Vigas de eje curvo - Universidad Nacional de La Plata

Facultad de IngenieríaUniversidad Nacional de La PlataESTRUCTURAS IIPara alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLPVIGAS DE EJE CURVOAutores:Ing. Jorge MaizteguiIng. Juan P. DurrutyIng. Asdrúbal Bottani-2008-

Vigas de Eje CurvoEstructuras III. Un estado de cargas contenidas en el plano.II. Un estado de cargas perpendiculares al plano.Para cada caso dividiremos el estudio en tres partes.a) Calculo de solicitaciones.b) Análisis de las tensiones.c) Análisis de las deformaciones.2) VIGAS CURVAS CON CARGAS CONTENIDAS EN EL PLANO.2.1) CALCULO DE SOLICITACIONESCuando tanto el eje de la viga como las cargas están contenidas en un mismoplano xy, y además uno de los ejes principales de inercia esta en dicho plano, la vigadespués de deformada seguirá estando en el mismo y los esfuerzos que puedan existirson:• Momento flector Mz• Esfuerzo axial Nz• Esfuerzo de corte QyLa convención de signos será la siguiente:oΦRRNxMzLado cóncavoMzNxQyLado convexoQy• Mz (+): Si tracciona las fibras del lado convexo• Nx (+): Si tracciona el elemento• Qy (+): Si tiende a producir un giro horarioPara la determinación de los esfuerzos característicos se pueden seguir doscaminos.Página 2 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIa) Determinando el valor por puntos en un numero de secciones determinado pordefinición.b) Plantando y resolviendo las ecuaciones diferenciales que ligan los esfuerzoscon las cargas externas.En general resulta más sencillo resolver por secciones, aunque daremos lasindicaciones para poder abordar por cualquiera de los dos caminos.a) Por definición:Se consideran todas las cargas que quedan a la derecha o a la izquierda de lasección en análisis según convenga, y se reducen a una resultante con un parresultante en la sección.El momento flector es el par (producto de las fuerzas por las distanciacorrespondientes).El axial y el corte surgen de la proyección de la resultante según la tangente lanormal al eje de la pieza en esta sección.Ejemplo:PAΦQBΦPNN BQ BM B= −P⋅ senΦ= P ⋅cosΦ= P ⋅ R ⋅ senΦb) Por ecuaciones:Su estudio para este curso no es obligatorio, para aquellos alumnos que tenganinterés en profundizar el análisis se pueden remitir al Anexo 1.Página 3 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras II2.2) ANALISIS DE LAS TENSIONES2.2.1) GENERALIDADES Y DISTRIBUCION DE TENSIONESVeremos a continuación qué efecto produce la curvatura de la pieza sobre ladistribución de tensiones normales en una sección transversal de una viga sometida aun momento flector.Admitimos que siguen teniendo validez las hipótesis de Bernoulli-Navier respectode las secciones planas (las secciones que son planas antes de la deformación,después de haberse producida la misma se siguen manteniendo planas) y por lo tantolas deformaciones δds de cada fibra son proporcionales a la distancia que las separadel eje neutro.Hasta acá aparentemente no nos apartamos del análisis para vigas de eje recto.La diferencia radica en que la longitud inicial de cada fibra es distinta, y por endela deformación específica ε = δds no es igual para las fibras ubicadas hacia el ladodscóncavo o convexo, aunque estén a igual distancia del eje neutro.Las tensiones normalesdistancia a la fibra neutra.