Placas Planas Rectangulares - Universidad Nacional de La Plata

Facultad de IngenieríaUniversidad Nacional de La PlataESTRUCTURAS IIIPara alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLPPLACAS PLANAS RECTANGULARESDE ESPESOR DELGADOAutores:Ing. Alejandro J. PatanellaIng. Marcos D. Actis-2008-

Estructuras IIIPLACAS PLANAS RECTANGULARES DE ESPESORDELGADOIntroducción - Hipótesis.Las placas de espesor pequeño representan un elemento estructural muy común eimportante en estructuras de uso aeroespacial ya que las unidades más grandes seencuentran cubiertas con este tipo de paneles.Para el desarrollo de la ecuación general de una placa sometida a esfuerzos deflexión puros se consideran las siguientes hipótesis simplificativas:• Se limita al caso de que el material que las compone sea homogéneo, isotrópico ycompletamente elástico.• La placa no experimenta variaciones de espesor debido a la deformación (σ z = 0).• Se considera valida la hipótesis de deformaciones planas de Bernoulli (las normales a lasuperficie media se conservan normales a la superficie deformada).• La flecha para cualquier punto de la placa es muy pequeña con respecto a su espesor (w

Estructuras IIIPara pequeños desplazamientos la curvatura de la superficie media puede hallarseen forma aproximada omitiendo las potencias de primer orden ( ∂ w∂x , ∂ w). De esta forma, la∂y curvatura del la superficie media en planos paralelos a xz e yz respectivamente es:21 w=− ∂ 21 w2y =− ∂ 2R ∂xR ∂yxyde;También se puede cuantificar la torsión de la superficie media de la placa a través1Rxy2w=− ∂ ∂∂ xyA través de la curvatura y la torsión se pueden expresar las deformaciones queexperimenta la placa. Dichas deformaciones en su expresión general queda definida como;εx∂u= εy∂x∂v=∂y(deformaciones lineales en función de los corrimientos uen al dirección x y v en la dirección y)εxy∂u∂v= γxy= +∂y∂x(deformación angular, distorsión, en el plano xy)En el caso de flexión pura de barras prismáticas una solución rigurosa se obtiene apartir de suponer que las secciones transversales se mantienen planas luego de flexionarsey rotar de forma tal de seguir siendo perpendiculares a su eje neutro. Combinando estasuposición en las dos direcciones perpendiculares se puede obtener la ecuación generalpara la flexión pura de placas.Figura 2a.Figura 2b.Página 2 de 17

Estructuras IIILa figura 2a representa una fina placa rectangular cargada con un momento flexoruniformemente distribuido (Mx, My) por unidad de longitud en sus bordes. Se consideranpositivos los momentos que generen un esfuerzo de compresión en la cara superior de laplaca y uno de tracción en la superficie inferior. En la figura 2b se representa un elementorectangular tomado de la placa con unas dimensiones dx, dy y t, siendo esta última muypequeña comparada con las demás dimensiones. Debido a que este elemento esta extraídode la placa de la figura 2a, la misma solicitación que existía sobre la placa puede serextendida a dicho elemento. Los lados laterales del elemento se mantienen planos durantela flexión y la rotación debido a la solicitación existente, de forma tal de que permanezcannormales a la superficie media deflectada; y debido a la simetría existente la superficiemedia no sufre ningún cambio en sus dimensiones y es por eso que la misma es lasuperficie neutra o media de la placa.En función del mecanismo de deformación anteriormente presentado losdesplazamientos en las direcciones x, y y z se pueden hallar con el siguienteprocedimiento:Un punto B de la superficie media (no deformada) se desplazó a la posición B 1(deformada) en la dirección del eje z en una magnitud W. El elemento de superficie dzdyasociado a este punto ha rotado un ángulo igual a la pendiente de la superficie mediaflexionada en una dirección tal que este se mantiene normal esta. (ver figura 3)Figura 3.Este ángulo de rotación para pequeños desplazamientos es igual a ∂ w. De esta∂x forma los distintos desplazamientos en cada una de las direcciones en un punto a unadistancia z de la superficie media se pueden escribir como;u =− z ∂w x∂xu z w y=− ∂ ∂y(los signos - indican desplazamientos negativosen x e y para desplazamientos positivos en z)uz = w( x, y)Página 3 de 17

