DIDÁCTICA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Dra. Celia Rizo ... - CIMM

DIDÁCTICA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Dra. Celia Rizo Cabrera
Dr. Luis Campistrous Pérez
INTRODUCCIÓN
En este trabajo se trata la resolución de problemas enfocada como un problema
didáctico. En el se resumen las raíces históricas de la situación presente y se
analizan algunos resultados actuales en el campo.
A partir de estas premisas se discute el concepto de problema, tal y como es
entendido por la mayoría de los investigadores, y se compara con la actividad que en
las clases se denomina usualmente “resolución de problemas”. Esta comparación se
realiza desde una perspectiva teórica y tomando en cuenta los resultados de las
observaciones e investigaciones empíricas realizadas por los autores y algunos
colaboradores.
En las consideraciones de los autores juega un papel fundamental el hecho de que
la Didáctica de la Matemática no se limita a la psicología del aprendizaje de dicha
ciencia por alumnos individuales, sino que tiene como objeto de trabajo la enseñanzaaprendizaje
de la Matemática en las condiciones de trabajo de un aula (más o menos
numerosa, como es usual en nuestros países) y bajo la dirección de un profesor.
Lo señalado en el párrafo anterior tiene especial importancia ya que descubre el
aspecto sociológico de la Didáctica de la Matemática; en este sentido se resalta como
hay que tomar en cuenta este aspecto al considerar las comunidades que se
relacionan con el problema: los alumnos, por una parte, y los profesores, por la otra.
Al mismo tiempo se destaca la interrelación entre ambas en una comunidad de
importancia central en el proceso: la comunidad de la clase de Matemática.
En relación con estos aspectos cobra importancia el aspecto social del aprendizaje y
se dedica alguna atención a la fundamentación de la Didáctica en el enfoque
sociocultural de la psicología que se remonta a L. Vigotsky, en el campo de la
resolución de problemas todo lo dicho avala una de las formas de trabajo que más
fuerza tiene en la actualidad y que se relaciona con algunas ideas que tratará el autor:
la resolución de problemas en grupo.
Sentadas estas bases se analiza por qué la resolución de problemas es un
problema actual de la Didáctica de la Matemática y se precisa el reto que plantea a los
investigadores en Matemática Educativa:
Lograr que en las aulas se planteen verdaderos problemas y que los profesores
conviertan la resolución de problemas en objeto de enseñanza y no que lo utilicen
como un medio para “fijar” el contenido de enseñanza.
Finalmente se discute el valor de las estrategias enseñadas y su contraposición con
procedimientos generalizados que el escolar construye, a veces como consecuencia
del proceso de enseñanza aprendizaje y otras veces a pesar de dicho proceso.
1

En este contexto se consideran algunas técnicas que pueden facilitar el aprendizaje
y la formación de estrategias, así como de un procedimiento generalizado para
enfrentar la resolución de problemas, en las condiciones de enseñanza masiva.
RAÍCES HISTÓRICAS DE LA SITUACIÓN PRESENTE
La Enseñanza de la Matemática posee una larga historia, desde tiempos
remotos se le considera como una asignatura necesaria para la preparación de las
nuevas generaciones, básicamente para contribuir al desarrollo del pensamiento.
Así es como Platón exigía el conocimiento de la Geometría como requisito para
ingresar en la Academia, no porque fueran a utilizar los conocimientos
geométricos, sino porque consideraba que la geometría era indispensable para la
formación del pensamiento de un filósofo.
En el mismo sentido, algunos historiadores han señalado que los Elementos de
Euclides estaban destinados a servir de texto en la preparación de filósofos y que
esa es la razón por la cual su organización destaca básicamente la estructura
deductiva de la Geometría; según estos autores la elaboración durante cientos de
años de manuales escolares al estilo de los Elementos constituye un error no sólo
pedagógico sino histórico.
Esta situación se mantuvo cuando las disciplinas matemáticas formaron parte de
las siete artes liberales en la época medieval y continúa en la escuela moderna en
la que entre los objetivos de la Matemática aparece en primer lugar el desarrollo
del pensamiento lógico.
Dado este objetivo central, se entiende el papel especial que han desempeñado
los problemas en la clase de Matemática ya que se comprende la resolución de
problemas como una de las actividades básicas del pensamiento. Este peso de la
resolución de problemas en la enseñanza de la Matemática puede seguirse hasta
los primeros documentos matemáticos que se conservan, ya que algunos autores
consideran que los problemas contenidos en las tablillas mesopotámicas y los
papiros egipcios son problemas escolares. Esta conclusión se avala a partir del
análisis de algunos de esos problemas; en efecto, en ellos aparecen
características que difícilmente aparecen en problemas reales, características que
lamentablemente perduran aún en los manuales escolares. Un ejemplo de ello lo
encontramos en los Papiros del Rhind donde aparecen problemas como el
siguiente:
En una casa hay 7 cuartos, en cada cuarto 7 gatos, cada gato come 7
ratones, cada ratón come 7 espigas de trigo y cada espiga tiene 7 granos.
¿Cuántos hay entre casas, cuartos, gatos, ratones, espigas y granos?
La solución de este problema conduce a una suma de potencias de 7, pero como
se puede apreciar no tiene ningún sentido práctico la situación que ahí se plantea,
y obviamente solo tiene como función ejercitar el cálculo, en este caso de esa
suma de potencias:
0 1
3 4
7 +
7 + 7 + 7 + 7 +
2
7
5

En todo este período histórico las razones para considerar los problemas dentro
de la enseñanza han sido muy semejantes:
♦ Desarrollar el pensamiento, en particular la capacidad de resolución de
problemas.
♦ Justificar la importancia de la Matemática y del tema que se desarrolla
mostrando su aplicación a diferentes situaciones de la vida o de la técnica.
♦ Motivar el estudio de un tema sobre la base de presentar problemas que sean
capaces de atraer la atención de los alumnos.
♦ Introducir nuevos contenidos, en particular aquellos que pueden ilustrarse con
ciertos "problemas tipo".
♦ Fijar algunos procedimientos matemáticos que han sido explicados en el aula,
preferentemente procedimientos de cálculo.
Como puede apreciarse en esta apretada síntesis de razones, el aprender a
resolver problemas no ha figurado como una de esas razones durante un largo
período de tiempo. Realmente hay que decir que la creencia predominante
durante siglos fue el que se aprende a resolver problemas por imitación, es decir,
viendo resolver problemas e imitando las actitudes y el proceder del que resuelve.
No puede negarse que esta vía y también la de ensayo y error puede servir a
algunas personas para aprender, pero la escuela no está hecha para que algunos
aprendan, sino para que todos aprendan y, obviamente, con estos procedimientos
no puede lograrse que todos aprendan.
Realmente a lo largo de la historia no ha habido preocupación no sólo por
enseñar a resolver problemas, sino ni siquiera por analizar los procedimientos de
resolución. Esta regla general tiene muy pocas excepciones, las más ilustres de
las cuales son referencia obligada de cualquier recuento de este tipo: Arquímedes,
Pappus, Descartes.
Si bien desde la época del pensamiento clásico griego se encuentran referencias
sobre la metodología para resolver problemas, no es hasta principios de este siglo
que se encuentran las primeras recomendaciones a los alumnos, los primeros
intentos por "enseñar" a resolver problemas. Estos primeros intentos consisten
básicamente en una serie de recomendaciones formales que intentan fijar la
atención del alumno sobre la pregunta, leer cuidadosamente, encontrar datos,
meditar la respuesta. Este tipo de recomendación se hace tan fuerte que en
algunos de nuestros países se convierten en un esquema formal exigido para
resolver problemas y sin ninguna consecuencia sobre el pensamiento. Se trata del
esquema: datos, planteo, cálculo, respuesta.
Este estado de cosas es responsable de que el tratamiento de los problemas en
la escuela produzca efectos quizás contrarios a los que se espera y que se ilustran
muy bien con el resultado obtenido en Suiza al proponer a un grupo de alumnos
de cuarto grado, el problema siguiente:
Un pastor tiene 125 ovejas y 5 perros, ¿qué edad tiene el pastor?
Excepto uno que dijo que no se podía hacer, todos los alumnos "resolvieron" el
problema. Dentro de estos alumnos se profundizó mediante entrevistas, cuál había
sido la estrategia utilizada por una alumna que estaba convencida que había
actuado correctamente. La alumna en cuestión "probó todas las posibles
operaciones con los datos y escogió la respuesta más racional para ella":
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125x5=625 ¡No!. Son muchos años.
125+5=130 ¡No!. Son muchos años.
125-5=120 ¡No!. Son muchos años.
125:5 =25 ¡Sí!. Esa sí puede ser la edad del pastor.
Un hito fundamental en la enseñanza de la resolución de problemas lo marca el
año 1945 con la publicación de la obra How to solve it? de George Polya. Con la
publicación de esta obra maduran las ideas de este autor que había venido
desarrollándolas durante un cuarto de siglo y en ella, por primera vez se ilustra un
camino didáctico hacia la enseñanza de la resolución de problemas.
El camino propuesto por Polya redescubre y desarrolla la Heurística, que se
puede hacer remontar hasta Pappus, y precisa una serie de estrategias que deben
constituir una herramienta fundamental en la enseñanza de la resolución de
problemas. No obstante su relevancia y el vacío que viene a llenar este trabajo,
sus ideas no comenzaron a tener una influencia generalizada hasta la década de
los años 80, una vez que se fijó la atención en la resolución de problemas como
una actividad esencial en la enseñanza de la Matemática.
A partir de este momento algunas de las estrategias básicas propuestas por
Polya adquirieron gran popularidad en la investigación en Matemática Educativa y
en algunos textos de Matemática escolar, lo que creó la imagen de que jugaban
un papel fundamental en la clase. A pesar de esto la situación real cambió muy
poco y los resultados obtenidos en la investigación no fueron tan espectaculares
como se esperaba.
Consideradas aisladamente las estrategias de Polya que fueron popularizadas,
son realmente fundamentales y funcionan al resolver problemas. Entre ellas
podemos encontrar las siguientes:
♦ Analizar lo que se da y lo que se busca.
♦ Dibujar una figura.
♦ Separar una condición en partes.
♦ Considerar casos especiales.
♦ Pensar en un problema más simple.
♦ Considerar el problema resuelto.
Se impone entonces una reflexión sobre el porqué no transforman radicalmente
la situación en la escuela, y la popularidad no llega realmente al salón de clases.
Retomemos en primer lugar un hecho destacado por A. Schöenfeld 1 al referirse
a las estrategias: son claramente reconocibles por aquellas personas que se han
apropiado de ellas y pueden percibir cómo las usan; esto explica el entusiasmo de
los Matemáticos. No obstante, estas estrategias no son fáciles de enseñar y
requieren para ello una preparación especializada en el campo de la
Matemática lo que hace que la mayor parte de los maestros (que no poseen
la formación de un matemático) no las reconozcan con facilidad y, lo que es
más grave aún, no puedan enseñarlas a sus alumnos. Estos hechos
constituyen una de las causas fundamentales para explicar la falta de éxito en la
introducción de las estrategias en la escuela.
1 Schöenfeld, Allan (1985), Mathematical Problem Solving. New York. Academic Press.
4

