Sistemas de un Grado de Libertad Sujetos a Vibración Forzada.

Sistemas de un Grado de Libertad Sujetos a
Vibración Forzada.
José María Rico Martínez
Departamento de Ingeniería Mecánica
División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
Salamanca, Gto. 38730, México
email: jrico@salamanca.ugto.mx
1 Introducción
En estas notas se presentan los fundamentos teóricos de los sistemas de un
grado de libertad sujetos a vibración forzada. El objetivo de estas notas es
su empleo como un auxiliar didáctico en los cursos de vibraciones mecánicas.
En esta sección, se analizará la respuesta de un sistema vibratorio de un
grado de libertad sujeto a vibración forzada, se analizarán tres diferentes
casos:
1. La excitación del sistema está dada por una fuerza armónica de amplitud
constante.
2. La excitación del sistema está dada por una fuerza armónica de amplitud
proporcional al cuadrado de la frecuencia de excitación.
3. La excitación del sistema está dada por un movimiento armónico de la
base del sistema, que en este caso no está fija,además la amplitud del
movimiento es constante.
1

2 Excitación constituida por una fuerza armónica
de amplitud constante
Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración
forzada, bajo una excitación representada por la función F (t) =F0 Senω t,
está excitación es una fuerza armónica de amplitud constante y frecuencia
ω. Vea la figura 1.
Figure 1: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibración
Forzada.
Para obtener la ecuación de movimiento del sistema. Suponga que a
partir de la posición de equilibrio del sistema, el sistema se separa de su
posición de equilibrio una distancia y(t) comprimiendo el resorte y se le da
una velocidad dada por ˙y(t) en la dirección positiva. Entonces, observando el
diagrama de cuerpo libre de la masa, vea la figura 2, y aplicando la segunda
ley de Newton, se tiene que 1
ΣFy = M d2 y(t)
dt2 ; −M g+k (δest − y(t))−c dy(t)
dt +F0 Senω t = M d2 y(t)
dt2 ,
o
−M g+ kδest − ky(t) − c dy(t)
dt + F0 Senω t = M d2 y(t)
dt2 .
1 Además se supondrá quey(t)

Figure 2: Diagrama de Cuerpo Libre Para un Sistema Vibratorio de un Grado
de Libertad Sujeto a una Fuerza Armónica de Amplitud Constante.
Por lo tanto, sustituyendo la ecuación (1)
δest = Mg
(1)
k
que determina la deformación estática del resorte, se obtiene la ecuación de
movimiento del sistema vibratorio
M d2y + cdy
dt2 dt + ky = F0 Senω t, (2)
donde, M es la masa del sistema, k es la constante del resorte, c es la constante
del amortiguador, y es la variable que representa el movimiento de la
masa y t es el tiempo.
La ecuación (2) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, pero
a diferencia de las secciones anteriores, esta ecuación diferencial es no homogénea.
Nuevamente de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias,
se sabe que la solución general de la ecuación (2) está dada por
yG(t) =yH(t)+yP (t), (3)
donde, yH(t) eslasolución de la ecuación homogénea asociada; es decir, la
solución de la ecuación diferencial que se obtiene eliminando la excitación
3

F (t) =F0 Senω t, esta parte de la solución se denomina respuesta en el
estado transitorio y yP (t) es una solución de la ecuación no homogénea,
esta parte de la solución se denomina respuesta en el estado permanente
o estacionario. La solución de la ecuación homogénea asociada se
representará por
c
−
yH(t) = e 2 M t
⎡
⎣C1
(
e
c
2 M ) 2 − k
M t + C2 e −
( c
2 M ) 2 − k
M t
⎤
⎦ (4)
c
− ωn t
= e cc ACos ωn 1 − (c/cc) 2
t + BSen ωn 1 − (c/cc) 2
t
Evidentemente, este resultado es cierto solo si el sistema es subamortiguado
y es conveniente determinar cual de los tres posibles casos —sobreamortiguado,
críticamente amortiguado o subamortiguado— es el aplicable para el
caso bajo consideración. Es importante señalar que puesto que en todos los
sistemas existe amortiguamiento en mayor o menor grado, esta parte de la
solución desaparece con el tiempo, de allí su denominación estado transitorio.
La parte importante de este análisis es la determinación de la respuesta
en el estado estacionario o permanente. El procedimiento para obtener esta
parte de la solución se fundamenta en que el espacio generado por el conjunto
de funciones {Cosωt,Senω t} es un espacio invariante respecto a las
derivadas con respecto a t de cualquier orden. De manera que se propone
como solución
yP (t) =ACosωt+ BSenωt. (5)
Derivando la solución propuesta con respecto al tiempo dos veces, se tiene
que
dyP(t)
dt
d 2 yP (t)
dt 2
= −AωSenωt+BωCosωt, = −Aω2 Cosωt−Bω 2 Senω t,
(6)
Sustituyendo las ecauciones (5, 6) en la ecuación (2), se tiene que
M
−Aω 2 Cosω t − Bω 2 Senω t
+ c (−AωSenωt+ BωCosωt)
+k (ACosωt+ BSenωt) = F0 Senω t.
Puesto que el conjunto {Cosωt,Senω t} es linealmente independiente, es
posible separar la ecuación en un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas
4

