Lógica Matemática - DSpace en ESPOL

Lógica Matemática
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Prueba Directa
Frecuentemente los teoremas tienen la forma:
Para todo x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n , si p(x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n ), entonces
q (x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n )
Esta afirmación cuantificada universalmente es
verdadera siempre que la proposición condicional
1. si p(x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n ), entonce q (x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n )
sea verdadera para todo x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n en el dominio en
discurso
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Para demostrar esto suponemos que x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n son
elementos arbitrarios del dominio en discurso.
Si p(x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n ) es falsa entonces (1) es verdadero
Así sólo es necesario considerar el caso en que p(x 1 , x 2 , x 3 ,
... , x n ) sea verdadera.
Entonces debemos probar que q(x1,...,xn) es
verdadero, usando a p(x1,...,xn), demás axiomas y
teoremas previamente derivados.
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Ejemplo:
Para todos los números reales d, d 1 , d 2 y x
Si d = min[d 1 , d 2 ] y x≤d, entonces x≤d 1 y x≤d 2
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Demostración
Asumimos que d, d 1 , d 2 y x son números reales arbitrarios
Suponemos d = min[d 1 , d 2 ] y x≤d es verdadero y tratamos de
probar que x≤d 1 y x≤d 2 también lo es.
Por la definición de mínimo d≤d 1 o d≤d 2
Si x≤d entonces x≤d 1
Si x≤d y d≤d 2 entonces x≤d 2
Entonces x≤d 1 y x≤d 2
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Prueba por Contradicción
Se asume que la conclusión es falsa,
siendo la hipótesis verdadera:
p y ~q son verdadero y se trata de llegar a
una contradicción de la forma: ~r∧r
A esta prueba también se la conoce
como prueba indirecta.
Colocado en notación lógica es igual a:
p ∧~q ⇒ ~r∧r
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