σ = ε ⋅ E ya no son directamente proporcionales a laComo consecuencia de lo expuesto, las fibras que se ubican hacia el centro decurvatura (lado cóncavo de la pieza) tendrán una mayor deformación especifica ε dadoque tienen una menor longitud inicial ds, lo que genera un incremento en las tensionesnormales (concentración de tensiones), inversamente ocurre con las fibras que estánhacia el lado convexo, donde las tensiones disminuyen.Δdsε =dsΔ ds1 = Δds 2ds1< ds 2ε > ε ∴σ>1 2 1σ2Página 4 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIComo en flexión simple los volúmenes de tensiones de tracción y compresióndeben ser iguales para que haya equilibrio, el eje neutro ya no será baricéntrico,desplazándose hacia el lado cóncavo.A medida que el radio de curvatura crece respecto de la altura h de la pieza, lacurvatura disminuye atenuándose el efecto de concentración de tensiones, elcomportamiento se asemeja cada vez mas al de una pieza de eje recto, y el análisispor uno u otro camino no difiere demasiado cuando la relación R > 10 .hEste efecto de concentración llega a su máximo en al caso de quiebres bruscos,tal el caso de esquinas de pórticos donde el radio R = 0 en su cara interna, o elextremo de fisuras.Para disminuir este efecto se puede redondear los quiebres, tratando de que elradio R tenga un valor mayor.IncorrectoMCorrectoMR = 0σ → ∞R ≠ 0MMPara ver como es la ley de variación de las tensiones, tomamos un elemento deviga (arco de radio R y ángulo dΦ) que sufre una deformación δdΦ.Aunque el radio R de la pieza fuese variable punto a punto (por ejemplo unaespiral logarítmica) el análisis que haremos sigue teniendo validez ya que en elelemento diferencial se puede suponer que el radio vale r y es constante.Página 5 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIσ=ε⋅ Eδdxyε= =δ dxo + ⋅δdΦdx dxdx = (R + y) ⋅dΦdxodxo = R ⋅dΦ⇒dΦ=RReemplazando en ε:δdx0 y δΦ d ε0y 1 δΦ dε= + ⋅ = + ⋅ ⋅(R + y) ⋅ dxo / R (R + y) dΦ 1+ y / R R (1 + y / R) dΦ1 ⎛ y δdΦ⎞ 1 ⎛ y y y δdΦ⎞ε = ⋅⎜ε0+ ⋅ ⎟ = ⋅⎜ε0+ ε0⋅ − ε0⋅ + ⋅ ⎟(1 +y) ⎝ R dΦ⎠ (1 +y) ⎝ R R R dΦ⎠RR1 ⎡⎛ δ Φ⎢ ⋅ ⎜⎛⎟⎞ y d= ⋅ ε01 +y+ ⋅⎜− ε+ ⎣ ⎝ R(1y)⎠ R ⎝ dΦRy ⎛ δdΦ⎞= ε0+ ⋅⎜− ε ⎟R + y ⎝ dΦ⎠ε0ε0⎞⎤⎟⎥⎠⎦(1)Analizaremos ahora el caso en que la sección esta sometida a un momentoflector y a un esfuerzo axial (M y N) externos.Estas acciones externas deben estar en equilibrio con la reacción internamanifestada a través de un determinado estado de tensiones, debiéndose cumplir:∫ σ ⋅dA = N ∫ σ⋅y ⋅dA= My ⎛ δdΦ⎞N = ∫E⋅ε0⋅dA+ ∫E⋅ ⋅⎜− ε0⎟⋅dAR + y ⎝ dΦ⎠2y ⎛ δdΦ⎞M = ∫E⋅ε0⋅ y⋅dA+ ∫E⋅ ⋅⎜− ε0⎟⋅dAR + y ⎝ dΦ⎠O sea:⎛ δdΦ⎞ yN = E ⋅ε0⋅ A + E ⋅⎜− ε0⎟⋅∫⋅dA⎝ dΦ⎠ R + y2⎛ δdΦ⎞ yM = E ⋅ε0⋅∫y⋅dA+ E ⋅⎜− ε0⎟⋅∫ ⋅dA⎝ dΦ⎠ R + yTeniendo en cuenta que ∫ y ⋅dA= 0Y que:2yR + yy2+ y ⋅ R − y ⋅ RR + yy ⋅ (R + y)R + yR ⋅ yR + yyR + y∫ ⋅ dA = ∫ ⋅ dA = ∫ ⋅ dA − ∫ ⋅ dA = − R ⋅∫⋅dAPágina 6 