A y B,
A
k − Mω 2
+ B (cω) = 0
A (−cω)+B
k − Mω 2
= F0,
Es importante señalar que, de manera semejante a la solución de sistemas
vibratorios sujetos a vibración libre, este método permite transformar una
ecuación diferencial en un sistema de ecuaciones lineales, un problema mucho
más simple.
El determinante de la matriz de coeficientes del sistema lineal, denotado
por Δ, está dado por
Δ=
k − Mω 2 2
⎡
+(cω) 2 = k 2 ⎣
1 − Mω2
k
2
+
cω
k
⎤
2 ⎦
Recordando la definición del amortiguamiento crítico, ecuación (7),
c 2 c − 4 Mk=0 o cc =2 √
k
Mk=2M
M =2Mωn, (7)
y de la frecuencia natural del sistema no amortiguado asociado, se tiene que
Δ=k 2
⎧
⎨
ω 2 2
1 − + 2
⎩
c
⎫
ω 2⎬
⎭
(8)
ωn
De aquí que, las soluciones para los coeficientes A y B están dadas por
−F0 (cω)
A =
k2 1 −
2 2
ω + ωn
2 c
B =
2
ω
cc ωn
k 2
cc
ωn
F0 (k − Mω2 )
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
2 ω
cc ωn
(9)
Por lo tanto, la solución particular de la ecuación diferencial está dada
por
yP (t) = −F0 (cω) Cosωt + F0 (k − Mω2 ) Senω t
k2 1 −
2 2
ω + ωn
2 c
2 ω
cc ωn
= δ0
−2 c
cc
ω
ωn
Cosωt +
1 − ω
ωn
2 2
1 −
2
ω Senω t
ωn
+
2 c
cc
5
2 ω
ωn

=
=
δ0
1 −
2 2
ω
+ ωn
2 c
cc
δ0 Sen (ωt− φ)
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2 ω
ωn
1 −
2
ω
ωn
Senω t − 2 c
cc
1 −
2 2
ω
+ ωn
2 c
cc
ω
ωn Cosωt
2 ω
ωn
, (10)
2 ω
ωn
donde δ0 es la deformación que sufriría el resorte si la fuerza F (t) =F0 Senω t
no fuera armónica sino estática, es decir
δ0 = F0
, (11)
k
yelángulo, φ, denominado como el ángulo de fase, viene determinado por
Tanφ = Senφ
Cosφ
= 2 c
cc
ω
ωn
1 − ω
ωn
2 o φ = Tan
c ω 2 −1 cc ωn
2 1 − ω
ωn
(12)
Una gráfica del ángulo de fase como función de la relación de amortiguamiento,
c , y de la relación de la frecuencia de excitación a la frecuencia
cc
natural del sistema vibratorio, ω se muestra en la figura 3.
ωn
Si se escribe, la solución particular del sistema como
yP (t) =y0 Sen (ωt− φ)
entonces, y0 es la amplitud de la respuesta, particular, del sistema vibratorio,
es posible escribir
y0
δ0
=
1
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2 ω
ωn
(13)
Una gráfica de la relación de amplitudes y0 como función de la relación
δ0
c
de amortiguamiento, , y de la relación de la frecuencia de excitación a la
cc
frecuencia natural del sistema vibratorio, ω se muestra en la figura 4.
ωn
Las ecuaciones (12, 13) permiten determinar la respuesta del sistema
vibratorio cuando se excita mediante una fuerza armónica de amplitud constante.
Como puede observarse, las ecuaciones (12, 13) dependen de dos
parámetros, la relación de frecuencias, ω
, y la relación de amor-
ωn
tiguamiento, c
cc .
6

Ángulo de Fase φ
180
160
140
120
100
80
60
40
20
c/c c =0.1 →
c/c =0.2 →
c
c/c =0.3 →
c
← c/c =0.4
c
← c/c =0.6
c
← c/c =1.0
c
Gráfica del Ángulo de Fase
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Relación de Frecuencias, ω / ω
n
Figure 3: Ángulo de Fase de la Respuesta de un Sistema Vibratorio de un
Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Armónica de amplitud Constante.
2.1 Análisis de la respuesta del sistema para determinados
valores de la relación de amortiguamiento.
Además, es importante analizar, tanto algebraica como gráficamente, el comportamiento
de la respuesta del sistema para tres valores de la relación de
frecuencias:
1. Cuando ω
ωn
tiene que
= 0, sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 13), se
y0
δ0
=1, y0 = δ0 y φ =0 ◦ .
La explicación de este resultado es simple, si ω
= 0, entonces ω =0,la
ωn
fuerza de excitación es estática, de manera que la respuesta del sistema
es la deformación estática del sistema y está en fase con la fuerza de
7