Las deformaciones correspondientes se pueden hallar a partir de;Estructuras IIIεxy2∂ux∂ w zεx= =− z2=∂x∂xRx∂u2y ∂ w zεy= =− z2=∂y∂yRy∂u∂u2x y ∂ w= γxy= + = 2z=∂x∂y∂∂ xy2zRxyYa que para el estudio de las placas se consideró un estado plano de tensiones, através de la ley de Hook se obtiene, para un material cuyo modulo de elasticidad sea E ycoeficiente de Poisson µ, las siguientes expresiones para las tensiones en el plano de laplaca;Ez ⎛ µ ⎞2∂σµ ∂ 21Ez ⎛ w w⎞x= ⎜ + ⎟ =− ⎜ + ⎟( 1 − µ2 ) ⎝ RxRy⎠ ( 1 − µ2 22) ⎝ ∂x∂y⎠Ez ⎛ µ ⎞2∂σµ ∂ 21Ez ⎛ w w⎞y= ⎜ + ⎟ =− ⎜ + ⎟( 1−µ2 ) ⎝ RyRx⎠ ( 1−µ2 22) ⎝ ∂y∂x⎠Estas tensiones normales están linealmente distribuidas a lo largo del espesor de laplaca y su resultante, debido a las condiciones de equilibrio existente, debe ser igual a Mxy My respectivamente, es decir;∫h2σ xh2h2∫σ yh−2−zdydz=M dyzdxdz=M dxSustituyendo la expresión para las tensiones nos queda;yxMxh22222 3E ⎛∂w w⎞E ⎛ w w⎞2h=−2⋅ ⎜ 2+ µ ∂ ∂2 ⎟ ∫ z dz=−2⋅ ⎜ 2+ µ ∂ 2 ⎟ ⋅( 1−µ ) ⎝ ∂x∂ y ⎠ h ( 1−µ ) ⎝ ∂x∂y⎠ 12−2De la misma forma se opera para M y y se obtiene2⎛∂w w⎞Mx =−D⋅ ⎜ + µ ∂ 222 ⎟⎝ ∂x∂y⎠2wM =− wyD ⋅ ⎛∂⎜⎝ y+⎞µ ∂ 222 ⎟∂ ∂x⎠(Momentos por unidad de longitud para laflexión pura sobre la placa)Página 4 de 17

3EhSiendo D la rigidez a flexión de la placa dada por D =2 .12( 1 − )µEstructuras IIIAdemás de los momentos flectores existe sobre la placa un momentouniformemente distribuido de torsión a lo largo de las lados de la misma dados por M xy yM yx , cada uno de ellos deberá ser igual a la resultante de las fuerzas de corte existentes a lolargo de las lados del elemento, es decir,τxyM dx = ∫τ z dxdzxyh−2h2xy22 Gz ∂ w= τyx= = 2 GzR ∂∂ xyxyM dy = ∫τ z dydzyxh−2h2yxM = M = D( 1 − )xyyx2wµ ∂ ∂∂ xy(Momento por unidad de longitud para torsiónpura sobre la placa debida a la flexión)Ecuación diferencial de la superficie deformada.En el desarrollo anterior de la teoría de las pequeñas deformaciones para placasdelgadas se utilizó como hipótesis que en los límites de la placa sus bordes se puedenmover libremente en el plano de la misma. De esta forma, las fuerzas reactivas en losbordes debido a los vínculos son normales a la placa. Con el mismo criterio se puedendespreciar las deformaciones de la superficie media durante la flexión de la placa.qFigura 4.Página 5 de 17

