26 – 30 26: corresponde al extremo inferior del intervalo.
30: corresponde al extremo superior del intervalo
Amplitud del intervalo: 30 – 26 = 4 años
Observación: La amplitud del intervalo depende
de la investigación que estemos realizando.
Sin embargo en una determinada tabla, es
constante
Marca de clase: Cada intervalo tiene un representante llamado marca de clase y corresponde
a la media aritmética (promedio) entre los extremos de este.
26 + 30
En el intervalo anterior la marca de clase es 28 es decir x = = 28
2
Rango: Esta dado por la diferencia entre el menor y el mayor valor de la variable.
Se calcula observando los datos antes de ser tabulados.
Construcción de tablas de frecuencias con datos agrupados
• Para construir una tabla de frecuencias con datos agrupados, conociendo los
intervalos, se debe determinar la frecuencia absoluta correspondiente a cada intervalo,
contando la cantidad de datos cuyo valor está entre los extremos del intervalo. Luego se
calculan las frecuencias relativas y acumuladas, si es pertinente.
• Si no se conocen los intervalos, se pueden determinar de la siguiente manera:
- Se busca el valor máximo de la variable y el valor mínimo. Con estos datos se
determina el rango.
- Se divide el rango en la cantidad de intervalos que se desea tener,
obteniéndose así la amplitud de cada intervalo.
- Comenzando por el mínimo valor de la variable, que será el extremo inferior del
primer intervalo, se suma a este valor la amplitud para obtener el extremo superior
y así sucesivamente.
Recomendamos ver ejemplo pág. 202 de tu texto.

Gráficos de datos agrupados en intervalos
La información de la tabla anterior se puede representar de diferentes maneras:
Gráfico de barras para datos agrupados:
Frecuencia Absoluta
40
35
30
25
20
15
10
5
0
5
12
20
30
11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45 46 - 50
Años
Polígono de frecuencias para datos agrupados
Frecuencia Absoluta
40
35
30
25
20
15
10
5
0
35
32
11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40 41 - 45 46 - 50
Años
- Se obtiene este gráfico uniendo los puntos medios (marca de clase) de los rectángulos
del gráfico de barras anterior.
Gráfico circular para datos agrupados
15%
18%
3% 7%
20%
Recomendamos ver texto páginas 204,205 y 206.
9%
26
15
11%
17%
Observaciones:
-Todas las barras
tienen el mismo
ancho
- El ancho de cada
barra corresponde
a la amplitud del
intervalo
11 - 15
16 - 20
21 - 25
26 - 30
31 - 35
36 - 40
41 - 45
46 - 50

Medidas de tendencia central para datos agrupados
Las medidas de tendencia central ya fueron estudiadas, sin embargo ahora estudiaremos como
calcular la media, la moda y la mediana en tablas de frecuencias con datos agrupados.
Media Aritmética:
Para calcular la media aritmética es muy importante la marca de clase, ya que es el valor
representante del intervalo.
Notación para Marca de clase: Xi, donde i = 1, 2, 3, ….n
Para calcular la media aritmética es necesario agregar una columna a la tabla de frecuencias,
ya tenemos la marca de clase, se agrega una columna donde registraremos el producto de la
marca de clase por la frecuencia absoluta.
Fíjate en el siguiente ejemplo:
La media aritmética x es el cuociente entre la suma de los productos de las marcas de clases
(Xi) de cada intervalo por sus respectivas frecuencias absolutas ( f i ) y el número total de datos.
Es decir:
∑ xi ⋅ f i
x1
⋅ f1
+ x2
⋅ f 2 + x3
⋅ f 3 + .......... + xn
f n
x =
⇒ x =
n
n
Usando la información de la tabla anterior tenemos que la media aritmética sería:
x =
42,
5
Masa
corporal
kilos
[ ]
Marca
de clase
Xi
Frecuencia absoluta
⋅ 5 + 48,
5 ⋅10
+ 54,
5 ⋅12
+ 60,
5 ⋅ 3 + 66,
5 ⋅ 2 1666
= =
32
32
52,
0625
La media aritmética de la masa corporal del grupo de estudiantes es 52,1 [kilos]
aproximadamente.
Moda: Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta. En tablas de frecuencias con
datos agrupados, hablaremos de intervalo modal.
f
i
Marca de clase por
frecuencia absoluta
40 – 45 42,5 5
Xi⋅fi
42 , 5 ⋅ 5 = 212,
5
46 – 51 48,5 10 48 , 5 ⋅ 10 = 485
52 – 57 54,5 12 54 , 5 ⋅ 12 = 654
58 – 63 60,5 3 60 , 5 ⋅ 3 = 181,
5
64 - 69 66,5 2 66 , 5 ⋅ 2 = 133
Total n= 32 ∑ i ⋅ f i
x =1666