Parámetro Adimensional, y 0 /δ 0
6
5
4
3
2
1
Respuesta a una Fuerza Armónica de Magnitud Constante
← c/c c =0.1
← c/c c =0.2
← c/c c =0.3
← c/c c =0.4
← c/c =0.6
c
← c/c =0.8
c
← c/c =1.0
c
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Relación de Frecuencias, ω / ω
n
Figure 4: Relación de Amplitudes de la Respuesta de un Sistema Vibratorio
de un Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Armónica de Amplitud
Constante.
excitación. Una interpretación gráfica de este resultado se presenta a
continuación, la respuesta del sistema está dada por
y(t) =y0 Sen (ωt− φ)
por lo tanto, sus primeras dos derivadas son
˙y(t) =y0ωSen ωn t − φ + π
2
y
¨y(t) =y0ω 2 Sen(ωn t − φ + π)
la condición ω/ωn = 0 puede interpretarse como ω

ejes coordenados. Evidentemente, a medida que ω → 0, el vector de
ωn
magnitud ky0 es mucho mayor que los restantes de manera que
Por lo tanto
φ =0 ◦
y0 = F0
k
= δ0
y
y F0 = ky0
y0
δ0
=1.
2. Cuando ω →∞, sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 13)
ωn
y evaluando el límite de manera apropiada pues la sustitución simple
conduce a una indeterminación, se tiene que
y0
δ0
=0, y0 =0 y φ = 180 ◦ .
Nuevamente la explicación es simple, si ω →∞, entonces ω →∞la
ωn
frecuencia de la excitación es tan elevada que el sistema, la masa, es
incapaz de seguir la excitación.
La interpretación gráfica de este resultado se fundamenta, como en
el caso anterior, en la representación gráfica de funciones armónicas
como fasores. Sin embargo, en este caso, se tiene que la condición
ω/ωn →∞puede interpretarse como ω>>ωn, elsímbolo >> indica
que ω es mucho mayor que ωn, porlotanto
k
ω>>ωn = ⇒ k

Figure 6: Interpretación Gráfica de la Respuesta del Sistema Vibratorio Para
Cuando ω
ωn →∞.
Debe notarse que las fuerzas del resorte, del amortiguador y la de inercia
se han orientado, para simplificar el problema, a lo largo de los
ejes coordenados. Evidentemente, a medida que ω →∞, el vector de
ωn
magnitud Mω2y0 es mucho mayor que los restantes de manera que
Por lo tanto
φ = 180 ◦
y0 = F0
Mω 2 =0 o y0 =
Pues ω
ωn →∞.
3. Cuando ω
ωn
tiene que
y F0 = Mω 2 y0
F0
k
δ0
M = 2 ω2 ω
k
ωn
y
y0
δ0
=0.
= 1 sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 13), se
y0
δ0
= 1
2 c
cc
, y0 = δ0
2 c
cc
11
y φ =90 ◦ .

Es importante señalar que en los dos primeros casos, el resultado es independiende
del valor de la relación de amortiguamiento c .Además, el tercer caso
cc
representa el valor para el cual se presenta el fenómeno de resonancia. En
este fenómeno una fuerza relativamente pequeña puede producir vibraciones
de amplitud elevada, pues cuando ω
ωn =1,
y0 = δ0
2 c
(16)
cc
y usualmente los valores de la relación de amortiguamento es, usualmente
pequeña, menor a 0.1. Recurriendo a la interpretación de funciones armónicas
como fasores, una representación gráfica de esta ecuación está dadaporla
figura 7.
Figure 7: Interpretación Gráfica de la Respuesta del Sistema Vibratorio Para
Cuando ω
ωn =1.
Debe notarse que las fuerzas del resorte, del amortiguador y la de inercia
se han orientado, para simplificar el problema, a lo largo de los ejes
coordenados. Evidentemente, si ω
ωn =1,setieneque
k
ω = ωn =
M
o ω 2 = k
M
12
o Mω 2 = k

De aquí que, los vectores de magnitud Mω 2 y0 y ky0 son iguales. Por lo
tanto, los restantes vectores tambien deben ser iguales; es decir
F0 = cωy0 y φ =90 ◦
Además, recordando que cc =2 √ kM =
y0 = F0
cω
= F0
cωn
= F0
c
2 k
ωn y ω = ωn se tiene que
2 k
cc
=
F0
k
2 c
cc
= δ0
2 c .
cc
2.2 Análisis de un Sistema Vibratorio No Amortiguado
en Condiciones de Resonancia.
Existe un caso especial que merece atención adicional. Considere un sistema
no amortiguado sujeto a una fuerza armónica de amplitud constante cuya
k
frecuencia ω es igual a la frecuencia natural del sistema ωn = M ,demodo
que la ecuación diferencial está dadapor
M d2 y
dt2 + ky= F0
k
Senω t donde ω = ωn = . (17)
M
Se sabe que la ecuación de la solución general de la ecuación homogenea
asociada está dadapor
yH(t) =ACos(ωn t)+BSen(ωn t) (18)
Entonces, debe notarse que en este caso no es posible que la solución
particular de la ecuación no homogenea esté dada por
yP (t) =C1 Cos(ωn t)+C2 Sen(ωn t) ,
pues esta es precisamente la solución de la ecuación homogenea asociada. De
la teoria de ecuaciones diferenciales, se propone como solución
yP (t) =C1 tCos(ωn t)+C2 tSen(ωn t) (19)
Derivando esta expresión respecto al tiempo dos veces, se tiene que
dyP(t)
dt = C1 Cos (ωn t)−C1 tωn Sen(ωn t)+C2 Sen(ωn t)+C2 tωn Cos(ωn t) .
13