Otro aspecto a considerar es que las estrategias, en principio, se ofrecen a los
maestros como una forma de ayuda a sus alumnos; es decir, no se elabora un
procedimiento para que los alumnos elaboren estrategias o se apropien de
algunas, sino que se utilizan de manera externa, como algo que existe y que
el profesor utiliza en apoyo a su trabajo.
Pueden señalarse muchas razones, solo queremos referirnos a una más que
desempeña, desde nuestro punto de vista, un papel fundamental y es que por su
misma naturaleza las estrategias tienen un carácter heurístico, no algorítmico, no
se trata de formar patrones de conducta para utilizar una u otra estrategia a partir
de ciertas señales sino de dotar a los alumnos de "herramientas" que pueden
utilizar cuando lo entienden necesario, sobre todo cuando no existe un "camino
natural" para resolverlo. Sin embargo, en la escuela es más simple y existe una
larga tradición en formar procedimientos algorítmicos pero no resulta
sencillo formar los recursos de pensamiento necesarios para utilizar la
heurística como herramienta.
Por otra parte, a pesar de las declaraciones y de los enfoque de la enseñanza
basados en la resolución de problemas del cual hablaremos más adelante, en el
aula no se ha llegado a convertir la resolución de problemas en objeto de
enseñanza, predominan las formas de trabajo con problemas y los alumnos crean
sus propios significantes para la resolución de problemas, desarrollan creencias
que limitan sus posibilidades y forman estrategias de trabajo que no son exitosas,
lo que analizaremos posteriormente en este trabajo.
Para continuar nos detendremos en analizar a qué nos estamos refiriendo
cuando hablamos de problema en este trabajo y el sentido de este término en el
trabajo en la escuela.
CONCEPTO DE PROBLEMA. PROBLEMAS ESCOLARES.
Entre los conceptos esenciales que se incluyeron en el estudio se encuentra el
de problema. En este sentido en la literatura existen diversas acepciones
atendiendo a diferentes puntos de vista. En las investigaciones que hemos
realizado al respecto se asumió como concepto el que se consideró se ajusta
mejor a las concepciones actuales y que responde a nuestras propias
concepciones, por lo que aparece recogido en el libro “Aprende a resolver
problemas aritméticos” del cual somos autores: Se denomina problema a toda
situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a
transformarlo. La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la
nueva situación exigida tiene que ser desconocida y la persona debe querer
hacer la transformación.
Desde el punto de vista didáctico, la anterior definición es muy importante, pues
en la selección de los problemas a proponer a un grupo de alumnos hay que tener
en cuenta no solo la naturaleza de la tarea, sino también los conocimientos que la
persona requiere para su solución y las motivaciones para realizarla. En ambos
casos, lo antes planteado significa que lo que puede ser un problema para una
persona puede no serlo para otra, o bien porque ya conozca la vía de solución o
porque no esté interesado en resolverlo.
5

Los rasgos generales del concepto de problema que se asume en este trabajo,
en realidad no se hacen muy visibles en los materiales y libros para alumnos y
docentes, pues en ellos se utiliza más el concepto clásico de problemas
escolares y no al de problema en su acepción más amplia.
Estos problemas escolares tienen características específicas en cuanto a que
por lo general son situaciones didácticas que asumen, en mayor o menor grado,
una forma problémica cuyo objetivo principal es la fijación o aplicación de los
contenidos de una asignatura dada (conceptos, relaciones y procedimientos), y
que aparecen regularmente en el contexto de los programas que se quieren
trabajar. Estos problemas escolares son tipificados, en mayor o menor medida, y
para cuya solución se desarrollan procedimientos más o menos rutinarios.
Los procedimientos de solución y, por extensión, los problemas se consideran
rutinarios cuando en el proceso de resolución se pueden encontrar las vías de
solución de una manera directa en el propio contenido de la asignatura que se
aborda en la escuela, y en ellos se emplean procedimientos que no llegan a ser
propiamente algorítmicos, pero tampoco llegan a ser procedimientos heurísticos
de búsqueda abierta, sino de una determinación o selección entre dos o más
rutinas ya preestablecidas que sí son, por lo general, procedimientos algorítmicos
o cuasi algorítmicos.
Schöenfeld 2 , referido por Santos Trigo 3 , ubica este tipo de procedimiento a un
nivel táctico y lo separa de las habilidades a nivel estratégico. Para él, los de
carácter estratégico incluyen decisiones acerca de un plan para resolver un
problema y la evolución de éste durante el proceso de solución. Así, cuando el
estudiante tiene acceso a un procedimiento rutinario generalmente no incluye
decisiones estratégicas y el monitoreo o control del proceso se vuelve importante
solo cuando hay un error en la implantación de estos procedimientos rutinarios.
Así podríamos citar como ejemplos los clásicos problemas de fracciones o de
tanto por ciento, los problemas de demostraciones geométricas de igualdad y
semejanza de triángulos o de cálculo de áreas y volúmenes, que se resuelven
utilizando el contenido recién tratado en el aula, y que se enfrentan con las armas
de que ya se dispone. Para tales "problemas" no se requieren estrategias al estilo
de Polya, basta con algunos esquemas de actuación aprendidos en la escuela,
muchas veces por ensayo y error, o por imitación de la conducta del profesor.
Si revisamos los libros de texto para los alumnos nos encontramos que la
inmensa mayoría de los problemas que se consideran son rutinarios, así tenemos
los problemas clásicos de fracciones y tanto por ciento en la escuela primaria, que
los alumnos los resuelven desplegando un proceder aprendido casi en forma
algorítmica y donde prácticamente no es necesario ningún procedimiento de
búsqueda.
Otros ejemplos los encontramos en los problemas de demostración de igualdad
y semejanza de triángulos, en los que aparentemente hay una exigencia
intelectual elevada pues se trata de "demostraciones" pero que en la práctica sólo
2 Schöenfeld, A. (1985) Mathematical Problem Solving. New York. Academic Press.
3 Santos Trigo, Luz Manuel. (1996) Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de
las matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica.
6

es un proceso de búsqueda entre parejas de elementos iguales y arribar a una
conclusión completamente estereotipada.
La solución de los problemas que conducen a ecuaciones o a fórmulas son otro
ejemplo típico de este proceder rutinario, y lo más lamentable es que después que
adquieren estas herramientas tan poderosas las utilizan indiscriminadamente en
situaciones que requieren recursos menos potentes para resolverlas. Un ejemplo
de lo que estamos planteando se presenta a diario en problemas como el
siguiente que apareció en una prueba de ingreso a la Universidad en nuestro país
y que dice lo siguiente:
En un cierto país para pasar un telegrama hay que pagar una cantidad fija
por las 10 primeras palabras y una cantidad adicional por cada palabra por
encima de las 10. Si por 15 palabras se pagaron $11.65 y por 19 palabras se
pagó $14.57, ¿cuál es el precio fijo y cuál es el precio de cada palabra
adicional?
La respuesta esperada es el planteo de un sistema de ecuaciones donde las
incógnitas son el precio de las palabras fijas (x) y el precio de cada palabra
adicional (y):
x + 5y = 11.65 ; x + 9y = 14.57
En este caso el recurso algebraico es completamente innecesario pues tiene
una solución aritmética trivial:
14.57 - 11.65 = 2.92 2.92: 4= 0.73 (costo de cada palabra
adicional)
14.57 - 9(0.73)= 8 (costo de las 10 palabras iniciales).
En relación con estas exigencias que solo conducen a hacer más rutinario el
procedimiento de solución de los problemas, en un libro de un autor francés muy
reconocido aparece el siguiente problema:
Un número de 3 cifras es divisible por 9 y si se invierte el nuevo número es
36 del número original. ¿Cuál es el número?
47
En este caso en ese libro se presenta como solución la siguiente:
⎧ x +
⎪
⎨ 36
⎪
⎩ 47
y
+
( 100
z
=
9
x + 10 y
⎧ x
+ y + z = 9
⎨
⎩ 3553 x − 110 y
−
+
z ) = 100 z + 10 y +
4664
z
=
0
7
x

⎧x
+ y + z = 9
⎨
⎩3663x
− 4554z
= 990
990+
891z
x = z +
3663
8
x = 4 + 46s
99t
−99
z = 4 t −1+
z = 3+
37s
891
t = 1+ 9s
De donde se tienen las soluciones siguientes:
x = 4 z = 3 y = 2
Como se puede apreciar utiliza todo una serie de recursos algebraicos que son
muy reconocidos por su potencia pero que su uso indiscriminado ha propiciado
procederes completamente rutinarios. En este caso el problema tiene una solución
aritmética trivial:
El número de tres cifras invertido tiene que ser divisible por 9 (la suma de las
cifras es la misma si el número se invierte) y múltiplo de 36, pero a la vez divisible
por 47. El primer número posible es 36 • 9 =423, el segundo 423• 2= 826, y ya
no hay más porque el próximo múltiplo sería 423•3= 1269 y ese ya es de cuatro
cifras. De los dos números posibles el único divisible por 47 es 423, luego el
número buscado es 324.
Se puede comprobar fácilmente esa solución.
Los procedimientos de solución no rutinarios son entonces aquellos en los que
se exige un proceso de búsqueda propiamente heurístico. Quizás no sea fácil
encontrar problemas escolares con esas características, pero esa es una tarea
importante de la Didáctica de la Matemática. Aunque estos conceptos de rutinarios
y no rutinarios también pueden ser relativos, en dependencia del campo de
experiencia del sujeto al cual se le plantea una situación dada, se pueden
encontrar ejemplos como los siguientes, aún dentro de un contexto donde
históricamente los problemas son rutinarios como es el caso del trabajo con
fracciones y el tanto por ciento:
1. Un padre al morir reparte su herencia entre sus cinco hijos de la manera
siguiente:
Al mayor le da el 20% de la herencia.
Al que le sigue le da el 25% del resto.
Al que le sigue le da el 33 1/ 3 % del nuevo resto.
A los dos más pequeños le da a cada uno la mitad de lo que queda
después que le repartió a los otros tres.
¿Fue justo el padre?