La siguiente tabla muestra la masa corporal de 32 niñas de un curso .
Intervalo
Modal
Entonces el intervalo modal, es el intervalo con mayor frecuencia absoluta.
En este caso 52- 57 (Kilos).
Hay una fórmula para calcular la moda en forma exacta como veremos a continuación.
En una distribución de frecuencias la clase modal es la que tiene mayor frecuencia. Si d1 es la
diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia de la clase anterior, d2 es la diferencia entre
la frecuencia modal y la frecuencia de la clase posterior y t es al tamaño de los intervalos, el
valor de la moda Mo se obtiene sumando al límite real de clase inferior de la clase modal (Li) el
d1
producto de los intervalos por la fracción • t
d1+
d2
d1
Mo = Li + • t
d1
+ d2
Calculemos la moda de la distribución de puntajes en la PSU de matemática de 212 estudiantes.
Puntaje Frecuencia absoluta
350-399 4
400-449 6
450-499 9
500-549 20
550-599 31
600-649 80
650-699 42
700-749 10
750-799 8
800-849 2
Clase modal: 600-649
Límite real inferior de la clase modal: 599,5
Frecuencia modal: 80
D1: 80- 31
D2: 80 – 42
Tamaño del intervalo: t = 50
49
Mo = 599, 5+
• 50
49 + 38
Mo = 627,7 = 628 (apróx.)
Masa corporal
kilos
[ ]
Marca de clase
Xi
Frecuencia absoluta
40 – 45 42,5 5
46 – 51 48,5 10
52 – 57 54,5 12
58 – 63 60,5 3
64 - 69 66,5 2
Total n= 32
f
i

Mediana: Recordemos que la mediana de un conjunto de datos numéricos, ordenados en
forma creciente o decreciente, es el dato que se encuentra al centro de dicha ordenación, o
la media aritmética de los datos centrales ( en caso que la muestra tenga un número de
datos pares).
Retomemos el ejemplo de los resultados de la PSU.
Puntaje Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada
350-399 4 4
400-449 6 10
450-499 9 19
500-549 20 39
550-599 31 70
600-649 80 150
650-699 42 192
700-749 10 202
750-799 8 210
800-849 2 212
Mitad del total de datos 212: 2 = 106
La frecuencia acumulada 106 corresponde al intervalo 600- 649.
Al recorrer la columna de las frecuencias acumuladas, en la clase 550- 599 llevamos solo 70
datos. Para completar la mitad del total de datos (212:2 = 106), necesitamos 36 datos de la clase
siguiente, 600- 649; clase mediana, ya que dentro de sus límites está la mediana buscada.
Por lo tanto, tenemos que separar dicha clase de modo que 36 datos se agreguen a los 70
anteriores, para completar los 106 que es la mitad del total. En la clase mediana hay 80 puntajes;
36 de ellos los dejamos hacia la parte superior de la columna.
Como el intervalo de la clase mediana es 600- 649, su límite real inferior es 599,5 y su tamaño
es 50 puntos. Treinta y seis ochentavos de 50 es lo que debemos agregar al límite inferior para
obtener la mediana.
36
Me = 599, 5 + • 50
80
Me = 599,5 + 22,5
Me = 622 puntos
En términos generales podemos plantear la siguiente fórmula para calcular la
mediana.
( n : 2)
− Ni
Me = Li +
• t
f
Li: límite real inferior del intervalo mediana
n: tamaño de la muestra o población
Ni: frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana.
f: frecuencia absoluta de la clase mediana.
t: tamaño o amplitud del intervalo
Nota: En la PSU con respecto a las medidas de tendencia central; la media hay que dominarla.
La moda y la mediana basta con identificar en que intervalo se ubican.
La guía que viene a continuación es un trabajo con nota.
Un cariñoso saludo. Profe Marina y Profe Marisol.