Guia de Clase - Ejercicio con alabeo restringido

Secciones de paredes delgadas abiertas
con alabeo restringido
◦ Resolución del ejercicio:
Se estudiarán las deformaciones y el estado tensional debidas a
un momento torsor con alabeo restringido sobre el larguero
principal de un avión de mediano porte similar al Piper Azteca,
con las siguientes características geométricas:
* Dimensiones en mm
** Material: Aluminio 7075 – T6
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Alabeo restringido en secciones de paredes delgadas
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1

A
x
Interpretación conceptual de C.C.:
y
Qy
En la sección transversal:
y
x
z
τ
Repaso
Equilibrio de fuerzas y momentos en
todos los puntos del sólido (principios de
la estática).
∑
∑
M
F
INT
INT
¿Cuánto vale τ ?
τ =
Q S
y
J
x
t
x
=
=
∑
∑
F
M
EXT
EXT
Válido para los ejes
principales de la sección.
y
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2

A
Interpretación conceptual de C.C.:
Repaso
En la sección transversal:
∑
∫
A
M
a
INT
τ r dA
=
=
∑
Q l
M
a
EXT
∑
∫
A
F
INT
=
∑
τ dA = Q
F
EXT
¿Dónde debe aplicarse la carga de corte para
que se cumplan éstas condiciones de
equilibrio en flexión simple?
lA
Qy
¿Cuánto es el giro de la sección en su plano?
φ = 0
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Interpretación conceptual de C.C.:
Otro caso:
¿Se cumple el equilibrio de fuerzas con
las tensiones de corte de flexión simple?
A
Qy
HAY EQUILIBRIO DE FUERZAS
¿Se cumple el equilibrio de momentos
en la sección?
lA
e
NO HAY EQUILIBRIO DE MOMENTOS
Por lo tanto, la sección gira: φ ≠ 0
⎛ Qy
Sx
⎞
El estado tensional planteado ⎜τ
= ⎟ es incompleto si la
⎝ J
x
t ⎠
resultante (Q) no pasa por el Centro de Corte de la sección.
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Interpretación conceptual de C.C.:
Si Q no está aplicado en el CC, las tensiones tangenciales totales
son:
τ +
Total
= τQ τMt
τ
Q
Q S
y x
= τMt
=
Jx
t
Considere un caso general de Q:
τ =
Total
Q S Q S
+
J t J t
y x x y
x
y
Mt
α h t
El equilibrio de esfuerzos en la sección se
satisface cuando la resultante pasa por el C.C.
2
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Interpretación conceptual de C.C.:
Qy
C.C.
A
τ =
Q
y
Q S
y
J
x
t
x
Qx
C.C.
A
τ =
Q
x
Q S
x
J
y
t
y
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Interpretación conceptual de C.C.
Recordar:
Centro de flexión = Centro de corte (C.C.):
◦ Es el punto donde aplicada una carga de corte la
sección transversal de una viga no se genera un giro
de la sección en el plano de la misma (torsión).
◦ Ante una solicitación de momento torsor puro, todos
los puntos de la sección giran alrededor del C.C.
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Calcular:
1. Obtener el diagrama de área sectorial con polo (P) en el
C.C. (centro de flexión)
2. Considerando que la viga se encuentra libre de alabear y
que la fuerza de sustentación excéntrica respecto del C.C.
genera un Mt de 25Nm sobre la viga, determine y
grafique el diagrama de alabeo de la sección. (Calcule el
giro unitario a partir de la teoría de Saint Venant de
torsión)
3. Si la raíz del ala se encuentra impedida de alabearse,
obtenga y grafique la variación del giro unitario de las
secciones en función de z.
4. Calcule las tensiones normales, tangenciales principales y
secundarias para el inciso 3 en las estaciones indicadas en
el esquema.