Estructuras IIIViendo la figura anterior (fig. 4) se estudia un elemento dxdy de la superficiemedia, el cual posee distribuido en sus bordes los momentos Mx, My y Mxy. Estosmomentos son los resultantes de las distribuciones lineales de tensiones debido a flexión ytorsión a lo largo del espesor de la placa. Si la placa es solicitada a través de cargasexternas normales a la superficie media a demás de los momentos anteriormenteexpresados existirá también un esfuerzo de corte vertical Qx y Qy, que actúan sobre loslados del elemento.Qx=∫σ dzh−2h2xzQy=∫σ dzh−2h2yzLlamando como q a la carga transversal por unidad de área que actúa normal a lacara superior de la placa y considerando el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje zdel elemento se tiene,∂Q∂∂x dxdyQxy+∂y dydx + q dxdy = 0 o bien∂Qx∂x∂Qy+ + q = 0∂yTomando el equilibrio de momentos existentes en la dirección del eje x,∂Mxy∂∂x dxdy My−∂y dydx + Q dxdy y= 0 o bien∂M∂xxy∂My− + Qy=0∂yRealizando el mismo procedimiento para la dirección y,∂M∂yxy∂Mx+ − Qx= 0∂xEliminando Qx y Qy de las ecuaciones anteriores se obtienen las relaciones deequilibrio entre momentos,2∂ M2∂x22∂ M ∂ M+2− 2 =− q∂y∂∂ xyx y xyPara representar esta ecuación en términos de la deflexión w de la placa, seconsidera que la ecuación desarrollada para el caso de la placa sometida a una solicitaciónde flexión pura, es aproximadamente igual a la que correspondería al caso de placascargadas lateralmente, es decir2⎛∂wMx =−D⋅ ⎜ 2+⎝ ∂xw⎞µ ∂ 22 ⎟∂y⎠Página 6 de 17

2wM =− yD ⋅ ⎛∂⎜⎝ ∂y+ 2w⎞µ ∂ 22 ⎟∂x⎠Estructuras IIIEsta consideración trae como consecuencia despreciar los efectos sobre la flexiónde las fuerzas de corte y de la tensión de compresión σ z . Reemplazando se tiene,∂4∂xw444∂ w ∂ w+4+ 22 2=∂y∂x∂yqDEcuación deGermain-LagrangeLa dificultad existente en el análisis de la flexión en placas se concentra en laintegración de la ecuación anterior en términos de w.Las fuerzas de corte expresadas en términos de los desplazamientos se puedenexpresar como,QQxy∂M2 2xy ∂Mx ∂ ⎛∂w ∂ w⎞= + =−D ⋅ ⎜ + ⎟∂y∂x∂ x2 2⎝ ∂x∂y⎠∂My∂M2 2xy ∂ ⎛∂w ∂ w⎞= − =−D ⋅ ⎜ + ⎟∂y∂x∂ y2 2⎝ ∂x∂y⎠El análisis realizado anteriormente es suficiente para plantear soluciones acualquier problema específico. El método general de trabajo consistirá, entonces, en hallarsoluciones aproximadas para la ecuación diferencial de cuarto orden que satisfaga lascondiciones de borde y las condiciones de cargas, dentro de errores apropiadamenteacotados.Página 7 de 17