2. Un cierto tipo de arroz crece al cocinarse un 30%. El cocinero decide
entonces reducir al 70% la cantidad de arroz que va a cocinar. ¿Alcanza la
comida?
3. La gasolina subió un 10%. El Sr. Alvarez decidió reducir su kilometraje al
90% para equilibrar sus gastos. ¿Gasta más, menos o lo mismo en
gasolina?
En el marco de las situaciones escolares, si se quiere uno acercar a una
situación didáctica que pueda ser utilizada como vía para enseñar a resolver
problemas, sí es necesario incluir problemas con procedimientos de solución no
rutinarios, que se acerquen lo más posible a los rasgos generales antes
establecidos para la definición del concepto problema en sentido amplio.
En sentido general, somos del criterio de que para lograr que los alumnos
aprendan a resolver problemas, es necesario plantear problemas no rutinarios,
aunque para no provocar una ruptura entre los hábitos ya establecidos en la
escuela que se acercan mucho a la solución de problemas rutinarios, en las
diferentes investigaciones que hemos realizado se han utilizado problemas
escolares rutinarios y algunos no rutinarios que den mayores posibilidades para el
desarrollo de estrategias de solución reflexivas mediante el empleo de técnicas
que deben ser objeto de estudio. Los tres problemas antes planteados, han sido
utilizados en las investigaciones que hemos realizado para determinar las
estrategias que utilizan los alumnos al resolver problemas y a las que haremos
referencia más adelante.
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO OBJETO DE
ENSEÑANZA
En varias partes de este trabajo hemos utilizado expresiones relacionadas
con la enseñanza por problemas que pueden representar varias cosas diferentes,
que en la práctica se entremezclan y no siempre hay claridad de que se está
utilizando. Por esa razón a continuación esclareceremos en qué sentido se están
utilizando esos términos que actualmente se mueven como las tendencias más
importantes en la llamada enseñanza por problemas:
Enseñanza problémica consiste en problematizar el contenido de
enseñanza, de tal forma que la adquisición del conocimiento se convierte
en la resolución de un problema en el curso de la cuál se elaboran los
conceptos, algoritmos o procedimientos requeridos. Está muy elaborada
desde el punto de vista didáctico y tiene un cuerpo categorial muy
estructurado. En esta forma de enseñanza poco se deja a la improvisación,
a mí se me parece más a la mayeútica socrática que a la heurística de
Polya aunque tome la forma de heurística en algunas presentaciones. Se
supone la forma en que debe proceder el alumno y es como si el hilo
conductor del pensamiento del maestro determinara la actividad del
alumno.
En general la referencia básica es el texto de Majmutov "Enseñanza problémica" y
en Cuba los representantes principales son la Dra. Marta Martínez Llantada en la
9

teoría general y el Dr. Paúl Torres en lo que a su aplicación en Matemática se
refiere.
La enseñanza por problemas que consiste en el planteamiento de
problemas complejos en el curso de cuya solución se requieren conceptos y
procedimientos matemáticos que deben ser elaborados. Este procedimiento
se asemeja a la enseñanza por proyectos y resulta complejo de realizar, en
la mayor parte de las veces los problemas se limitan a una función
motivacional y a aportar un contexto en el que adquiere sentido los
conceptos y procedimientos matemáticos que se pretende estudiar.
Esta es una de las vertientes del Problem Solving generado en los EEUU a partir
del momento en que se comienzan a considerar los problemas como centro de la
enseñanza de la Matemática.
La enseñanza basada en problemas que consiste en el planteo y
resolución de problemas en cuya resolución se produce el aprendizaje. En
este caso no se trata de problematizar el objeto de enseñanza ni de
plantear problemas complejos que requieran de nuevos conocimientos
matemáticos, más bien se trata de resolver problemas matemáticos
relacionados con el objeto de enseñanza, sin confundirse con él, y que van
conformando hitos en el nuevo aprendizaje. Este tipo de enseñanza no está
didácticamente estructurado, no se dispone de categorías y formas de
acción previstas y queda mucho a la creatividad del docente y a la
independencia y capacidad de los alumnos. En este caso es una tarea de la
didáctica la conformación de una teoría y procedimientos generales que
apoyen la labor del maestro y contribuyan a la generalización de este
método en aquellos casos en que es posible utilizarlo.
Esta es también una de las líneas que se desarrolla con el Problem solving en
los EEUU con el papel central de los problemas en la enseñanza de la
Matemática, un ejemplo pudiera ser el tratamiento del problema siguiente:
clasificar el triángulo cuyos lados miden 5 cm, 12 cm y 13 cm. La construcción del
triángulo mencionado hace surgir la hipótesis de que es rectángulo y para
comprobarla se formula y demuestra el recíproco del teorema de Pitágoras.
La enseñanza de la resolución de problemas es otra de las formas que
adopta el Problem solving en los EEUU, que debe ser bien diferenciada de
las anteriores, y que se ha difundido mucho mediante los textos que
enuncian y practican "estrategias" para resolver problemas y después
plantean problemas para aplicarlas. Esta nueva forma es otra tarea urgente,
independiente de las anteriores y que, en rigor, debe precederlas. Incluso
se han elaborado textos sobre "estrategias" con este enfoque, que a veces
resulta bien alejado del espíritu de lo que Polya preconizaba, aunque
supuestamente se basan en él.
Este enfoque es el que se asume, además de los trabajos pioneros de Polya, en
los trabajos de Schöenfeld, que lo ha desarrollado mucho. En el caso de
Schöenfeld, su aporte más significativo es que a partir de reconocer las ideas de
Polya, las desarrolla y considera cuatro dimensiones que influyen en el proceso de
resolver problemas:
♦ Dominio del conocimiento o recursos: Representan un inventario de lo
que un individuo sabe y de las formas que adquiere ese conocimiento.
10

Aquí incluye, entre otras cosas, los conocimientos informales e intuitivos
de la disciplina en cuestión, hechos y definiciones, los procedimientos
rutinarios, y otros recursos útiles para la solución.
♦ Los métodos heurísticos: En esta dimensión se ubican las estrategias
generales que pueden ser útiles en la resolución de un problema, como,
por ejemplo, las aisladas por Polya.
♦ Las estrategias metacognitivas o el monitoreo o autoevaluación del
proceso utilizado al resolver un problema.
♦ El sistema de creencias en la cual se ubica la concepción que tenga el
individuo acerca de las matemáticas. Según Schöenfeld, las creencias
establecen el contexto dentro del cual funcionan las restantes tres
dimensiones.
Otras figuras importantes dentro de esta tendencia de enseñar a resolver
problemas es la de Miguel de Guzmán, presidente del ICMI y en Cuba podemos
mencionar, entre otros, a Alberto Labarrere y a los autores de este trabajo
(Campistrous y Rizo), que han complementado el concepto de estrategia con la
noción de técnicas, elaborado algunas para el nivel inicial y trabajado en la
precisión de un procedimiento generalizado de resolución de problemas. Dentro
de este último enfoque es que se concibe este trabajo que se presenta en este
curso.
No obstante estas referencias a las tendencias actuales en la enseñanza de
basadas en la resolución de problemas, en las aulas no se ha llegado a convertir
la resolución de problemas en objeto de enseñanza, predominan las formas
tradicionales de trabajo con problemas y los alumnos crean sus propios
significantes para la resolución de problemas, desarrollan creencias que limitan
sus posibilidades y forman estrategias de trabajo que no son exitosas.
LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN LAS
CONDICIONES DE TRABAJO DE UN AULA
En esta parte del trabajo nos referiremos solamente a un conjunto de
investigaciones que los autores han estado desarrollando en México y en Cuba,
con el objetivo de aislar las estrategias que utilizan los alumnos al resolver
problemas y que las han ido adquiriendo en el proceso de enseñanza aprendizaje
de la Matemática que se desarrolla en el aula, a partir de algunas de las
dificultades que hemos estado analizando en los puntos anteriores de este trabajo.
Estas investigaciones tienen relevancia, desde nuestro punto de vista, pues
para lograr el éxito en el entrenamiento de los alumnos en la resolución de
problemas, puede ser muy útil el estudio y descripción de las estrategias intuitivas
elaboradas por los alumnos espontáneamente o como un subproducto no deseado
del aprendizaje escolar.
El conocimiento de estas estrategias y la inferencia de los modos por los cuales
los alumnos llegan a incorporarlas, puede servir a los educadores para influir n la
formación de algunas estrategias reflexivas elementales, que sin tener la
profundidad y belleza de las aisladas por Polya, estén más cerca de las que
11

intuitivamente elaboran los alumnos y que pueden ser asimiladas por ellos más
fácilmente, permitiéndoles asegurar el éxito en la solución de problemas en la
mayoría de las situaciones. Permite, además, trabajar en la eliminación de
aquellas conductas irreflexivas sobre la base de un mayor conocimiento de cómo
estas se manifiestan.
El trabajo que se presenta es una investigación que está en desarrollo y que
tiene como objetivo “aislar”, mediante estudio de casos, algunas de las estrategias
que utilizan los alumnos en la solución de problemas. Estas estrategias en muchos
casos se adquieren de forma espontánea al no ser objeto de enseñanza las
técnicas de solución de problemas.
En este trabajo estamos utilizando el término “estrategia” en el sentido de
Bruner 4 …”una estrategia hace referencia a un patrón de decisiones en la
adquisición, retención y utilización de la información que sirve para lograr ciertos
objetivos, es decir, para asegurarse que se den ciertos resultados y no se
produzcan otros”. Hemos considerado, además, que las estrategias pueden ser
más o menos reflexivas conduciendo a los alumnos a soluciones correctas o no.
Hemos considerado que una estrategia es irreflexiva, cuando responde a un
proceder prácticamente automatizado, sin que pase por un análisis previo de
análisis u orientación en el problema. En estos casos se asocia la vía de solución
a factores puramente externos. En el caso contrario, o sea, cuando para su uso se
requiere necesariamente un proceso de análisis previo que permite asociar la vía
de solución a factores estructurales y no a factores puramente externos, las
hemos denominado estrategias reflexivas.
El tipo de investigaciones que en forma resumida se presenta aquí está
enmarcada en el paradigma cualitativo, aunque se hace uso de elementos
cuantitativos si se considera necesario para formular determinadas hipótesis que
pueden ser útiles en futuras investigaciones en este campo.
Antecedentes de la investigación
Los antecedentes de esta investigación se encuentran en la propia práctica
pedagógica de muchos docentes, y en investigaciones realizadas en otros países
que aparecen en la literatura y donde aparecen algunos indicios de estrategias
(Carpenter et al: Resultados del Tercer NAEP en Matemática Educativa.
Mathematics Teachers 76 (9). 1983, Sowder. L. “La selección de operaciones en
la solución de problemas rutinarios con texto en la enseñanza y valoración de la
solución de problemas. National Council of Teachers Mathematics.Vol.3.
USA.1984, Bazán Zurita y Chalini Herrera. “Estrategias utilizadas por estudiantes
egresados de secundaria en la resolución de problemas matemáticos”. Revista
especializada en Educación. Vol. 10 Núm. 5. México 1995).
Otro antecedente importante en este trabajo de aislar estrategias aparece
recogido en el artículo de Larry Sowder denominado “ La enseñanza y valoración
de la solución de problemas matemáticos” que aparece en los resúmenes del
Concilio Nacional de la Enseñanza de la Matemática (USA 1989). En este artículo
Sowder presenta una lista no extensa, sin embargo representativa de la variedad
de caminos que los estudiantes, o eventualmente un simple estudiante, pueden
4 Bruner, Jerome. Acción, Pensamiento y Lenguaje. Compilación de José Luis Bernaza. Pag. I28.
12