y
d2 yP (t)
dt2 = −C1 ωn Sen (ωn t) − C1 ωn Sen (ωn t) − C1 tω 2 n Cos(ωn t)
+C2 ωn Cos(ωn t)+C2 ωn Cos(ωn t) − C2 tω 2 n Sen(ωn t)
= −2 C1 ωn Sen (ωn t) − C1 tω 2 n Cos(ωn t)+2C2 ωn Cos(ωn t)
−C2 tω 2 n Sen(ωn t) . (20)
Sustituyendo las ecuaciones (19) y (20) en la ecuación (17), se tiene que
M
− 2 C1 ωn Sen (ωn t) − C1 tω 2 n Cos(ωn t)+2C2 ωn Cos(ωn t)
−C2 tω 2 n Sen(ωn t)
+ k
C1 tCos(ωnt)+C2 tSen(ωnt)
= F0 Senω t (21)
o, puesto que el conjunto de funciones {Sen (ωn t) ,tSen (ωn t) ,Cos (ωn t) ,
tCos (ωn t)}, la ecuación vectorial
0 = Sen (ωn t)
− 2 C1 Mωn− F0 + Cos (ωn t)
2 C2 Mωn
+tSen (ωn t)
− MC2ω 2
n + kC2 + tCos (ωn t)
− MC1ω 2
n + kC1
(22)
conduce a 4 ecuaciones escalares
−2 C1 Mωn− F0 =0 −M C1ω 2 n + kC1 =0
2 C2 Mωn =0 −M C2ω 2 n + kC2 =0
Para C2 la solución está dadapor
C2 =0.
Para C1 se tiene que de la primera ecuación
C1 = − F0
2M ωn
Mientras que sustituyendo ω 2 n
−M C1
= −
F0
k
2 M
k ωn
= − δ0
2
ωn
= k
M ,setieneque
= − 1
2 δ0 ωn
k
M + kC1 = C1 [−k + k] =0.
14
(23)

De manera que esta ecuación es redundante, por lo tanto, la solución particular
para esta excitación está dada por
yP (t) =− 1
2 δ0 ωn tCos(ωnt) (24)
Porlotanto,lasolución general de la ecuación diferencial está dada por
yG(t) =yH(t)+yP (t) =ACos(ωnt)+BSen(ωnt)− 1
2 δ0 ωn tCos(ωnt) (25)
Si las condiciones iniciales para este sistema son para t =0,yG(0) = 0 y
˙yG(0) = 0, por lo tanto
˙yG(t) =−AωnSen(ωn t)+BωnCos(ωn t)− 1
2 δ0 ωn Cos(ωn t)+ 1
2 δ0 tω 2 n Sen(ωn t)
Sustituyendo los condiciones iniciales, se tiene que
y
ACos(0) + BSen(0) − 1
2 δ0 ωn 0 Cos(0) = 0 ⇒ A =0.
−AωnSen(0)+BωnCos(0)− 1
2 δ0 ωn Cos(0)+ 1
2 δ0 0 ω 2 1
n Sen(0) = 0 ⇒ B =
2 δ0
Porlotanto,lasolución particular está dadopor
(26)
yG(t) = 1
2 δ0 Sen(ωn t) − 1
2 δ0 ωn tCos(ωnt) (27)
La figura 8 muestra el comportamiento de un sistema no amortiguado
sujeto a resonancia.
3 Excitación constituida por una fuerza armónica
de amplitud proporcional al cuadrado
de la frecuencia de la excitación
Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración
forzada, bajo una excitación representada por la función F (t) =meω 2 Senω t.
Esta excitación es una fuerza armónica de amplitud proporcional al cuadrado
15

Desplazamiento, u.l.
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0 5 10 15 20
Tiempo, segundos
25 30 35 40
Figure 8: Desplazamiento de un Sistema no Amortiguado Sujeto a Resonancia.
de la frecuencia, dada por ω. Este tipo de excitación se presenta cuando un
eje o rotor desbalanceado gira a una velocidad angular dada por ω, entonces,
me es el desbalance del rotor.
Este análisis no requiere la solución de otra nueva ecuación diferencial
adicional, basta con sustituir la nueva amplitud de la fuerza de excitación
dada por
F0 = meω 2 , (28)
en la solución del problema de excitación constituida por una fuerza armónica
de amplitud constante, vea la sección 2.
Por lo tanto
y0 =
=
δ0
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
1 − ω
ωn
meω 2
k
2 2
+
2 c
cc
2 ω
ωn
2 ω
ωn
16
=
F0/k
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
= me
M
1 − ω
ωn
Mω 2
k
2 2
2 ω
ωn
+
2 c
cc
2 ω
ωn

= me
2 ω
ωn
M
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
o en forma adimensional
y0
me
M
=
2 ω
ωn
2 ω
ωn
1 −
2 2
ω
+ ωn
2 c
cc
Una gráfica de la relación de amplitudes y0
me
M
2 ω
ωn
(29)
(30)
como función de la relación
c
de amortiguamiento, , y de la relación de la frecuencia de excitación a la
cc
frecuencia natural del sistema vibratorio, ω
se muestra en la figura 9.
ωn
Puesto que el ángulo de fase, no depende de la amplitud de la excitación,
se tiene que la misma ecuación, (12), repetida aqui, es aplicable
c 2 −1 cc
φ = Tan
ω
ωn
2 1 − ω
ωn
De manera semejante, la gráfica del ángulo de fase como función de la
relación de amortiguamiento, c , y de la relación de la frecuencia de excitación
cc
a la frecuencia natural del sistema vibratorio, ω es la misma que se muestra
ωn
en la misma figura 3.
Por lo tanto, la respuesta en el estado estable del sistema bajo este tipo
de excitación, está dada por
yP (t) =y0 Sen (ωt− φ)
donde y0 está dada por la ecuación (30) y el ángulo de fase está dadoporla
ecuación (12).
Nuevamente, es importante analizar el comportamiento de la respuesta
del sistema para tres valores de la relación de frecuencias:
1. Cuando ω
ωn
tiene que
= 0, sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 30), se
y0
me
M
=0, y0 =0 y φ =0 ◦ .
La explicación de este resultado es simple, si ω
ωn
= 0, entonces ω =0,
la fuerza de excitación debida al desbalance es nula, de la manera que
la respuesta del sistema es igualmente nula.
17