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IISi llamamos Z a:−1yZ = ⋅∫⋅dAA R + yReemplazando en las ecuaciones de N y M, se obtiene:⎛ δdΦ⎞N = E ⋅ε0 ⋅ A + E ⋅⎜− ε0⎟⋅(−A⋅ Z)⎝ dΦ⎠⎛ δdΦ⎞⎛ δdΦ⎞M = E ⋅⎜− ε0⎟⋅(R⋅A⋅ Z) = E ⋅R⋅A⋅ Z⋅⎜− ε0⎟⎝ dΦ⎠⎝ dΦ⎠δdΦ− εdΦ0M=E ⋅A⋅R⋅ Z(2)M= E ⋅ε0 ⋅A− E ⋅A⋅ Z⋅= E ⋅ε ⋅A−E ⋅A⋅R⋅ ZN0Entonces:⎛ M ⎞ 1ε0= ⎜ N + ⎟⋅(3)⎝ R ⎠ E ⋅AMRSi sustituimos las ecuaciones 2 y 3 en la 1, teniendo en cuenta además queσ = ε ⋅ E tenemos:⎛ M ⎞ 1 y Mσ = E ⋅ ⎜ N + ⎟ ⋅ + E ⋅ ⋅⎝ R ⎠ E ⋅ A R + y E ⋅ A ⋅ R ⋅ ZQue reordenada es la Fórmula de GRASHOF o de WINKLERσ =N M ⎛ 1 y ⎞+ ⋅⎜1+⋅ ⎟A A⋅R ⎝ Z R + y ⎠En la fibra baricéntrica tenemos y = 0 resultando:σg=N M+A A ⋅Rσ = σgM y+ ⋅A ⋅R⋅ Z R + yPágina 7 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras II2.2.2) CALCULO DE Z:−1yRecordemos que Z = ⋅∫ dAA R + y1) SECCION RECTANGULAR:h/2 h/2dAbRydyY(-)Y(+)−1Z = ⋅AZ = −1+∫yR +RAdAybR +−1= ⋅AdyyhR R +Z = −1+⋅ln2h R − h2⋅∫∫= −1+y + R − R 1 ⎡dA = − ⋅ A RR y A⎢ − ⋅+⎣Rb⋅bh⋅ln( R + y)h2−h2∫1 ⎤dA =R + y⎥⎦Veamos la influencia de la relación R/h (curvatura) en las tensiones:R/h Z0.51 1.3537110.75 0.2070781 0.0986123 0.0094175 0.00335310 0.000835Con estos valores construiremos una tabla de comparación con los resultadosobtenidos por aplicación de la teoría de eje recto.Para comparar supongamos que se trata de un caso de flexión simple (N = 0).Página 8 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIσ =M ⎛ 1 y ⎞⋅⎜1+⋅ ⎟A⋅R ⎝ Z R + y ⎠Ry = −Z⋅1+ZR/h yn/h yn (% de h)Coeficiente * M/bhEje curvoEje rectoσ int. σ ext. σ int. σ ext.0,51 -0,2933 29,3 -70,46 2,68 -6 60,75 -0,1287 12,9 -11,54 3,91 -6 61 -0,0898 9 -9,14 4,38 -6 63 -0,028 2,8 -6,75 5,39 -6 65 -0,0167 1,7 -6,43 5,62 -6 610 -0,0083 0,8 -6,21 5,81 -6 6Como puede observarse en el ejemplo anterior, para relaciones R/h > 10 ladiferencia en las tensiones según se calcula por uno u otro método es insignificante.2) SECCIONES COMPUESTAS:0 123 4GRy 1 y 2y 3y 4⎥⎦⎤y 0126= 1 yR ⎡ dy dyz − ∫ dA = −1+⎢b+ + ++∫⎣ +∫+∫01b12K b56A R y A R y R y015Como:Entonces:∫dy ⎛ R + y⎟ ⎞i+ 1= ln⎜R + y ⎝ R + yi⎠nRZ = −1+⋅∑bi,i+A⎛ R + y⎟ ⎞i+ 1⋅ln⎜⎝ R + y ⎠10 idyR+ yPágina 9 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IICon esta ecuación se puede calcula Z para cualquier sección que se puedadescomponer en trapecios.2.2.3) VALIDEZ DE LA FORMULA DE GRASHOF EN SECCIONES T y I:En el caso de secciones tipo T, I o similares la hipótesis de mantenimiento de lassecciones planas después de la deformación ya no es tan cierta puesto que las alastienden a girar alrededor de su propio eje neutro, este efecto se hace mas considerablesi el ala es relativamente gruesa.Cuando las alas son muy delgadas, las que corresponden al cordón comprimidotienden a alejarse del centro de curvatura y las traccionadas a acercarse. Este efectotrae como consecuencia una disminución de las tensiones hacia los bordes y elconsecuente aumento en la unión con el alma. Esto no lo contemplan las fórmulas ypueden traer como consecuencia errores considerables en el cálculo de las tensiones.Para evitar roturas generadas por este efecto