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Figura 9. Grafo: a) conexo, b) inconexo.
Nótese que la definición de trayectoria permite repeticiones de vértices o aristas o ambos.
Se pueden obtener otras clases de trayectorias imponiendo restricciones sobre los nodos y/o
vértices. Por ejemplo, sean v y w vértices en un grafo G, entonces:
Una trayectoria simple de v a w es una ruta de v a w sin vértices repetidos.
Existen algunos problemas para los cuales es útil determinar la ruta más corta entre un par
de vértices en un grafo ponderado. A continuación se muestra un algoritmo que encuentra
la ruta más corta entre dos vértices de un grafo ponderado conexo.
Algoritmo de Dijkstra
El algoritmo de Dijkstra consiste básicamente en asignar etiquetas temporales a los nodos.
Sea L(v) la etiqueta del vértice v.
En cualquier paso del algoritmo, algunos vértices poseen etiquetas temporales y el resto son
permanentes. Al inicio, todos los vértices tienen etiquetas temporales. En cada iteración del
algoritmo el estado de una de las etiquetas temporales cambia a permanente, así el
algoritmo termina cuando z recibe una etiqueta permanente. En este punto L(v) proporciona
la longitud de la ruta más corta de a a z.
Algoritmo de la ruta más corta de Dijkstra.
Este algoritmo encuentra la longitud de una ruta más corta del vértice a al vértice z en un
grafo ponderado conexo. El peso de la arista (i, j) es w(i, j) > 0, y la etiqueta del vértice x es
L(x). Al terminar, L(z) es la longitud de la ruta más corta de a a z.
Entrada: Un grafo G ponderado conexo en el que todos los pesos son positivos, conjunto de
vértices de a a z.
Salida: L(z), la longitud de la ruta más corta de a a z.
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