Tensiones de corte en secciones cerradas - Universidad Nacional ...

Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS V
MÉTODO PARA EL CALCULO DEL FLUJO DE
CORTE PARA SECCIONES DE PARED GRUESA
CON ESTADO DE CARGA GENERAL
-2008-
Autores:
Dr.Ing. Marcos D. Actis

Introducción
En este apunte desarrollaremos un método para resolver estructuras cerradas
sometidas a esfuerzos combinado de flexión y corte. Para lograr esto se presentaran
distintos tipos de estructuras y cargas. Existen dos métodos para el calculo de ya sea de
estructuras abiertas y cerradas.
1.- Cuando la sección de la estructura esta cargada de modo tal que los ejes de inercia
principales son coincidentes con el estado de carga.
2.- Cuando el sistema de carga no coincide con los ejes principales, para este caso se
puede utilizar el método de los coeficientes K tomando los ejes ubicadas en el centro de
gravedad coincidente con el estado de carga.
1 método.- Secciones abiertas.
En secciones abiertas cuando los espesores son importantes la sección tiene la
capacidad de absorber esfuerzos de torsión y de flexión. Considerando inicialmente el
caso donde el eje de las cargas es paralelo a la dirección de los ejes principales de
inercia y las cargas se encuentran aplicadas en el centro de corte, como se ve a
continuación. Tenemos que,
x
CG
M x
M y
Q y
Q x
y
Del análisis de las tensiones normales obtenemos,
σ =
N
A
M
+
J
x
x
M
y +
J
y
y
x
y para las tensiones tangenciales
∂σ
τ = ∫ ∂ z
de esta forma el flujo de corte en la sección queda representado por;
dA

∂ ⎛ N M M y ⎞
x
q = τ t = ⎜ y x⎟
∫ + + dA
∂z
A J x J
⎝
y ⎠
∂M
∂M
x y
y x
q = τ t = ∫ dA +
∂
∫ dA
z J ∂z
J
x
y
ya que
∂M = Q , tenemos
∂z
Q y Qx
q = τ t = ∫ y dA + ∫ x dA
J J
x
y
donde dA=dS t.
2 método.- Secciones abiertas con ejes de carga no coincidentes con los
ejes principales de inercia.
Para este, caso donde no coinciden los ejes de las cargas con los ejes principales
de inercia, existen hay dos formas de resolver el problema. La primera consiste en
encontrar los ejes principales de inercia y descomponer el estado de carga en ese par de
ejes y luego aplicar el método anterior. Es decir;
Q y
x
Q ξ
CG
Q x
Q η
ξ
y
α
η
entonces
donde dA=dS t y.
σ =
N
A
Q
q = τ t =
J
M
+
J
ξ
η
∫
η
η
M
ξ +
J
Q
ξ dA +
J
ξ
ξ
η
ξ
∫
η
η dA
⎛ J x + J y ⎞
1
J ⎜ ⎟
η =
+
4 x y +
2
⎝ ⎠
2 2
( J − J ) J
xy

⎛ J x + J y ⎞
1
J ⎜ ⎟
η =
−
4 x y +
2
⎝ ⎠
2 2
( J − J ) J
⎛ 2 J ⎞
1 −1
xy
α = tan ⎜ ⎟
2
⎝
J y − J x ⎠
Q = Q sen α − Q cos α
Q
η
ξ
= Q
x
x
cos α + Q
y
y
sen α
La otra formas de calculo es utilizar el método de los coeficientes K, teniendo un eje
coincidente con el estado de carga y con centro en el baricentro de la sección. En
consecuencia se propone una función con la siguiente forma,
xy
σ = K o + K 1 x + K 2
y
∫
∫
∫
σ dA = N
σ y dA = M
σ x dA = M
x
y
x
CG
M x
M y
Q y
Q x
y
Reemplazando tenemos;
= 0
= 0
∫ K o dA + ∫ K1
x dA + ∫ K 2 y dA = N
entonces
N
K 0 ∫ dA = N ⇒ = K 0
A
de la misma forma K 1 y K 2 se determinan como
y
= 0
K
0
2
∫ y dA + K1∫
x y dA + K 2 ∫ y dA =
K =
1 J xy + K 2 J x M x [1]
= 0
K 0
2
2
∫ x dA + K1∫
x dA + K ∫ x y dA =
K =
1 J y + K 2 J xy M y [2]
M x
M y
Resolviendo [1] y [2] para K 1 y K 2 se obtiene
K
1
M
=
y
− K
J
y
2
J
xy