generalmente se disponenrefuerzos soldados o remachados.En el caso de alas delgadas las tensiones normales (circunferenciales)actuantes en las mismas generan un tensión radial que puede ser muy importante yque provoca una deformación en las alas, lo que hace que la longitud (ds = R*dФ) dedos fibras, ambas pertenecientes al ala, una cerca y otra lejos del alma, sea diferente ypor ende también lo serán las deformaciones específicas y las tensiones normales.Cuando las alas son de gran espesor, además del giro producido alrededor deleje neutro de toda la sección, cada una tiende a girar sobre su propio eje provocandoun incremento en las tensiones normales calculadas con las ecuaciones de Grashof.Página 10 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras II2.2.4) TENSIONES RADIALES:Si se toma un elemento de barra curva sometido a momento flector M, aparecentensiones circunferenciales que pueden ser calculadas aplicando la fórmula deGrashof.Si ahora tomamos una rebanada de este elemento, para que exista el equilibrioen dirección del radio necesariamente aparecen las tensiones radiales, que en losbordes serán nulas salvo que existan cargas externas y crecen hacia el centro.Cuando la sección es maciza los niveles de estas tensiones σ r no son muyimportantes, pero en secciones del tipo T, I o similares adquieren valores significativosen el alma y si no se toman los recaudos correspondientes pueden desestabilizar lamisma provocando la rotura de la pieza.Para calcular σ r planteamos el equilibrio en dirección radial:Fuerza circunferencial actuante sobre la parte rayadaT =y∫−cσ⋅dALa fuerza debida a las tensiones radiales en la cara R+y es:Página 11 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIFr = σr ⋅(R+ y) ⋅dΦ⋅ tDonde t es el espesor de la viga a la distancia y del C.G.Si ahora planteamos el equilibrio según la bisectriz de la pieza:Luego:σΦr⋅(R + y) ⋅dΦ ⋅ t = 2⋅T⋅sen( d ) = T ⋅dΦ = dΦ ⋅2y∫σ ⋅ dA−cσr=( R + y)⋅ty∫ − cσ⋅dARecordemos la expresión de Grashof para el cálculo de σ:T =y∫Si llamamos Z´ a:Tendremos que:FinalmenteM ⎛σ = ⋅⎜1+A ⋅R⎝σ⋅dA=M⋅1Zy∫y ⎞⋅ ⎟R + y ⎠dA +MA ⋅ R A ⋅ R ⋅ Z R +− c−c−cT =MR−1Z ´ = ⋅Ay∫y ⋅dAyR +− c⋅y∫y ⋅dAyA´ M ⋅A´ ⋅Z´M ⋅ A´ ⎤=⎢⎡ Z´+ −⋅ 1 −A R ⋅A⋅ Z R ⋅A⎣ Z ⎥⎦σr=M A´ 1 ⎤⎢⎡ Z´⋅ ⋅ ⋅ 1 −R A (R + y) ⋅ t ⎣ Z ⎥⎦Esta ecuación da valores suficientemente exactos para el alma de perfiles tipo To I aun cuando la ecuación de σ circunferencial no es exacta en estos casos.La presencia de una fuerza axial N no altera los valores de σ r ya que N seequilibra con Q.Página 12 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras II2.3) ANALISIS DE DEFORMACIONES:En general el cálculo de deformaciones en piezas de eje curvo puede hacerseaplicando los mismos criterios que en vigas de eje recto, pues salvo en los casos demuy fuerte curvatura no existen diferencias apreciables entre una y otra forma decalcular, por otro lado, con teoría de eje recto se obtienen valores del lado de laseguridad.Para el cálculo haremos uso del Teorema de Castigliano que expresa “En uncuerpo elástico en equilibrio sometido a un sistema de fuerzas cualquiera, eldesplazamiento de un punto donde actúa una fuerza, en la dirección de la fuerza, estádado por la derivada parcial de la energía de deformación respecto de dicha fuerza”.