Parámetro Adimensional, y 0 M /m e
6
5
4
3
2
1
Respuesta a una Fuerza Armónica de Magnitud Proporcional al Cuadrado de la Frecuencia
← c/c c =0.1
← c/c c =0.2
← c/c =0.3
c
← c/c =0.4
c
← c/c =0.6
c
← c/c =0.8
c
← c/c =1.0
c
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Relación de Frecuencias, ω / ω
n
Figure 9: Relación de Amplitudes de la Respuesta de un Sistema Vibratorio
de un Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Armónica de Amplitud
Proporcional al Cuadrado de la Frecuencia.
2. Cuando ω →∞, sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 30) y
ωn
evaluando el límite pues la simple sustitución conduce a una indeterminación,
se tiene que
3. Cuando ω
ωn
tiene que
y0
me
M
=1, y0 = me
M
y φ = 180 ◦ .
= 1 sustituyendo este valor en las ecuaciones (12, 30), se
y0
me
M
= 1
2 c , y0 =
cc
me
M
2 c
cc
y φ =90 ◦ .
Es importante señalar que en los dos primeros casos, el resultado es independiende
del valor de la relación de amortiguamiento c .Además, el tercer caso
cc
18

epresenta el valor para el cual se presenta el fenómeno de resonancia. En
este fenómeno una fuerza relativamente pequeña puede producir vibraciones
de amplitud elevada, pues cuando ω
ωn ,setieneque
y0 =
me
M
2 c
cc
(31)
y los valores de la relación de amortiguamento son, usualmente pequeños,
menores a 0.1.
4 Excitación constituida por un movimiento
armónico de la base
Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibración
forzada. Sin embargo, a diferencia de los dos casos anteriores, la excitación
está producida por el movimiento de la base como muestra la figura 10,
donde x(t) yy(t) representan los movimientos absolutos del cuerpo y la
base respectivamente.
Se supondrá que en la posición mostrada en la figura, el sistema está
en reposo. Entonces, es posible recurrir a las ecuaciones de la estática para
determinar la deformación estática del resorte, δest, para tal fin
ΣFy =0 − Mg+ kδest =0,
por lo tanto,
δest = Mg
(32)
k
La longitud del resorte en esta posición, está dadaporl0−δest, donde l0
es la longitud libre del resorte. Suponga ahora que el movimiento absoluto
de la base y(t) estádadopor
y(t) =y0 Senω t. (33)
Para obtener la ecuación de movimiento del sistema. Suponga que x(t) >
y(t) yquex(t) − y(t) >δest. 2 Entonces, observando el diagrama de cuerpo
2 La ecuación de movimiento es independiente de estas suposiciones, pero estas suposiciones
permiten eliminar ambigüedades en la suma de fuerzas necesaria para obtener la
ecuación.
19

Figure 10: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibración
Forzada Debido a Movimiento en la Base.
libre de la masa, vea la figura 11, y aplicando la segunda ley de Newton, se
tiene que
ΣFy = M d2 x(t)
dt2
dx(t) dy(t)
; −M g−k (x(t) − y(t) − δest)−c − = M
dt dt
d2 x(t)
dt2 ,
o
dx(t) dy(t)
−M g+ kδest − k (x(t) − y(t)) − c − = M
dt dt
d2 x(t)
dt2 .
Por lo tanto, sustituyendo la ecuación (1) que determina la deformación
estática del resorte, se obtiene la ecuación de movimiento del sistema vibratorio
M d2
x dx dy
+ c − + k (x − y) =0, (34)
dt2 dt dt
donde, M es la masa del sistema, k es la constante del resorte, c es la constante
del amortiguador y t es el tiempo. Definiendo la variable
z(t) ≡ x(t) − y(t), (35)
20

Figure 11: Diagrama de Cuerpo Libre Para un Sistema Vibratorio de un
Grado de Libertad Sujeto a Vibración Forzada Debida a un Movimiento de
la Base.
el significado físico de esta variable es el movimiento relativo de la masa
respecto a la base. Además,
Por lo tanto
dz
dt
= dx
dt
− dy
dt
y M d2z dt2 = M d2x dt2 − M d2y dt2 (36)
M d2x dt2 = M d2z dt2 + M d2y dt2 = M d2z dt2 − My0ω 2 Senω t. (37)
Sustituyendo ecuaciones (36, 37) en la ecuación (34), se tiene que
M d2z dz
+ c
dt2 dt + kz = My0ω 2 Senω t. (38)
Nuevamente, este análisis no requiere la solución de otra nueva ecuación
diferencial adicional, basta con sustituir la nueva amplitud de la fuerza de
excitación dada por
F0 = My0ω 2 , (39)
en la solución del problema de excitación constituida por una fuerza armónica
de amplitud constante, vea la sección 2.
21