tomar. Este trabajo lo realizó en entrevistas en séptimo y octavo grados (primero y
segundo de la secundaria) y se resumen a continuación las estrategias aisladas
por él y una breve caracterización de cada una de ellas:
1. Encuentra los números y suma (o resta o multiplica o divide). La
selección está determinada por lo que se ha hecho más recientemente en la
clase o por la operación para la cual el estudiante tiene más competencia al
realizarla.
2. Adivina qué operación debe ser utilizada.
3. Mira los números y ellos te dicen qué operación debes usar. Por
ejemplo, 78 y 54 probablemente te indiquen suma o producto, pero 78 y 3,
luce como una división por el tamaño de los números.
4. Trata con todas las operaciones y selecciona la respuesta más
razonable. Esta estrategia es la que se ha ejemplificado antes con la
investigación suiza.
5. Busca las palabras claves y ellas te dicen qué operación usar. Por
ejemplo “todos juntos” significa adicionar.
6. Decide si la operación debe ser grande o pequeña según los números
dados. En este caso, si es grande trabaja o trata con la adición y la
multiplicación y selecciona la respuesta más razonable. Si es pequeña, trata
con la sustracción y la división y escoge la respuesta más razonable.
7. Selecciona la operación cuyo significado es apropiado al texto.
Sowder considera que las primeras cuatro estrategias no son enseñadas en la
escuela y que pudieran resultar simpáticas sino fuera por el hecho de que los
estudiantes las utilizan frecuentemente y eso es lamentable. Incluso plantea que
aunque de manera excepcional, hay estudiantes de éxito en matemática que
también las emplean. Estas primeras cuatro estrategias son ejemplos de
estrategias irreflexivas.
Las estrategias 5 y 6, según Sowder, envuelven por lo menos un mínimo de
sentido numérico, un mínimo de procesamiento semántico y una muy mínima
comprensión del significado de las operaciones. La estrategia de palabras claves
lamentablemente es enseñada ocasionalmente por maestros bien intencionados
que no tienen un sentido de sus límites. Sobre esto, Sowder recoge en su artículo
investigaciones en este sentido y plantea que Sherril en 1993 notó un uso
diseminado de la estrategia de “palabras claves” en una encuesta con estudiantes,
y Nesher y Tenbalen en 1975, encontraron que prácticamente todos los alumnos
de la escuela primaria estaban usando palabras claves.
Todas las estrategias aisladas por Sowder, excepto la última que
lamentablemente es muy poco utilizada, son difíciles de aplicar en problemas de
varios pasos. Con relación a la estrategia basada en significados, en
investigaciones realizadas posteriormente por el propio Sowder, se pudo
comprobar que los libros no siempre adoptan una posición clara en cuanto a darle
sentido a las operaciones aritméticas de modo que tengan un significado claro
para los alumnos.
Otros investigadores como Kilpatrick y Webb, citados por el artículo de Arturo
Bazán Zurita antes mencionado, coinciden en que las estrategias más
comúnmente utilizadas son: ensayo y error, dibujar un diagrama, usar ecuaciones,
13

adivinar y probar, resaltar la información relevante, inferencia deductiva e
inferencia inductiva.
Todos estos antecedentes fueron útiles en el trabajo que hemos realizado y que
a continuación referiremos.
Los resultados que se presentan a continuación corresponden a un grupo de
trabajos de maestría dirigidos por los autores en la Facultad de Matemática de la
Universidad Autónoma de Guerrero en 1995, y se incluyen elementos preliminares
de un trabajo similar que se está realizando en Cuba.
La metodología utilizada en todos los casos se resume a continuación:
♦ Búsqueda bibliográfica para decidir los tests que se iban a utilizar.
♦ Validación de los tests y del mecanismo de entrevistas que se iba a utilizar con
los alumnos.Estas validaciones, en algunos casos , se realizaron en dos
ocasiones sucesivas.
♦ Aplicación de los tests definitivos y análisis exhaustivo de las respuestas
escritas de los alumnos.
♦ Primera propuesta de estrategias utilizadas por los alumnos.
♦ Entrevista grabada a los alumnos para precisar lo que realizaron en su trabajo
escrito.
♦ Transcripción de las grabaciones de las respuestas para concluir con más
aproximación cual fue la estrategia utilizada.
En total se ha concluido el trabajo de aislar estrategias en 198 casos. De ellos
hay 90 estudiantes mexicanos de los grados primero y segundo de la primaria (30
casos) , quinto y sexto de la primaria (30 casos) , y los tres grados de la
secundaria (30 casos). Hay también 108 estudiantes cubanos de los grados cuarto
y sexto de la escuela primaria.
En el próximo punto se describen los resultados alcanzados en las
investigaciones realizadas.
Primero y segundo grados de la escuela primaria.
En estos dos grados, las estrategias están muy asociadas a los procedimientos
de cálculo que los alumnos aprenden y los problemas, al ser tan simples, no
permiten profundizar en ellos. Las estrategias que se aislaron se resumen a
continuación.
Conteo directo de un modelo dado o previa modelación.
El modelo puede ser construido por los propios alumnos, pueden ser los dedos
que operan como un modelo o puede ser la sucesión de los primeros números
naturales que la han memorizado y opera como un modelo mental. La estrategia
consiste que el alumno observa la representación que le dan, o la que construye y
sobre ella opera mediante conteo.
Por ejemplo, en el siguiente problema, se muestra la solución dada por la alumna
Inaudith de primer grado:
Lucía se comió 7 chocolates de la caja (Está dado un gráfico de una caja
y Ana se comió 4. ¿Cuántos chocolates con 20 chocolates)
quedaron en la caja?
La niña numeró cada chocolate de la caja como se indica a continuación y contó
sobre el modelo gráfico y respondió que quedaron 9 chocolates.
14

1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
Opera con los datos de manera irreflexiva. Esta estrategia se manifestó de
varias maneras. La más común fue la de formar nuevos números con los números
dados y operar con ellos. Siempre se presentó asociado a problemas de adición.
Se presentó también sin la formación previa de nuevos números y en casos
aislados con la descomposición previa de números de dos lugares en números de
un lugar. Un ejemplo de esta estrategia se presentó en la solución que dio
Casandra (primer grado) al problema siguiente:
En el corral hay 5 pollos, 7 conejos, 3 cochinos y 4 borregos. ¿Cuántos
animales hay en total?
Observen que con el 5 y el 7 forma el 57 y
con el 4 y el 3 el 43. Después al sumar no
57
+ 43 7+3-----10 y 5+4----9
tiene en cuenta el sobrepaso y forma el
910
número 910 que da como respuesta.
Es obvio que esta alumna no ha comprendido el algoritmo convencional de la
suma ni el principio de formación de los números. Por otra parte no tiene idea del
“tamaño” aproximado que debe tener la respuesta.
Escribe números sin análisis previo. Consiste simplemente en una
estrategia de “adivinar” cuál debe ser la solución.
Selecciona la operación cuyo significado es apropiado al texto. En este
caso el alumno identifica el significado mediante el análisis del texto del problema,
pero en la mayoría de los casos no pueden explicar la selección que hicieron de la
operación.
En las conclusiones del trabajo realizado en estos grados se expresó que
algunas de las estrategias aisladas evidencian una postura bastante reflexiva de
estos niños, aunque en algunos esa reflexión está aún en un nivel concreto del
desarrollo del pensamiento que es característico de estas edades. Se planteó,
además, que están surgiendo estrategias muy irreflexivas que pueden conformar
formas de actuación muy inadecuadas y que pueden comprometer seriamente su
desarrollo posterior.
En el mismo sentido anterior se pronunció la Tercera Valoración Nacional del
Progreso Educativo (USA) 5 …”los estudiantes pueden no entender los problemas
que resuelven. La mayor parte de los `problemas rutinarios pueden ser resueltos
mecánicamente aplicando un algoritmo de cálculo de rutina. En tales problemas
los alumnos pueden no tener necesidad de entender la situación problema, porque
ese cálculo particular es apropiado, o si la respuesta es razonable. Los errores
cometidos en algunos de los problemas indican que los alumnos generalmente
tratan de usar todos los números dados en una situación problémica.
5 Carpenter et al: Resultados del Tercer NAEP en Matemática Educativa. Secundaria (1983). Mathematics
Teacher 76 (9). Pag. 652-659. Citado en A.H. Schöenfeld: Cuando la buena enseñanza conduce a malos
resultados. El desastre de los cursos de Matemática.
15

Cuarto a sexto grado de la primaria y secundaria básica
El trabajo que se realizó en estos grados incluyó en los tests preguntas rutinarias
y otras no tan rutinarias que constituyeron verdaderos problemas para los alumnos
y enriqueció las estrategias que surgieron.
Las estrategias aisladas hasta ahora se resumen y ejemplifican a continuación.
Algunas de ellas han sido aisladas ya antes como se expresó en la parte de los
antecedentes.
♦ Busca las palabras claves y ellas te dicen qué operación utilizar. Ya antes
hemos explicado que esta estrategia se caracteriza por asociar el significado
de las operaciones a determinadas palabras claves que han sido utilizadas
muchas veces en el propio proceso docente al trabajar con problemas, como
significados por “sinonimia” de las diferentes operaciones de cálculo. Por la
frecuencia con que apareció en la investigación, una hipótesis de nuestro
trabajo es que esta estrategia sí es enseñada en la escuela.
Por ejemplo, en el cuarto grado (también en otras investigaciones
relacionadas con esta se le planteó a los maestros) se propuso la siguiente
pregunta:
Juanito recogió 48 canicas entre dos días. A lo que recogió el primer día le
agregó 12 canicas. ¿Cuántas canicas recogió el primer día?
Una respuesta típica fue la siguiente:
48 : 2 = 24 (responde a la palabra clave entre 2)
24 + 12 = 36 (responde a la palabra clave le agregó )
Respuesta: Juanito recogió 36 canicas el primer día.
Otra respuesta también típica fue la siguiente:
48 + 12 = 60 (responde a la palabra clave agregó )
Respuesta: Juanito recogió 60 canicas el primer día.
Como pueden ver, es un problema simple de sustracción en el que se da el todo
(48 canicas) y una parte (12 canicas) y lo que se desea es hallar la otra parte. Se
resuelve calculando 48 - 12. La única dificultad que tiene es de orden lingüístico y
se hizo con el objetivo de poder comprobar cómo opera esta estrategia.
Esta conducta fue ampliamente investigada en la tesis de maestría, también
dirigida por los autores en la Universidad Autónoma de Guerrero, realizada por el
profesor José de Jesús Alanís Musito y defendida en el mes de enero de 1996 en
la Ciudad de Chilpancingo. Se manifestó tanto en alumnos como en maestros de
la primaria, lo que refuerza la hipótesis de que es enseñada en la escuela.
♦ Procedimiento rutinario asociado a un indicador textual. Consiste en
reconocer ciertos indicadores en el texto que permiten asociarlo a la clase de
problemas en la que se usa un determinado procedimiento, digamos en el
cálculo con fracciones o de porcentajes. En este caso el indicador textual es el
% y el procedimiento rutinario es el de calcular por cientos. La estrategia se
activa cuando el alumno reconoce el “indicador” que les recuerda el tipo de
16