δPA i∂=∂PVeamos ahora cómo se expresa la energía interna en función de los esfuerzoscaracterísticos.a) Esfuerzo axial (N):NdsNLa fuerza axial N provoca un giro de unasección respecto de otra alrededor delcentro O, por lo que todas las fibras tienenla misma deformación especifica ε.oσ = N ALa energía interna de deformación viene dada por:22211 σ 1 N 1 NdAN = ⋅σ⋅ε ⋅A⋅ds= ⋅ ⋅A⋅ds= ⋅ ⋅A⋅ds= ⋅ ⋅ds222 E 2 A ⋅E2 E ⋅AEntonces:21 NAN = ⋅∫⋅ds2 E ⋅Ab) Esfuerzo de corte (Q):es:Análogamente al esfuerzo axial, la energía interna debida al esfuerzo de corte21 QAQ = ⋅ χ ⋅∫⋅ ds2 G ⋅ ADonde χ es un coeficiente de forma que depende de la forma de la sección, parasecciones de tipo rectangular χ = 1,2.Página 13 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIc) Momento flector:Para el cálculo de la energía interna provocada por el momento flector haremosuso del Principio de los Trabajos Virtuales, que en su forma más general nos dice queen una estructura sometida a un sistema de fuerzas en equilibrio, para una deformaciónvirtual cualquiera, el trabajo exterior es igual al trabajo interno.Para un elemento ds:1Ae = ⋅M⋅δdΦ2Siendo δdФ el giro de las secciones.Recordando la ecuación:δdΦ− εdΦ0M=E ⋅A⋅R⋅ ZY siendo ε , para N=0:0ε0M=E ⋅A⋅RReemplazando se obtiene:δdΦM ⎛= ⋅ ⎜1+dΦE ⋅A⋅R⎝Entonces:1Z⎞ M⎟ = ⋅⎠ E ⋅A⋅R⋅ Z21 1 MdAM = ⋅M⋅δdΦ = ⋅ ⋅2 2 E ⋅A⋅R⋅ ZSi tenemos en cuenta que:M ⎛σ = ⋅⎜1+A ⋅R⎝1Zy ⎞⋅ ⎟R + y ⎠( 1+Z)ds( 1+Z) ⋅ RY calculamos la ubicación del eje neutro y 0 para lo cual hacemos σ=0 ya que enel eje neutro la tensión es nula.1 y01+⋅Z R + y1 y01 = − ⋅Z R + yZ⋅R+ Z⋅y00= 00= −y0Página 14 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIZ ⋅ R⇒ y 0= −1+Zpor:Dejando de lado el signo de y 0 , la expresión de la energía interna queda dadadAM =121AM =2⋅2M⋅E ⋅A⋅R⋅ y∫2ME ⋅ A ⋅ R ⋅ y00⋅ds⋅dsCuando R ≥ 4⋅hla ecuación usada para eje recto no introduce mayores erroresy en el cálculo de la energía de deformación por flexión se puede usar teoría de ejerecto.Si actuasen simultáneamente M y N aparece un trabajo recíproco dedeformación AMN, ya que como se vio, M provoca una deformación ε 0 a nivel del ejeneutro.Supongamos que actúa primero N y luego M, esta última provoca undesplazamiento del punto de aplicación de N en el valor ε ·ds, siendo:0ε0M=E ⋅A⋅REntonces:M ⋅ NdAMN = ⋅dsE ⋅A⋅RY la energía total de deformación es:1 M ⋅ NAMN = ⋅∫⋅ds2 E ⋅A⋅R⋅ y0La expresión que nos da la energía total de deformación para una pieza de ejecurvo es la siguiente:2221 N 1 Q 1 MM ⋅ NA = ⋅∫⋅ ds + ⋅ χ ⋅∫⋅ ds + ⋅∫⋅ ds + ∫ ⋅ds2 E ⋅ A 2 G ⋅ A 2 E ⋅ A⋅R ⋅ y E ⋅ A⋅RPara obtener el desplazamiento buscado, haremos:∂A∂P0Página 15 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIPor el Principio de los Trabajos Virtuales:MM NN QQ= ∫ ds + ds dsEJ∫ + χEA∫GAδ Para R/h > 4YN N QQ M M M N= ∫ ds + χ ds ds dsEA∫ +GA∫ +EARy∫ +EAR0∫N MdsEARδ Para R/h < 4En donde las