Por lo tanto
z0 =
=
δ0
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
1 − ω
ωn
My0 ω 2
k
2 2
+
2 c
cc
2 ω
ωn
2 ω
ωn
=
= y0
F0/k
1 −
2 2
ω
ωn
+
2 c
cc
2 ω
ωn
1 −
2 2
ω
ωn
+
2 c
cc
2 ω
ωn
(40)
2 ω
ωn
De manera que la solución del movimiento relativa de la masa respecto a
la base, z(t), está dadapor
z(t) =z0 Sen (ωt− φ) (41)
donde z0 está dado por la ecuación (40) y el ángulo de fase φ, está dado por
c
2 −1 cc
φ = Tan
ω
ωn
2 1 − ω
ωn
(42)
Una vez determinado el movimiento relativo entre la masa y la base, es
posible determinar el movimiento absoluto de la base, x(t), que de acuerdo
de la definición dada por la ecuación (35), está dada por 3
x(t) =z(y)+y(t) =z0 Sen (ωt− φ)+y0 Senω t (43)
Para tal fin, se sustituyen los valores de las funciones coseno y seno del
ángulo φ, dadas por
Cosφ =
Por lo tanto
x(t) = y0
1 − ω
ωn
1 − ω
ωn
2 ω
ωn
2 2
2
1 −
2 2
ω
ωn
+
2 c
cc
2 ω
ωn
Sen (ωt− φ)
+
2 c
cc
2 ω
ωn
Senφ =
+ y0 Senω t
1 − ω
ωn
2 c
cc
2 2
ω
ωn
+
2 c
cc
.
2 ω
ωn
3 La determinación del movimiento absoluto x(t), requiere la adición de dos funciones
armónicas de la misma frecuencia, los detalles de este procedimiento se presentan en el
Apéndice C.
22

2 ω [Senω tCosφ − CosωtSenφ]
ωn
= y0
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
+ y0 Senω t
2 ω
cc ωn
2
ω
1 − ωn
= y0
2
ω
Senω t − 2 ωn
c
3
ω
Cosωt
cc ωn
1 −
2 2
ω
+ ωn
2 c
+ y0 Senω t
2
ω
cc ωn
2
ω 1 − ωn
= y0
2
ω + 1 − ωn
2 2
ω + ωn
2 c
2
ω Senω t − 2 cc ωn
c
3
ω Cosωt
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
2 ω
cc ωn
1 −
= y0
2 2 ω ω +1− ωn ωn
2
ω + ωn
2 c
2
ω Senω t − 2 cc ωn
c
3
ω Cosω t
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
2 ω
cc ωn
1 −
= y0
2
ω + ωn
2 c
2
ω Senω t − 2 cc ωn
c
3
ω Cosωt
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
(44)
2
ω
cc ωn
Por lo tanto, el movimiento absoluto de la base, x(t) está dada por
donde, el ángulo de fase ψ está dado por
Tanψ =
x(t) =x0 Sen (ωt− ψ) , (45)
2 c
cc
1 −
2
ω
ωn
3 ω
ωn
+
2 c
cc
. (46)
2
ω
ωn
Una gráfica del ángulo de fase, ψ, como función de la relación de amortiguamiento,
c , y de la relación de la frecuencia de excitación a la frecuencia
cc
natural del sistema vibratorio, ω se muestra en la figura 12.
ωn
Además, la amplitud del movimiento está dadopor
x 2 0 = y2 0
⎪⎩
⎧
⎪⎨ 1 −
2
ω + ωn
2 c
cc
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
⎫2
⎪⎬
+ y
2
⎪⎭
2 ⎧
⎪⎨ 2
0
⎪⎩
c
3 ω
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2 ω
ωn
ω
ωn
23
2 ω
ωn
⎫2
⎪⎬
⎪⎭

Ángulo de Fase ψ
160
140
120
100
80
60
40
20
c/c c =0.4 →
Gráfica del Ángulo de Fase, Movimiento en la Base
← c/c c =1.0
← c/c c =0.1
← c/c c =0.6
← c/c c =0.3
← c/c c =0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Relación de Frecuencias, ω / ω
n
Figure 12: Ángulo de Fase de la Respuesta de un Sistema Vibratorio de un
Grado de Libertad Sujeto a un Movimiento Armónico de la Base.
= y 2 0
= y 2 0
= y 2 0
1 −
2 2
ω +2 ωn
1 −
2 2
ω
+2 ωn
1 −
2 2
ω +2 ωn
2 c
2 cc
c
4 ω + cc ωn
2 c
2 6 ω
cc ωn
1 −
2 2
ω
+ ωn
2 c
2
2
ω
cc ωn
2 c
2
ω
1 − cc ωn
2
ω
+ ωn
2 c
4 ω
+ cc ωn
2 c
2 6 ω
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
2
2
ω
cc ωn
2 c
cc
2
ω 1 − ωn
2
ω + ωn
2
ω 1 − ωn
2
ω + ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
24
2 c
2
ω
cc
2
2
ω
ωn
ωn
6
+
2 c
cc
4 ω
ωn