procedimiento rutinario aritmético o algebraico que está relacionado a ese
indicador.
En nuestro trabajo una hipótesis es que esta estrategia también se enseña en la
escuela.
Para ilustrar el comportamiento de esta estrategia es conveniente decir que en
la primera versión de los tests que se aplicaron en la secundaria, se incluyeron
problemas rutinarios donde se utilizaba el cálculo del tanto por ciento y no hubo
grandes dificultades con los alumnos. Al entrevistar a los alumnos manifestaron
claramente que no les resultaba difícil y explicaban detalladamente el
procedimiento de calcular porcentajes.
Para indagar qué sucedía cuando los alumnos se enfrentaban a una situación
análoga en un problema no rutinario, en la versión definitiva de los tests se incluyó
la pregunta siguiente, a la que ya hicimos referencia con anterioridad:
La gasolina subió un 10% y el Sr. Alvarez decidió reducir su kilometraje al
90% para equilibrar sus gastos. ¿Gasta más, menos o lo mismo en gasolina?
Una alumna aplicó mecánicamente el procedimiento de calcular el 10% de 90,
respondiendo al indicador textual que representa el % y responde algo
completamente carente de sentido.
Otros alumnos responden que gastó lo mismo pues el 10% y el 90% suman el
100% y se equilibran.
Esta conducta también es bastante irreflexiva y también es consecuencia de las
formas en que se trabaja el tanto por ciento, muchas veces como un conjunto de
procedimientos carentes de significados para los alumnos. Es una manifestación
de una conducta muy generalizada en los alumnos y que en la literatura se
denomina “tendencia ejecutora”, y que consiste en comenzar a ejecutar sin
realizar un análisis previo y analítico de lo que se espera que realicen a partir de
las condiciones que se exigen en la actividad.
En la primaria también se manifestó esta estrategia de operar según un
indicador textual como se ilustra a continuación.
Se está imprimiendo un libro de texto de matemática. Se han terminado de
imprimir 112 páginas que representan el 80% del total. ¿Cuántas páginas
tendrá el libro?
Respuesta escrita Entrevista
80% de 112 - Yo ahora estoy dando el tanto por
ciento.
80 : 112 - Puse el 80% de 112 porque no sé
cuantas
100 páginas tiene el libro.
= 100 x 112 ¡Observen que opera
80 según un indicador - Puse 80 : 112 , le busqué
recíproco y
que es el %! 100
= 120 Posee un mecanismo para puse 100 x 112 , le taché los
ceros y sim-
resolver el problema que es 80
17

el procedimiento rutinario plifiqué.
de calcular por cientos, pero
ni siquiera lo utiliza bien.
♦ Tanteo. Esta estrategia consiste en buscar la solución al problema probando
sistemáticamente con distintos valores hasta encontrar la solución. Esta
estrategia descansa en la búsqueda de soluciones por “ensayo y error”. En la
literatura se describen diferentes formas de utilizarla, desde la búsqueda
“inteligente” de los valores con los que hay que probar, hasta el uso de valores
escogidos arbitrariamente pero de alguna manera relacionados con el
problema que se quiere resolver y analizando si satisfacen o no las
condiciones que se imponen. Una variante del tanteo es la comprobación
exhaustiva de todos los valores posibles en el dominio de un problema dado,
seleccionando aquellos que satisfacen las condiciones adicionales que se
imponen a dichos valores en el contexto del problema.
A continuación se ilustra el uso de esta estrategia por un alumno de la primaria,
en el problema siguiente:
Oscar compró sellos por los que pagó 41 centavos en monedas de 20, 5 y 2
centavos. ¿Cuántas monedas de cada una utilizó?
Respuesta:
20 5 2
1 3
3
20 35
+ 15 + 6
35 41 Utilizó una moneda de 20, 3 de 5 y 3 de 2 .
En la entrevista se pudo comprobar que fue haciéndolo por ensayo y error, pero al
no trabajar de una manera sistemática, le faltó la solución 1 de 20, 1 de 5 y 8 de 2.
♦ Operar con los números dados en el texto. Esta estrategia se asocia a la
“tendencia ejecutora” descrita en la Literatura y a una “creencia” aislada en
esta propia investigación: Un problema siempre debe conducir a resolver
operaciones. Consiste en identificar números en el problema y operar con
ellos, por lo general de una manera muy irreflexiva tal como se ha manifestado
en este estudio.
Esta estrategia se utiliza con bastante frecuencia y en el estudio se apreció en
todos los grados.
En el siguiente problema que se les planteó a los alumnos de la primaria, y que
no se podía resolver pues le faltaba información, se puede ver su uso:
Margarita coloca 9 fotografías en cada página de su álbum. Si aún le faltan
por colocar 45 fotos, ¿cuántas fotografías tiene Margarita?
Respuesta: 9
+45
54 Tiene 54 fotografías.
En la entrevista esta alumna no puede explicar qué pensó, solo que tenía que
dar una respuesta.
18

Esta estrategia puede estar estimulada por la forma en que se produce el
aprendizaje, si en el proceso de enseñanza el alumno no comprende por qué se
utilizan determinadas operaciones al resolver un problema, y solo fija que se
calcula con los números que aparecen en él. De este modo, al presentársele uno
donde lo tenga que resolver independientemente prueban varias formas sin poder
decidir, o simplemente como creen que siempre tienen que dar una respuesta (por
lo general no se le presentan situaciones en las que no se puede responder)
trabajan sin razonar la situación que se les está presentando.
♦ Usar números cómodos (o razonables). Consiste en la adivinación del
resultado infiriendo un número que razonablemente puede ser la solución y
prueban si lo es. No debe confundirse con la estrategia de tanteo, ya que no se
trata de ensayo y error, sino de comprobar si el número es o no la solución. Si
lo es el problema queda resuelto, si no lo es se abandona el problema.
En una de las soluciones dadas al siguiente problema que se puso en uno de los
tests de secundaria, se pone de manifiesto esta estrategia.
Tres alcancías contienen igual cantidad de dinero, pero la primera solo
tiene billetes de $50, la segunda de $20 y la tercera de $10. ¿Cuál es la
menor cantidad de dinero que puede haber en cada alcancía?
Respuesta: Cuatro
A continuación se resume la entrevista que se le realizó a la alumna.
Entrevistador Alumna
4 billetes. Explícame cómo salió ese 4 Yo supuse que cada alcancía tenía $200
¿Por qué? Porque eso es lo que yo supuse. Yo pensé
una cantidad determinada para cada
alcancía.
¿Y por qué no pensaste en $100? Pues porque en 20 solo serían 5 billetes que
habría…pero a mi me gustó el $200.
Observen que de todas maneras, la respuesta de 4 no tiene ningún sentido,
aunque parece ser que esa era la cantidad de billetes de 50 que había, bajo el
supuesto de que la cantidad era de $200, y no dice nada sobre las restantes
alcancías.
♦ Identificar los significados de las operaciones en el texto del problema.
Como antes hemos planteado, esta estrategia consiste en analizar la situación
reflejada en el problema e identificar los significados de las operaciones que
están presentes y utilizar precisamente esas operaciones cuyos significados
corresponden a la situación descrita. Es la estrategia más reflexiva de las que
se aislaron pero, lamentablemente, en el estudio realizado la utilizaron muy
pocos.
En la respuesta dada por un alumno de la primaria al siguiente problema se
puede apreciar el uso de esta estrategia
Un ómnibus escolar ha recorrido 128km . Si la distancia al lugar donde
debe ir es de 432 km, ¿cuántos kilómetros más debe recorrer?
Respuesta: 432
19

- 128
304 Debe recorrer 304 kilómetros.
En la entrevista el alumno planteó que él para entenderlo reformuló la pregunta
de la forma siguiente: ¿Cuánto le falta por recorrer? Entonces comprendió
lo que tenía que hacer.
Observen que tal como estaba planteada la pregunta, si el alumno se deja llevar
por la palabra clave “más”, como hicieron otros, no hubiera resuelto
correctamente el problema. Al analizar el problema y replantearse la pregunta
puede distinguir con más claridad uno de los significados de la sustracción: hallar
una parte cuando se conoce el todo y la otra parte.
Para concluir este punto quisiéramos reiterar que el objetivo de este estudio es
aislar estrategias, y nos interesa cualquiera aunque aparezca en un solo alumno.
Con esto queremos decir que no pretendemos mostrar en este material un caos
en cuanto a la situación de la solución de problemas en los alumnos mexicanos o
cubanos, sino simplemente ilustrar cómo se manifiestan cada una de las
estrategias aisladas, ya sean reflexivas o no, o se arriben a soluciones correctas o
no.
Estado actual de la investigación
Actualmente los autores están trabajando en Cuba, asesorando a tres
profesores que están terminando sus estudios de maestría y van a concluirla con
una tesis sobre esta misma temática. Uno de ellos está trabajando con niños de
segundo y tercer grado de la primaria, otro con alumnos de los tres grados de la
secundaria que son muy destacados en matemática y se entrenan para
concursos, y el último lo está haciendo con alumnos del último año de
preuniversitario y dentro del contenido geométrico.
Por otra parte, los autores y sus colaboradores están realizando directamente
esta investigación, dentro de sus líneas de investigación en el Instituto Central de
Ciencias Pedagógicas de Cuba, con alumnos de cuarto y sexto grado de la
primaria. En este trabajo se están, además, aislando algunas creencias que tienen
los alumnos y los maestros acerca de la solución de problemas y que resultan muy
interesantes, e importantes, por las barreras que pueden representar en el
aprendizaje y en la enseñanza de la solución de problemas.
Aunque en estos estudios no se incluye el componente de “las creencias”
reconocida por Schöenfeld dentro de la conducta ante la solución de problemas,
en el proceso de las entrevistas a los alumnos empezaron a surgir un grupo de
ellas que por su interés las incluimos a continuación:
1. No se puede resolver un problema si no se ha visto antes otro parecido.
2. Siempre se busca la manera de dar un resultado (en los tests había
situaciones que no eran problemas pues carecían de pregunta, pero de todos
modos calculaban y daban una respuesta).
3. Un problema siempre debe conducir a resolver operaciones.
20