integrales deben resolverse con la ley de variación de los esfuerzos.3) VIGAS DE EJE CURVO CON CARGAS NORMALES AL PLANO3.1) INTRODUCCION:Algunos de los casos en los que aparecen este tipo de vigas son los siguientes:a) arandelas a presión:b) vigas anillo:Página 16 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIc) vigas balcón:En todos los casos las cargas son siempre perpendiculares al plano quecontiene a la viga. Estas cargas hacen que la viga se deforme y el eje se salga de suplano original, pero no se aparta de la superficie cilíndrica de origen, que tiene comodirectriz a la viga en cuestión.--- luego de deformadaNingún punto sufre desplazamientos en el plano del eje, todos permanecen en lasuperficie cilíndrica. Tampoco existen giros contenidos en el plano.3.2) ESFUERZOS EXISTENTES Y CONVENCION DE SIGNOS:De lo expuesto anteriormente podemos concluir en lo siguiente:a) El eje de la pieza no cambia de longitud, por lo tanto no hay deformaciones según eleje x, luego:Nx=0b) Al no haber desplazamientos en el plano de la viga, la deformación según y es nula(δ y =0), luego:Qy=0c) Al no haber rotaciones según ejes normales al plano de la pieza, el giro según z esnulo (φ z=0), luego:Mz=0De los seis esfuerzos posibles en el espacio, quedan solo tres, a saber:MMQZXY= 0= 0= 0Página 17 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIMx: momento torsor; (+) si el vector Mx sale de la sección.My: momento flector; (+) si tracciona las fibras inferiores.Qz: corte; (+) sobre la cara derecha hacia abajo, y sobre la cara izquierda hacia arriba,el elemento siempre se mira desde el centro de curvatura.3.3) ESFUERZOS CARACTERÍSTICOS:Se trata de encontrar las ecuaciones que ligan les esfuerzos característicosentre sí y con las cargas externas. Se analiza un elemento de viga sometido a unacarga q(z).oD: baricentro de la cargaRdΦ/2dΦdΦ/2RdΦOD =R ⋅ sendφ2dφ2MxMx + dMxMyQzqDdΦMy + dMyQz + dQzPágina 18 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIa) Proyección de momentos sobre My:My +d⎜⎛ φ=2⎟ −⎝ ⎠( Mx + dMx) ⋅sen dφ − ( My + dMy) ⋅cosdφ + q ⋅ r ⋅dφ⋅OD⋅sen⎞ ( Qz + dQz) ⋅R⋅sen dφ0Considerando que:⎧sen dφ ≈ dφ⎪⎨cosdφ ≈1⎪⎩dχ⋅dχ ≈ 0(producto de diferenciales)⇒ Mx ⋅dφ − dMy − Qz⋅R⋅dφ≈ 0dMy= Mx − Qz ⋅Rdφ(I)b) Proyectando en dirección de Mx:Mx −( Mx + dMx) ⋅cos( dφ) − ( My + dMy) ⋅sen( dφ) − ( Qz + dQz) ⋅R⋅[ 1−cos( dφ)]+ q ⋅ R ⋅dφ⋅⎡R − OD⋅cosd ⎤⎜⎛ φ− dMx + My ⋅dφ ≈ 0⎢⎣2⎟⎞⎝ ⎠⎥⎦+dMxdφ= −My(II)c) Sumatoria de fuerzas sobre Z:− Qz − q ⋅R⋅dφ + Qz + dQz = 0dQz= q ⋅Rdφ(III)Derivando la ecuación (I) respecto de φ, y reemplazando (II) y (III), resulta:2d My dMx dQz= − R ⋅2dφdφdφDespejando y reemplazando:2d My+ My = −q⋅ R2dφ2(IV)Página 19 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras II3.4) ANÁLISIS DE LAS DEFORMACIONES:3.4.1) Nuevamente se hace uso del Teorema de Castigliano, que dice: laderivada de la energía interna de deformación (A) con respecto a una carga P i da comoresultado el desplazamiento del punto de aplicación de la carga, en la dirección de lacarga.