Estructuras IIIMÉTODOS PARA HALLAR UNA SOLUCIÓN SATISFACTORIA.Flexión de placas rectangulares.La ecuación diferencial general para la flexión dada anteriormente se resolveráutilizando métodos exactos como el de Serie de Fourier y el método alternativo de Levi,también se hará mención mas adelante de métodos aproximados a través de diferenciasfinitas como ser el método de Marcus.Para cada uno de los métodos se hará el tratamiento para placas rectangulares condistintas condiciones de contorno, es decir, de vinculación de la placa al mediocircundante. Las condiciones de contorno se pueden clasificar de la siguiente forma:• Borde empotrado:La deflexión a la largo del borde empotrado es cero y la tangente al plano de lasuperficie media deflectada es horizontal. Entonces si el eje x coincide con el bordeempotrado tendremos;( ) w y==00⎛∂w⎞⎜ ⎟ = 0⎝ ∂ ⎠y y =0• Borde simplemente apoyado:La deflexión a lo largo del borde simplemente apoyado es cero y el momento flexorparalelo a este lado también será nulo. Entonces si el eje x coincide con el bordesimplemente apoyada tendremos;( ) w y==00 ( My )y=02 2⎛∂w ∂ w⎞= ⎜ 2+2 ⎟ = 0⎝ ∂x∂y⎠y=0• Borde libre:El momento flexor, el momento torsor y la fuerza de corte a lo largo de estelado es nula. Si el lado libre coincide con la línea recta correspondiente a un x=aL setiene,( M x )x=a= 0 ( M xy )x=a= 0 ( Q x )x=aComo ha sido probado por Kirchoff, dos condiciones de borde son solo necesariaspara encontrar una única solución al problema de flexión. Aunque el también demostróque las dos últimas condiciones de M xy y Q x pueden ser reemplazadas por una sola, esdecir,= 03⎛∂w⎜ 3⎝ ∂x( µ )∂ 3w ⎞+ 2−2 ⎟ = 0∂∂ xy ⎠x=aPágina 8 de 17

Estructuras IIIY finalmente expresando la condición de M x en términos de w las condicionesfinales para un borde libre queda como,2⎛∂w⎜ 2⎝ ∂x2∂ w⎞+ ⎟ =∂y⎠20x=a3⎛∂w⎜ 3⎝ ∂x( µ )∂ 3w ⎞+ 2−2 ⎟ = 0∂∂ xy ⎠x=aPágina 9 de 17

Estructuras IIIDistintos Ejemplos de Placas con distintas condiciones deBorde.Placas rectangulares simplemente apoyadas.Se estudiará una placa rectangular de dimensiones a y b con los ejes x e y colocadosde forma tal que su origen sea este en un vértice de la placa como se ve en la siguientefigura. La placa se encuentra simplemente apoyada a lo largo de sus cuatro lados y estasolicitada por una carga distribuida uniformemente q=f(x,y).xabqyqFigura 6.• Solución a través de series dobles de Fourier.Siempre se puede expresar una función f(x,y) como una serie trigonométrica doble(Fourier), es decir,donde:∞ ∞⎛q f x y a sin m π x ⎞ ⎛= =sin n π y ⎞( , ) ∑∑ mn⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠m=1 n=1amn4=ab∫0a∫0b⎛f x y sin m π( , ) ⎜⎝ ax ⎞ ⎛sin n π y ⎞⎟ ⎜ ⎟dxdy⎠ ⎝ b ⎠Las condiciones de borde son:o bienW=0 y M x =0 en x=0 y x=aW=0 y M y =0 en y=0 y y=bPágina 10 de 17

Estructuras IIIW=0 yW=0 y2∂ w2= 0∂xen x=0 y x=a2∂ w2= 0∂yen y=0 y y=bEstas condiciones de borde son satisfechas si se toma la siguiente expresión para eldesplazamiento total,∞ ∞⎛W C sin m π x ⎞ ⎛=sin n π y ⎞∑∑ mn⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠m=1 n=1De la ecuación diferencial general de la deformada de la placa4 44∂ w ∂ w ∂ w q4+4+ 22 2= , hallo cada término reemplazando la serie propuesta∂x∂y∂x∂yDanteriormente y derivando.Esta operación se hace para poder hallar una relación en los coeficientes a mn y C mn .El calculo de las derivadas parciales queda como,Análogamente,∞ ∞∂w⎛mπ ⎞ ⎛mπ x⎞⎛ πCsin n y ⎞= ∑∑mn⎜⎟ cos⎜⎟ ⎜ ⎟∂xm=1 n=1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠2 ∞ ∞2 2∂ wm π mπ x π2= C⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛2sin n y ⎞∑∑mn⎜−⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂xm=1 n=1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠3 ∞ ∞3 3∂ wm π mπ x π3= C⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛3sin n y ⎞∑∑mn⎜−⎟ cos ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂xm=1 n=1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠4 ∞ ∞4 4∂ w⎛mπ ⎞ ⎛mπ x⎞⎛ π4C4sin n y ⎞= ∑∑mn⎜⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂xm=1 n=1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠4 ∞ ∞4 4∂ w⎛nπ ⎞ ⎛mπ x⎞⎛ π4C4sin n y ⎞= ∑∑mn⎜⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ym=1 n=1 ⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠Y la derivada cruzada queda como,4∂ w∂x∂y2 2∞ ∞2 2 2 2⎛mπ ⎞ n π mπ x π= C22sin n ymn⎜⎟ ⎛m 1 n 1 ⎝ a ⎠ ⎝ ⎜⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∑∑⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠Página 11 de 17