4. Los problemas son siempre de lo último que se está dando (en el sexto grado
estaban estudiando el tanto por ciento y utilizaron estos procedimientos en
situaciones que no tenían nada que ver con eso).
Otros planteamientos interesantes que se hicieron en las entrevistas es que
algunos alumnos confiesan que no pueden explicar lo que hicieron pues no saben
lo que hicieron o que lo hicieron sin pensar y otros dicen que ellos siempre tratan
de recordar lo que hizo la maestra para tratar de hacerlo igual.
Algunas de estas estrategias son realmente espontáneas pero otras, sin duda,
son generadas por la forma de trabajo de la escuela, por ejemplo el uso de
palabras claves o de procedimientos rutinarios, y la menos usual es la que
corresponde al uso de los significados de las operaciones.
Otra de las dificultades generadas por la escuela se asocia al uso del modelo
algebraico ya que el planteo de las ecuaciones se convierte en el estereotipo para
resolver "problemas" asociados a la escuela, de forma tal que se utilizan sin
discriminar la conveniencia del modelo ni atender a la necesidad real de su
utilización. Esto hace que los textos contengan cientos de "problemas algebraicos"
que se resuelven de una forma más simple y rápida sin el uso del modelo
algebraico. Como consecuencia de esa forma de actuación los alumnos
universalizan el planteamiento de ecuaciones, sin elaborar estrategias que le
permitan utilizar esta herramienta fuera del marco escolar, dado por las "tiras de
problemas" para utilizar ecuaciones.
Una de las peores consecuencias de este uso tradicional de los problemas es lo
que ha sido llamado "tendencia ejecutora" 6 , esto es, la tendencia de los alumnos a
iniciar la resolución de un problema sin realizar una lectura detallada y sin analizar
qué estrategia de resolución puede utilizar. Esta tendencia se percibe en el hecho
de que los alumnos "buscan" en el texto del problema los números para realizar
con ellos cualquier operación, es tan notoria esta forma de actuación que, en
ocasiones, combinan los números contenidos en el problema de cualquier forma
para obtener una solución. Esta tendencia ejecutora está íntimamente relacionada
con la creencia que ha sido aislada en numerosas investigaciones y que se debe a
las mismas causas: todo problema debe resolverse en 10 min. o es demasiado
difícil.
Resumiendo lo dicho anteriormente podemos decir que a pesar del desarrollo de
las investigaciones sobre resolución de problemas, en la escuela sobreviven las
formas tradicionales de trabajo y continúan generando graves dificultades en los
alumnos que cursan los cursos de matemática escolar.
Desde nuestro punto de vista esta situación debe ser enfrentada
conscientemente para tratar de revertirla, pero esto requiere trabajar muy cerca de
la escuela y tener en cuenta las condiciones reales de alumnos y profesores. En
otras palabras se hace necesario utilizar un paradigma de investigación que
permita no sólo conocer sino transformar la situación escolar; en primer lugar esto
significa que es necesario conocer las necesidades de los maestros y
satisfacerlas antes de poder actuar en la escuela con lo que se abre un campo de
investigación muy rico y prometedor: estudiar las formas de actuación, las
6 Labarrere Sarduy, Alberto(1987). Bases psicopedagógicas de la enseñanza de la solución de problemas
matemáticos en la escuela Primaria. Pueblo y Educación. La Habana, Cuba.
21

creencias y los conocimientos de los maestros, así como llegar a precisar cuáles
son las formas idóneas para actuar sobre ellos y lograr modificar las creencias,
dotarlos de estrategias de resolución y de procedimientos didácticos para dirigir la
elaboración (construcción) de estrategias adecuadas en los alumnos.
Otra de las acciones necesarias es el estudio del proceso de formación de las
estrategias en los alumnos así como aislar las estrategias que se forman desde
edades tempranas 7 y la influencia del proceder de los maestros en la formación
de esas estrategias; un estudio como el que acabamos de presentar es importante
para cada comunidad pues las investigaciones locales van poniendo de relieve
cómo las acciones educativas influyen en la formación de estrategias. Incluso es
notable que acciones encaminadas a la introducción de estrategias probadas
pueden dar lugar al surgimiento de estrategias que, aunque derivadas de las
acciones de un proyecto, poco tienen que ver con las intenciones de los autores.
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN GRUPO
En diferentes investigaciones realizadas en el Instituto Central de Ciencias
Pedagógicas 8 se ha puesto en evidencia que en la actualidad, las confrontaciones
en el campo pedagógico sobre la escuela, se dirigen a un análisis crítico y de
transformación, teniendo en cuenta el papel relevante que la misma ocupa en la
formación integral del individuo.
En estos debates se muestran diferentes tendencias pedagógicas, de acuerdo a
la concepción que se tiene del desarrollo del individuo y en función de ello se
derivan diferentes formas de interpretar cómo debe ser el proceso de enseñanza
aprendizaje.
Las concepciones teóricas que se asumen en este material, que como antes se
planteó han sido comprobadas en investigaciones realizadas por el ICCP, se ha
seguido el enfoque histórico-cultural de L.S. Vigotski y sus colaboradores el cual
se centra en el desarrollo integral de la personalidad, que sin desconocer el
componente biológico del individuo, lo concibe como un ser social cuyo desarrollo
va a estar determinado por la asimilación de la cultura material y espiritual creada
por las generaciones precedentes.
El desarrollo de la personalidad del escolar se concibe mediante la actividad y la
comunicación en sus relaciones interpersonales, constituyendo ambos (actividad y
comunicación) los agentes mediadores entre el niño y la experiencia cultural que
va a asimilar.
¿Qué significa para el proceso de enseñanza aprendizaje en general, y en
especial para el de la resolución de problemas? La respuesta inmediata es que es
necesario propiciar en el aprendizaje o en otras actividades extraclases, la
oportunidad de interrelación entre los escolares para ejecutar tareas, porque con
ello intercambian y a partir de esa interrelación social van asimilando
7 Ver, por ejemplo, Gómez O. Enrique. Caracterización de algunas estrategias para resolver problemas
aritméticos en primero y segundo grados de la escuela primaria. Un estudio de casos. (Tesis de Grado)
Universidad Autónoma de Guerrero. México.
8 Ver Modelo Teórico del Proyecto Escuela Primaria(1998). ICCP. Ministerio de Educación de Cuba.
22

procedimientos de trabajo, conocimientos, normas de conducta, actuando con los
compañeros y el maestro, como mediadores de la cultura a asimilar.
Cuando el estudiante avanza en el plano de estas actividades, consideradas
sociales por las interrelaciones que se producen entre los compañeros y con el
maestro, incorpora, hace suyos estos conocimientos, normas, habilidades, y los
aplica con posterioridad de forma independiente en las tareas que realiza, lo que
da muestra de su desarrollo individual.
Estas consideraciones llevan a un aspecto de gran importancia en el trabajo del
docente y es el relacionado con el conocimiento que debe de tener de lo que el
estudiante puede hacer con la ayuda de él o de otros escolares, es decir, en una
actividad social de interrelación, y lo que el estudiante ya asimiló y puede realizar
sólo de forma independiente, porque ya constituye un logro en su desarrollo (por
ejemplo, un conocimiento, una habilidad, una norma de comportamiento, el
desarrollo de procesos del pensamiento como el análisis, la síntesis, la
generalización, entre otros, así como la de resolver problemas). Al primer nivel de
trabajo -con ayuda- se le ha llamado nivel de desarrollo potencial, este revela
las potencialidades del estudiante para aprender y al otro nivel señalado, es decir,
cuando puede trabajar por sí solo se le ha llamado nivel de desarrollo real, es el
desarrollo ya alcanzado, ya logrado por el escolar. A la distancia entre estos dos
niveles evolutivos de desarrollo se le denominó por Vigotski "Zona de desarrollo
próximo", que de ser tenido en cuenta por el maestro permitirá que lo que es
potencial en un momento se convierta, con su acción pedagógica o la de otro
estudiante, en el desarrollo real del escolar.
Desde el punto de vista de la actividad de resolver problemas, y en
correspondencia con nuestra posición teórica acerca del desarrollo antes
expuesta, está reconocido el papel que juega la formación de pequeños grupos de
trabajo para lograr más efectividad 9 . En este sentido Guzmán plantea que:
Proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento al permitir percibir las
distintas formas de afrontar una misma situación-problema.
Se puede aplicar el método desde diferentes perspectivas, unas veces en el
papel de moderador del grupo, otras veces como observador de su dinámica.
El grupo proporciona apoyo y estímulo en una labor que de otra manera
puede resultar dura, por su complejidad y por la constancia que requiere.
El trabajo con otros da la posibilidad de contrastar los progresos que el
método es capaz de producir en uno mismo y en los otros.
Proporciona la posibilidad de prepararse mejor para ayudar a los estudiantes
en una labor semejante con mayor conocimiento de los resortes que
funcionan en diferentes circunstancias y personas.
Como se puede apreciar, salvando las diferencias que podamos tener con
Guzmán en cuanto a las posiciones sobre el desarrollo, es obvio que ahí se
resumen una serie de posibilidades que ofrece el trabajo en grupos que confirman
las ventajas que esta forma ofrece de jalonar el desarrollo de sus integrantes,
mediante el papel que cada uno juega sobre los otros mediante la actividad y la
comunicación, y donde cada estudiante tiene la oportunidad de relacionar sus
9 Ver de Guzmán, Miguel (1992). Tendencias innovadoras en Educación Matemática. Olimpiada Matemática
Argentina.
23