⎛ M
⎜
⎝
y
y
− K
J
y
2
J
xy
⎞
⎟J
⎠
xy
2
xy − K 2 J xy + K 2
+ K
x
2
J
y
x
= M
M J
J J = M
K
2
M x J y
=
J J
x
− M
y
− J
J
y xy
2
xy
M y J x − M x J
K1
=
J x J y − J
Reemplazando en la función propuesta, obtenemos
σ =
N
A
⎛ M y J
+ ⎜
⎜
⎝ J x J
x
− M
y
− J
J
x xy
2
xy
2
xy
xy
⎞ ⎛
⎟
M x J y
x + ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝ J x J
x
x
J
− M
Esta ultima expresión representa la tensión normal para el caso de flexión en
secciones abiertas o cerradas con ejes de inercia no principales.
y
− J
y
y
J
2
xy
xy
⎞
⎟ y
⎟
⎠
El flujo de corte se puede calcular como
∂σ
q = τt
= ∫ dA , entonces,
∂ z
∂σ
∂z
=
⎛
⎜
z ⎜
⎝
∂
∂
N
A
⎛
⎜
M y J
+
⎜
⎝
J x J
x
− M
− J
y
J
x xy
2
xy
⎞ ⎛
⎟ ⎜
M x J y − M
x +
⎟ ⎜
⎠ ⎝
J x J y − J
y
J
2
xy
xy
⎞ ⎞
⎟ y
⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎠
considerando que
∂M
∂z
x
= Q
y
∂M
∂z
y
= Q , derivando tenemos
x
∂σ
=
∂z
1 ∂N
⎛ Qx
J x
+ ⎜
A ∂z
⎜
⎝
J x J
∂σ Qx
=
∂z
J
− Q
y
y
− J
J
xy
2
xy
⎞ ⎛
⎟
Q y J
x + ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
J x J
y
y
− Q
x
− J
J
xy
2
xy
( J x − J y) Q ( J y − J x)
x
x
J
y
− J
xy
2
xy
+
y
J
x
y
J
y
− J
xy
2
xy
⎞
⎟ y
⎟
⎠
reemplazando tenemos que el flujo de corte queda definido como
q = τ t =
J
x
J
Q
y
x
− J
2
xy
Q y
( J x dA − J y dA) +
( J y dA − J x dA)
x
∫
xy
∫
J
x
J
y
− J
2
xy
y
∫
xy
∫
ya que
∫ y dA S x = ∫ x t dS ∫ x dA = S y = ∫
= y t dS , y considerando un momento
torsor que produzca un flujo de corte q TR , entonces tenemos;

Conclusión
⎡ J x S y ( S)
− J xy S x ( S)
⎤ ⎡ J y S x ( S)
− J yx S y ( S)
⎤
q = τ t = ⎢
⎥ Qx
+ ⎢
⎥ Q y + q
2
2
⎢⎣
J x J y − J xy ⎥⎦
⎢⎣
J x J y − J xy ⎥⎦
Cuando la sección es abierta se aplica cualquiera de las variantes anteriores, en
cambio, cuando la sección es cerrada, las ecuaciones planteados siguen siendo validas
para las tensiones normales ya sea para el caso donde el estado de carga coincide o no
con los ejes principales. Pero para el análisis de las tensiones tangenciales o flujo de
corte en una sección cerrada no es posible utilizar la ecuación planteada anteriormente,
ya que para este caso se debe tratar a la misma como si fuera una sección con carácter
hiperestático, es decir, faltarían datos para poder resolver dichas ecuaciones. En
consecuencia, se desarrollará a continuación un método de calculo para determinar los
flujos de corte en secciones cerradas con estados de carga coincidentes o no con los ejes
principales de inercia
CÁLCULO DE FLUJO DE CORTE EN UNA ESTRUCTURA
MONOCASCO MONOCELDA
TR
dz
dS
S
1
q o
x
γ
τ
o
o = =
G
q
o
G t
y
Siendo el estado de tensiones y deformaciones en un elemento de la estructura.

dz
q o
S
z
dS
dwo = γ odS
=
qo
dS
G t
Siendo el desplazamiento horizontal debido al estado de carga
qo
Δw
10 = ∫ dw dS
S
o = ∫S
G t
Q
T ( S)
= T ( S)
= −
o
oy
y
S ( S)
J
x
y
Y el desplazamiento debido a una flujo de corte unitario
Δw
11
q1
= ∫ dS =
S G t
Planteando el equilibrio en el punto de corte
∫
S
dS
G t
Δw 1 = 0 ⇒ Δw
+ T Δw
0
10 1 11 =
Ejemplo
T
1
Δw
= −
Δw
10
11
dw o
γ o
1
= −
∫
∫
qo
dS
G t
1
dS
G t
10
P
10
q o
S
ΔU
10
=
∫ S
q0
dS
G t
Qx
q ( S)
=
o
S
J
y
y
( S)