Quedando le ecuación general de la siguiente forma:Estructuras III∞ ∞4 4⎛ m π ⎞ m xCsin n y ∞ ∞4 4⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ n π ⎞ ⎛mπ x⎞⎛∑∑mn⎜4 ⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + Csin n π y ⎞∑∑mn⎜4 ⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +m=1 n=1 ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ m=1 n=1 ⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠∞ ∞2 2 2 2⎛ m π ⎞ n π mπ x+ 2 Csin n π ymn⎜2 ⎟ ⎛ 2m 1 n 1 ⎝ a ⎠ ⎝ ⎜⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∑∑⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = q= =a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ DReemplazando la aproximación de la carga distribuida q(x,y) propuesta en serie deFourier tenemos que operando matemáticamente se puede despejar C mn siendo,Cmn=a⎛D ⎜m ⎝ aπ 4 2mn2n+b22⎞⎟⎠2El desplazamiento total queda,1W =π D∞∞∑∑4 2m=1 n=1⎛m⎜⎝ a2amnn+b22⎞⎟⎠2⎛sin m π x ⎞ ⎛sin n π⎜y ⎞⎟ ⎜ ⎟⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠Como para nuestro caso habíamos considerado solo una carga distribuidauniformemente, los coeficientes a mn se pueden hallar integrando de la siguiente manera,f(x,y) = q o = cte.amnabqsin m x sin n yoqo=4 ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞∫ ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dxdy =162ab ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ π mn00Donde m y n son números naturales impares, lo cual al sustituir en la expresión deldesplazamiento total tenemos que;16qoW =π D∞∑∞∑⎛sin m π x ⎞ ⎛sin n π y ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠mn m 2 2⎛ n ⎞⎜ 2+2 ⎟⎝ a b ⎠6 2m=135 , , n=135 , ,Siendo la máxima deflexión en el centro de la placa, dado su valor por,Wmaxqo=16 ∞ ∞( −∑ ∑1 )6π D m=n=⎛mn⎜m 2135 , , 135 , ,2⎝ am+ n − 12n+b22⎞⎟⎠2Página 12 de 17

Estructuras IIIEsta es una serie cuya convergencia es inmediata y se puede tomar una buenaaproximación considerando solamente el primer termino, lo cual para una placa cuadradase convierte enWmax444 qoa qoa≅6= 0. 04546(siendo µ = 0.3)π D hEEsta última expresión difiere de la exacta en un 2 ½ % .La expresión para el momento flector queda como,Mx16q=4πo∞∑∞∑m=135 , , n=135 , ,⎛a n m 2⎜⎝ am22n+b22⎞⎟⎠2⎛sin m π x ⎞ ⎛sin n π⎜y ⎞⎟ ⎜ ⎟⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠Las expresiones para los momentos flectores y torsores finalizan en series cuyaconvergencia es más difícil de hallar, es por eso que si no se posee una herramienta decálculo potente no es posible hallar estas expresiones a través del método de Series Doblesde Fourier.• Solución a través de series simples, Método de Levy:Este método se desarrolló solo para el caso en que la carga q o sea constante. Levysugirió una solución de la forma,∞⎛W Y y sin m π=x ⎞∑ m( ) ⎜ ⎟⎝ a ⎠m=1Donde Y m es una función de y solamente. Cada termino de la serie satisface las2∂ wcondiciones de contorno W=0 y2= 0, en x=0 y x=a. Queda por determinar la∂x2∂ wfunción Y m tal que satisfaga las condiciones de borde restantes, es decir W=0 y2= 0∂yen y=0 y y=b.Una aproximación más se puede realizar si se considera una solución de la forma,Dondew= w1 + w2qowD x 4 ax 3= − 2 +24a 3( x )Página 13 de 17