δi=APiTeniendo en cuenta los esfuerzos que pueden actuar, la energía interna estarácompuesta por un término debido al corte (Qz), otro debido al momento torsor (Mx) yun tercer término debido al momento flector (My).21 Qz1) A( Qz) = ⋅ χ ⋅∫ ⋅ds2 G ⋅ Aχ: coeficiente de forma que depende de la sección:-sección rectangular: χ = 1.2-sección tipo doble T:Areaχ =h⋅t alma-sección tipo anular: χ = 2(t alma = espesor alma)2)21 MyA My =2∫E ⋅ Jy( ) ⋅ ⋅ds21 Mx3) A( Mx) = ⋅∫ ⋅dsdonde: C=G·Jp rigidez torsional2 C221 Qz 1 Mx 1A = χ ∫ ds + dsG A∫ +2 ⋅ 2 C 2∫2MydsEJyEn general la influencia de la deformación por corte puede despreciarse frente alas otras.3.4.2) Es aplicable también para el cálculo de deformaciones, el Principio deTrabajos Virtuales:MyMy MxM x QzQzδ = ∫ ds + ds dsEJy∫ + χC∫GAEn donde las integrales deben resolverse con la ley de variación de los esfuerzos.Página 20 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras IIAnexo A:Cálculo de solicitaciones por ecuaciones diferenciales:(cargas en el plano de la viga)Para hacer el análisis aislamos un elemento de viga de radio R y longitud ds conun ángulo dφ y le colocamos a este elemento, además de las cargas externas, lasacciones que le transmite el resto de la viga para que no se alteren las condiciones deequilibrio y hacemos un planteo de las ecuaciones.oNx + dNxMz + dMzRdΦdΦ/2dsRMzNxp y q son cargas exteriorespor unidad de longitud,actuantes en el tramo delongitud ds. P tiene direcciónradial, como si fuera unapresión y q tiene direcciónangular.Qy + dQyPqQy1) Proyección de fuerzas según la bisectriz de dφ:⎛dφ⎞ ⎛dφ⎞ ⎛dφ⎞ ⎛dφ⎞p⋅R ⋅dφ+ Qy ⋅cos⎜ ⎟− ( Qy + dQy) ⋅ cos⎜ ⎟+ N ⋅ sen ⎜ ⎟+ ( N + dN)⋅ sen ⎜ ⎟=0⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠pRd ⋅ ⋅ φ− dQy+ Nd ⋅ φ= 0(1)2) Proyección de fuerzas según la normal a dicha bisectriz:⎛dφ⎞ ⎛dφ⎞ ⎛dφ⎞ ⎛dφ⎞q ⋅R ⋅dφ+ Qy ⋅sen ⎜ ⎟− ( Qy + dQy) ⋅sen ⎜ ⎟−N ⋅ cos⎜ ⎟+ ( N + dN)⋅ cos⎜ ⎟=0⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠q⋅R⋅dφ+ Qy⋅dφ+ dN= 0(2)3) Sumatoria de los momentos respecto de O:( ) ( )2q⋅R ⋅dφ−N⋅ R+ N+ dN ⋅R− Mz+ Mz+ dMz = 02q⋅R ⋅dφ+ dN⋅ R+ dMz= 0(3)Reordenando las ecuaciones 1, 2 y 3, se obtiene el siguiente grupo de tres ecuaciones:Página 21 de 22

Vigas de Eje CurvoEstructuras II⎧dQy⎪ − N= p⋅R (I)⎪d φ⎪dN ⎨ + Qy =− q ⋅ R (II)⎪ d φ⎪dMzdN2⎪ + R⋅ =−q⋅R ( III)⎩ dφdφDespejando (II) y reemplazando en (III):dMz+ R⋅ −q⋅R− Qy =−q⋅RdφDe donde se obtiene:( )21 dMz⋅ = QyR dφ(IV)Teniendo en cuenta que R⋅dφ= ds resulta la misma relación entre el momentoflector y el corte (recordar dM Qdx = ) que en vigas de eje recto. Esto permite, entreotras cosas, el control del diagrama de momentos (pendientes) con el valor del corte.Si se deriva la ecuación (I) respecto de φ, se obtiene:dQy 2− dN = dp ⋅ R2dφ dφ dφDe la ecuación (II) se tenía:dN =− q ⋅ R − Qydφ2dQydφ2⎛dp⎞+ Qy = R ⋅ ⎜ + q⎝dφ⎠ ⎟ (V)Si ahora se deriva (IV) respecto de φ dos veces:1R2d Mz dQy=dφ dφ⋅2321 d Mz d Qy⋅ =32R dφ dφReemplazando en la (V)3d Mz dMz 2 ⎛ dp ⎞+ = R ⋅⎜− q⎟3dφdφ⎝ dφ⎠(VI)Que nos da las relaciones de los esfuerzoscaracterísticos entre ellos y con las cargasexternas.Página 22 de 22