Calculando los momentos estáticos
1) S 1 = 0 = S 7
2) S 2 = 5⋅2,5⋅t = 12,5⋅t = S 6
3) S 3 = 10⋅5⋅t + S 2 = 62,5⋅t = S 5
4) S 4 = S 3 +5⋅2,5⋅t = 75⋅t
Tengo que calcular
ΔU
10
Qy S x ( S)
( S)
= ∫ dS =
J t G
x
∫
qo
dS
G t
2
3
1
7 4
6
5
Siendo la ley de variación de los momentos estáticos entre los vértices
1-2
5 t S
S ( ) S
y S = S t =
2 0 2
2
5
0
10
2-3 ) ( 5 ) ( 12.5 ) 10
S y ( S = S + S t = t + s t
2 5
0
3-4 S)
= ( S + S t (5 − S ))
S y
5
3 = 62.5 t + t S (5 − )
2 0
2
( S
0
5
0
Reemplazando
⎡
2
qo
5 t S 10
( S)
= ∫ dS = 2 ⎢ dS +
0 ∫
dS
G t
0
0
2
⎣ 2
Δ U
∫ ∫
ΔU
5
⎤
( 12.5 t + 5 s t) dS + ( 62.5 t + t S (5 − S ) ⎥
⎦
10 )
10
3
2
2 3
( S)
= 2 t S 12.5 t S 5 t S 5 t S t S 62.5 t s⎤
⎢⎣
⎡ + + + −
6
2 2 6
+ ⎥⎦
= 2 t
[ 125 + 125 + 250 + 125 −125
+ 312.5] = 1500 t
6
2
6
Δ U
Qy 1500 t 1500 Q
=
J G t J G
10 =
x
y
t
S
q 1 =1
ΔU
11
dS
40
= ∫ = (5 + 10 + 10 + 10 + 5) =
G t
G t
ΔU 10 + q 1 ΔU 11 = 0

1500 Q
J G
y
+ q
40
G t
1 =
0
∴
q
1 = −
1500
Q
40 J
y
t
Siendo el estado final de flujo de corte,
12.5⋅P/J
2
3
65.5⋅P/J
37.5⋅t⋅P/J
1
7 4
6
5
75⋅P/J
+ =
25⋅P/J
=
37.5⋅P/J
CASO DE MULTICELDA
Extendiendo el método presentado a una estructura multicelda tenemos
10
10
10
1
ΔU 10 + q 1 ΔU 11 + q 2 ΔU 12 = 0
ΔU 20 + q 1 ΔU 21 +q 2 ΔU 22 = 0
ΔU
q0
dS
G t
10 = ∫ ΔU
=
S 1
12 ∫12
dS
G t

Δ
U 11 = ∫
ΔU
22 = ∫
1
dS
G t
2
dS
G t
En este caso debemos plantear los siguientes tres estados de carga para poder resolver la
estructura
q
q 0 q 1 q 2
= + +
1)- S 1 = 0 = S 9
2)- S 2 = 5⋅t⋅2,5 = 12.5⋅t = S 8
3)- S 3 = S 2 + 10⋅5⋅t = 62.5⋅t = S 7
4)- S 4 = 2 S 3 =125⋅t = S 6
5)- S 5 = S 4 +5⋅2,5⋅t = 137.5⋅t
3
2
4
1
9 5
8
6
7
Siendo la ley de variación de los momentos estáticos entre vértices
entre 1-2
entre 2-3
2
( ) t
S x S = S
2
5
0
S x ( S)
= 12.5 t + 5 t S
10
0
entre 4-5
S x
( S)
= 125 t + S (5 − S ) t
2
5
0
ΔU
10
( S)
= 2
⎡
⎢⎣
= 2 t
t S
Δ U10 = ΔU
20 =
Δ U
Δ U
= ΔU
11 22 =
= ΔU
12 21 =
3
+ 12.5 t S + 5 t S
6
+ 5 t S
2
[ 125 + 125 + 250 + 125 + 625 −125
]
6
2125 P
J
40
G t
10
G t
x
G
2
2
2
3
+ 125 t S − t S ⎤
2
6 ⎥⎦
P
= 2125
6 J G
x

Volviendo al sistema inicial;
ΔU 10 + q 1 ΔU 11 + q 2 ΔU 12 = 0
ΔU 20 + q 1 ΔU 21 +q 2 ΔU 22 = 0
q = q o + q 1 + q 2
S
S
⎧
⎪2125
⎨
⎪2125
⎪⎩
P
G J
P
G J
x
x
Resolviendo
40
+ q
G t
10
+ q
G t
1
1
10
+ q
G t
40
+ q
G t
2
2
= 0
= 0
q 1 = q 2
215 P
J
x
G
+ q
50
G t
1 =
0
∴
2125
P t
q P t 42. 5
1 = − = −
50 J x J x
Quedando el estado de final flujos de corte sobre la sección, como
6
20 P t / J x
30 P t / J x
30 P t / J x
4
42.5 P t / J x
52.5 P t / J x
42.5 P t / J x
40 P t / J x