Estructuras IIIEsta expresión representa la deflexión de una larga “tira” con los lados mas largosen dirección del eje y, que se encuentra cargada uniformemente por una carga q o ysimplemente apoyada en los bordes cortos en x=0 y x=a, y libre en los otros dos.Aunque esta ultima expresión satisface las condiciones de borde en x=0 y x=a, elproblema estará resuelto si se encuentra la solución de,4∂ w∂x2444+ ∂ w2∂2422 20∂y+ w∂x∂y=tomando como w 2 a la solución propuesta por Levy, para que satisfaga con w 1 lascondiciones de borde W=0 y2∂ w2= 0 en∂yy=±b/2 en la expresión supuesta para w.(ver figura 7)b/2axb/2yFigura 7.Sustituyendo se obtiene,∞∑m=1⎛⎜Y⎝IVm2 24 42 m π m π ⎞ ⎛YY sin m π x ⎞II−2 m+4 m ⎟ ⎜ ⎟ = 0aa ⎠ ⎝ a ⎠donde por simetría m solo toma los valores impares (m=1,3,5,....).Esta ecuación puede ser satisfecha para cualquier valor de x siYIVm2 24 42 m π m πII−2Ym+4Ym= 0aaSiendo su solución general,Ymqoa(y) =D4⎡ ⎛ mπy⎞ mπy⎛ mπy⎞⎢Amch⎜⎟ + Bmsh⎜⎟ + C⎢ ⎝ a ⎠ a ⎝ a ⎠⎢ mπy⎛ mπy⎞⎢+Dmch⎜⎟⎣ a ⎝ a ⎠m⎛ mπy⎞ ⎤sh⎜⎟ + ⎥⎝ a ⎠ ⎥⎥⎥⎦Página 14 de 17

Estructuras IIIDebido a que la deflexión es simétrica con respecto al eje x se tiene que C m =D m =0,entonces;ó,qoW =24Dqoa+D4 3 3( x − 2ax + a x)⎡⎢A⎣+⎛ mπy⎞ch⎜⎟ + B⎝ a ⎠mπy⎛ mπy⎞⎤⎛ mπx⎞sh⎜⎟⎥sin⎜⎟a ⎝ a ⎠⎦⎝ ⎠4∑ ∞mmm= 1,3,5aWq a 4 ∞ ⎡A ch m y B m y sh m y sin m xo4 ⎛ π ⎞ π ⎛ π ⎞⎤⎛ π ⎞= ∑ ⎢ 5 5+m⎜ ⎟ +m⎜ ⎟⎥⎜ ⎟D m=135 , , ⎣πm ⎝ a ⎠ a ⎝ a ⎠⎦⎝ a ⎠Sustituyendo las condiciones de borde, W=0 y2∂ w2= 0 en y=±b/2, se obtiene,∂y4Am cham + Bm am sham+5 5= 0π mA + 2B cha + B a sha = 0( )m m m m m msiendo am=mπb.2 aDe estas ecuaciones se obtiene,Am( m)( )2( amtanh a + 2)=5 5π mcham2Bm=5 5π mcha( )mDe esta forma,4 ∞ ⎡4 qao 1 2W = ⎢5 ∑ 5 1 −π D m=135 , , m⎣⎢m( amtanh( am)+ ) ⎛ 2 amy⎞amch⎜⎟ +2 ch( a ) ⎝ b ⎠ 2 ch( a )m⎤2yb sh ⎛ 2a ysin m xm⎞⎜ ⎟⎥⎝ b ⎠⎦⎥ ⋅ ⎛ π ⎞⎜ ⎟⎝ a ⎠La deflexión máxima ocurre en el centro de la placa (x=a/2, y=0) y valeWmax4 ∞4 qao 1=5 ∑Dπ m=135 , ,( + 2)m−1( )⎡− 2 amtanh( am)⎢51−m ⎢ 2 ch( a )⎣m⎤⎥⎦⎥Página 15 de 17

