Placas Planas Rectangulares - Universidad Nacional de La Plata

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3EhSiendo D la rigidez a flexión de la placa dada por D =2 .12( 1 − )µEstructuras IIIAdemás de los momentos flectores existe sobre la placa un momentouniformemente distribuido de torsión a lo largo de las lados de la misma dados por M xy yM yx , cada uno de ellos deberá ser igual a la resultante de las fuerzas de corte existentes a lolargo de las lados del elemento, es decir,τxyM dx = ∫τ z dxdzxyh−2h2xy22 Gz ∂ w= τyx= = 2 GzR ∂∂ xyxyM dy = ∫τ z dydzyxh−2h2yxM = M = D( 1 − )xyyx2wµ ∂ ∂∂ xy(Momento por unidad de longitud para torsiónpura sobre la placa debida a la flexión)Ecuación diferencial de la superficie deformada.En el desarrollo anterior de la teoría de las pequeñas deformaciones para placasdelgadas se utilizó como hipótesis que en los límites de la placa sus bordes se puedenmover libremente en el plano de la misma. De esta forma, las fuerzas reactivas en losbordes debido a los vínculos son normales a la placa. Con el mismo criterio se puedendespreciar las deformaciones de la superficie media durante la flexión de la placa.qFigura 4.Página 5 de 17
Estructuras IIIViendo la figura anterior (fig. 4) se estudia un elemento dxdy de la superficiemedia, el cual posee distribuido en sus bordes los momentos Mx, My y Mxy. Estosmomentos son los resultantes de las distribuciones lineales de tensiones debido a flexión ytorsión a lo largo del espesor de la placa. Si la placa es solicitada a través de cargasexternas normales a la superficie media a demás de los momentos anteriormenteexpresados existirá también un esfuerzo de corte vertical Qx y Qy, que actúan sobre loslados del elemento.Qx=∫σ dzh−2h2xzQy=∫σ dzh−2h2yzLlamando como q a la carga transversal por unidad de área que actúa normal a lacara superior de la placa y considerando el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje zdel elemento se tiene,∂Q∂∂x dxdyQxy+∂y dydx + q dxdy = 0 o bien∂Qx∂x∂Qy+ + q = 0∂yTomando el equilibrio de momentos existentes en la dirección del eje x,∂Mxy∂∂x dxdy My−∂y dydx + Q dxdy y= 0 o bien∂M∂xxy∂My− + Qy=0∂yRealizando el mismo procedimiento para la dirección y,∂M∂yxy∂Mx+ − Qx= 0∂xEliminando Qx y Qy de las ecuaciones anteriores se obtienen las relaciones deequilibrio entre momentos,2∂ M2∂x22∂ M ∂ M+2− 2 =− q∂y∂∂ xyx y xyPara representar esta ecuación en términos de la deflexión w de la placa, seconsidera que la ecuación desarrollada para el caso de la placa sometida a una solicitaciónde flexión pura, es aproximadamente igual a la que correspondería al caso de placascargadas lateralmente, es decir2⎛∂wMx =−D⋅ ⎜ 2+⎝ ∂xw⎞µ ∂ 22 ⎟∂y⎠Página 6 de 17
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