ecursos matemáticos a situaciones realistas y presentar varias estrategias en sus
intentos de solución. En este sentido Santos Trigo plantea que 10 cuando los
estudiantes encuentran un ambiente en el aula que les permita pensar y razonar
acerca de las matemáticas y comunicar sus resultados a otros sobre la base de un
argumento, se enfrentan a la necesidad de organizar y presentar sus ideas en
forma convincente, y que trabajando en parejas o en pequeños grupos los
estudiantes tienen oportunidad de validar sus razonamientos y sus conjeturas.
En la experiencia que hemos acumulado acerca de esta forma de trabajo en
grupos, hemos podido comprobar que lo más difícil es lograr que la organización
no sea solo externa, o sea no solo que se ubiquen o dispongan en grupos dentro
del salón de clases, sino que la organización de esa actividad propicie realmente
el trabajo en colectivo con intercambio de ideas tal como se ha planteado en los
párrafos anteriores. En este campo, que cae ampliamente dentro de los problemas
de la didáctica de la solución de problemas, también hay mucho trabajo por hacer
e investigar para poder diseñar claramente cómo llevar a cabo la "enseñanza
mediante problemas", en cualquiera de las formas establecidas, y en donde el
papel de los grupos de trabajo es determinante.
TÉCNICAS QUE PUEDEN FACILITAR EL APRENDIZAJE Y LA
FORMACIÓN DE ESTRATEGIAS, ASÍ COMO DE UN
PROCEDIMIENTO GENERALIZADO PARA LA SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS.
Para finalizar quisiéramos a referirnos en este trabajo que venimos
desarrollando acerca de la situación con la enseñanza de la resolución de
problemas, a la necesidad de descomponer las estrategias generales que
eventualmente se utilizan para enseñar a resolver problemas, en técnicas más
simples asociadas a etapas escolares que permitan entrenar a los alumnos en la
actividad de resolución de problemas en forma gradual, sin exigir de inicio el
dominio de estrategias complejas pero de manera tal que se vayan apropiando
(construyendo) de formas de actuación que conducen la desarrollo de la
capacidad de resolver problemas a más largo plazo. De esta forma en los
primeros grados las técnicas estarían asociadas a los problemas aritméticos,
como se ilustrarán en este último punto del trabajo, pero no se limitarían a ellos ya
que desde el principio tienen que aparecer problemas que los obliguen a utilizar
técnicas en situaciones nuevas (un campo de aplicación pueden ser los llamados
problemas de proceso).
En etapas posteriores puede ser necesario desarrollar técnicas vinculadas a
determinadas ramas de la Matemática, pero sin olvidar los necesarios vínculos
entre las diferentes ramas de modo que se creen técnicas de aplicación general y
se contribuya al desarrollo de la capacidad general de resolver problemas 11 .
10 Santos Trigo, Luz Manuel (1996)Principios y Métodos de la Resolución de problemas en el aprendizaje de
las Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica.
11 Ver Campistrous, Luis (1994). Técnicas de resolución de problemas en Geometría Elemental. Olimpiada
Matemática Argentina. Rosario. Argentina.
24

Esta parte del trabajo que se presenta a continuación está hecha con ese
espíritu de que los alumnos aprendan técnicas simples desde pequeños, y forma
parte de un conjunto de investigaciones que se han realizado por el Instituto
Central de Ciencias Pedagógicas de Cuba, con el objetivo de desarrollar técnicas
de estimulación intelectual en las que no pueden faltar aquellas encaminadas a
desarrollar la capacidad de resolución de problemas. La referida investigación se
realizó durante los años 1990 a 1996 y fue defendida con éxito en el Consejo
Científico del mencionado Instituto. Sus resultados se han presentado en varios
eventos internacionales entre los que se encuentran Pedagogía 93, Pedagogía 95
y Pedagogía 97, todos ellos celebrados en Cuba, y Relme 8 (Costa Rica), Relme 9
(Cuba), Relme 10 (Puerto Rico) y Relme 11 (México).
Posiciones básicas de partida
Esta investigación está enmarcada dentro de la Didáctica aplicada a la
Enseñanza de la Matemática. El objetivo y la acción central de la investigación
están fundamentalmente en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
En el trabajo se parte de los resultados teóricos que sobre la resolución de
problemas han sido obtenidos en investigaciones anteriores: Labarrere (Cuba),
Müller (Alemania), Polya (USA) y Schöenfeld (USA), entre otros, utilizándolos
convenientemente sin posiciones dogmáticas, cada vez que son útiles.
Desde el punto de vista de los fundamentos, aceptamos (sin una dependencia
rígida):
• Las implicaciones de la teoría de la actividad, en particular lo que significa
para la resolución de problemas y muy en especial la necesidad de la
motivación (interés), la orientación y el control (Vigotski, Leontiev).
• La interiorización de las acciones mentales y sus implicaciones didácticas
(Galperin).
• La importancia de la formación de procedimientos generalizados y, en
particular, la trascendencia de este reconocimiento para la resolución de
problemas (Talizina).
• La posibilidad de aprender (interiorizar) procedimientos generalizados y, por
tanto, la necesidad de enseñarlos (Talizina).
• Las funciones generalmente reconocidas al trabajo con problemas en la
escuela: instructiva, educativa y de desarrollo.
• Las fases en la resolución de un problema: comprender el problema,
búsqueda de la vía de solución, resolución y control y vista y perspectiva, y su
relación con los momentos de la actividad (Polya, Müller, Labarrere).
• La caracterización del comportamiento de solución de problemas y lo que en
ella interviene: los recursos, la heurística, el control y el sistema de creencias
(Schöenfeld).
En la medida que sea necesario, iremos precisando en este trabajo otras
posiciones específicas que desde el punto de vista teórico fueron consideradas en
esta investigación.
25

El problema de los significados de las operaciones en la solución de
problemas aritméticos
Las investigaciones demuestran, y la práctica pedagógica cotidiana también, que
existen muchas dificultades en los alumnos para resolver problemas en general,
pero muy en especial cuando la vía de solución es aritmética. En este sentido se
ha comprobado, al menos en México y Cuba donde hemos podido profundizar en
ello a partir de trabajos de maestría que hemos dirigido, que los significados de las
operaciones aritméticas que tienen tanto los alumnos como los maestros son por
sinonimia, es decir, conocen una serie de palabras que se utilizan como
sinónimos de las acciones de sumar, restar, multiplicar y dividir y que cuando
aparecen en el texto de un problema inmediatamente operan como señal para
resolverlo utilizando la o las operaciones que les corresponden. Esta conducta la
hemos aislado en estudios que estamos realizando sobre las estrategias que usan
los alumnos al resolver problemas y que la hemos denominado “estrategia de usar
palabras claves”.
La conducta antes descrita la podemos ejemplificar con el comportamiento,
bastante generalizado, que tuvieron alumnos y maestros en una investigación
realizada en Chilpancingo, Guerrero 12 y que también se ha manifestado en Cuba,
ante el problema siguiente:
Pepito logró reunir en dos días 22 canicas. A las que tenía el primer día, le
agregó el segundo día 6 canicas. ¿Cuántas tenía el primer día?
Una buena parte respondió de la forma siguiente:
22 : 2 = 11 (responden a la palabra clave “entre dos”)
11 + 6 = 17 (responden a la palabra clave “le agregó”)
Respuesta: El primer día tenía 17 canicas.
Como han podido apreciar, el problema es un problema simple de sustracción
donde se da el todo (22 canicas) y una de las partes (6 canicas) y lo que se quiere
es hallar la otra parte
( 22 - 6 = 16 canicas).
En las entrevistas realizadas después de aplicársele los tests, se confirmaron
estas formas de actuar y su relación con las mencionadas palabras claves que
operan como desencadenantes de su conducta de una manera muy irreflexiva.
En el trabajo desarrollado para esta investigación, se tuvo en cuenta el
resultado de los estudios realizados por Schöenfeld, en relación con las cuatro
dimensiones que intervienen en la resolución de problemas.
La primera de estas dimensiones incluye el conocimiento informal o intuitivo del
dominio (la disciplina) o del problema a resolver, y aquí se presenta este problema
de los significados por sinonimia de las operaciones aritméticas elementales. A
esto se une la importancia que tiene en el proceso de aprendizaje de los alumnos
el significado de lo que aprende en el sentido en que lo reconoce Ausubel 13 con
respecto a lo que el denomina aprendizaje significativo:… “Como ya vimos, la
12 Alanís Musito, José de Jesús. El papel de los significados en la solución de problemas aritméticos en la
escuela primaria. Tesis de maestría. Chilpancingo, Guerrero. México. Enero de 1996.
13 Ausubel, David P. Psicología educativa. Pag. 56. Editoral Trillas. México 1982.
26

esencia del aprendizaje significativo reside en que ideas expresadas
psicológicamente son relacionadas de modo no arbitrario sino sustancial (no al pie
de la letra) con lo que el alumno ya sabe, señaladamente algún aspecto esencial
de su estructura de conocimiento (por ejemplo: una imagen, un símbolo ya con
significado, un contexto o una proposición)…”.
Ante estas posiciones, y a partir de lo que en Cuba se hace en la educación
preescolar que tiene sus antecedentes en algunas de nuestras tradiciones
pedagógicas, reconsideramos esta manera de establecer los significados y que
tantos problemas nos están trayendo en la práctica, a favor de significados
prácticos de las operaciones aritméticas, donde el hilo conductor de todos ellos
fuera la relación “Parte-Todo”.
Esta relación es muy intuitiva, pues el niño realiza muchas actividades en donde
compone y descompone, y de una manera muy elemental se puede lograr que
interiorice sus propiedades fundamentales:
• La descomposición del todo da lugar a dos o más partes.
• La reunión de todas las partes da como resultado el todo.
• Cada parte e menor que el todo.
Establecido este punto de vista, los significados de las cuatro operaciones
fundamentales con números naturales se pueden establecer mediante esta
relación, la cual admite modelos lineales simples (hablaremos detalladamente de
ellos más adelante) que son un magnífico apoyo para la solución de problemas
aritméticos. Esta relación opera entonces como una proposición o un modelo con
significado para el niño y que le sirve de soporte para tener una idea mental clara
de lo que significa cada una de las operaciones aritméticas. Observen que,
además, opera como una noción generalizadora que le sirve para cada una de las
operaciones, lo que representa una gran economía de pensamiento y contribuye a
formar un pensamiento más generalizador en el niño.
La forma en que hemos caracterizado cada uno de los significados que
normalmente se trabajan en la escuela aparecen en el libro "Aprende a resolver
problemas aritméticos". El lenguaje utilizado puede ser tal como aquí se plantea o
adaptado al lenguaje propio de los niños acorde a su edad. Para hacer más
ilustrativo lo que se quieres trasmitir en el referido libro se utiliza en algunos
momentos una representación mediante variables que, como es obvio, no es el
que se utiliza con los escolares de primaria, aunque puede ser empleado con
alumnos de otros niveles de enseñanza.
Las técnicas de resolución de problemas aritméticos. Un procedimiento
generalizado para la solución de problemas.
Las técnicas que se han introducido, considerando como técnica a "un conjunto
de acciones que permiten proceder ante una determinada acción de
aprendizaje y que opera como un recurso de la actividad mental para actuar
(herramienta) y a la vez como recurso de regulación (recurso
metacognitivo)", se resumen a continuación 14 :
Técnica de la formulación.
14 Ver Campistrous, Luis y Rizo, Celia. (1997). Aprende a resolver problemas aritméticos. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana. Cuba.
27