= y 2 0
= y 2 0
= y 2 0
= y 2 0
= y 2 0
1 −
2 2
ω
ωn
+
2 c
cc
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2
ω 2 − 2 ωn
2 ω
ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2
ω
ωn
1 − 2 ω
ωn
2
+
4
ω
ωn
2 ω
ωn
2
+
4
ω
ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2 ω
ωn
+
2 c
cc
+
2 c
1 −
2 2
ω 1+ ωn
2 c
2
ω + cc ωn
2 c
2
ω 1+ cc ωn
2 c
cc
1 −
2
ω
ωn
2 2
ω + ωn
2 c
2
2
ω
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2
ω 1+ ωn
2 c
cc
2
ω
ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2
2
ω
ωn
1 − ω
ωn
1+
2 c
cc
2 2
2 ω
ωn
+
2 c
cc
2 ω
ωn
Por lo que, finalmente, se tiene que
1+
x0 = y0
2 c
2 ω
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2 ω
ωn
2
cc
4 ω
ωn
2 ω + ωn
2 c
cc
(48)
Es importante señalar que evaluando la primera y segunda derivada, con
respecto al tiempo, del movimiento de la base, vea la ecuación (33), se tiene
que
dy(t)
dt = y0
d
ωCos(ωt) y
2 y(t)
dt2 = −y0 ω 2 Sen(ωt). (49)
De manera semejante, si se evalúan la primera y segunda derivada, con
respecto al tiempo, del movimiento absoluto de la masa M, vea la ecuación
(45), se tiene que
dx(t)
dt = x0 ωCos (ωt− ψ) y
25
d 2 x(t)
dt 2
= −x0 ω 2 Sen (ωt− ψ) (50)
4 ω
ωn
(47)

De manera que las relaciones entre las magnitudes del desplazamiento,
velocidad y aceleración del movimiento absoluto de la masa respecto a las
magnitudes del desplazamiento, velocidad y aceleración del movimiento de
la base, están dadas por
x0
=
y0
x0 ω
y0 ω = x0 ω2
=
y0 ω2
1 −
2 2
ω
ωn
1+
2 c
cc
2 ω
ωn
+
2 c
cc
2 ω
ωn
(51)
Una gráfica de la relación de amplitudes x0 como función de la relación
y0
c
de amortiguamiento, , y de la relación de la frecuencia de excitación a la
cc
frecuencia natural del sistema vibratorio, ω se muestra en la figura 13.
ωn
Transmisibilidad T r = F t /F 0 = x 0 /y 0
6
5
4
3
2
1
← c/c c =0.1
← c/c c =0.2
← c/c c =0.3
← c/c =0.4
c
← c/c =0.6
c
← c/c =0.8
c
Gráfica de la Transmisibilidad
← c/c c =1.0
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Relación de Frecuencias, ω / ω
n
Figure 13: Relación de Amplitudes de la Respuesta de un Sistema Vibratorio
de un Grado de Libertad Sujeto a un Movimiento Armónico de la Base.
26

5 Simulación de sistemas vibratorios de un
grado de libertad sujetos a vibración forzada
Para propósitos de simulación, conviene escribir la ecuación de movimiento
del sistema como
d2y c dy k F0
= − − y +
dt2 M dt M M Senωt.
Es bien sabido que la solución general, yG(t), de la ecuación diferencial
está dada por
yG(t) =yH(t)+yP (t),
donde, yH(t) eslasolución general de la ecuación homogénea asociada. Fisicamente,
yH(t) representa una vibración transitoria que desaparece con una
velocidad proporcional al amortiguamiento del sistema. Por otro lado, yP (t)
es una solución particular de la ecuación no homogénea. Fisicamente, yP (t)
representa una vibración permamente que, usualmente, es el objetivo principal
del análisis. Esta vibración permanente está dada por
yP (t) =y0Sen(ωt + φ),
donde, y0 es la amplitud de la vibración forzada y φ es el ángulo de fase de
esta vibración respecto a la fuerza de excitación.
Los archivos forseno1.mdl, vea la figura 14, y forseno2.mdl, veala
figura 15, simulan el comportamiento del sistema
d2y + cdy +25y =10Sen2.5t.
dt2 dt
En el archivo forseno1.mdl c =0.1, por lo que c/cc =0.01, mientras que
en el archivo forseno2.mdl c =4,porloquec/cc =0.4. En ambos casos
las condiciones iniciales son
dy
Para t =0, y(0) = 1, y (0) = 0.
dt
Nuevamente, debe suponerse que las unidades son consistentes y corresponden
a un sistema de unidades, por ejemplo el Sistema Internacional.
27

Figure 14: Primer Modelo de un Sistema Ligeramente Amortiguado Sujeto
a Excitación Armónica.
Los resultados del sistema vibratorio simulado en el archivo forseno1.mdl
se muestran en la figura 16 mientras que los resultados del sistema vibratorio
simulado en el archivo forseno2.mdl se muestran en la figura 17.
Observe que los resultados de la primera simulación muestran la persistencia
de la vibración transitoria, debido a que el amortiguamiento presente
en el sistema es muy pequeño. Al contrario, la vibración transitoria de la
segunda simulación desaparece rapidamente, dejando como única respuesta
la vibración forzada.
más aún, con los resultados del archivo forseno2.mdl es posible verificar
la amplitud de la vibración forzada, dada por
y0 =
6 Transmisibilidad
F0/k
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
.
2 ω
cc ωn
En esta sección, se mostrará ladefinición del concepto de transmisibilidad,
denotado por TR, uno de los conceptos más importantes para la práctica del
aislamiento pasivo de vibraciones. Este concepto tiene una definición dual,
en una primera versión, la transmisibilidad se define como la relación entre la
amplitud del movimiento de un sistema vibratorio, x0, respecto a la amplitud
28