Considerando los puntos donde la tensión tangencial
resultante es máxima en las secciones analizadas, indique
en una tabla el valor de las tensiones de cada sección
analizada e indique el valor porcentual de las tensiones
tangenciales principales y secundarias referidas a la
tensión tangencial total.
Est
“4.5”
Est
“2”
Est
“0”
z
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Resolución inciso 1:
Recordar:
x
c
∫
− y. w`. dA x. w`.
dA
= ; yc
=
I
I
x
∫
y
◦ Válido para el sistema de ejes principales de
la sección con origen en el baricentro de la
sección
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Resolución inciso 1:
◦ Baricentro de la sección:
y=y p
y
cg
∑ yi.
Ai
= =
A
t
0,112
m
x p
◦ Momento de inercia y
I
y p
=
2,77e
-06
m
4
x
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Resolución inciso 1:
◦ Diagrama de área sectorial con polo y
origen en el baricentro:
-
-
W´
+
CG ≡ P ≡O
+
-
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Resolución inciso 1:
◦ Como el diagrama w´ es antisimétrico
y el diagrama de “y” es simétrico la
integral es igual a cero.
∫
yw . `. dA
◦ Recordar que el C.C. se ubica en los
ejes de simetría de la sección, si ésta
los tiene -> x c.c. = 0
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Resolución inciso 1:
-
-
y
cc ..
∫ xw . `. dA
= =
I
y
0,071m
-
x p
+
-
W´
+
CG ≡ P ≡ O
Referido a los ejes
principales de
inercia con origen
en el baricentro
-
+
+
-
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Resolución inciso 1:
Punto w´ [m 2 ] w [m 2 ]
1 -4,4E-03 -8,8E-04
2 -6,9E-03 -3,4E-03
cg 0 0
3 0 0
0 0 0
4 2,8E-03 4,6E-03
5 3,8E-03 5,6E-03
-
-
-
+
-
+
W
y ≡
P ≡
O
cc
W´
CG ≡
P ≡
O
+
-
+
-
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Resolución inciso 2:
◦ Alabeo de la sección:
W= -θ sv .w
θ =
SV
M
t
1 . G . ∑ Si
. t
3
3
i
Punto Alabeo (m) Alabeo (mm)
1 1,4E-05 0,01
2 5,4E-05 0,05
cg 0 0
3 0 0
0 0 0
4 -7,2E-05 -0,07
5 -8,8E-05 -0,09
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Resolución inciso 3:
θ = Csenhz . ( ) + C. coshz ( ) + SP
SP
= θ
1 2
SV
dθ
= C1.
α.cosh(
α.z
) + C2.
α.senoh(
α.z
dz
)
◦ Condiciones de borde
1. Z=0, W=0 entonces θ = 0
C
=
−M
t
2 3
1/3. G. Si.
ti
∑
2. Z=L, σ =0 entonces
dθ =
dZ
0
M
t
C . ( . )
1
=
tanh α L
3
1/3. G. S . t
∑
i
i
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Resolución inciso 3:
◦ A partir de la obtención de las constantes se
podrán obtener las derivada primera y segunda
del giro unitario o específico:
2
d θ 2
−α
. θ =
2
dz
1/3.G.
α =
I
∑
w
2
−α
.M
t
1 / 3.G. S .t
Si
.t
.E
C1
C2
M
t
M
t
.tanh( α.L )
ϕ = .cosh( α.z
) + .senoh( α.z
) +
.z −
3
3
α
α
1 / 3.G. S .t 1 / 3.G. α.
S .t
3
i
∑
∑
i
3
i
i
i
∑
i
i
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Resolución inciso 3:
2.0E-02
1.5E-02
1.0E-02
5.0E-03
0.0E+00
-5.0E-03
0 1 2 3 4 5
theta θ
theta. θ
theta.. θ
theta θ S.V. SV
-1.0E-02
-1.5E-02
-2.0E-02
z (m)
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Resolución inciso 3:
8.0E-02
7.0E-02
6.0E-02
5.0E-02
Rad .