Técnica de la modelación.
Técnicas de la lectura analítica y la reformulación.
Técnica de la determinación de problemas auxiliares.
Técnica del tanteo inteligente.
Técnica de la comprobación.
Cada técnica está descrita mediante un conjunto de acciones que se formulan
en forma aseverativa e incluyen una serie de preguntas metacognitivas, en el
lenguaje de los alumnos, que recorren el proceso mental que se realiza y
constituye, a la vez, un importante recurso de control de este proceso.
Estas técnicas, excepto la de la formulación que es de un gran valor previo
cuando se está tratando de que el alumno adquiera el concepto de "problema", se
insertan dentro de un procedimiento generalizado para la solución de problemas
que en forma resumida se muestra a continuación:
¿Qué dice?
Leo
Lectura global
Releo
Lectura analítica
¿Puedo decirlo de otro modo?
¿Cómo lo puedo resolver?
¿Es correcto lo que hice?
¿Existe otra vía?
¿Para qué otra cosa me sirve?
Reformulo
Lectura analítica y reformulación
Busco la vía de solución
1. Lectura analítica y reformulación
2. Modelación
3. Determinación de problemas auxiliares
4. Tanteo inteligente
5. Analogía
Resuelvo
Hago consideraciones (incluye la
comprobación, análisis de la
solución y del procedimiento)
Técnicas de la comprobación
Este procedimiento está íntimamente relacionado con los tres momentos
reconocidos para toda actividad: Orientación, Ejecución y Control, como se
ilustra a continuación:
28

¿Qué dice?
¿Puedo decirlo de otro modo?
¿Cómo lo puedo resolver?
¿Es correcto lo que hice?
¿Existe otra vía?
¿Para qué otra cosa me sirve?
29
ORIENTACIÓN
EJECUCIÓN
CONTROL
Una manera en que pueden organizarse los pasos y que estos sean motivantes para los
alumnos puede ser utilizando un modelo guía como el siguiente:
¿Qué dice? LEO RELEO REFORMULO ¿Puedo decirlo
de otro modo?
¿Cómo lo
puedo
resolver?
Leo
Busco la vía de
solución
BUSCO LA RESUELVO
VÍA DE SO-
LUCIÓN
Reformulo
Releo
Hago consideraciones
PARA
RESOLVER
PROBLEMAS
TEDI
Resuelvo
HAGO CONSIDERACIONES

¿Es correcto ¿Para qué otra
lo que hice? cosa me sirve?
¿Existen otras vías?
La explicación detallada y la ejemplificación del uso de las técnicas consideradas y del
empleo del modelo guía aparece en el libro Aprende a Resolver Problemas Aritméticos ya
antes referido.
La introducción de técnicas simples representa una alternativa para la implementación
de las estrategias en la escuela, pero no es la única ni está desarrollada en todo su alcance,
realmente este aspecto de la implementación de las estrategias es uno de los campos más
fértiles para el trabajo y la investigación muy cerca de la escuela y los maestros.
Como se puede apreciar, hemos tratado de tocar algunos aspectos fundamentales con la
esperanza de contribuir a despertar la preocupación por este problema de tanta
trascendencia para la enseñanza de la matemática y que tan necesitado está del aporte de las
mejores inteligencias de maestros e investigadores. Esperamos haber puesto de manifiesto
que, además de la investigación de punta que se realiza en numerosos lugares y que
aumenta día a día nuestro conocimiento teórico sobre el fenómeno de la resolución de
problemas en sí mismo, existe un vasto campo menos teórico pero igualmente interesante
que tiende un puente entre la teoría elaborada y la realidad del aula, por lo que nos daremos
por satisfechos si al menos algunos de ustedes comienzan a dedicar su interés a este
problema.
30

Bibliografía
1. Alanís Musito, José de Jesús. El papel de los significados en la solución de problemas
aritméticos en la escuela primaria. Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de
Guerrero. México. Noviembre de 1995.
2. Bazán Z. A., Chalini H.A. Estrategias utilizadas por estudiantes egresados de
secundaria en la resolución de problemas matemáticos. Revista Especializada de
Educación Pedagogía. Tercera Época. Vol. 10. Núm. 6. Invierno 1995. México.
3. Ballester, Sergio y otros, Metodología de la enseñanza de la Matemática, México 1995;
4. Cabañas, Ma. Guadalupe. La técnica de la modelación como un recurso para aprender a
resolver problemas. Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de Guerrero. México.
Julio de 1995.
5. Campistrous, L. y Celia Rizo. Aprende a resolver problemas aritméticos. Editorial
Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana. 1997.
6. -------------------- Concepción de la enseñanza de la Matemática, Mined, Cuba .1987.
7. -------------------- Orientaciones metodológicas para los grados 6º, 10º y 12º, Pueblo y
Educación. Cuba 1990
8. --------------------- Los significados y la modelación en la resolución de problemas
aritméticos. México 1997.
9. De Guzmán, M. Gil, P.D. Enseñanza de las Ciencias y la Matemática: tendencias e
innovaciones. Madrid. Popular. 1993.
10. ---------------------- Para pensar mejor. Editorial Labor. Barcelona
11. Gómez Otero, Enrique Javier. Caracterización de algunas estrategias para resolver
problemas aritméticos en primero y segundo grados de la escuela primaria. Un estudio
de casos. Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de Guerrero. México. Julio de 1995
12. Johnson, D.A. Un modelo para la investigación en la clase de matemáticas. Revista “El
maestro de matemáticas”. No. 59. USA. 1966.
13. Labarrere, A.F. Bases psicopedagógicas de la enseñanza de la solución de problemas
matemáticos en la escuela primaria. Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana. Cuba.
1987.
14. --------------------Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver problemas. Pueblo
y Educación. Ciudad de la Habana. Cuba. 1988
15. --------------------Pensamiento, análisis y autorregulación de la actividad cognoscitiva de
los alumnos. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana. 1996.
16. Mónaco, Bárbara. S. Aguirre, Ma. Isabel. Caracterización de algunas estrategias para
resolver problemas aritméticos y algebraicos en el nivel medio: un estudio de casos.
Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de Guerrero. México. Diciembre de 1995
17. Orton, Anthony. Didáctica de las Matemáticas, España 1990;
18. Polya, G. Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas. México. 1976.
19. ------------- Matemática y razonamiento plausible. Editorial MIR Moscú. 1976
31

20. ------------ Descubrimientos matemáticos, URSS 1975
21. ------------- Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las
matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica. 1996.
22. Porlán, Rafael Constructivismo y escuela, España 1993
23. Schöenfeld, A. H. Ideas y tendencias en la resolución de problemas. La enseñanza de
las matemáticas a debate. Madrid. España. 1985.
24. --------------- Cuando la buena enseñanza conduce a malos resultados: El desastre de los
cursos de matemática “bien enseñados”. Psicólogo educacional. Vol. 23. No.2.
Primavera de 1988.
25. ---------------- Mathematical Problem Solving. Academic Press.USA. 1985
26. ----------------- Ideas y tendencias en la solución de problemas. La enseñanza de la
Matemática a debate. Ministerio de Educación y Ciencias. Madrid. 1985-
27. --------------Aprendiendo a pensar matemáticamente. Libro para investigaciones sobre la
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Mac. Millan. New York. 1992.
28. Santos Trigo, Luz M. La solución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas.
CINVESTAV-IPN 1994.
29. Sowder, L. La selección de operaciones en la solución de problemas rutinarios con
texto en la enseñanza y valoración de la solución de problemas. National Council of
Teachers Mathematics. Vol. 3. USA. 1984.
30. Valenzuela, G.R. Resolución de problemas matemáticos: un enfoque psicológico.
Educación matemática. México. D.F. Vol. 4. No.3. Diciembre de 1992.
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PROBLEMAS PARA TRABAJAR EN EL CURSO
1. Entre Elena y su hermana pesan 87 kg. Si la hermanita pesa la mitad de lo que pesa
Elena, ¿cuánto pesa cada una?
2. La edad de un padre y su hijo suman 47 años. Dentro de 14 años el padre tendrá el
duplo de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad del hijo? ¿Cuál es la edad del padre?
3. Por $4.80 se compran un cinto y su hebilla. El cinto vale $4 más que la hebilla. ¿Cuánto
vale cada objeto por separado?
4. Tengo una vasija llena de miel que pesa 500 g. Esa misma vasija llena de kerosene pesa
350 kg. El kerosene es dos veces más ligero que la miel. ¿Cuánto pesa la vasija?
5. Tres niñas tienen blusas blanca, rosa y violeta. La que tiene la del color violeta le dice a
una señora, nuestros nombres son Blanca, Rosa y Violeta. La otra niña dice, yo me
llamo Blanca, como pueden ver nuestros nombres son iguales a los colores de las
blusas, pero ninguna lleva blusa con el color de su nombre. ¿Cómo identificar a cada
una?
6. Un estudiante de vacaciones observó que llovió 7 veces por la mañana o por la tarde.
Cuando llovía por la tarde, la mañana estaba clara. Hubo 5 tardes claras y 6 mañanas
claras. ¿Cuántos días estuvo de vacaciones?
7. En u cierto pueblo 2/3 de los hombres y 3/5 de las mujeres son casado. ¿Qué parte de la
población es soltera?
8. A un sirviente lo contratan por un año de trabajo. Le ofrecen una capa y 10 monedas de
oro. Al cabo de 7 meses lo despiden y le dan la capa y 2 monedas de oro. ¿Cuánto vale
la capa?
9. (Problema de Diofanto) "Viajero, aquí reposan los restos de Diofanto y los números
demostraron cuán larga fue su vida, cuya sexta parte la constituyó su infancia, su
juventud la doceava parte, la séptima parte su matrimonio estéril, cuando pasaron 5
años más tuvo su primer hijo, este murió a la mitad de la edad total del padre. Cuatro
años después sobrevino la muerte de Diofanto. ¿Cuántos años vivió Diofanto?"
10. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra. ¿Cuántos
apretones de mano se dieron en total?
11. En una caja contadora hay 100 pesos en ás de 20 billetes de a 3, 5 y 10 pesos. Si hay
más billetes de 5 que de 3, ¿cuántos billetes de cada tipo hay en la caja?
12. El minutero señala un número exacto de minutos y el horario está 2 divisiones detrás.
¿Qué hora es?
13. Dos hermanos, Juan y Pedro viven a 36 km uno del otro y salen al mismo tiempo a
encontrarse. Juan camina 7 km/h y Pedro 5 km/h. Con Juan sale su perro que camina
9 km/h; cuando llega a donde está Pedro, regresa a buscar a Juan y vuelve a buscar a
Pedro y sigue así hasta que los dos hermanos se encuentran. ¿Cuántos kilómetros
caminó el perro?
14. Cuatro niñas alquilaron un bote por $60. La primera pagó la mitad de la suma de lo que
pagaron las otras tres. La segunda pagó un tercio de la suma de lo que pagaron las otras
tres. La tercera pagó un cuarto de la suma de lo que pagaron las otras tres. ¿Cuánto
pagó la cuarta?
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15. Pasan volando un grupo de palomas, un gavilán que las vio les dijo "adiós cientos de
palomas", y la última paloma se detiene y le dice: "se equivoca usted, nosotras no
somos cientos de palomas, nosotras, más otras tanto como nosotras, más la mitad de
nosotras, más la cuarta parte de nosotras, más usted señor Gavilán suman 100".
¿Cuántas palomas son?
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