Sistemas de un Grado de Libertad Sujetos a Vibración Forzada.

F (t) =F0 Senω t, esta parte de la solución se denomina respuesta en el
estado transitorio y yP (t) es una solución de la ecuación no homogénea,
esta parte de la solución se denomina respuesta en el estado permanente
o estacionario. La solución de la ecuación homogénea asociada se
representará por
c
−
yH(t) = e 2 M t
⎡
⎣C1
(
e
c
2 M ) 2 − k
M t + C2 e −
( c
2 M ) 2 − k
M t
⎤
⎦ (4)
c
− ωn t
= e cc ACos ωn 1 − (c/cc) 2
t + BSen ωn 1 − (c/cc) 2
t
Evidentemente, este resultado es cierto solo si el sistema es subamortiguado
y es conveniente determinar cual de los tres posibles casos —sobreamortiguado,
críticamente amortiguado o subamortiguado— es el aplicable para el
caso bajo consideración. Es importante señalar que puesto que en todos los
sistemas existe amortiguamiento en mayor o menor grado, esta parte de la
solución desaparece con el tiempo, de allí su denominación estado transitorio.
La parte importante de este análisis es la determinación de la respuesta
en el estado estacionario o permanente. El procedimiento para obtener esta
parte de la solución se fundamenta en que el espacio generado por el conjunto
de funciones {Cosωt,Senω t} es un espacio invariante respecto a las
derivadas con respecto a t de cualquier orden. De manera que se propone
como solución
yP (t) =ACosωt+ BSenωt. (5)
Derivando la solución propuesta con respecto al tiempo dos veces, se tiene
que
dyP(t)
dt
d 2 yP (t)
dt 2
= −AωSenωt+BωCosωt, = −Aω2 Cosωt−Bω 2 Senω t,
(6)
Sustituyendo las ecauciones (5, 6) en la ecuación (2), se tiene que
M
−Aω 2 Cosω t − Bω 2 Senω t
+ c (−AωSenωt+ BωCosωt)
+k (ACosωt+ BSenωt) = F0 Senω t.
Puesto que el conjunto {Cosωt,Senω t} es linealmente independiente, es
posible separar la ecuación en un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas
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