4.0E-02
3.0E-02
2.0E-02
1.0E-02
0.0E+00
0 1 2 3 4 5
z (m)
Phi - Alabeo restringido
"Phi - SV
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Resolución inciso 4:
◦ Tensiones normales originadas por la restricción
del alabeo:
σ =
dθ
−E.w.
dz
◦ Tensiones tangenciales originadas por la
restricción del alabeo:
−
2
2
τ
2
= ∫ w.dA, I
w
= ∫ w .dA =
I .t
M -08 6
w
2.4e
[ m
]
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Resolución inciso 4:
-
-
+
W
y ≡
P ≡
O
cc
∫ w. dA
+
-
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Resolución inciso 4:
Estación
σ (KPa)
1 2 cg 3 0 4 5
0 950 3644 0 0 0 -4913 -5991
0.5 585 2243 0 0 0 -3023 -3687
1 360 1379 0 0 0 -1860 -2268
1.5 221 848 0 0 0 -1143 -1393
2 135 519 0 0 0 -700 -853
2.5 82 315 0 0 0 -425 -519
3 49 187 0 0 0 -253 -308
3.5 27 105 0 0 0 -141 -172
4 12 47 0 0 0 -63 -77
4.5 0 0 0 0 0 0 0
Estación
τ2 (KPa)
1 2 cg 3 0 4 5
0 112 0 0 -331 135 -212 0
0.5 69 0 0 -204 83 -130 0
1 42 0 0 -126 51 -80 0
1.5 26 0 0 -77 31 -50 0
2 16 0 0 -48 19 -31 0
2.5 10 0 0 -30 12 -19 0
3 6 0 0 -19 8 -12 0
3.5 4 0 0 -13 5 -8 0
4 3 0 0 -9 4 -6 0
4.5 3 0 0 -8 3 -5 0
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¿Por qué τ 2 no es cero en
el extremo libre?
Las tensiones normales
producto de la restricción del
alabeo varían a lo largo de la
sección, así como en la
dirección longitudinal de la
viga. La tensión tangencial
secundaria aparece para
equilibrar estas variaciones
en las tensiones normales.
σ b
+dσ b
σ a
+dσ a
y
τ 2b
σ b
σ a
τ 2a
x
dx a
dx b
y
x
z
z
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23

¿Por qué τ 2 no es cero en
el extremo libre?
En el extremo libre, la
tensión normal es cero. A
pesar de esto, debe
aparecer una tensión τ 2 para
equilibrar la variación
longitudinal de las tensiones
normales:
y
dσ b
dσ a
τ 2a
τ 2b
x
dx a
dx b
y
x
z
z
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Resolución inciso 4:
Tensiones normales
6000
Tension normal
pto 1
KPa
4000
2000
0
-2000
-4000
-6000
0 1 2 3 4 5
Tension normal
pto 2
Tension normal
pto cg - 3 & 0
Tension normal
pto 4
Tension normal
pto 5
-8000
z (m)
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Resolución inciso 4:
Tensiones tangenciales secundarias
200
100
Tension de corte2 - pto 1
KPa
0
-100
-200
0 1 2 3 4 5
Tension de corte2 - pto 2-
cg -5
Tension de corte2 - pto 3
Tension de corte2 - pto 4
-300
-400
z(m)
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Resolución inciso 4:
Alabeo de las secciones
6.0E-02
w (m)
4.0E-02
2.0E-02
0.0E+00
-2.0E-02
-4.0E-02
-6.0E-02
-8.0E-02
0 1 2 3 4 5
Alabeo punto 1
Alabeo punto 2
Alabeo punto cg
Alabeo punto 3
Alabeo punto 4
Alabeo punto 5
-1.0E-01
z (m)
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Resolución inciso 4:
◦ Valores porcentuales de τ 2
Estación
τ2 %
1 2 cg 3 0 4 5
0 3.7 0.0 0.0 -10.3 4.5 -6.8 0.0
0.5 2.3 0.0 0.0 -6.6 2.8 -4.3 0.0
1 1.4 0.0 0.0 -4.2 1.7 -2.7 0.0
1.5 0.9 0.0 0.0 -2.6 1.1 -1.7 0.0
2 0.6 0.0 0.0 -1.6 0.7 -1.0 0.0
2.5 0.3 0.0 0.0 -1.0 0.4 -0.7 0.0
3 0.2 0.0 0.0 -0.7 0.3 -0.4 0.0
3.5 0.1 0.0 0.0 -0.4 0.2 -0.3 0.0
4 0.1 0.0 0.0 -0.3 0.1 -0.2 0.0
4.5 0.1 0.0 0.0 -0.3 0.1 -0.2 0.0
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Momento torsor de SV y momento
torsor por restricción de alabeo
M
M
2
1
= −E.I
=
1
3
.G.