Figure 15: Segundo Modelo de un Sistema Fuertemente Amortiguado Sujeto
a Excitación Armónica.
del movimiento de la base que excita el sistema, y0. Es decir
TR ≡ x0
y0
. (52)
Sin embargo, por los resultados de la sección 4, vea la ecuación (51),
está definición puede extenderse a la relación entre las magnitudes de las
velocidades o a la relación entre las magnitudes de las aceleraciones correspondentes
y está dada por
TR ≡ x0
=
y0
x0 ω
y0 ω = x0 ω2
=
y0 ω2
1 −
2 2
ω
ωn
1+
2 c
cc
2 ω
ωn
+
2 c
cc
. (53)
2
ω
ωn
En una segunda versión, la transmisibilidad se define como la relación de
la amplitud de la fuerza transmitida, FT , por el sistema vibratorio a la base,
respecto a la amplitud de la fuerza de excitación, F0. Es decir
TR ≡ FT
F0
. (54)
En este caso, es necesario realizar algunos cálculos adicionales. Para ello
considere el sistema vibratorio mostrado en la figura 18. La amplitud de la
29

Desplazamiento, u.l.
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
Respuesta de un Sistema Ligeramente Amortiguado Sujeto a Excitación Armónica
−1.5
0 10 20 30 40
Tiempo, segundos
50 60 70 80
Figure 16: Respuesta del Primer Modelo de un Sistema Ligeramente Amortiguado
Sujeto a Excitación Armónica.
fuerza de excitación es F0, además, ya se sabe que la respuesta del sistema
está dada por
y(t) =y0 Sen(ωt− φ) (55)
La derivada de esta ecuación, que representa la velocidad de la masa está
dada por
dy(t)
dt = y0 ωCos(ωt− φ) (56)
De manera que la fuerza ejercida por el resorte 4 , denotada por FRes, está
dada por
FRes = ky0 Sen(ωt− φ) . (57)
De manera semejante, la fuerza ejercida por el amortiguador, denotada por
FAmor, está dada por
FAmor = cy0Cos(ωt− φ) =cωy0 Sen
ωt− φ + π
2
. (58)
La fuerza total transmitida por el sistema vibratorio a la base está dada
por 5
4Esta fuerza solo incluye la fuerza debida a la respuesta del sistema y no incluye la
deformación estática del resorte.
5En sentido estricto, los puntos de aplicación de la fuerza ejercida por el resorte sobre
30

Desplazamiento, u.l.
1
0.5
0
Respuesta de un Sistema Fuertemente Amortiguado Sujeto a Excitación Armónica
−0.5
0 10 20 30 40
Tiempo, segundos
50 60 70 80
Figure 17: Respuesta del Segundo Modelo de un Sistema Fuertemente Amortiguado
Sujeto a Excitación Armónica.
FTotal(t) =FRes + FAmor = ky0Sen(ωt− φ)+cωy0 Sen
ωt− φ + π
.
2
(59)
Debe notarse que las componentes del lado derecho de la ecuación están
desfasadas 90 ◦ ; por lo tanto, del apéndice C, se tiene que la amplitud de la
fuerza total transmitida, denotada por FT ,está dada por
FT =
(ky0) 2 +(cy0ω) 2
= y0 (k) 2 +(cω) 2
= y0 k 1+
cω 2
= y0 k 1+ 2
k
c
cc
Sustituyendo el valor de y0, la amplitud del estado permanente o estacionario,
de la respuesta del sistema vibratorio, ecuación (13), reproducida a
continuación
y0
δ0
=
1
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2 ω
ωn
la base y de la fuerza ejercida por el amortiguador sobre la base, no coinciden, de manera
que esta suma de fuerzas unicamente tiene significado en puntos de la base alejados de los
puntos de aplicación de la fuerza, recuerde el principio de Saint Venant.
31
ω
ωn
2

Figure 18: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibración
Forzada con una Fuerza de Excitación de Amplitud Constante.
o
y0 =
δ0
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
2 ω
ωn
=
1 − ω
ωn
F0
k
2 2
+
2 c
cc
2 ω
ωn
Por lo tanto, la fuerza transmitida está dada por
F0
k
FT =
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
k 1+ 2
2 ω
ωn
c
ω 2 1+
=
F0
cc ωn
2 c
2 ω
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
(60)
Por lo tanto, la primera versión de la transmisibilidad está dadapor
TR = FT
F0
1+
=
2 c
2 ω
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
cc
.
2
ω
ωn
(61)
Concluyendo, la transmisibilidad tiene múltiples interpretaciones y una
misma ecuación, dadas por
TR = x0
=
y0
x0 ω
y0 ω = x0 ω2
FT 1+
= =
y0 ω2
F0
2 c
2 ω
cc ωn
1 −
2 2
ω + ωn
2 c
. (62)
2
ω
cc ωn
32
2 ω
ωn

Esta ecuación de la transmisibilidad es la misma dada por la ecuación
(51) y la gráfica de la transmisibilidad como función de la relación de amortiguamiento,
c
, y de la relación de la frecuencia de excitación a la frecuencia
cc
natural del sistema vibratorio, ω se muestra en la figura 13.
ωn
33