Estructuras IIILa suma de los primeros términos de esta serie corresponde a la solución de lasección central de una tira cargada uniformemente, es decir,Wmax( )m−1( ) 2 amtanh( am)5m 2 ch( a )4 4 ∞5 qao4 qao − 1 + 2= −3 ∑384 D Dπ m=135 , ,Esta serie converge rápidamente. Considerando a una placa cuadrada (a/b=1) setiene quea 1= π 3, a 23= π , etc..24 45 qao4 qaoWmax= −6( 0. 68562 − 0. 00025+......)384 D π D4qao≅ 0.00406DSe puede observar que solo los dos términos de la serie se pueden tomar en cuentapara hallar un resultado satisfactorio.Los momentos pueden ser encontrados sustituyendo la expresión de W. Los valoresmáximos de estos momentos se hallan en x=a/2 y y=0.2qam−1⎛22µ= + − qa − 2 m⎜Am− B8m=135 , , ⎝ 1 − µ2∞qam−1⎛o2 222µ= µ + ( 1− µ ) qaoπ ∑ − 1 2 m⎜Am+ B8⎝ 1 − µ∞o2 2( M ) ( )x( 1 µ )oπ ∑ 1max( M ) ( )ymaxm=135 , ,mmm⎞⎟⎠⎞⎟⎠• Placa rectangular con dos lados simplemente apoyados, uno libre y elúltimo empotrada o simplemente apoyado.xbayFigura 8.x= 0 es un borde simplemente apoyadox= a es un borde simplemente apoyadoy= b es un borde librey= 0 es un borde empotrado.Página 16 de 17

Para este caso las condiciones de borde son,Estructuras III2∂ wW=0 y2= 0 en x=0 y x=a∂x∂wW=0 y = 0 en y=0∂y 3∂µ ∂ 32 2⎛ ww ⎞⎛∂w ∂ w⎞⎜ 3+ 21 ( − )2 ⎟ = 0 ⎜ 2+2 ⎟ = 0 en y=b⎝ ∂y∂x∂y⎠⎝ ∂x∂y⎠Considerando una carga repartida q o , a través del método de series simples de Levi,se tiene que,4 ∞4 qawD m sin m xo 1 π1=5 ∑ 5π m=135 , , ay∞⎛w Y y sin m π x ⎞2= ∑ m( ) ⎜ ⎟⎝ a ⎠m=135 , ,Es obvio que las dos primeras condiciones de borde para x=0 y x=a son satisfechaspor w=w 1 +w 2 . Los coeficientes A m , B m , C m y D m de Y m deben satisfacer las demáscondiciones de borde.Tomando las condiciones para y=0 se tiene,A4=−5 5, C =−Dπ mm m mTomando las condiciones para y=b se tiene,Bm( + µ )( − µ ) ch² Bm + µ chBm − µ ( − µ ) BmshBm− ( − µ ² )( 3+ µ )( 1− µ ) ch²B + ( 1− µ ) B + ( 1+µ )4 3 1 2 1 1=5 5⋅2m2 2πmmCm( + µ )( − µ ) + µ ( + µ ) − µ ( − µ ) − ( − µ )2 2 2( 3+ µ )( 1− µ ) ch²B + ( 1− µ ) B + ( 1+µ )4 3 1 sh B ch B 1 shB 1 B chB 1 B=5 5⋅π mm m m m m mmm2Sustituyendo estas expresiones, se puede hallar la deflexión de la placa, su máximovalor estará en el medio del lado que se encuentra libre.Página 17 de 17