w
∑
2
d θ
.
2
dz
S
i
.t
3
i
. θ
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Variación del momento torsor
Momento torsor
30.0
25.0
Nm
20.0
15.0
10.0
5.0
M1
M2
Mtotal
0.0
0 1 2 3 4 5
z(m)
En la raíz de la viga el momento es absorbido únicamente por la restricción
del alabeo producto que el giro unitario de esa sección es 0.
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Simulación numérica
Modelo de Elementos Finitos (FEM)
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Simulación numérica
Tensiones Normales
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Simulación numérica
Tensiones Normales. Comparación con resultados analíticos
Analítico
FEM
Error %
Punto en la sección Punto en la sección Punto en la sección
Estación [m] 2 5 2 5 2 5
0 3644212 -5990723 3770000 -6080000 3.5% 1.5%
2 519166 -853457 480000 -790000 -7.5% -7.4%
4.5 0 0 285000 -240000 - -
Tensiones Normales en Pascales
¿Tiene sentido el valor de tensión normal encontrado para
el extremo libre en el modelo de elementos finitos?
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Simulación numérica
Tensiones Tangenciales
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Simulación numérica
Tensiones Tangenciales. Comparación con resultados analíticos
Analítico FEM Error %
Punto en la sección Punto en la sección Punto en la sección
Estación [m] 2 5 2 5 2 5
0 2887948 2887948 180000 170000 -93.8% -94.1%
2 2887948 2887948 2160000 2150000 -25.2% -25.6%
4.5 2887948 2887948 300000 365000 -89.6% -87.4%
Tensiones Tangenciales en Pascales
¿Son confiables los resultados del modelo de elementos
finitos en los extremos de la viga? ¿Por qué?
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Simulación numérica
Tensiones de Von Mises
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Simulación numérica
Giro de la sección
Giro en el extremo [Rad.]
Analítico FEM Error %
0.0551 0.0574 4.25%
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Simulación numérica
Alabeo
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Simulación numérica
Alabeo de la sección. Comparación con resultados analíticos
Analítico FEM Error %
Punto en la sección Punto en la sección Punto en la sección
Estación [m] 2 5 2 5 2 5
0 0 0 0 0 0% 0%
2 4.59E-05 -7.55E-05 4.75E-05 -7.83E-05 3.5% 3.8%
4.5 5.23E-05 -8.60E-05 5.00E-05 -8.78E-05 -4.4% 2.1%
Alabeo en metros.
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Simulación numérica
Conclusiones:
• La simulación numérica es una herramienta que debe ser
utilizada con precaución dado que sus resultados pueden no
ser correctos.
•La resolución numérica del problema no asegura la
obtención del resultado exacto de las incógnitas
(desplazamientos y rotaciones). Es de esperar que, si las
variables del problema tienen error, los parámetros obtenidos
a partir de éstas (por ej. tensiones), tengan mayor error.
• Los resultados de una simulación numérica deben validarse
mediante otro tipo de cálculos o mediante ensayos.
• Sin criterio, la simulación numérica es otra herramienta mal
usada.
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